第四章 研究結果
第三節 動態鏈結多重表徵教學活動設計
本研究的教學活動設計架構以複習函數的意義先備知識開始，加入不等式 解的意義概念，發展出二次不等式的數學概念，並將二次不等式分解為解二次 不等式與二次不等式的正定性兩部份（如圖4–21）。
圖4–21 教學活動設計架構圖
在此教學活動設計架構的概念之下，本研究的教學設計以四個活動主題來 進行。四個活動主題所欲達成的教學目標分析如表 4–2。本文所設計的教學活 動一：二次函數的點集及其圖形，內容包含二次函數的三種主要表徵形式：代 數式、表列、圖形。並參考前測所得出之結果，運用學生熟習的不同表徵轉移 程序，以代數式轉移至表列，表列轉移至圖形的方式，複習二次函數圖形的點 集，並進一步繪製出二次函數的圖形。以下以實驗組教案來說明教學流程，對 照組與實驗組不同之處，在於實驗組教師活動以動態鏈結多重表徵呈現的部 份，對照組教師活動以靜態的板書繪製與書寫來呈現；實驗組學生活動以電腦 操作的部份，對照組學生以紙筆運算與繪製來操作。
表4–2 教學活動設計之教學目標
關於數值複雜度與計算速度的限制，而只能分別理解二次函數的不同表徵，對 於不同表徵之間的連結，更只能從少數的點來臆測其函數圖形。
1. 學生在輸入二次函數各項係數後，透過代數區逐步計算的說明，可以瞭 解函數值如何透過代數操作計算而得，讓學生瞭解函數值的代數意義。
接著透過點擊按鈕的動作，可以將 x 值與計算出的函數值 y 值填入表格 中，這個動作的設計目的是希望學生能夠瞭解表列表徵的意義，以及表 列表徵與代數表徵之間的轉移。
2. 將滑鼠游標移至表列數值，表列中的數值背景顏色立即轉變為醒目的鮮 黃色，透過滑鼠點擊的動作，圖形區立即出現描繪對應點的動畫。此設 計是希望讓學生瞭解表列數值與圖形表徵之間的連結，以及函數圖形點 集的意義。
3. 在學生瞭解繪製二次函數個別點的方法與其意義後，透過代數區按鈕的 點擊，學生可以立即在圖形區畫出更多的點，並在表列區觀察到這些點 所表示的數值，藉以讓學生觀察到函數圖形的雛型。
4. 此外，透過拉動 x 軸上所設計出的動點，學生可以同時觀察到點位置的 移動、表列數值的變化、函數值的變動，藉此希望學生能夠明瞭，二次 函數圖形是由一個一個的點所形成，而這些點的 x 座標與 y 座標，均為 一種對應關係，且與二次函數的代數式具有關連性。
圖4–22 二次函數的點集及其圖形操作介面
二、 二次函數圖形與 x 軸交點
二次函數圖形與 x 軸交點是解二次不等式的重要概念，因此無論是代數意 義或是幾何意義，希望學生都能瞭解，並能夠在兩者之間順利轉移。在經過活 動一的學習之後，知道二次函數圖形點集的形成與其意義，因此活動二的設計 內容為讓學生瞭解二次函數圖形與 x 軸的交點在不同表徵中的呈現及其意義。
1. 學生直接透過按鈕點擊，來繪製出二次函數圖形，並在圖形區標示二次 函數代數式，藉以加強學生二次函數圖形與代數式之間的連結。
2. 在學習單的活動設計中，學生先思考 x 軸與 y 軸所表示的方程式，藉以 讓學生學習反思圖形表徵與代數表徵之間的轉移關係。接著藉由點擊按 鈕繪製 y = 0 圖形，印證圖形表徵的 x 軸所表示的代數方程表徵即為 y = 0。
3. 藉由按鈕點擊或直接觀察圖形，學生可以得知二次函數圖形與 x 軸交點 座標。在代數區的逐步計算說明中，學生若將滑鼠游標移至二次函數，
圖形區中的二次函數圖形立即變色；學生若將滑鼠游標移至 y = 0，圖形 區中的 x 軸立即變色；學生若將滑鼠游標移至交點座標，圖形區中的對 應交點立即變色；。藉以強調代數表徵與圖形表徵之間的轉移關係。
圖4–23 解二次不等式操作介面
三、 解二次不等式
本研究的教學活動設計最主要的目的，是希望學生能夠學習到整合各種不 同的表徵用以解二次不等式。因此活動三的設計方式結合代數式、數值表列、
圖形三者，先以離散的數值，同時呈現圖形與表列兩種表徵，來說明點的數值 意義與不等式解的語意表徵。接著讓學生以拖曳動點的方式，來觀察二次函數 圖形、數值、不等式解的意義，然後藉由不等式解的意義的反思，瞭解二次不 等式的解範圍，從而學習到整合代數、表列、圖形表徵，來解二次不等式。
1. 學生透過點擊按鈕，可將 x 值與對應 y 值填入表格，其方式與活動一相 同，但在表列中除了數值以外，再加入一欄解的意義文字敘述，讓學生 在觀察到函數值的數值以外，同時透過不等式解的語意表徵的說明，瞭 解不等式解的意義。
2. 透過拉動圖形區 x 軸上的動點，學生可以觀察到點的數值的改變、位置 的變化、解的意義的描述。並透過不同顏色的區別（點在 x 軸上方為藍 色，在 x 軸下方為紅色，洽在 x 軸上為綠色），來加強學生對於不等式 解範圍的概念心像。
3. 學生在解二次不等式的過程說明中，可以透過繪製函數圖形，然後配合 學習單練習從函數圖形中解讀出二次不等式的解範圍。並藉由圖形區在 x 軸上的動畫，觀察二次不等式解範圍的繪製過程與結果。
圖4–24 解二次不等式操作介面
圖4–25 解二次不等式操作介面
四、 二次不等式之正定性
二次不等式的正定性可以說是二次不等式重要性質之一，但由於它與學生 的其他先備知識有些推論過程相當類似（例如二次方程式係數與判別式之間的 關係），因此容易造成觀念的混淆。本單元的教學活動設計同樣以多重表徵形 式來呈現，讓學生觀察二次不等式的代數式與圖形，並反思代數式係數、判別 式，與圖形 x 軸交點、不等式解之間的關係，進而推論出二次不等式的正定 性，接續前三個活動的函數點集概念與不等式解的概念，讓學生拉動函數圖形 上的動點，來觀察恆正恆負型的不等式，其函數圖形表徵形式的意義，以及從 函數圖形中解讀出恆正恆負型不等式的解。
1. 學生藉由圖形區數字軸的拉動，可以改變二次函數的係數，並觀察到二 次函數圖形的變化。配合學習單，學習到二次函數圖形與 x 軸交點的三 種情況（交於兩點、交於一點、無交點）。
2. 透過按鈕點擊，讓學生觀察在代數區針對二次函數的判別式正負的計算 說明，並複習二次方程式根的個數與判別式正負之間的關係。
3. 學生可以透過拖曳圖形區 x 軸上的動點，觀察二次函數圖形上每個點所 表示的數值。配合學習單所設計的試題，拉動數字軸繪製二次函數圖 形，藉由觀察二次函數圖形解出二次不等式的解範圍。
4. 在活動四圖形區二次不等式的解範圍說明加入「解為所有實數」以及
「此不等式無解」，配合圖形加強說明二次不等式的解所包含之範圍，
讓學生能夠看見解範圍與函數圖形數值的對應關係，瞭解如何從二次函 數的圖形解讀出對應之二次不等式的解。
圖4–26 二次不等式正定性操作介面
本研究所設計的動態鏈結多重表徵學習環境，與傳統講述學習環境相較之 下，能夠具體呈現二次不等式多重表徵之間的鏈結性為其最大特色。動態鏈結 的視窗環境將教學視窗分為左右兩個部份，左邊為圖形區，呈現二次不等式的 圖形表徵，右邊是代數區，呈現二次不等式的代數表徵與表列表徵，並配合按 鈕、數字軸、動點、文字解說、動畫等方式，讓學生能夠透過操作與觀察，察 覺到二次不等式多重表徵之間的鏈結關係，學習到二次不等式多重表徵的整 合。