建議

由本研究的結果中可以得出，動態鏈結多重表徵環境的佈置確實有助於幫 助學生在學習二次不等式的單元中，建立整合多重表徵的能力，增進解題表徵 形式的豐富性與靈活性。且以多重表徵形式作為解題策略者，答對率較以純代 數操作者為高。原因是因為能夠整合多重表徵的學習者，懂得以較為便捷有效 率的表徵方式來解題，因此解題的過程概念較為簡潔，較少出現錯誤概念。因 此，學生若是能夠具備整合多重表徵的能力，在增進解題效能的同時，亦較能 提昇正確解題的可能性。

因此在數學教學上，本文建議在適當的課程單元中發展動態鏈結多重表徵 教學，藉由電腦的科技特性，以連續、動態鏈結多重表徵的呈現方式，讓學生 透過觀察與操作，學習各種不同形式表徵之間的關係，進而建立整合多重表徵 的能力，在解決問題的表徵運用上，能具備豐富性與靈活性。

參考文獻

一、中文部份：

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附錄 一 前導性研究二次不等式試題

1. 下列哪些是 y = f(x) 的函數圖形？

○^Ａ ○^Ｂ

□是 □否 □是 □否

○^Ｃ ○^Ｄ

□是 □否 □是 □否

○^Ｅ

□是 □否 你如何判定？答：_________________

2. 下列哪些情況，我們可以說 y 是 x 的函數？

(1) x：天數 y：月份 □是 □否 (2) x：學號 y：性別 □是 □否 (3) x：購買某商品件數 y：需要付款金額 □是 □否 你如何判定？答：_______________________

3. 下列哪些式子 y 是 x 的函數？

(1) y = –x² + x –2 □是 □否 (2) y = f(x) = x + 6 □是 □否 (3) x + y = 5 □是 □否 (4) x = ( y –2 )² + 1 □是 □否 (5) | 3x +1 | – 2y = 0 □是 □否 你如何判定？答：_______________________

4. 何謂函數？ 答：_______________________________

試舉一例：_________________________________

5. 下圖為 y = f(x)的圖形，下列哪些點的 x 值代入 f(x)求出的值為負數？ 答：

____________

○^Ａ –3 ○^Ｂ –2 ○^Ｃ 0 ○^Ｄ 3 ○^Ｅ 4

【計算過程】

答：_______________

6. 二次函數 y = ax² +bx +c 圖形如圖，試判斷下列各數的正負：

（答案請填正、負、0） (1)a (2)b (3)c (4)a+b+c

7. 將下列各式轉換成 a(x+h)² +k 的樣式。

(1) x² + 6x –2 (2) –3x² +6 x –5

8. 將下列各式轉換成 (x–α)(x–β)的樣式。

(1) x² + 4x –12 (2) x² +6x–2

【計算過程】

答：_______________ 答：_______________

【計算過程】

答：_______________ 答：_______________

【計算過程】

答：(1)a 為____ (2)b 為____ (3)c 為____ (4)a+b+c 為____

9. 寫出下圖所表示的二次函數。

10. 請畫出二次函數 y = f(x) = – x² + 2x + 3 的圖形。

x y

【計算過程】

答：_______________

11. 已知 f(x)是二次函數，下列是 x 與 f(x)對應值，試求出此函數。

x –1 0 1

2 2 3

f(x) 0 3 3 –3 –12

12. 下圖是二次函數 f(x) = x² + 2x – 3 的圖形，請填入表格中對應的數值。

x –3 0 1

f(x) –4 0

【計算過程】

【計算過程】

答：_______________

13. y = x² + 6x + 3 求此二次函數圖形的頂點。

14. y = x² + 1，問此二次函數有最大值嗎？有最小值嗎？極值是多少？

15. 求下列各二次方程式的解。

16. 試問二次函數 y = f(x) = x² – 5x – 6

【計算過程】

(1) f(x)與 x 軸的交點 (2)f(x)與 y 軸的交點

答：_______________ 答：_______________

【計算過程】

(1) x² – 6x + 9 = 0 (2) 3x² + 8x + 4 = 0 (3) x² + x – 5 = 0

答：____________ 答：____________ 答：___________

【計算過程】

答：_______________

【計算過程】

答：_______________

17. 下列哪些點在 y = 2x² – 3 圖形上？（複選）

(a) ( 0, –3 ) (B) ( 1, 1 ) (C) ( 1, –1 ) (D) ( 2, 1 ) (E) ( 3, 15 )。

【計算過程】

答：_______________

附錄 二 前測二次函數概念試題

1. 下列哪些是 y = f(x) 的函數圖形？

Ａ □是 □否 ○ Ｂ □是 □否 ○

Ｃ □是 □否 ○ Ｄ □是 □否 ○

Ｅ □是 □否 ○ ○

F

□是 □否

2. 下列哪些式子可表示「y 是 x 的二次函數」？

(1) y = –x² + x –2 □是 □否 (2) y = f(x) = x + 6 □是 □否 (3) x = y² + y – 1 □是 □否 (4) y = x³ – x² + x – 2 □是 □否 (5) y = x² + 5 □是 □否

3. 試述二次函數的定義？

4. 下圖為 y = f(x)的二次函數圖形，下列哪些 x 值代入 f(x)求出的函數值為負 數？

答：____________ ○^Ａ –3 ○^Ｂ –2 ○^Ｃ –1 ○^Ｄ 0 ○^Ｅ 1

【請寫下定義】

你如何判定？

5. 下列哪些點在 y = f(x) = 2x² – 3 的圖形上？（複選）

(a) ( 0, –3 ) (B) ( 1, 1 ) (C) ( 1, –1 ) (D) ( 2, 1 ) (E) ( 3, 15 )。

6. 將下列各式用配方法轉換成 a(x+h)² +k 的樣式，例如：2( x + 1 )² + 4。

7. 將下列各式因式分解成 (x–α)(x–β)的樣式，例如：(x–2)(x + 5)。

8. 求下列各二次方程式的解。

【計算過程】

(1) x² – 6x + 9 = 0 (2) x² + x – 5 = 0

答：_______________ 答：_______________

【檢驗過程】

答：_______________

【計算過程】

(1) x² + 4x – 12 (2) 6x² + 7x+ 2

答：_______________ 答：_______________

【寫下演算過程】

(1) x² + 6x – 2 (2) 3x² – 6 x – 5

答：_______________ 答：_______________

9. y = f(x) = – x² + 1，請求此二次函數的極值(最大值或最小值)是多少？

10.

(1)請畫出二次函數 y = f(x) = (x–1)² + 2 的圖形 (2)請畫出二次函數 y = f(x) = (x+1)(x+2)的圖形

11. y = f(x) = x² – 4x + 3 請在表列中填入對應數值:

x 0 4

f(x) 0

【計算過程】

答：_______________

【計算過程】

12. 下圖是 y = f(x)二次函數圖形，請依據圖形在表格中填入對應的數值。

x 0

f(x) –4 0 13. 下圖是 y = f(x)二次函數圖形，請寫出此二次函數。

【計算過程】

答：_______________

14. 已知 f(x)是二次函數，下列是 x 與 f(x)對應值，試求出此函數。

X –2 –1 0 3 4

f(x) 5 0 3 0 5

15. 下列為二次函數的五組對應數值，試描繪出二次函數圖形

x –3 –2 –1 0 1

f(x) 5 2 1 2 5

【計算過程】

答：_______________

16. 試問二次函數 y = f(x) = x² – 5x – 6 與 x 軸、y 軸的交點。

17. 二次函數 y = f(x) = x² + 6x + 3，求此二次函數圖形的頂點。

18. 下圖為二次函數 y = f(x) = ax² +bx +c 圖形，請回答下列各小題：

【計算過程】

答：_______________

(1) 與 x 軸的交點 (2) 與 y 軸的交點

答：_______________ 答：_______________

【請說明理由】

(1) a 值為 □正 □負。

(2) c = _______ 。

(3) 當 x=_______時，f(x) = 0。

(4) 當 x=_______時，

y 有最大值_______。

附錄 三 後測二次不等式試題

＊試卷中的選擇題，均為複選題，答案最少一個，最多全部

1. 下圖為 y = f(x)的二次函數圖形，當 x 是下列哪些數值時，函數值 f(x)為負 數？答：_____________

a. x = – 4 B. x = –3 C. x = – 2 D. x = 0 E. x = 1 F. x = 3

2. 下列哪些是 y = f(x) 的函數圖形？ 答：______________

A. B.

C. D.

3. 下表為二次函數 y = f(x)的六組 x 值與對應的 y 值

x –3 –2 –1 0 1 3

y 0 3 4 3 0 –12

當 x 是下列哪些數值時，函數值 f(x)為負數？

答：____________

A. x = 3 B. x = –3 C. x = – 2 D. x = 0 E. x = 1 F. x = 2

4. 求二次方程式 x² + x – 3 = 0 的解。

5. 寫出下圖所表示的二次函數，並寫下你的推導過程。

【計算過程】

答:______________

【推導過程】

答:______________

6. 請畫出 y = ( x – 2 )( x + 4 ) 的函數圖形:

7. 關於二次不等式 x² + 2x – 3 > 0，下列敘述何者正確？ 答：_____________

A. x = 2 是此不等式的一個解 B. x = 1 是此不等式的一個解 C. x > 0 是此不等式的解 D.此不等式有無限多個解

8. 在下列函數圖形中，請在 x 軸標示滿足 f(x) > 0 的 x 值範圍？

(1) (2) (3)

9. 下列敘述何者正確？ 答：______________

A. x² + x < 3 與 x² + x – 3 < 0 有相同的解

B. 2x² + 4x – 6 < 0 與 x² + 2x – 3 < 0 有相同的解 C. – x² – 6x –4 < 0 與 x² + 6x + 4 < 0 有相同的解 D. (x – 3)(x – 2) > 0 與 x² – 5x + 6 > 0 有相同的解

10. 下列各圖是二次函數 y = f(x) 的圖形， 求 f(x) > 0 的解：

(1)以數學符號表示 f(x) > 0 的解 (2) 以數學符號表示 f(x) > 0 的解 答：______________ 答：______________

11. 已知 f(x)是二次函數，下表列為 x 與 f(x)對應值，請問 f(x) > 0 的 x 的範圍？

答:_____________

x –2 0 2 3 6 8

f(x) 0 6 8 15

2 0 –10

y

x y = f(x)

y

x y = f(x)

12. 已知 x² + bx + c = 0 有 2, 5 兩根，求 x² + bx +c > 0 的解。

13. 求下列二次不等式的解，請寫出計算過程：

(1) 解( x – 3 ) ( x – 5 ) > 0

答： ____________

(2) 解( x – 5 )² > 0

答： ____________

(3) 解 – ( x – 3 )( x – 8 ) > 0

答： ____________

(4) 解 x² – 8x – 20 < 0

答： ____________

【說明過程】

答:_____________

(5) 解 x² – 2x + 6 < 0

答： ____________

(6) 解 x² + 3x +5 > 0

答： ____________

14. 已知(6,0)、(1,0)兩點在拋物線 y = 2x² + bx + c 的圖形上，求 2x² + bx + c < 0 的解。

15. 下圖是 f(x) = ax² +bx +c 的圖形，求 ax² + b x + c > 6 的解。答：＿＿＿＿＿

【說明過程】

答:______________

y

x y = f(x)

16. 下列二次函數的圖形中，哪一個函數的函數值恆為負數？ 答：＿＿＿

19. x 為任意實數，y = f(x) = ax² + bx + c = a(x – h)² + k 恆為正數，下列何者正 確？答:_____________

A. a > 0 B. h > 0 C. k > 0 D. b² – 4ac > 0 E. b² – 4ac < 0 說明理由：

20. y = f(x) = x² + 2x + k 的圖形如下圖，求 k 的範圍。

答:_____________

21. 依據下列函數 y = f(x)之圖形，哪些二次不等式 f(x) < 0 無解？

答：_______________

A. B. C. D.

y

x y = f(x)

y

x y = f(x)

y

x y = f(x)

y

x y = f(x) y

y = f(x) x

附錄 四 二次不等式動態鏈結學習單

活動一 二次函數的圖形

【電腦探索活動】

1.

對於二次函數

y =f(x)= x² + 4x + 3，

請填入對應數值：

(

最後三組請任意填寫對應數值

)

x –3 1 0

y

將

x

值輸入欄位，按下「如何計算

y

值」檢驗你的答案是否正確，並按下按鍵將數值填入表格。

2.

按下表格中的數值，圖形區會出現一個點，你認為這個點的位置是如何確定的

?

答：

_______________________

3.

按下「畫出

3

個點」，圖形區會畫出三個不同

x

值以及對應的

y

值所形成的點。重複按下數次，你有 什麼發現？

答：

____________________________________________________

4.

重置畫面（按

F5

）後，嘗試按下「顯示

x

軸上動點」，並拉動

x

軸上動點，你看到了什麼？

_________________________________________

你認為這是函數圖形嗎？ □ 是

□ 否

【思考問題】

5.

你認為「函數圖形」是如何繪製出來的？ 答：

_____________________________________________________

6.

繪製函數圖形時，函數值是

x

座標還是

y

座標

?

□

x

座標

□

y

座標

7.

對於二次函數

y =f(x)= x² + 4x + 3，

下列哪些點為函數圖形上的點？（複選題）

A(0,0) B(–2,–1) C(2,–4) D(–5,8)

答：

____________________

除了直接觀察圖形以外，還有什麼方法可以判別點是否在圖形上？答：

___________________________________

8.

已知點

A(s,t)

為

y = f(x)= x² + 4x + 3

函數圖形上一點，

s=3

，求

t

值。答：

_________

9.

對於二次函數

y = f(x)= ax² + bx + c，

下列哪些點為函數圖形上的點？（複選題）

A(t, at² + bt + c) B(at² + bt + c,t) C(t, t² ) D(t,f(t)) E (–t,–f(t)) F(–t,f(–t))

答：

____________________

10.

請畫出

y = x²–2x–1

的圖形

x

y

11.

二次函數

y = ax² + bx + c(a≠0)

的圖形為何

?

答：

_______________________________________

活動二 二次函數圖形與 x 軸交點

【電腦探索活動】

1.

輸入下列各題係數，並按下「畫出函數圖形」，觀察函數圖形，並找出函數圖形與

x

軸的交點

二次函數

y = x²+4x+3 y = – x²+3x–2 y = 2x²–5x–3 y = 2x²+x+1

函數圖形 與

x

軸交點

2.

你認為若是二次函數

y = ax²+bx+c

圖形與

x

軸相交，交點

y

座標必定為

0

嗎？□ 是

□ 否

為什麼？答：

______________________________________

3. x

軸所表示的方程式如何表示？答：

____________________________

4.

按下

F5

重置畫面後，按下「畫出

y = 0

的圖形」，畫出的圖形為何？

答：

_________________

5.

求出二次函數圖形與

x

軸的交點有兩種方式：

○ １畫出函數圖形，由圖形觀察。

○ ２以計算方式，求出交點。

按下「如何求出與

x

軸交點」，仿照相同的方式，完成下列計算過程，求出函數圖形與

x

軸交點。

問題：求出

y=f(x)=(x+2)(x–5)

與

x

軸的交點

計算：

y=f(x)=(x+2)(x–5)

與

x

軸的交點，即為

_______________

與

_______________

兩式的聯立解











故

y=f(x)=(x+2)(x–5)

與

x

軸的交點為

____________________

【思考問題】

6.

求拋物線

f(x)= x²

與直線

x + y =2

的交點座標。

答：

___________________________

7. x

軸所代表的方程式是

y = 0

；那麼

y

軸所表示的方程式為何？

答：

________________________

8.

若不利用函數圖形，嘗試解出下列各二次函數圖形與

x

軸的交點

二次函數

y =(x–1)(x–2) y = (x+1)² y = x²+3x+2 y = x²+1

計算過程

函數圖形 與

x

軸交點

9.

若二次函數

y =f(x)= ax²+bx+c

圖形與

x

軸的交點為

P(s,t)

，下列何者正確？（複選題）

A. as²+bs+c=0 B. t = 0 C. f(s)=0 D.

若

a(x–

α

)(x–

β

)=0

，則

x=

α或β

E. y =f(x)= ax²+bx+c=a(x–

α

)(x–

β

)

，則

s=

α或β

答：

______________________________________

活動三 解二次不等式

一、 函數圖形與不等式的解

【電腦探索活動】

1.

○ １請圈出能滿足

x²–x–6 > 0

的

x

值，並利用電腦檢視你的答案。

x = –3, –2, 0, 1, 4, 5

答：符合的有

______________________

x

值

–3 –2 0 1 4 5

y=f(x)=x²–x–6

值

是否能滿足

x²–x–6>0

□ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否

○

２上述哪些

x

值在

x²–x–6 >0

的解範圍內？ 答：

_______________________

2.

輸入

x=4

，計算

y

值之後填入表格。按下表格中的數值，在圖形區會畫出這個點。

從圖形中，你如何解釋

x = 4

能滿足

x²–x–6 > 0

？

答：

_______________________________________________________________

3.

○ １如何表示數線上

5

右方的所有數（不包含

5

）？答：

_________________

○ ２如何表示數線上

2

左方的所有數（包含

2

）？答：

_________________

○ ３如何表示數線上介於

2

與

5

之間的所有數？（不包含

2

與

5

）？答：

_________________

4.

按下顯示

x

軸上動點

C

，並嘗試拉動

C

點，觀察

y= x²–x–6

函數圖形，你認為

○ １你認為能滿足

x²–x–6 >0

的

x

值有多少個？ 答：

_________________

○ ２

x²–x–6 > 0

的解應該如何表示

?

答：

_________________

○ ３

x²–x–6



0

的解應該如何表示

?

答：

_________________

【思考問題】

5.

何謂不等式

ax²+bx+c >0

的解？請寫出定義。 答：

_____________________________________

6.

如下圖，若

f(x)= ax²+bx+c

的圖形開口向上，且與

x

軸交於

(1,0)

與

(2,0)

兩點，求

ax²+bx+c>0

的解。

答：

____________

7.

如下圖，若

f(x)= ax²+bx+c

的圖形開口向下，且與

x

軸交於

(1,0)

與

(3,0)

兩點，求

ax²+bx+c>0

的解。

答：

____________

8.

以分解式或一般式的方式，輸入下列各題係數並按下「畫出函數圖形」，觀察函數圖形，試寫出下 列各題的解：

（請注意不等號的形式）

二次不等式

(x–1)(x–2)>0 (x+1)²



0 x²+3x+2



0 –x²+1 < 0

二次不等式的解

二、 解二次不等式

【電腦探索活動】

9.

按下

F5

重置畫面後，輸入下列各式的係數並按下「畫出函數圖形」，觀察圖形，依序完成下列表 格。

二次函數

f(x)=( x+3 )( x–1 ) f(x)= –( x–4 )( x–1 ) f(x)=( x+2 )( x+2 ) f(x)= x( x–4 )

函數圖形 與

x

軸交點

函數圖形

二次不等式

( x+3 )( x–1 ) > 0 –( x–4 )( x–1 ) > 0 ( x+2 )( x+2 ) > 0 x( x–4 ) > 0

二次

不等式的解

10.

輸入係數後按下「解二次不等式」，仿照相同方式，求出

( x +3 )( x–1 ) > 0

的解。

令

y = ( x +3 )( x–1 )

畫出

y = ( x +3 )( x–1 )

的圖形如下

由圖形中可得出

( x +3 )( x–1 ) > 0

的解為

___________

【思考問題】

11.

完成下表，並寫出二次不等式的解。

二次函數 y=(x–3)(x+3) y= (2x+1)(x–5) y= –(x+4)(x+1) y= (2x+5)²

函數圖形 與x軸交點

函數圖形

二次

不等式 (x–3)(x+3)>0 (2x+1)(x–5)



0 –(x+4)(x+1)>0 (2x+5)²>0

二次不等式 的解

活動四 二次不等式的正定性

一、 二次函數圖形與

x

軸交點及判別式的關係

【電腦探索活動】

1.

拉動

a

、

b

、

c

，二次函數圖形與

x

軸必定有兩個交點嗎？□是

□否

交點有哪幾種不同情況？答：

___________________________

2.

按下「解

ax²+bx+c=0

」，方程式解的個數與交點個數有什麼關係？

答：

_________________________________________________________________

為什麼？ 答：

____________________________________

【思考問題】

二、 二次不等式的正定性

_______________

答：

________________

答：

________________

答：

________________

【思考問題】

你如何觀察 函數值恆為正數者，其圖形特徵為

_____________________________________

。

8.

觀察函數圖形，並寫出下列各不等式的解。

y = ax²+bx+c 函數圖形

二次不等式

x²+6x+5



0 –x²–8x–15 > 0 x²+10x+27 > 0 x²–6x+11 < 0

二次不等式 的解

y = ax²+bx+c 函數圖形

二次不等式

_x²_–8x+16



0 –x²+2x–1



0 x²–10x+25



0 –x²+6x–11 > 0

二次不等式 的解

9.

是非題

( )

若二次函數

y = ax²+bx+c

的函數值

y

恆為正數，則其判別式必定大於

0

。

10.

請設計出兩題答案為無實數解的二次不等式：

○１ ________________________________

○２ ________________________________

附錄 五 二次不等式傳統講述學習單

活動一 二次函數的圖形

【探索活動】

1.

對於二次函數

y =f(x)= x² + 4x + 3，

請填入對應數值：

(

最後三組請任意填寫對應數值

)

x –3 1 0

y

2.

將你所計算出來的這六組數值，以描點的方式畫在座標平面上，你如何決定點的

x

座標、

y

座標

?

答：

_________________________________

3.

再多描繪出下列幾點，你有什麼發現

?

x –4.5 –3.5 –2.5 –1.5 –0.5 0.5

y 5.25 1.25 –0.75 –0.75 1.25 5.25

答：

____________________________________________________

4.

如果我們再多畫一些點，你認為圖形會呈現出什麼模樣

?

答：

________________________________

你認為這是函數圖形嗎？ □ 是

□ 否

【思考問題】

5.

你認為「函數圖形」是如何繪製出來的？ 答：

_____________________________________________________

6.

繪製函數圖形時，函數值是

x

座標還是

y

座標

?

□

x

座標

□

y

座標

7.

對於二次函數

y =f(x)= x² + 4x + 3，

下列哪些點為函數圖形上的點？（複選題）

A(0,0) B(–2,–1) C(2,–4) D(–5,8)

答：

____________________

除了直接觀察圖形以外，還有什麼方法可以判別點是否在圖形上？答：

___________________________________

8.

已知點

A(s,t)

為

y =f(x)= x² + 4x + 3

函數圖形上一點，

s=3

，求

t

值。答：

_________

9.

對於二次函數

y =f(x)= ax² + bx + c，

下列哪些點為函數圖形上的點？（複選題）

A(t, at² + bt + c) B(at² + bt + c,t) C(t, t² ) D(t,f(t)) E (–t,–f(t)) F(–t,f(–t))

答：

____________________

10.

請畫出

y = x²–2x–1

的圖形

x y

11.

二次函數

y = ax² + bx + c(a≠0)

的圖形為何

?

答：

_______________________________________

活動二 二次函數圖形與 x 軸交點

為什麼？答：

______________________________________

3. x

軸所表示的方程式如何表示？答：

______________________________________

4.

畫出

y = 0

的圖形，畫出的圖形為何？

答：

__________________________

【思考問題】

6.

求拋物線

f(x)= x²

與直線

x+y=2

的交點座標。

答：

___________________________

7.

若不利用函數圖形，嘗試解出下列各二次函數圖形與

x

軸的交點

二次函數

y =(x–1)(x–2) y = (x+1)² y = x²+3x+2 y = x²+1

計算過程

函數圖形 與

x

軸交點

8.

若二次函數

y =f(x)= ax²+bx+c

圖形與

x

軸的交點為

P(s,t)

，下列何者正確？（複選題）

A. as²+bs+c=0 B. t = 0 C. f(s)=0 D.

若

a(x–

α

)(x–

β

)=0

，則

x=

α或β

E. y =f(x)= ax²+bx+c=a(x–

α

)(x–

β

)

，則

s=

α或β

答：

_______________________________

活動三 解二次不等式

三、 函數圖形與不等式的解

【探索活動】

1.

○ １請圈出能滿足

x²–x–6 > 0

的

x

值。

x = –3, –2, 0, 1, 4, 5

答：符合的有

______________________

x

值

–3 –2 0 1 4 5

y=x²–x–6

值 是否能滿足

x²–

x–6 > 0

□ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否 □ 是

□ 否

○

２上述哪些

x

值在

x²–x–6 > 0

的解範圍內？ 答：

_______________________

2.

你認為能滿足

x²–x–6 > 0

的

x

值有多少個？ 答：

_________________

3.

○ １如何表示數線上

5

右方的所有數（不包含

5

）？答：

_________________

○

２如何表示數線上

2

左方的所有數（包含

2

）？答：

_________________

○

３如何表示數線上介於

2

與

5

之間的所有數？（不包含

2

與

5

）？答：

_________________

4.

觀察

y= x²–x–6

函數圖形，你認為

○ １

x²–x–6 > 0

的解應該如何表示

?

答：

_________________

○ ２

x²–x–6



0

的解應該如何表示

?

答：

_________________

【思考問題】

5.

何謂不等式

ax²+bx+c >0

的解？請寫出定義。 答：

_____________________________________

6.

如下圖，若

f(x)= ax²+bx+c

的圖形開口向上，且與

x

軸交於

(1,0)

與

(2,0)

兩點，求

ax²+bx+c > 0

的解。

答：

____________

7.

如下圖，若

f(x)= ax²+bx+c

的圖形開口向下，且與

x

軸交於

(1,0)

與

(3,0)

兩點，求

ax²+bx+c>0

的解。

答：

____________

8.

觀察函數圖形，試寫出下列各題的解：

函數圖形

y = (x–1)(x–2) y = (x+1)² y = x²+3x+2 y = –x²+1

二次不等式

(x–1)(x–2)>0 (x+1)²



0 x²+3x+2



0 –x²+1 < 0

不等式的解

四、 解二次不等式

【探索活動】

9.

觀察函數圖形，寫出因式分解式，並填入表格中。

二次函數

f(x)=( x+3 )( x–1 ) f(x)= –( x–4 )( x–1 ) f(x)=( x+2 )( x+2 ) f(x)= x( 2x+1 )

函數圖形

與

x

軸交點

函數圖形

二次

不等式

( x+3 )( x–1 ) > 0 –( x–4 )( x–1 ) > 0 ( x+2 )( x+2 ) > 0 x( 2x+1 ) > 0

二次不等式

的解

10.

求出

( x +3 )( 2x–5 ) > 0

的解。

［計算過程］

令

y = ( x +3 )( 2x–5 )

畫出

y = ( x +3 )( 2x–5 )

的圖形如下

由圖形中可得出

( x +3 )( 2x–5 ) > 0

的解為

___________

【思考問題】

11.

完成下表，並寫出二次不等式的解。

二次函數

y = (x–3)(x+3) y = (2x+1)(x–5) y = –(x+4)(x+1) y = (2x+5)²

函數圖形

與

x

軸交 點

函數圖形

二次

不等式

(x–3)(x+3)>0 (2x+1)(x–5)



0 –(x+4)(x+1)>0 (2x+5)²>0

二次不等

式的解

活動四 二次不等式的正定性

三、 二次函數圖形與

x

軸交點及判別式的關係

【探索活動】

11.

將二次函數上下左右平移，代表的是不同的二次函數。你認為二次函數圖形與

x

軸必定有兩個交點 嗎？□是

□否

交點有哪幾種不同情況？答：

___________________________

12.

方程式解的個數與交點個數有什麼關係？ 答：

___________________

為什麼？ 答：

_____________

【思考問題】

四、 二次不等式的正定性 不等式的解

答：_____________ 答：_____________ 答：_____________ 答：_____________

【思考問題】

你如何觀察 函數值恆為正數者，其圖形特徵為

________________________

。

18.

觀察函數圖形，並寫出下列各不等式的解。

y = ax²+bx+c 函數圖形

二次不等式

_x²_+6x+5



0 –x²–8x–15 > 0 x²+10x+27 > 0 x²–6x+11 < 0

二次不等式

的解

y = ax²+bx+c 函數圖形

二次不等式

_x²_–8x+16



0 –x²+2x–1



0 x²–10x+25



0 –x²+6x–11 > 0

二次不等式

的解

19.

是非題

( )

若二次函數

y = ax²+bx+c

的函數值

y

恆為正數，則其判別式必定大於

0

。

20.

請設計出兩題答案為無實數解的二次不等式：

○１ ________________________________

○２ ________________________________

在文檔中 動態鏈結多重表徵環境下高職學生學習二次不等式的成效之研究 (頁 131-175)