數學概念的多重表徵

數學概念是抽象的，它需要藉助各種不同形式的具體文字、符號、語言 等，來闡明其真正所蘊含的觀念與想法。教導者與學習者之間亦需要透過具體 的文字符號，來表達或溝通抽象的數學概念。Kaput（1989）認為，文字符號與 數學概念的關係，應定義為表徵（representing）與被表徵（represented）。

Lesh（1987）從文化的觀點討論表徵，他認為表徵不僅是個人心智活動的 材料，而且是一種文化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識。因此，

數學概念的表徵方式，對於學習者在形成數學概念的歷程中，扮演一個相當重 要的角色。能夠用一個適當的記號（notation）來表徵我們所學習到的概念，是 學習的一個基本要件。（陳霈頡、楊德清，2005）

表徵主要有三個功能與特色：不同表徵具有互補角色、不同表徵有其意義 解釋上的區隔與限制、不同表徵可以建立對於觀念的深度瞭解。（Ainsworth，

2004）互補角色意指不同表徵蘊含不同的歷程與不同的資訊，影響歷程的因素 包含不同的使用者所造成的個別差異，或採用的不同的學習策略所導致，抑或 是由於解釋概念的課題不同，而採取較佳的表徵方式來說明歷程；不同的表徵 有本身內在條件的限制，或是因某一表徵限制另一表徵的意義解釋；表徵對於 解釋概念上，具有建立深度理解的功能：可以說明抽象的概念、發展擴展的網 絡，建立與其它觀念之間的關聯性。

圖2–1 表徵功能圖（摘自 Ainsworth, 2006）

在數學學習的領域內，對於表徵方式的分類，有許多不同的看法。例如 Lesh et al. （1987）認為在數學概念的學習上，表徵類型可分為五類，而對於這 五種表徵類型，學生除了學習各個表徵所蘊含的意義外，亦須具備不同表徵之 間 轉 移 的 能 力 。 Lesh et al. 所 歸 類 的 表 徵 方 式 有 書 寫 符 號 表 徵 （ algebraic formula ） 、 口 說 語 言 表 徵 （ verbal description ） 、 圖 形 影 像 表 徵 （ graph &

images ） 、 具 體 操 作 表 徵 （ mechanical manipulation ） 、 具 體 事 物 經 驗 表 徵

（relation of variables）等五個類型（如圖 2-2）。

圖2–2 Lesh 表徵連結圖

Janvier（1987）則是根據研究所得提出，數學概念的表徵方式應分為物

徵形式，以代數式、圖形、表列三種形式，將二次不等式依照其數學結構來分 析學生的表徵理解情形與運用能力。

Lesh at al.（1987）以學生學習分數概念為例，提出他們的想法。他們認 為，學生對於分數的瞭解必需要能做到：

1.能從不同表徵系統中辨識出此觀念 2.能在給定的表徵系統中彈性地操弄概念

3.能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉移

能做到這三個部份，才能算是對於分數的數學概念有完整的理解。同樣的 觀點套用在解二次不等式的學習上，我們可以說，學生要能夠做到：

1. 從代數式、表列、圖形等不同表徵系統中辨識出二次不等式的解 2. 能在給定的表徵系統中彈性地求出二次不等式的解

3. 能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉移

能做到這三個部份，我們才能說學習者對於解二次不等式的概念有完整的 理解。NCTM（1989）也建議中學生要採用複合性的外在表徵來靈活思考。因 此本文期望能夠探究高職學生對於二次不等式的表徵整合能力，亦即高職學生 是否能夠整合不同形式的表徵，並以有效率的、適當的表徵方式，來解決關於 二次不等式的問題。

國內對於一元二次不等式的相關研究中，亦有一些關於表徵的研究結果，

例如學生無法在文字與圖形之間順利轉譯（陳彥宇，2008）、學生不會由二次 函數的圖形中直接看出二次不等式的解（吳季鴻，2001；陳聖雄，2005）等，

均指出學生在二次不等式所犯的錯誤，其原因是由於代數式表徵和圖形表徵之 間的轉移能力不足所導致。

因此，本文欲從表徵的觀點，來分析學生對於二次不等式的表徵認知。分 析學生對於二次不等式的代數式、圖形、表列三種不同表徵，其理解與使用的 能力，以及不同表徵之間轉移的能力。並探討在動態鏈結多重表徵環境下進行 學習，學生是否較能夠整合二次不等式各種不同形式表徵，懂得採用適當的表 徵方式以解二次不等式的相關問題。

數學概念是抽象的，因此必須了解學生如何建構知識，才能由此來設計適 當的教材與教學，幫助學生建構出完整而正確的數學概念。筆者與專家（大學 教師、碩博士研究生、資深教師）研究之後，依據二次不等式所蘊含的學科知 識本質，將二次不等式的認知結構分解為四個部份：函數的意義、不等式解的 意義、解二次不等式、二次不等式的正定性。其中，解非恆正恆負型的二次不 等式，歸類為解（一般型）二次不等式；解恆正恆負型的二次不等式以及相關 的性質，歸類為二次不等式的正定性。四個部份的數學結構分別探討學生對於 代數、圖形、表列數值等不同表徵的理解情況與運用能力。（如圖2-3）

圖2–3 二次不等式的表徵認知圖