研究背景

第一節 研究背景

數學概念是抽象的，要說明一個抽象的數學概念，必須借助具體的表徵

（representation）才能達到溝通的目的。在數學的教學與學習中，舉凡文字、

符號、口語說明、圖形、數值、表列……等，均為具體呈現的多種表徵。而各 種不同形式的表徵，各有其特點與性質，以單一表徵形式來說明，無法解釋一 個完整的數學概念（Lesh，1987）。美國的國家數學教師協會 NCTM（National Council of Teachers of Mathematics，1989）也建議中學生要採用複合性的外在表 徵來靈活思考，足見表徵在數學教育上確實是相當重要的一個研究面向。因 此，本文將從表徵的觀點來探討高職學生對於二次不等式的教學與學習。

選擇二次不等式此單元來加以研究，主要是因為希望探究學生如何學習不 等式的複雜性。在現實世界中，我們所遭遇的情況，不等量往往較等量要來得 更常見，而在數學世界中，不等式的概念基礎即為不等量之間的比較。然而，

不等式所牽涉的知識層面甚廣，從數學結構的觀點來看，一元一次等式與二元 一次等式的幾何圖形只是直線，但是一元一次不等式與二元一次不等式的幾何 圖形則轉變成區域的形式與概念。因此，不等式的學習在代數表徵與幾何表徵 的概念理解與操作上，都與等式有很大的不同，學生在不等式最常見的錯誤來 源 之 一 ， 即 是 不 等 式 與 等 式 做 了 錯 誤 的 類 推 （P. Tsamir and N. Almog， 2001）。因此，要從等式的概念發展至不等式的概念，其複雜程度由此可見一 斑。

不等式在國中、高中、高職數學的課程裡，涵蓋的範圍甚廣。舉凡一次不 等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、根式不等式、指數不等式、對 數不等式、三角不等式、算幾不等式、柯西不等式、線性規劃……等等，均為 中學時期所要學習的不等式課程。在教材的編排上，一次不等式與二次不等式 往往是最初接觸的不等式教材，由此可知，二次不等式是不等式學習的基礎課 程，本研究將以二次不等式作為研究主題，探究學生在不等式基礎課程的表徵 認知與運用情形。

近年來各個時期的課程綱要，在二次不等式的學習目標上，雖有不盡相同

從表徵的觀點來分析，二次不等式與二次函數在代數與幾何表徵分別為： 法靈活應用（Diana Steele，2008）。因此，只著重單一表徵的教學方式，容易 使學生產生不完整的數學概念。 生，大多是以工具性瞭解（instrumental understanding）的方式，面對恆正恆負 型的二次函數，則機械式地套用判別式小於 0 的方式計算解答，但是進一步詢 問學生為什麼當二次函數恆為正數時，判別式會小於 0，學生幾乎都無法回 答。此現象顯示學生對於二次函數恆為正數（或恆為負數）的瞭解，只有工具 性瞭解，而沒有概念性瞭解（relational understanding）。在教學實務上發現，

有絕大多數的學生對於這種恆為正數的問題，存在著解題困難而無法作答；或 是會產生因為函數恆為正數，此題似乎跟判別式有關，因而以判別式大於 0 的 錯誤方式來解題等錯誤概念。

因此研究者希望能夠探究：若是能夠在二次不等式的教學活動中加入二次 函數圖形的概念，設計具備多重表徵形式的教學，利用圖形表徵的特點來彌補 代數表徵的不足，如此是否能夠促進學生對於二次不等式不同表徵之間的整 合，進而能夠利用適當表徵來解題？對於二次不等式解題的正確率是否有正面 的助益？這是本文希望能夠透過研究來加以探討的重要問題。