動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文指導教授：左台益博士. 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 研究生：林貞延中華民國九十九年九月.

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(9) 誌謝從與左老師討論研究方向的那一天開始，這本論文的內容就一點一滴開始累積。從閱讀文獻、整理心得、與研究夥伴討論、接受老師的指導、制定研究計畫、討論與修改計畫；一直到研究計畫訂定之後，計畫內容所需的試題與教學活動設計，亦是經過一次又一次的討論與修改，才得以完成；將這一切的過程，以文字與圖表來具體呈現，當然又是一番辛苦的工程。在這段學習與研究的過程中，我的收穫很多。感謝左台益老師百忙之中仍盡力騰出時間費心指導我的研究與論文撰寫；感謝政德學長的指導；感謝鳳琳在教學活動程式設計上的鼎力相助；感謝技江、舜淵、建勛、淑娟等研究夥伴一路的陪伴與互相打氣；感謝木柵孩子們的熱情參與；感謝木柵同事們的體諒與鼓勵；感謝我最愛的家人，這四年多以來無怨無悔的支持與諒解，你們一直是我繼續奮鬥的最大動力。感謝北教大的李源順老師以及交大陳明璋老師，給我的論文許多寶貴的意見。這份論文不只屬於我，它屬於每一個曾經為它付出與辛苦的每一個人，謝謝大家，我愛你們！. 貞延，2010 年 9 月.

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(11) 摘要數學學習需要透過外在表徵來建構與溝通抽象的數學概念。因此，要探索學生對數學概念的理解，可從其相對應的外在表徵運用策略進行結構性的分析。本研究之目的即為設計針對二次不等式的動態鏈結多重表徵學習環境，並探討在此環境下高職學生二次不等式之表徵整合能力。本研究依據數學本質結構與表徵系統兩個面向設計診斷性問卷與半結構式訪談，同時運用質化與量化兩種方法，分析 70 位高職二年級學生的解題表現與方式，探討學生對於二次不等式的表徵運用能力。研究結果顯示：在二次不等式的先備知識測驗中，兩組學生的答對率以及解題策略並無顯著差異。學生對於二次函數的圖形與數值存在自變數與應變數混淆的錯誤概念。對於二次函數表徵的運用能力則明顯受限於程序法則的影響，在不同表徵形式的轉移上，只熟習於代數式轉移至表列、表列轉移至圖形、代數透過表列轉移至圖形三種轉移程序。依據表徵理論設計整合二次不等式代數式、表列、圖形等多重表徵的二次不等式教學活動，將二次不等式分解為二次函數點集及其圖形、二次函數圖形與 x 軸交點、解二次不等式、二次不等式之正定性四個單元。並依據動態幾何學習理論，建立動態鏈結多重表徵的學習環境，比較分別在動態鏈結環境與傳統講述環境中的兩組學生，其二次不等式表徵能力的差異性。結果顯示兩組學生在表徵整合能力的比較上，實驗組學生表現較佳，且與對照組的差異達到顯著水準。亦即在解二次不等式的表徵策略運用上，實驗組學生解題策略的表徵形式較為靈活，較能整合多重表徵來解題；對照組的學生解題策略則較為僵化，傾向於使用純代數操作來解題。量化的結果兩組學生的解題策略差異達到顯著水準。比較兩種解題表徵運用策略，以多重表徵策略解題者，答對率較高（98.6 ％），以純代數操作策略解題者，答對率較低（55.3％）。整體學生依二次不等式概念測驗得分分為高、中、低三組，三組學生解題策略具有顯著差異，得分愈高學生，愈傾向使用多重表徵策略解題。具備整合多重表徵能力的學生，解二次不等式的過程概念較為簡潔且完備；無法整合多重表徵的學生，解二次不等式的過程概念較複雜且不完備，並存在較多錯誤概念。.

(12) 透過動態鏈結多重表徵學習環境的設計，學習者可經由適當的類化，使心智中的基模產生重組，進而產生知識結構的增長與強化，影響其解題表徵策略。因此依據本文研究結果，建議在高職課程二次不等式單元可設計動態鏈結多重表徵環境設計教學活動，以增強學生多重表徵整合之能力。.

(13) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 目次第一章緒論.......................................................................................................................................... 1 第一節研究背景.......................................................................................................................... 1 第二節研究動機.......................................................................................................................... 5 第三節研究目的與研究問題.................................................................................................... 11 第二章文獻探討................................................................................................................................ 13 第一節二次不等式相關研究.................................................................................................... 13 第二節數學概念的多重表徵.................................................................................................... 19 第三節概念性知識與程序性知識及過程概念........................................................................ 24 第四節動態幾何學習理論........................................................................................................ 28 第三章研究方法..................................................................................................................................... 33 第一節研究設計........................................................................................................................ 33 第二節研究流程........................................................................................................................ 44 第三節研究對象........................................................................................................................ 46 第四節資料處理與分析............................................................................................................ 46 第五節研究限制........................................................................................................................ 48 第四章研究結果..................................................................................................................................... 49 第一節二次不等式表徵認知.................................................................................................... 49 第二節學生對於二次函數表徵的認知之分析........................................................................ 56 第三節動態鏈結多重表徵教學活動設計................................................................................ 72 第四節學生對於二次不等式表徵整合能力之分析................................................................ 80 第五章結論...................................................................................................................................... 109 第一節研究結論...................................................................................................................... 109 第二節建議.............................................................................................................................. 113. i.

(14) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 附表目次表 1–1. 二次不等式課程綱要.................................................................................................. 2. 表 2–1. 圖形與方程表徵的優缺點比較................................................................................ 21. 表 3–1 表 3–2 表 3–3 表 3–4. 試題分佈雙向細目表................................................................................................ 36 後測試題分佈雙向細目表........................................................................................ 38 教學活動設計之教學目標........................................................................................ 42 兩組使用媒體比較表................................................................................................ 43. 表 4–1 表 4–2 表 4–3 表 4–4 表 4–5 表 4–6. 前測答對率雙向細目表............................................................................................ 57 教學活動設計之教學目標........................................................................................ 73 後測測驗結果分析表................................................................................................ 81 圖形與數值前後測兩組學生進步情形.................................................................... 84 表徵整合於數學思考與應用部份差異性比較表.................................................. 100 兩組學生解題採用多重表徵策略比例之比較表.................................................. 101. ii.

(15) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 附圖目次圖 1–1 圖 1–2 圖 1–3. 二次不等式解範圍教材編寫方式.............................................................................. 6 二次不等式正定性教材編寫方式.............................................................................. 7 判別式與不等式錯誤連結圖...................................................................................... 7. 圖 2–1 圖 2–2 圖 2–3 圖 2–4 圖 2–5 圖 2–6 圖 2–7 圖 2–8 圖 2–9. 表徵功能圖................................................................................................................ 20 Lesh 表徵連結圖 ....................................................................................................... 20 二次不等式的表徵認知圖........................................................................................ 23 二次函數圖形與二次不等式的解之概念網絡圖.................................................... 25 符號具有程序性知識與概念性知識........................................................................ 26 過程概念的發展過程................................................................................................ 27 訊息處理歷程圖........................................................................................................ 28 雙碼理論訊息運作圖................................................................................................ 29 動態連結多重表徵之學習環境設計關係圖............................................................ 31. 圖 3 -1 圖 3–2 圖 3–3. 研究架構圖 ............................................................................................................... 34 教學活動設計架構圖................................................................................................ 42 研究流程圖................................................................................................................ 44. 圖 4–1 圖 4–2 圖 4–3 圖 4–4 圖 4–5 圖 4–6 圖 4–7 圖 4–8 圖 4–9 圖 4–10 圖 4–11 圖 4–12 圖 4–13 圖 4–14 圖 4–15 圖 4–16 圖 4–17 圖 4–18 圖 4–19 圖 4–20 圖 4–21 圖 4–22. 二次函數圖形辨識試題示例.................................................................................... 50 二次函數一般式的代數與圖形表徵連結關係圖.................................................... 52 不等式表徵錯誤連結圖............................................................................................ 54 數值錯誤概念示例.................................................................................................... 59 定義錯誤概念示例一................................................................................................ 60 定義錯誤概念示例二................................................................................................ 60 定義錯誤概念示例三................................................................................................ 60 二次多項式三種代數表徵內的轉換........................................................................ 61 公式解錯誤概念示例一............................................................................................ 61 公式解錯誤概念示例二.......................................................................................... 62 表徵內轉換圖.......................................................................................................... 62 三種表徵間轉移成功率示意圖.............................................................................. 63 忽略配方式、分解式與圖形結構關係示例.......................................................... 64 表徵間轉移程序法則圖.......................................................................................... 64 圖形轉表列錯誤概念示例...................................................................................... 65 二次函數基本表徵學生概念網絡圖...................................................................... 67 二次函數解析運算學生概念網絡圖...................................................................... 68 二次函數極值學生概念網絡圖.............................................................................. 69 二次函數圖形結構學生概念網絡圖...................................................................... 70 函數圖形與兩軸交點的程序法則.......................................................................... 71 教學活動設計架構圖.............................................................................................. 72 二次函數的點集及其圖形操作介面...................................................................... 75. iii.

(16) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 圖 4–23 圖 4–24 圖 4–25 圖 4–26 圖 4–27 圖 4–28 圖 4–29 圖 4–30 圖 4–31 圖 4–32 圖 4–33 圖 4–34 圖 4–35 圖 4–36 圖 4–37 圖 4–38 圖 4–39 圖 4–40 圖 4–41 圖 4–42 圖 4–43 圖 4–44 圖 4–45 圖 4–46 圖 4–47 圖 4–48 圖 4–49. 解二次不等式操作介面.......................................................................................... 76 解二次不等式操作介面.......................................................................................... 77 解二次不等式操作介面.......................................................................................... 77 二次不等式正定性操作介面.................................................................................. 79 二次不等式表徵認知結構圖.................................................................................. 80 後測答對率長條圖.................................................................................................. 82 函數的意義學生表現比較圖.................................................................................. 83 不等式解的意義學生表現比較圖.......................................................................... 85 二次不等式正定性學生表現比較圖...................................................................... 90 函數圖形與判別式正負的思考歷程圖.................................................................. 92 解二次不等式學生表現比較圖.............................................................................. 95 解二次不等式受到直觀法則產生的錯誤示例一.................................................. 97 高層次學生二次不等式解題表現.......................................................................... 98 中層次學生二次不等式解題表現.......................................................................... 99 低層次學生二次不等式解題表現.......................................................................... 99 以多重表徵策略解二次不等式示例.................................................................... 101 以純代數策略解二次不等式示例........................................................................ 102 以多重表徵策略解恆正恆負型二次不等式示例................................................ 102 以純代數策略解恆正恆負型二次不等式錯誤示例一........................................ 103 以純代數策略解恆正恆負型二次不等式錯誤示例二........................................ 103 以純代數策略解恆正恆負型二次不等式錯誤示例三........................................ 103 多重表徵策略學生解題思維................................................................................ 104 採用多重表徵策略學生整合型解題思維............................................................ 106 二次方程式的根的解題程序................................................................................ 107 由二次函數點集解二次不等式多重表徵策略示例一........................................ 107 由二次函數點集解二次不等式純代數策略示例一............................................ 108 由二次函數點集解二次不等式純代數策略示例二............................................ 108. iv.

(17) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 附錄目錄附錄一附錄二附錄三附錄四附錄五. 前導性研究二次不等式試題................................................................................ 117 前測二次函數概念試題........................................................................................ 124 後測二次不等式試題............................................................................................ 131 二次不等式動態鏈結學習單................................................................................ 139 二次不等式傳統講述學習單................................................................................ 148. v.

(18) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. vi.

(19) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第一章緒論第一節. 研究背景. 數學概念是抽象的，要說明一個抽象的數學概念，必須借助具體的表徵（representation）才能達到溝通的目的。在數學的教學與學習中，舉凡文字、符號、口語說明、圖形、數值、表列……等，均為具體呈現的多種表徵。而各種不同形式的表徵，各有其特點與性質，以單一表徵形式來說明，無法解釋一個完整的數學概念（Lesh，1987）。美國的國家數學教師協會 NCTM（National Council of Teachers of Mathematics，1989）也建議中學生要採用複合性的外在表徵來靈活思考，足見表徵在數學教育上確實是相當重要的一個研究面向。因此，本文將從表徵的觀點來探討高職學生對於二次不等式的教學與學習。選擇二次不等式此單元來加以研究，主要是因為希望探究學生如何學習不等式的複雜性。在現實世界中，我們所遭遇的情況，不等量往往較等量要來得更常見，而在數學世界中，不等式的概念基礎即為不等量之間的比較。然而，不等式所牽涉的知識層面甚廣，從數學結構的觀點來看，一元一次等式與二元一次等式的幾何圖形只是直線，但是一元一次不等式與二元一次不等式的幾何圖形則轉變成區域的形式與概念。因此，不等式的學習在代數表徵與幾何表徵的概念理解與操作上，都與等式有很大的不同，學生在不等式最常見的錯誤來源之一，即是不等式與等式做了錯誤的類推（ P. Tsamir and N. Almog ， 2001）。因此，要從等式的概念發展至不等式的概念，其複雜程度由此可見一斑。不等式在國中、高中、高職數學的課程裡，涵蓋的範圍甚廣。舉凡一次不等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、根式不等式、指數不等式、對數不等式、三角不等式、算幾不等式、柯西不等式、線性規劃……等等，均為中學時期所要學習的不等式課程。在教材的編排上，一次不等式與二次不等式往往是最初接觸的不等式教材，由此可知，二次不等式是不等式學習的基礎課程，本研究將以二次不等式作為研究主題，探究學生在不等式基礎課程的表徵認知與運用情形。. 1.

(20) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 近年來各個時期的課程綱要，在二次不等式的學習目標上，雖有不盡相同的說法，但重點相當一致，對於高中課程二次不等式的課程綱要內容，簡單分析如下：表 1–1 二次不等式課程綱要. 二次不等式課程綱要 92 課程綱要 95 課程綱要 98 課程綱要. 利用因式分解來解不等式，並與圖形互相配合瞭解已分解為一次因式乘積的多項式在實數線上恆正、恆負的區間辨識已分解的多項式函數圖形及處理其不等式問題. 綜合三個不同階段對於二次不等式的綱要說明，我們不難看出學習二次不等式的數學概念，應要能讓學生了解代數與圖形表徵之間的關連，並能解出不等式解的範圍。此綱要說明與前述表徵理論的觀點相當一致，認為教師的教學與學生的學習，均應注重不同表徵之間的關連與轉移。在高職課程綱要關於教學資源暨教材選編的部份說明，教材之編選應與國民中學數學教材銜接。教材之編寫除了顧及主學習外，應隨時與前面教材相呼應，使學生有機會複習並統整所學過的教材（高職總課程綱要，2008）。在二次不等式的學習活動中，二次函數為其先備知識，因此，二次不等式的教材編寫應以二次函數概念作為基礎來導引學生，教學活動才能符合課程設計的原則。然而，大多數高職數學教材的編寫內容，似乎都以代數運算為主，而未能由函數圖形的概念來引導學生學習。高職學生與高中學生在全國的人數比例上，雖在教育改革十年當中有逐漸減少的趨勢，但至今仍佔有 37％的比例。況且高職畢業生是整體社會產業經濟的重要支柱，而數學教育又是工科職業學校專業科目的重要基礎，因此高職學生的數學教育，尤其是工職學校的數學教育，對於整體社會的影響力不容小覷。高職數學科目教材的選編方式，主要是以配合專業科目的需要來編製，因此在內容編輯的順序上，採取塊狀學習的方式，以利於與專業科目互相配合。數學教材的內容與高中數學相較之下，較為淺顯易懂，但更注重與先備知識之間的連結性，因此在二次不等式的學習上，更應重視其先備知識，亦即二次函數圖形概念的複習，由此引導至二次不等式的數學概念。. 2.

(21) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 從表徵的觀點來分析，二次不等式與二次函數在代數與幾何表徵分別為：二次不等式的學習在代數表徵上，與因式分解有重要關聯；在幾何表徵上，與二次函數的圖形有重要關聯。因式分解在國中課程已經學過，而二次函數圖形雖然在國中也有學習過，但國中教材強調二次函數的開口方向與頂點位置，二次不等式則是要理解開口方向以及函數圖形與 x 軸交點位置，因此高中教材將二次函數安排在二次不等式的前一章節，來加以說明與複習，並作為二次不等式的重要先備知識；但高職數學安排在高一上的第一章第三節，在此之前完全沒有二次函數的複習課程，致使二次不等式與二次函數兩者相距有一年之久，這也使得高職學生在學習二次不等式時，對於二次函數圖形相關概念的記憶相對薄弱許多。若再加上教師完全依照課本內容教學，未在二次不等式教學之前複習二次函數圖形概念，學生在二次不等式的學習不易學習到代數與圖形不同表徵之間轉移的能力。現行高職工科數學在一元二次不等式的教材編寫上，在表徵的形式上以代數表徵為主，其他表徵形式則少有著墨。以代數運算為主，未能配合其他表徵形式的教學方式會產生什麼問題呢？只著重單一表徵的呈現，會使得學生在表徵連結上產生困難（Kaput，1989）。若學生只能使用代數符號操作，而沒有連結其他外在表徵，則學生或許在計算操作上熟練，但是對於其他表徵形式將無法靈活應用（Diana Steele，2008）。因此，只著重單一表徵的教學方式，容易使學生產生不完整的數學概念。研究者在教學實務中亦發現：在缺乏函數圖形的理解之下，只重視代數表徵操作的教學方式在教學實務上容易產生學生只能學習到解題程序法則，而無法形成完整的數學概念的問題。亦即在解二次不等式的題目時，學生只能使用固定的程序性法則解題，但是並不瞭解為什麼這樣解？不等式的解為什麼在這個範圍內？或是因為忽略課本歸納結果中某些重要前提（例如領導係數 a > 0）而產生解題的錯誤卻不自知。對於二次不等式正定性的問題，不少學生亦只學習到解題程序法則，但並不瞭解其背後所蘊含的數學知識。能夠正確解題的學生，大多是以工具性瞭解（instrumental understanding）的方式，面對恆正恆負型的二次函數，則機械式地套用判別式小於 0 的方式計算解答，但是進一步詢問學生為什麼當二次函數恆為正數時，判別式會小於 0，學生幾乎都無法回答。此現象顯示學生對於二次函數恆為正數（或恆為負數）的瞭解，只有工具性瞭解，而沒有概念性瞭解（relational understanding）。在教學實務上發現，. 3.

(22) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 有絕大多數的學生對於這種恆為正數的問題，存在著解題困難而無法作答；或是會產生因為函數恆為正數，此題似乎跟判別式有關，因而以判別式大於 0 的錯誤方式來解題等錯誤概念。因此研究者希望能夠探究：若是能夠在二次不等式的教學活動中加入二次函數圖形的概念，設計具備多重表徵形式的教學，利用圖形表徵的特點來彌補代數表徵的不足，如此是否能夠促進學生對於二次不等式不同表徵之間的整合，進而能夠利用適當表徵來解題？對於二次不等式解題的正確率是否有正面的助益？這是本文希望能夠透過研究來加以探討的重要問題。. 4.

(23) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第二節. 研究動機. P. Tsamir 與 N. Almog（2001）從表徵的觀點來分析學生在解決關於線性（一次）不等式、二次不等式、分式不等式與根式不等式的研究中分析：學生在不等式的解題策略上大致可以分為代數操作、繪製圖形、利用數線三種表徵形式策略，而研究結果發現：採取繪製圖形策略的學生，答對的比率最高；且採取圖形策略的學生中，有一半的學生懂得合併數線來幫助解決 and、or 等邏輯性的問題。由 P. Tsamir 與 N. Almog 的此研究結果可以看出，學生若能理解多種不同形式的表徵，並學會利用適當表徵來解題，對於解決關於不等式的數學問題，具有較佳的解題表現。在國內對於二次不等式的相關研究中，吳季鴻（2001）針對 321 位公立高中三年級學生所做的研究當中顯示出，學生在做圖形表徵型的二次不等式題目時，出現兩個現象：一是有作答的學生答對率很高，二是此類型題目未作答的比率相對於其他類型的題目，要來得較高。這兩個現象反映出：圖形表徵問題困難度並不高，以至於有作答的學生答對率很高；但大多數的學生卻對於圖形表徵無法理解，導致空白率也高的現象。這也許是由於考試題型的難題大多偏重計算，再加上考試領導教學的效應，教師在教學的時候著重於二次函數的因式分解、公式解等代數表徵的操作，學生亦較能正確處理代數形式的資訊，但對於二次不等式的學習，學生卻只學習到利用代數操作來解題的程序法則，並沒有建立完整的數學概念，進而產生了學生對於二次不等式代數以外的其他表徵無法理解，多重表徵之間無法有效連結的結果。根據研究者的教學經驗與相關文獻，以及國內相關的研究論文指出，學生對於二次不等式的多重表徵之間的轉移，存在許多困難與錯誤（吳季鴻， 2001；陳聖雄，2005）。在現行高職教材中，對於二次不等式的教材編寫方式，大多未能配合圖形表徵整合代數表徵，來解說如何解二次不等式，而是直接由代數操作或配合數線說明不等式解範圍，來解說如何解二次不等式（如圖 1–2）。. 5.

(24) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 圖 1–1 二次不等式解範圍教材編寫方式（摘自工職數學 C，龍騰出版社，2009）. 研究者發現在二次不等式的教學實務上，經過教師解說課本內容，並進行類似題型的練習，但並未配合二次函數圖形解說二次不等式解範圍的意義，在此形式的教學活動之後，學生在解二次不等式的表現上，容易產生錯誤概念。以下列兩種類型的問題為例：問題一：對於領導係數為負之二次不等式容易產生系統性錯誤。例如：題目：(x+3)(x–7) < 0 解答：因式分解之後小於 0，故解在–3 與 7 之間，解為–3 < x < 7 。這樣的解題過程與答案均正確，但學生對於下列類型題目，亦會使用類似的程序處理，產生錯誤卻不容易發覺：題目：(x+1)(4–x) < 0 解答：因式分解之後小於 0，故解在–1 與 4 之間，解為–1 < x < 4 。. 問題二：無法處理二次方程式有重根或無實根的情況。例如：題目一：x2 – 2x + 1 > 0 解答一：最後學生的答案常是「x > 1」或者「x >1 or x < 1」兩種。題目二：x2 + x + 1 > 0 解答二：學生的解題過程大多是：因為 x2 + x + 1 = 0 無實數解，故此題無解。. 6.

(25) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 這兩種類型的問題，探究其根源，均是由於學生對於二次不等式的概念只有程序法則的記憶，而沒有數學概念的理解，更無法整合圖形表徵來解二次不等式的問題，因此容易產生解題錯誤與困難。又例如對於處理二次函數正定性的問題，高職教材常以歸納方式編寫：. 圖 1–2 二次不等式正定性教材編寫方式（摘自工職數學 C，龍騰出版社，2009）. 在缺乏函數圖形理解的情況之下，這樣的說明容易造成學生將歸納結果視為判別式正負充分條件的錯誤概念：. 圖 1–3 判別式與不等式錯誤連結圖. 7.

(26) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 對於二次不等式的教學未能配合二次函數圖形，在教學實務上發生的問題，還有學生無法靈活運用二次不等式各種表徵。在研究者針對高中二年級 111 位學生，以二次不等式紙筆測驗方式進行的前導性研究中發現，學生在二次不等式的解題策略上，表徵運用十分單一且僵化，亦即無法適當地運用不同表徵來解決問題。例如學生面對下列問題時，其解題情況如下所述： a.已知 x2 + bx + c = 0 有兩個解 3,5，求 x2 + bx +c > 0 的解。這個題目若是能夠以圖形表徵來解題，則事半功倍，由方程式兩根配合領導係數，畫出二次函數的略圖，從圖形中即可得出，函數大於 0 的解即為 x > 5 或 x < 3。但是當學生在解此題時，答題者中卻有 83％學生採取代數策略來解題！亦即先將兩根代入方程式，將方程式解出後，再做因式分解，從分解式中求出不等式的解。為了要瞭解學生究竟是否受到題目的文字敘述方式影響，因此設計了下題來做比較。 B.已知(6,0)、(1,0)兩點在拋物線 y = 2x2 +bx +c 的圖形上，求 2x2 +bx +c < 0 的. 解。此二題可以說是意義相同的題目，只是在後者敘述上有較為強烈的圖形表徵字眼（點、拋物線、在……的圖形上）。測驗結果相當耐人尋味，學生在解 B 題時，果然有較高比例的學生試圖將(6,0)、(1,0)兩點在 x 軸上標出來，但是畫完函數圖形之後，卻依舊以（與 a.題）相同的代數操作模式來解題。此題以代數策略解題的比例，與前一題幾乎完全相同（在答題者當中以代數策略解題比例，A 題 83％，B 題 84％）。這顯示出學生對於圖形表徵的理解存在困難，否則不應捨棄較為便捷迅速的從圖形表徵中解讀出不等式的解，反而採用較為繁瑣複雜的代數運算來解題。研究者欲瞭解學生的問題是否真正出自於無法理解二次不等式的圖形表徵，因此設計了 C 題來測驗學生：. 8.

(27) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. C.圖為二次函數 y = f(x)的圖形，求 f(x) < 0 的解。. 此題設計的目的是在探究學生是否能夠從二次函數圖形中，解讀出二次不等式的解範圍，測驗結果只有 12％的學生可以答對，而且其中有 13％的學生嘗試使用求出二次函數，再因次分解，最後求出二次不等式解範圍的繁複代數操作方式，以得出解答。此結果顯示有很高比例的學生對於二次不等式的圖形表徵無法理解與應用，因此無論面對何種類型的題目，均傾向使用代數操弄來解決問題。 Vinner（1983）對於抽象概念的認知結構，主要有兩種元素，即概念心像（concept images）與概念定義（concept definition）。而概念心像又可分為心智圖像（mental pictures）與概念屬性兩個部份。一般初學者解題時所應用的是概念心像而非概念定義（Vinner & Hershkowitz, 1980）。因此，若能以圖形表徵建立學生對於二次不等式的概念心像，進而結合代數表徵、數值表列表徵等，應更能幫助學生建立對於二次不等式初始的認知。根據研究者的教學經驗，在教導二次不等式這個單元時，學生所接觸的教學內容絕大多數是以代數表徵呈現，也許是由於考試領導教學的緣故，由於在升學考試中，題目的形式大多以代數表徵形式出現，因此教師在教學的時候，有很長比例的時間亦是以代數表徵來進行教學活動。因此學生對於圖形表徵不熟習，因而產生了對於題目以圖形形式來呈現時，大多數學生無法讀取出正確且足夠的資訊用以幫助解題；也因為對於圖形表徵的不瞭解，亦無法利用圖形. 9.

(28) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 表徵的優點，適當運用以解決數學問題。因此，學習不同表徵之間的轉換，是數學教學中不可或缺的一環（Kaput，1989）。因此，如何設計適當的多重表徵形式的學習環境，是本文的研究問題之一。由於電腦科技日益發達，資訊融入教學的困難度也日漸降低，許多學科均利用電腦軟體來設計適當的多媒體輔助教材，來輔助教師教學，也幫助學生學習。依據動態幾何學習理論來分析，學生在動態鏈結多重表徵環境中學習數學概念，其所接觸到的訊息，以及產生的學習行為與思維，與傳統講述環境有很大不同，兩者的不同是否會造成學習成效的差異？本文將嘗試改變高職數學在二次不等式的教學方式，以多重表徵形式來呈現二次不等式的教學內容，並研究在動態鏈結多重表徵的學習環境下學生學習二次不等式的結果，是否較能整合不同形式表徵，進而以適當表徵形式來解決問題，以期能提出對於二次不等式的教學更具體且實用的建議。. 10.

(29) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第三節. 研究目的與研究問題. 學習是個體對於事物經由認識、辨別、理解，從而獲得新知識的歷程。而在這樣的歷程中，個體所得到的思維方式，即是所謂的認知結構（張春興， 1999）。本研究將從表徵的觀點，來探討學生對於二次不等式的表徵認知結構。從數學結構來分析，學生對於二次不等式的認知結構包含二次多項式、二次函數、二次方程式等先備知識，加上對於不等式解的意義的理解，成為一元二次不等式的認知結構。本研究目的之一即在於瞭解學生對於二次不等式的表徵認知為何。除了了解學生對於二次不等式的表徵認知外，由於現今高職對於二次不等式的課程編排，並未設計二次函數圖形的複習課程，因此研究者期望能針對二次不等式設計多重表徵環境的教學，將代數式、圖形、表列等表徵整合在教學活動之中。並探討動態鏈結多重表徵的學習環境其學習成效，期望能夠對於二次不等式的教學設計，有更具體且更實用的助益。對於學生在二次不等式的學習，雖然在國內有幾份相關的論文研究，探究學生在學習過程中所產生的錯誤概念，但是多數相關研究均偏重在於代數表徵的錯誤類型分析，並未對於圖形等其他表徵與代數表徵的整合問題深入研究。除此之外，研究結果亦停留在分析學生容易出現的迷思概念，對於如何補救多未做著墨。對於不等式的研究，Luciana Bazzini 與 Pessia Tsamir 兩人在 28th PME（2004）中提出，研究不等式的六個重要議題為： 1. 學生對於不等式的概念為何？有哪些典型的正確或錯誤推論？有哪些常見的錯誤？ 2. 學生錯誤解法的可能原因為何？ 3. 有哪些理論架構可以用以分析學生對於不等式代數式的推論？ 4. 在促進學生的理解上，教師、教材、不同的表徵形式、科技，究竟扮演什麼樣的角色？ 5. 對於教授不等式的單元，有哪些值得發展的教學方法？我們可以建議的課程改革方向為何？. 11.

(30) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 6. 對於不等式，是否存在能包含個別性理論的整體性的理論？因此，研究者參考此六大議題，依據表徵理論與動態幾何教學理論，設計多重表徵學習環境，來進行二次不等式的教學。並以動態鏈結多重表徵與傳統講述兩種不同的教學方法來呈現，比較學生解題的表徵策略、表徵運用的豐富性、答題答對率等，是否有所差異。因此，本研究的研究問題主要有三：. 1. 學生對於二次不等式的表徵認知為何？ 2. 如何建構動態鏈結多重表徵之二次不等式的學習環境？ 3. 在動態鏈結多重表徵環境學習下，學生是否較能有效整合不同表徵解決問題？. 12.

(31) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第二章. 文獻探討. 研究者希望能夠瞭解，學生對於二次不等式的表徵認知，並探究學生在動態鏈結多重表徵環境下學習二次不等式單元的成效究竟為何，因此欲分析學生在動態環境與講述環境中學習二次不等式的結果，學生整合二次不等式各種形式的表徵方式，以適當的表徵方式來解決問題的能力是否有所差異。因此以 Lesh、Janvier、Kaput 等人所提出的表徵理論為基礎，來說明表徵理解與運用能力與數學學習之間的關係；以 Hiebert 提出的概念性知識與程序性知識，以及 David Tall 提出的過程概念，來分析學生的解題思維；並以動態幾何學習理論，來作為教學活動設計的理論基礎。. 第一節. 二次不等式相關研究. 關於二次不等式的相關研究，國內的研究大多為針對學生二次不等式的運算錯誤或迷思概念的所作的研究，其研究對象包含高中與高職學生，研究主題均為一元二次不等式的錯誤類型、錯誤產生原因，以及對於二次不等式錯誤概念的研究，茲歸納分析如下：陳彥宇（2008）在針對高雄市三所綜合高中三個年級的 469 名學生，其自編的一元二次不等式評量的測驗中所得出的結果指出，學生錯誤人數超過 10％的最顯著錯誤類型有四類： 1. 不等式求解過程計算的錯誤 2. 兩項積符號所引發的錯誤 3. 解概念的錯誤 4. 題目文字圖形轉譯的錯誤研究中並分析造成學生錯誤的原因，其中非理解性的記憶與文字圖形轉譯能力不足，為其中的兩項。此結果顯示學生只學習到解題的程序法則，不瞭解其蘊含之數學意義，以及學生對於不同表徵之間的轉移能力不足，是造成二次不等式解題錯誤的主要原因。本文欲深入分析，學生對於二次不等式的代數式、圖形、表列三種表徵，其理解情況與轉移的能力為何？學生是否存在熟習與不熟習的表徵轉移模式？. 13.

(32) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 張淑蘭（2008）針對嘉義市一所國立商職一年級兩個班級 73 位學生所作的一元二次不等式概念測驗，其研究結果發現： 1. 學生的錯誤類型主要有：使用錯誤的消去法、錯誤推廣、將不等式兩邊任意同除以未知數、公式解記錯、無理數的計算認知有誤、因式分解錯誤、不等式開方錯誤、亂猜的方式作答、計算化簡錯誤、對公式解或配方法的使用不熟悉、移項錯誤、忽視絕對值符號、只將絕對值不等式的其中一邊平方。 2. 錯誤發生的原因有：先備知識不足、對『解不等式』的真正意義沒有概念、無法將解的範圍以不等式表示、教師教學的影響、粗心問題、將方程式的概念錯誤推廣到不等式。張淑蘭並針對二次不等式的圖解法解題策略，做了錯誤原因的分析，結果學生在二次不等式圖解法的錯誤類型可歸類為八大項： 1.. 無法將圖形與題意結合，缺乏這類的數學能力。. 2.. 無法利用已知的圖形解決問題。. 3.. 不清楚判別式的正負值與 x 軸的交點個數有關。. 4.. 缺乏理解的能力，常以死背的方式學習數學。. 5.. 一元二次方程式與一元二次不等式的概念混淆。. 6.. 忘記如何畫出二次函數的圖形。. 7.. 直觀、猜測的方式作答。. 8.. 對於數學仍是習於計算，而較不習慣思考。. 張淑蘭對於二次不等式圖解法的研究結果，與本文前導性研究的結果相同，顯示學生對於二次不等式圖形表徵的不瞭解，極可能不只是少數學生的問題。的分析中提及：學生無法將圖形與題意結合、無法利用已知圖形解題、不清楚判別式的正負與 x 軸交點個數有關、不等式與方程式混淆、忘記如何繪製二次函數圖形等，均與本文欲探究的問題：高職學生對於二次不等式的學習困難與錯誤概念為何？學生對於不同形式的表徵彼此之間轉移的能力為何？吳季鴻（2001）對 321 位公立高中高三的學生做過關於二次不等式運算錯誤類型的研究，結果發現學生容易產生七種類型的錯誤：. 14.

(33) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 一、. 因式分解錯誤. 二、. 錯誤的運算規則. 三、. 同號、異號的處理錯誤. 四、. 變號的處理錯誤. 五、. 恆正、恆負的判斷錯誤. 六、. 將領導係數當作正數處理. 七、. 將「無解」與「無限多解」概念做過度推廣. 研究結果發現：學生在「利用作圖法解一元二次不等式」中的「答題者答對率」與「空白率」均相當高。顯示學生在這方面的學習呈現兩種特殊情形： 1.圖形與不等式的解連結正確者，答對率相當高。 2.大多數學生無法連結圖形與不等式的解。此結果顯示學生對於圖形表徵的理解程度較低，但對於圖形表徵可以理解的學生，則可以利用圖形表徵所蘊含的意義，解讀出不等式的解，且答對率相對於使用其他表徵來得更高。此結果與 P. Tsamir and N. Almog 在 2001 年針對不等式所作的研究結果不謀而合。Kaput（1989）亦曾經表示，相對於代數與數值表列，圖形表徵是一種較佳的表徵方式。圖形表徵較離散的數值表列來得連續且完備，又比代數表徵來得容易解讀，這是否意味著學生若能具備整合圖形表徵與代數表徵能力者，在二次不等式的解題上會有較佳表現？本文將嘗試以整合代數、圖形、表列等多重表徵的教學方式，來進行二次不等式的教學，並探究在動態鏈結環境下的學習，學生是否較能整合多重表徵用以解題，是否有較高的答對率。陳聖雄（2005）針對高一學生所作的一元二次不等式迷思概念的研究中指出，學生容易犯下的錯誤類型則有以下九種： 1. 任意開方 2. 變號處理錯誤 3. 任意平方 4. 將領導係數當成正數處理 5. 產生虛數比大小的謬誤 6. 過度使用無解的概念. 15.

(34) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 7. 不會由二次函數圖形直接看出一元二次不等式的解 8. 無法判斷恆為正數或恆為負數的充要條件 9. 認為不等式只包含整數的情形造成這些主要錯誤類型的原因可分為下列六類： 1. 將先前學習過的知識作錯誤的類推 2. 受到老師教學口訣、教材編排、及不當記憶公式的影響 3. 先備知識不足 4. 無法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正確的聯結 5. 對不等式的運算邏輯不清楚 6. 受到直觀的影響陳聖雄以 PowerPoint 為工具作一元二次不等式的動態圖解教學，並搭配以 Visual Basic 程式所撰寫的二次函數繪圖軟體的動態圖形展示，進行二次不等式的補救教學。補救教學確有其成效，每位學生在後測的答題的答對率比起前測時均提高，且參與的學生其主要錯誤類型犯錯次數大致上獲得相當程度的改善，特別是「不會由二次函數圖形直接看出所對應之一元二次不等式的解」及「產生虛數比大小的謬誤」的錯誤類型，學生的犯錯次數已大幅降低。而由延後測各小題答題答對率、個人答題答對率、錯誤類型的變化和學生在後測的表現差異不大，顯示補救教學活動具有一定程度的保留。陳聖雄的研究結果指出，以動態函數圖形展示的環境所進行的補救教學，在答題的答對率上，確實有所幫助；對於學生理解二次不等式的圖形表徵，更是有明顯的助益。本文欲以動態鏈結多重表徵的環境來設計教學，並比較在此環境下學習的學生，其表徵整合能力是否優於在傳統講述環境下學習的學生表現。總結以上對於二次不等式的研究結論，學生對於二次不等式的錯誤類型與錯誤發生的原因，將相同或類似的原因加以合併，可以歸納出這樣的結果：一、. 二次不等式的錯誤類型. 1. 計算錯誤等疏忽 2. 答案包含複數 3. 答案只有整數 4. 將不等式當作方程式的錯誤 5. 不等式運算規則的錯誤. 16.

(35) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 6. 二次不等式正定性的錯誤 7. 不同表徵間轉移的錯誤. 二、. 二次不等式的錯誤發生原因. 1. 非系統性的疏忽 2. 受到直觀法則影響 3. 程序性知識所產生的錯誤 4. 不瞭解方程式與不等式的差別 5. 不瞭解不等式的運算規則 6. 不瞭解不等式解的意義 7. 不瞭解二次不等式正定性的意義 8. 無法整合不等式的圖形與代數表徵. 從這幾份研究結果中可以看出，學生對於二次不等式產生的錯誤與不等式解的意義、不同形式表徵的整合、二次不等式正定性的理解，均有很高的關聯性，但國內對於學生學習二次不等式的研究，大多著重於錯誤類型的歸納，卻未能深究其錯誤發生之原因，是對於表徵的理解不足，還是對於不同表徵之間的轉移能力不足所致。因此，本文欲探究學生對於二次不等式的表徵認知，並針對高職學生學習二次不等式，設計一套以多重表徵方式呈現的教學活動，深入探究學生在教學活動之後，對於二次不等式的表徵整合情況究竟為何，從學生作答的表徵運用情況與訪談資料中，深入分析學生在二次不等式所產生的錯誤、困難，與二次不等式表徵理解和運用之間的關聯。根據 P. Tsamir 與 N. Almog（2001）分析學生在解決關於線性（一次）不等式、二次不等式、分式不等式與根式不等式的研究中，學生容易犯下列五種類型的錯誤：一、. 忽略棄卻值。. 二、. 邏輯符號運用的錯誤。. 三、. 不等號兩邊同時乘除非正的數值。. 四、. 將乘積的正負與因數的正負做錯誤連結。. 五、. 將不等式當作等式來解。. 17.

(36) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 在這份研究中，研究者將學生的解題策略分為代數操作、繪製圖形、利用數線三種形式來加以分析，結果發現採取繪製圖形策略的學生，答對的比率最高（P. Tsamir, N. Almog，2001）。這樣的結果顯示出，在二次不等式這個數學單元中，若是學生能夠具備整合不同表徵的能力，在解決二次不等式數學問題上，遠較只具備在相同表徵之中轉換能力的學生，表現要來得更佳。本文亦將探討，學生在動態鏈結多重表徵環境下的學習，是否較能學習整合不同表徵的能力？其解題答對率，是否如同 P. Tsamir 等人所做的研究一般，具備整合多重表徵能力的學生，會有較佳的表現？. 18.

(37) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第二節. 數學概念的多重表徵. 數學概念是抽象的，它需要藉助各種不同形式的具體文字、符號、語言等，來闡明其真正所蘊含的觀念與想法。教導者與學習者之間亦需要透過具體的文字符號，來表達或溝通抽象的數學概念。Kaput（1989）認為，文字符號與數學概念的關係，應定義為表徵（representing）與被表徵（represented）。 Lesh（1987）從文化的觀點討論表徵，他認為表徵不僅是個人心智活動的材料，而且是一種文化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識。因此，數學概念的表徵方式，對於學習者在形成數學概念的歷程中，扮演一個相當重要的角色。能夠用一個適當的記號（notation）來表徵我們所學習到的概念，是學習的一個基本要件。（陳霈頡、楊德清，2005）表徵主要有三個功能與特色：不同表徵具有互補角色、不同表徵有其意義解釋上的區隔與限制、不同表徵可以建立對於觀念的深度瞭解。（Ainsworth， 2004）互補角色意指不同表徵蘊含不同的歷程與不同的資訊，影響歷程的因素包含不同的使用者所造成的個別差異，或採用的不同的學習策略所導致，抑或是由於解釋概念的課題不同，而採取較佳的表徵方式來說明歷程；不同的表徵有本身內在條件的限制，或是因某一表徵限制另一表徵的意義解釋；表徵對於解釋概念上，具有建立深度理解的功能：可以說明抽象的概念、發展擴展的網絡，建立與其它觀念之間的關聯性。. 19.

(38) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 圖 2–1 表徵功能圖（摘自 Ainsworth, 2006）. 在數學學習的領域內，對於表徵方式的分類，有許多不同的看法。例如 Lesh et al. （1987）認為在數學概念的學習上，表徵類型可分為五類，而對於這五種表徵類型，學生除了學習各個表徵所蘊含的意義外，亦須具備不同表徵之間轉移的能力。 Lesh et al. 所歸類的表徵方式有書寫符號表徵（ algebraic formula ）、口說語言表徵（ verbal description ）、圖形影像表徵（ graph & images ）、具體操作表徵（ mechanical manipulation ）、具體事物經驗表徵（relation of variables）等五個類型（如圖 2-2）。. 圖 2–2 Lesh 表徵連結圖. 20.

(39) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. Janvier（1987）則是根據研究所得提出，數學概念的表徵方式應分為物件、語言描述、表列、圖形、式子等五種。Even（1990）主張函數概念與許多表徵有關，例如表列、集合映射圖、有序數對、圖形、式子、所描述的變數、情境產生的學科與現實世界等。但無論對於數學概念的表徵方式分類方式有何差異，專家學者均認為一個數學概念具有許多不同面向，不同面向需要不同表徵方式，才做最適當的呈現，單一表徵往往無法表現出一個數學概念的所有性質。Even（1998）表示，各種表徵的知識並不是相互獨立的，以不同方式處理數學概念的相關知識、處理表徵脈絡的相關知識、使用符號的相關知識，這三者是緊密連結的，但知道一種表徵，未必能夠理解另一種表徵。 Kaput（1989）提出，函數最主要的三種表徵形式為代數式、圖形、表列。這三種表徵形式各自有其優點與缺點：表 2–1 表列、圖形、代數式三種表徵的優缺點比較. 優點表列  提供了圖形參考來源，也提供方程式的一些數值  可幫忙解決圖形或相關經驗所產生的誤解圖形  統整兩個數到一個點，藉由比較點與點來說明兩數對的關係  圖形可以是一個概念實體，然後用來推理  圖形可以蘊含許多先前的知識，具有豐富的內涵  全部的量會自動對應代數  精簡且準確地說明二元關係式  包含了程序性知識  參數蘊含了概念性知識. 缺點  僅將有限點自動對應  難看出二元關係之間的變化與不變性 . 從日常生活經驗得來的視覺知識與推論過程在座標圖形的內容中會產生誤解，圖形或圖形的相關經驗可能誤導座標化圖形的內容. . 對於定義域及值域的變化非明顯可觀察到的. 林保平（2008）在針對科技融入數學教學的文章中提到，函數的主要三種表徵形式：代數式、表格表列、圖形，各自有其特性與性質。表格數列表徵強調函數的對應性質，圖形表徵展示函數整體的呈現，代數式表徵是符號運算式的表徵。學生函數概念的發展也是透過對應關係、逐漸進化到圖形呈現，並連結到代數呈現的領域。探討這些表徵之間的關聯性也是數學學習的重要議題。 Janvier（1987）指出，學生無法對函數的不同表徵作適當連結，將造成學習的障礙。並主張對於一般化、抽象化、證明及符號的研究，若能採用基本變換的觀點，則會更有意義。因此，本文對於二次不等式（包含二次函數）的表. 21.

(40) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 徵形式，以代數式、圖形、表列三種形式，將二次不等式依照其數學結構來分析學生的表徵理解情形與運用能力。 Lesh at al.（1987）以學生學習分數概念為例，提出他們的想法。他們認為，學生對於分數的瞭解必需要能做到： 1.能從不同表徵系統中辨識出此觀念 2.能在給定的表徵系統中彈性地操弄概念 3.能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉移能做到這三個部份，才能算是對於分數的數學概念有完整的理解。同樣的觀點套用在解二次不等式的學習上，我們可以說，學生要能夠做到： 1. 從代數式、表列、圖形等不同表徵系統中辨識出二次不等式的解 2. 能在給定的表徵系統中彈性地求出二次不等式的解 3. 能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉移能做到這三個部份，我們才能說學習者對於解二次不等式的概念有完整的理解。NCTM（1989）也建議中學生要採用複合性的外在表徵來靈活思考。因此本文期望能夠探究高職學生對於二次不等式的表徵整合能力，亦即高職學生是否能夠整合不同形式的表徵，並以有效率的、適當的表徵方式，來解決關於二次不等式的問題。國內對於一元二次不等式的相關研究中，亦有一些關於表徵的研究結果，例如學生無法在文字與圖形之間順利轉譯（陳彥宇，2008）、學生不會由二次函數的圖形中直接看出二次不等式的解（吳季鴻，2001；陳聖雄，2005）等，均指出學生在二次不等式所犯的錯誤，其原因是由於代數式表徵和圖形表徵之間的轉移能力不足所導致。因此，本文欲從表徵的觀點，來分析學生對於二次不等式的表徵認知。分析學生對於二次不等式的代數式、圖形、表列三種不同表徵，其理解與使用的能力，以及不同表徵之間轉移的能力。並探討在動態鏈結多重表徵環境下進行學習，學生是否較能夠整合二次不等式各種不同形式表徵，懂得採用適當的表徵方式以解二次不等式的相關問題。. 22.

(41) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 數學概念是抽象的，因此必須了解學生如何建構知識，才能由此來設計適當的教材與教學，幫助學生建構出完整而正確的數學概念。筆者與專家（大學教師、碩博士研究生、資深教師）研究之後，依據二次不等式所蘊含的學科知識本質，將二次不等式的認知結構分解為四個部份：函數的意義、不等式解的意義、解二次不等式、二次不等式的正定性。其中，解非恆正恆負型的二次不等式，歸類為解（一般型）二次不等式；解恆正恆負型的二次不等式以及相關的性質，歸類為二次不等式的正定性。四個部份的數學結構分別探討學生對於代數、圖形、表列數值等不同表徵的理解情況與運用能力。（如圖 2-3）. 圖 2–3 二次不等式的表徵認知圖. 23.

(42) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第三節. 概念性知識與程序性知識及過程概念. 所謂的概念（concept），何謂概念？韋氏辭典（Webster’s Seventh New Collegicate Dictionary, 1963）解釋：概念為在心中所接觸的一些事物，從特殊例子所一般化抽象的想法。對於數學概念，Vinner（1983）認為數學概念的認知結構，可以由概念心像（concept image）與概念定義（concept definition）兩個部份所組成。概念定義是能夠以正確且非循環式的方法來解釋概念的方式，其表現方式常以文字或語意來呈現。概念心像又可分為心智圖像（mental picture）、性質與運算（properties and process）兩個部份。心智圖像泛指任何可以視覺化的表徵，包含實物、圖形、符號、代數式等等。性質與運算意指此概念所具備的特殊性以及可加以操弄的方式。Vinner & Dreyfus（1989）在及調查大學生與中學數學老師所擁有的函數概念心像與概念定義中指出：受試者雖然能給予函數下概念定義，但在判別例子是否為函數時，卻往往使用概念心像，亦即受試者的概念定義與概念心像兩者之間常有分岐之處。由 James Hiebert 於 1986 年所提出的概念性知識（concept knowledge）與程序性知識（procedure knowledge）來分析學生的認知結構，兩者雖均是學習者對於訊息轉換為知識的建構方式，但是無論是建構的方式或是所具備的性質，兩者均有很大的差異，茲分析如下：概念性知識可以視為一種知識的連結網路，將一些離散的知識片段連結起來，連結遍及所有的知識個體，所有的知識都得以連結在網路當中。其最大的特徵即是富有關聯性，所有的知識片段必定與網絡中的至少一個其他知識片段之間有關連。以二次不等式解的概念為例，本文所欲設計的教學活動，不等式解的概念發展由二次函數圖形而來，而二次函數圖形要發展出不等式解的概念，又與二次項的係數（影響拋物線開口方向）、二次方程式的根（影響函數圖形與 x 軸交點位置）、判別式的正負性質（影響函數圖形與 x 軸交點個數）有關。其概念的發展如圖 2–4。每個知識片段都應至少與另一個知識片段之間存在關聯，形成一個大型的知識網絡，此即為本文所稱二次不等式解之意義的概念性知識。. 24.

(43) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 代數表徵二根α、β 判別式正負與根的個數關係. 代數表徵係數a. 代數表徵判別式D. 與x軸交點位置. 拋物線開口方向. 與x軸交點個數. 二次函數圖形. 解讀不等式的解. 二次不等式的解圖 2–4 二次函數圖形與二次不等式的解之概念網絡圖. 概念性知識的個體是無法獨立的，只要認清它與其他訊息之間的關係，它就算是概念性知識的一部分。概念性知識的發展是根據訊息之間關係的建構，這種連結的過程可能發生在兩個已經在記憶體中的訊息片段之間，也可能發生在已存在的知識片段與新學的知識片段之間。（Hiebert，1986）在數學知識的建構上，以先備知識為基礎，幫助學生瞭解新知識與舊知識之間的關聯性，將新知識融入知識網絡中，此即為關於新數學知識的概念性知識。程序性知識則與概念性知識不同。程序性知識由兩個部份所組成：第一是數學的形式化語言與符號表徵系統，例如多項式的係數、文字符號等，就是屬於符號表徵系統。第二是數學工作所需要的運算邏輯與規則。學校數學的學習，絕大部分的程序輸入與輸出都是視覺上的符號型態（Hiebert，1986），這也稱為「視覺管理順序」（visually–moderated sequence）每一個步驟的運算，都是以符號表徵的形式來呈現。而程序性知識的運算邏輯與規則，則是一步一步的，按照一定順序的步驟以完成作業的知識。例如將 x2 + 6x –2 轉換成 a(x+h)2 +k 配方式的樣式，其轉換過程如下： x2 + 6x – 2 = (x2 + 6x) – 2 = (x2 + 2．x．3) – 2 = (x2 + 2．x．3 + 32) – 2 – 32 = (x + 3) 2 – 2 – 9 = (x + 3) 2 – 11 25.

(44) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 概念性知識與程序性知識最主要的差別在於：概念性知識是一個網絡，所有的知識片段之間都有關連，或是有可以通達的路徑串連起來；而程序性知識則是一種具順序性的產程知識，如果要完成需要 n 個步驟，那麼在此之前就是要做第 n–1 步。所以程序性知識是「知道如何做」（know how），而概念性知識則是「知道為什麼這樣做」（know why）。學生對於數學概念的學習，如果停留在程序性的理解，那麼一旦缺乏足夠的練習，很容易就會遺忘或產生錯誤；再者，程序性的知識彼此之間是離散的，對於學習者而言，學習負荷亦較重（Hiebert，1986）。Steinberg, Sleeman, & Ktorza 在 1900 的研究亦指出，學生在學習代數時，大多以機械化的方式來列出解題式子，但是並不真正了解式子的結構與意義。亦即學生對於解題的所需的數學知識大多以程序性法則來處理，對於解題的數學知識亦以程序性知識來理解，並沒有建立解題過程中所運用的數學觀念的概念性知識。 David Tall(2001)等人提出過程概念（procept）理論，說明符號(symbol)扮演介於進行的程序(processes to be carried)與思考的概念(concepts to be thought about)之間切換樞紐的角色。好比是旋轉門軸一般，可以在程序性知識與概念性知識之間轉換。例如「2 + 3」，計算加法運算(addition)得到 5 的結果為程序性知識，將「2 + 3」視為和(sum)則為概念性知識。一個符號同時具有程序性與概念性知識，結合成為過程概念(precept)如下圖：. 圖 2–5 符號具有程序性知識與概念性知識. 典型傳統的符號數學概念的發展，是由程序步驟(Procedure)進展到過程 (Process)，進而發展出過程概念(Procept)（如圖 2–6）。學習者反覆練習一個步驟（例如因式分解），可以幫助其正確地處理一些典型的問題。熟練了一個或多個相關步驟（進入過程 Process 階段），學習者可以更靈活並有效率地解題。當學生對數學符號發展出過程概念(Procept)時，表示該初學者能掌握此一數學符號背後所隱含的運算過程（熟練計算），而且能瞭解其數學意涵與概念，並能視情況需求而在程序與概念之間作切換。然而初學者的符號數學概念發展並非是單純線性成長關係（procedual→conceptual→proceptual），而是在過程與概念之間來來回回地修正，最後才形成穩定的過程概念。. 26.

(45) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 圖 2–7 過程概念的發展過程. 以解二次不等式為例，學生由一般式（ax2+bx+c > 0）轉換為分解式（a(x– α)(x–β) > 0）的過程（因式分解），即為一種 procedual；由代數分解式轉移至函數圖形，亦為一種 procedual；由函數圖形中解讀出不等式的解，是另一 procedual。而這些 procedual 所形成的集合，即為 process；所有 process 可形成一種解二次不等式的概念性知識 procept。 ax2 + bx + c > 0  a(x–α)(x–β) > 0. （因式分解）.  （畫出略圖）  解為 x <α或 x >β. （解出二次不等式）. 筆者欲設計針對二次不等式的動態鏈結多重表徵形式教學活動，並探究高職學生在此環境下的學習，結果是否較能整合不同形式的表徵，並靈活運用以解決關於二次不等式的問題，其中包含了探究學生解二次不等式的解題策略隱含的數學概念與程序法則。比較在動態鏈結學習環境與傳統講述學習環境中學習，學生對於二次不等式的過程概念是否有所差異。. 27.

(46) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 第四節. 動態幾何學習理論. 訊息處理理論（informational–processing theory）說明，人在與環境的互動中，會主動選擇甚或操縱環境，進而從中獲得知識。這樣的互動過程是一個複雜的內在心智活動歷程，這樣的歷程稱之為訊息處理歷程。（張春興，1999） E. Silver（1987）、A. Schoenfeld（1992）（摘自左台益，2006）訊息處理歷程主要分為訊息接收、編碼處理、解碼提取、反應四個階段。這四個階段並非直線進行，在中間的歷程中會有一些不同的路徑，以圖示分析如下：. 圖 2–8 訊息處理歷程圖. 環境中的刺激包含所有能夠影響個體感官，進而使之產生反應者，人的感官（眼、耳、鼻、口、皮膚等）接收到刺激之後，將訊息傳達至大腦中。但是由於環境的刺激相當多，所以個體並不會將所有的刺激全部接收，而是依據自身的動機、喜好、需求、經驗等因素，選擇性地做感官收錄（ sensory register），其他的便遺忘。個體決定處理某個訊息之後，便會將該訊息編碼（encoding），並收錄到短期工作記憶區（short–term and working memory）內。短期工作記憶區接收到訊息之後，除了立即做出反應之外，也會從長期記憶區（long–term memory）中提取資訊，解碼之後再加以反應。儲存在長期記憶區中的知識，分為敘述性知識（declarative knowledge）與程序性知識（procedural knowledge）。敘述性知識是指物體、事實、理論、事件等，關於事物本身的知識，組成的元素包含了命題（propositions）、心像. 28.

(47) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. （images）、線性規則（linear orderings）、基模（scheme），屬於靜態的知識，容易學習且容易修正。程序性知識則是關於事情應該怎麼做的知識，組成的元素包含了生產法則（productions）與生產法則系統（production system），屬於動態的知識，較難以學習且較難修正。敘述性知識與程序性知識的差異也說明了，為什麼學生要修正原有錯誤的觀念與迷思，常常要比要學習新的名詞、新的觀念要來得困難許多。由 Paivio 提出的雙碼理論在於說明個體處理訊息的運作過程。認為個體的心智結構可分為語文表徵（verbal representation）與非語文表徵（nonverbal representation）兩種。當個體接收到語文的刺激時，與腦中原有的語文表徵連結，而後做出反應的過程，此即為語文歷程（verbal process）。同樣地，當個體接收到非語文的刺激，與腦中原有的非語文表徵連結，而後做出反應的過程，稱為心像歷程（imagery process）。語文歷程與非語文歷程之間可以彼此參照，稱為參照歷程（referential process）。而在不同的歷程之間可以重新組織、轉換，稱為組織變換歷程（organitional/transformational process）。. 圖 2–9 雙碼理論訊息運作圖. 在數學領域中，對於個體的刺激方式包含不同形式的表徵，例如代數式、圖形、表列、語意敘述等。依據訊息處理理論與雙碼理論，若是教師在教學活動中可以提供語文表徵的刺激（例如代數表徵）以及非語文表徵的刺激（例如圖形表徵），並配合軟硬體設施（例如電腦與動態幾何軟體），設計出一個具備多重表徵刺激的環境，是否能夠幫助學生學習整合二次不等式的多重表徵，這正是本文所欲探討的問題之一。. 29.

(48) 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究. 有不少針對電腦融入教學的研究，得出電腦在數學教學中，確有其特別優勢的類似結論（左台益、蔡志仁，2001；黃瓊誼，2005；張敬楷，2006；陳聖雄，2005）。左台益、蔡志仁（2001）的研究中提出，電腦教學環境配合認知理論，使電腦教學環境進入了一個更利於思考與提昇學習的境界。電腦環境可以達到下列功能： 1. 引起學生注意的功能 2. 激發學生學習動機 3. 發揮個別教學的功能 4. 具有前導組體的功能 5. 降低認知的負擔. 張敬楷（2006）的研究中則分析，電腦對於數學教育的影響主要有以下三點： 1.電腦能將數學概念、數學定義以圖像、影音方式呈現出來。 2.電腦可將數學概念與關係具像化（reification），並鏈結轉換不同的表徵，使得個體可以直接操弄數學物件與關係。 3.提供強大的計算能力與繪圖能力。. Tso（2001）提到在學習環境中，學習者往往透過反思行動以形成抽象概念。而連結多重表徵系統的電腦學習環境不僅可以豐富概念性的表徵，也可以重新組織認知結構，並產生新的表徵。故設計動態連結多重表徵的學習系統，應增強外在表徵，提供訊息與操作以進行反思行動，建構之內在表徵能在反思行動中重新提供訊息與認知操作。Tso 所提出的動態連結多重表徵之學習環境設計關係如下圖。. 30.