動態幾何學習理論

訊息處理理論（informational–processing theory）說明，人在與環境的互動 中，會主動選擇甚或操縱環境，進而從中獲得知識。這樣的互動過程是一個複 雜的內在心智活動歷程，這樣的歷程稱之為訊息處理歷程。（張春興，1999）

E. Silver（1987）、A. Schoenfeld（1992）（摘自左台益，2006）訊息處理 歷程主要分為訊息接收、編碼處理、解碼提取、反應四個階段。這四個階段並 非直線進行，在中間的歷程中會有一些不同的路徑，以圖示分析如下：

圖2–8 訊息處理歷程圖

環境中的刺激包含所有能夠影響個體感官，進而使之產生反應者，人的感 官（眼、耳、鼻、口、皮膚等）接收到刺激之後，將訊息傳達至大腦中。但是 由於環境的刺激相當多，所以個體並不會將所有的刺激全部接收，而是依據自 身 的 動 機 、 喜 好 、 需 求 、 經 驗 等 因 素 ， 選 擇 性 地 做 感 官 收 錄 （ sensory register），其他的便遺忘。個體決定處理某個訊息之後，便會將該訊息編碼

（encoding），並收錄到短期工作記憶區（short–term and working memory）

內。短期工作記憶區接收到訊息之後，除了立即做出反應之外，也會從長期記 憶區（long–term memory）中提取資訊，解碼之後再加以反應。

儲存在長期記憶區中的知識，分為敘述性知識（declarative knowledge）與 程序性知識（procedural knowledge）。敘述性知識是指物體、事實、理論、事 件等，關於事物本身的知識，組成的元素包含了命題（propositions）、心像

（images）、線性規則（linear orderings）、基模（scheme），屬於靜態的知 識，容易學習且容易修正。程序性知識則是關於事情應該怎麼做的知識，組成 的元素包含了生產法則（productions）與生產法則系統（production system），

屬於動態的知識，較難以學習且較難修正。敘述性知識與程序性知識的差異也 說明了，為什麼學生要修正原有錯誤的觀念與迷思，常常要比要學習新的名 詞、新的觀念要來得困難許多。

由 Paivio 提出的雙碼理論在於說明個體處理訊息的運作過程。認為個體的 心智結構可分為語文表徵（verbal representation）與非語文表徵（nonverbal representation）兩種。當個體接收到語文的刺激時，與腦中原有的語文表徵連 結，而後做出反應的過程，此即為語文歷程（verbal process）。同樣地，當個 體接收到非語文的刺激，與腦中原有的非語文表徵連結，而後做出反應的過 程，稱為心像歷程（imagery process）。語文歷程與非語文歷程之間可以彼此參 照，稱為參照歷程（referential process）。而在不同的歷程之間可以重新組織、

轉換，稱為組織變換歷程（organitional/transformational process）。

圖2–9 雙碼理論訊息運作圖

在數學領域中，對於個體的刺激方式包含不同形式的表徵，例如代數式、

圖形、表列、語意敘述等。依據訊息處理理論與雙碼理論，若是教師在教學活 動中可以提供語文表徵的刺激（例如代數表徵）以及非語文表徵的刺激（例如 圖形表徵），並配合軟硬體設施（例如電腦與動態幾何軟體），設計出一個具 備多重表徵刺激的環境，是否能夠幫助學生學習整合二次不等式的多重表徵，

這正是本文所欲探討的問題之一。

有不少針對電腦融入教學的研究，得出電腦在數學教學中，確有其特別優 勢的類似結論（左台益、蔡志仁，2001；黃瓊誼，2005；張敬楷，2006；陳聖 雄，2005）。左台益、蔡志仁（2001）的研究中提出，電腦教學環境配合認知 理論，使電腦教學環境進入了一個更利於思考與提昇學習的境界。電腦環境可 以達到下列功能：

1. 引起學生注意的功能 2. 激發學生學習動機 3. 發揮個別教學的功能 4. 具有前導組體的功能 5. 降低認知的負擔

張敬楷（2006）的研究中則分析，電腦對於數學教育的影響主要有以下三 點：

1.電腦能將數學概念、數學定義以圖像、影音方式呈現出來。

2.電腦可將數學概念與關係具像化（reification），並鏈結轉換不同的表 徵，使得個體可以直接操弄數學物件與關係。

3.提供強大的計算能力與繪圖能力。

Tso（2001）提到在學習環境中，學習者往往透過反思行動以形成抽象概 念。而連結多重表徵系統的電腦學習環境不僅可以豐富概念性的表徵，也可以 重新組織認知結構，並產生新的表徵。故設計動態連結多重表徵的學習系統，

應增強外在表徵，提供訊息與操作以進行反思行動，建構之內在表徵能在反思 行動中重新提供訊息與認知操作。Tso 所提出的動態連結多重表徵之學習環境 設計關係如下圖。

圖2–10 動態連結多重表徵之學習環境設計關係圖（引自 Tai–Yih Tso, 2001）

由此可知，若是能善加利用電腦科技融入教學，在數學教育的發展上，將 能改善傳統講述教學的缺點，讓教學活動的成效更佳。科技整合最大的功能在 於降低學習者的認知負擔（cognitive load），這是因為電腦可以將數學概念的 表徵以互相鏈結的方式，呈現在視窗環境中，學習者可經由適當的類化，使心

Abstract structure of mathematical ideas (concepts, problem solving,

strategies) Input stumila

(Embodiment )

Out-put response (Interpretation) Multiple dynamic

linked representations

Information process (Abstraction)

Internal representations External

representation s

Reflection-on-Action (Accommodation, Assimilation, translation, coordination)

information operation Perceived

information

Retrived information

Perceptual operation

Cognitive operation

筆者所採用的動態鏈結多重表徵環境，是利用 GeoGeobra 動態數學軟體，

配合 JavaScript 程式語言，以網頁方式來呈現教學介面。GeoGeobra 是一套結 合代數、幾何、微積分的動態數學軟體，由美國亞特蘭大大學教授 Markus Hohenwarter 所設計開發。其名稱即以幾何（Geometry）與代數（algebra）所組 成，彰顯此軟體結合幾何與代數的意義與精神。GeoGeobra 一改過去幾何繪圖 軟體 GSP 在網頁上呈現與操作相當困難的問題，具有跨平台的特性，在網頁中 呈現代數式與圖形，穩定性較高；配合 JavaScript 等程式語言的設計，教師展 示 教 學 或 學 習 者 操 作 練 習 亦 十 分 容 易 。 此 外 ， 還 有 一 個 重 要 的 好 處 是 ， GeoGeobra 是一套免費軟體，因此無論在學校或在家庭中，GeoGeobra 軟體的 取得相對而言容易且無須任何費用。

美國數學教師協會（NCTM）於 1983 年曾經提出，各個階段的數學教師為 了要教導數學技能與概念，要讓學生達成有效的學習，應該使用科技的工具，

以促進概念的發展。國內亦有研究者（吳鐵雄，1983；陳正明，2003 等）指 出，電腦在數學輔助教學上，可以提昇教學品質，增進學生的學習成效。

國內教育改革所實施的九年一貫課程，其課程綱要中，將「運用科技與資 訊」，列入十大基本能力之一，強調數學教學應將資訊科技融入學習領域，以 培養學生資訊科技的知識與技能。左台益、蔡志仁的研究中亦指出，由於資訊 科技的發展，應用電腦設計多重表徵學習環境成為教學活動的新趨勢。本文將 以 GeoGeobra 動態數學軟體，配合 JavaScript 程式語言，以網頁方式設計二次 不等式的動態鏈結多重表徵環境教學活動，並與傳統講述教學比較，兩者之間 是否產生表徵能力運用靈活性上的差異，以提供未來在數學教學活動的設計 上，較為具體而實用的建議。