研究設計

本文欲探討高職學生對於二次不等式的表徵認知，並探討如何設計動態鏈 結多重表徵學習環境，並探究在動態鏈結多重表徵環境中，學習二次不等式的 成效為何，因此本文的研究設計以表徵理論與動態幾何學習理論為基礎，在教 學活動的設計部份，設計以多重表徵方式呈現的二次不等式教學活動；在試題 設計部份，則以表徵運用能力與數學結構為兩個維度，設計相關試題，以分析 學生對於二次不等式的表徵理解情況與運用能力以及對於數學概念的理解。

從二次不等式的課程綱要內容以及教材地位來分析，二次多項式、二次方 程式、二次函數，是二次不等式的重要先備知識；從表徵理論的觀點來看，二 次函數圖形所蘊含的表徵意義是二次不等式圖形表徵的重要基礎。因此本研究 在教學活動進行之前，以二次函數相關數學概念（代數式、圖形、語意、數 值、點集等表徵意義的理解、二次多項式代數表徵內的轉換、解二次方程式、

代數、表列、圖形等不同表徵間的轉移等）為主題，設計教學活動前的測驗，

一方面瞭解教學實驗的兩組學生起點行為是否相同，另一方面瞭解學生對於二 次函數的認知結構與表徵運用能力為何。在教學活動進行完畢之後，以二次不 等式相關數學概念（函數的意義、不等式解的意義、解二次不等式、二次不等 式之正定性等）為主題，設計教學活動後的測驗，比較兩組學生表現的差異。

而其差異可分為兩個部份，其一是答對率的差異，亦即以統計方法來分析，兩 組學生在解題答對率上，表現是否有所差異；其二是解題策略的差異，此差異 需從學生的解題歷程以及訪談資料中，來瞭解學生對於二次不等式的概念是否 可以理解，對於不同形式的表徵是否能夠靈活運用。因此本研究以量化與質化 兩種分析方法，來進行二次不等式教學成效的分析。

本研究欲探討三個研究問題：

一、學生對於二次不等式的表徵認知為何？本研究從數學結構與表徵運用 能力兩個面向，來探討學生對於二次不等式的認知。其中表徵運用能力分為：

表徵的理解、相同表徵內的轉換、不同表徵間的轉移、整合多重表徵等四個部 份。

二次不等式

一、試題設計

本研究的測驗其主要目的在於瞭解學生的二次不等式概念架構與表徵運用 情況，並由學生作答的過程來分析學生的錯誤類型與表徵運用的豐富性。因此 以三種不同的表徵方式，以及數學結構的四個主題（以二次不等式概念測驗為 例），並將表徵運用能力分為四個部份，來設計施測試題：

（一）數學結構：

1.函數的意義 2.不等式解的意義 3.解二次不等式

4.二次不等式的正定性

（二）表徵運用能力：

1.表徵的理解與使用 2.表徵內的轉換 3.表徵間的轉移

4.表徵整合於數學思考與應用

（三）表徵方式：

1.代數表徵 2.圖形表徵 3.表列表徵

表徵運用能力的界定，若試題內容在測驗學生對於文字、符號、圖表等各 種表徵形式的瞭解或使用者，屬於表徵理解與使用；若試題內容最主要的部份 在測驗學生對於代數、圖形、表列等相同形式之內的操弄者，屬於表徵內的轉 換；若試題內容最主要的部份在測驗學生對於代數、圖形、表列等不同形式之 間相互轉移者，屬於表徵形式間的轉移；若試題內容最主要的部份在測驗學生 是否能夠統合代數、圖形、表列整不同的表徵形式，進而運用適當的表徵策略 來解決問題者，則屬於表徵整合於數學思考與應用。

題目的類型有選擇題、計算題兩種類型。選擇題用以測驗學生是否能夠在

試題分佈的設計，考量二次函數數學結構的本質，以及學生所需要具備的

答。此部份設計的試題代數式表徵仍以一般式表示，避免學生因為沒有具備轉

（一） 函數的意義：

在二次不等式的教學活動中，函數圖形是重要的基礎，其中又以函數圖 形、數值、表列數值三者概念與二次不等式關聯性最高，因此各設計一個題 目，測驗學生經過二次不等式的教學之後，是否能夠理解二次函數圖形、數 值、表列數值的概念。

在解二次不等式的過程中，解二次方程式的能力是一個必要的工具，因此 在表徵內轉換的部份，佈置一題求二次方程式之解的題目，測驗學生是否具備 解二次方程式的能力。

二次不等式的圖形表徵，是從二次函數圖形發展而來，而二次不等式的運 算，則是以代數表徵為主要表徵形式。因此，研究中希望能探討，學生對於二 次不等式的代數式與圖形之間的轉移能力。因此在表徵間轉移的部份，佈置了 代數轉移至圖形、圖形轉移至代數的兩個試題，用以測驗學生對於二次不等式 兩個表徵之間的轉移能力。

（二） 不等式解的意義：

在國中時期，學生學習的不等式，以代數與數線表徵形式，來表徵不等式 的解。但對於不等式解的意義，學生亦須對於二次不等式的圖形表徵、表列表 徵有所瞭解，才能算是對二次不等式解的意義，有完整的理解。因此，在不等 式解的意義此數學結構中，設計了關於圖形表徵、表列表徵，以及運算規則的 試題。測驗學生是否能夠瞭解二次不等式的解在圖形與表列表徵中所蘊含的意 義。

（三） 解二次不等式：

對於非恆正恆負型的二次不等式，除了測驗學生是否能夠以代數表徵內的 轉換，解出二次不等式的解以外，是否能夠從方程式的解或函數的點集概念中 解讀出二次不等式的解，又或者是否能夠透過圖形或代數式的操作，求出二次 不等式的解，均為筆者希望能夠探究的問題。

（四） 二次不等式之正定性：

關於恆正恆負型的二次不等式，學生除了需要具備從圖形表徵、代數表徵 中解讀出二次不等式解的能力之外，函數判別式的正負性質亦是正定性中相當 重要的數學概念。因此在二次不等式正定性此數學結構中，設計了恆正恆負型 二次不等式的圖形表徵、代數表徵、判別式正負性質等相關數學概念的試題。

恆正恆負型的二次不等式，其解為所有實數或無解，教學活動從函數圖形發展 出正定性的概念，進而求出不等式的解。因此亦設計一個試題，測驗學生是否 能夠理解，不等式無解與圖形表徵之間的關係。

四、教學活動設計

林保平（2008）曾提出，電腦教學程式環境應具備下列特質：

1. 多重表徵的呈現（Kaput，1989）程式的呈現可有多重的表徵，例如函數就 可以有代數式、表列、圖形，這些表徵互相對照呼應，呈現表徵內部的變 換或不同表徵之間的轉移。

2. 動態可操作—程式應能呈現動態過程，可隨意停止、繼續，教師可於恰當 時課暫停程式之自動運作，提出問題，發起討論，重複畫面上的動態過 程，或以手動操作放慢速度，讓學生有思考、討論、提問的機會。

黃瓊誼（2005）亦曾在研究結果中指出：使用資訊科技在教學上提供許多 優點，例如：數位學習融入教學的教材可以提昇學習專注力、有效引起學習動 機、連結生活經驗、教材內容不易遺漏、電腦視窗提供多種色彩的呈現、動畫 的展現等，這些均有助於說明一些數學概念。電腦視窗化的結果，在使用上增 加了切換適當工具的方便性，可以在相同或不同視窗中，表現不同表徵形式與 表徵特性，達到多重表徵及其間連結的成果。

Dubinsky（1991）對於課程設計提供一個教學建議，對於培育數學概念思 維的教學策略，應有下面四個步驟：

1.觀察學生的認知結構

觀察學生在學習某一數學主題時的過程，如何發展出他們對這個概念的發 展結構，要以學生為中心，要知道學生怎樣建構出認知結構。可設計問卷或進 行半結構式的訪談，瞭解學生如何學習。

2.發展起源分解

將學生對某一概念的想法加以分解。描述一個學生對某一個數學認知結 構，其建構概念的可能路徑。而進行起源分解需依據三個標準來進行：學科本 質、學習理論、學生的思維方式。

3.設計教學策略

沿著起源分解所發展出的認知步驟來設計適當的教學活動。也許適合傳統 講述教學，也許適合以電腦輔助教學，也許適合小組討論教學，也許適合情境 式互動教學。設計教學策略後，進一步進行實徵教學，並探討其成效。

4.回顧反思

重覆上面三個步驟，在第三步驟有實徵資料後，進行的成果與預期的結果 若有不符之處，值得再次分析、反思並檢討。

學科本質、學習理論與科技特色是佈置電腦視窗教學環境重要的考量因 素。（左台益、蔡志仁，2001）因此本研究的教學活動設計，將二次不等式分 解為適當的數個教學活動，參考表徵理論與動態幾何學習理論，以 Geogebra 配 合 JavaScript 語言，來設計動態鏈結多重表徵學習課程。並以 Dubinsky 所提出 的教學活動設計流程，來設計二次不等式的教學活動。由研究者的教學經驗以 及前導性研究所得出的結果，瞭解學生如何建構二次不等式的認知結構，並將 認知結構的建立分解為四個主要概念（架構如圖 3–1），分別以四個主題來說 明二次不等式各個主要概念（四個主題分別為：二次函數的點集及其圖形、二 次函數圖形與 x 軸交點、解二次不等式、二次不等式之正定性），依據表徵理

學科本質、學習理論與科技特色是佈置電腦視窗教學環境重要的考量因 素。（左台益、蔡志仁，2001）因此本研究的教學活動設計，將二次不等式分 解為適當的數個教學活動，參考表徵理論與動態幾何學習理論，以 Geogebra 配 合 JavaScript 語言，來設計動態鏈結多重表徵學習課程。並以 Dubinsky 所提出 的教學活動設計流程，來設計二次不等式的教學活動。由研究者的教學經驗以 及前導性研究所得出的結果，瞭解學生如何建構二次不等式的認知結構，並將 認知結構的建立分解為四個主要概念（架構如圖 3–1），分別以四個主題來說 明二次不等式各個主要概念（四個主題分別為：二次函數的點集及其圖形、二 次函數圖形與 x 軸交點、解二次不等式、二次不等式之正定性），依據表徵理