第二章 文獻探討
第四節 縮圖、放大圖與比例尺之迷思概念
受認知心理學及基模建構論的影響，科學教育學界逐漸重視會妨礙學 生正常學習的錯誤概念（misconceptions），迷思概念亦包含錯誤概念（陳 嘉甄、陳慶彥，2009），學生對某一科學概念的解釋與教材內容部分相同 或不相同，與科學界所定義的有出入者，即視為迷思概念（高紹源，1996）。 對於「迷思概念」的定義，有許多相關名詞，例如原有知識（prior
knowledge）、先前知識（misconception），另有架構或另類架構（alternative framework）等（陳嘉甄、陳慶彥，2009），雖然學者有不同的說話，而鍾 聖校（1995）指出如有發展概念圖則迷思概念是較適當的稱法。本研究欲 編製二階段測驗需建立概念關聯性的概念圖，因此本研究將其定義為學生 在學習「縮圖、放大圖與比例尺」與科學定義不同的觀念稱為迷思概念。
學生在學習時的迷思概念常常根深蒂固地存在於學生的概念架構中，
若要改正或移除學生已存有的迷思概念，就必須先去瞭解形成這些迷思概 念的成因，然後再根據其成因改變教學策略及方式，如此才有可能改善學 生的迷思概念（邱明星，2005）。
蒐集數學解題時學生可能產生的迷思概念，可讓教師瞭解學生有可能
犯錯的概念，使教師教學時能注意學生的學習困難，而改善其教學方式，
也可以提供教師在評量學生時命題的參考，出題者可針對學生易犯的錯誤 概念命題，以偵測學生學習困難之所在（張景媛，1994）。迷思概念的診 斷與釐清有助於教學的進行，經過概念改變的教學或引導，才能使教學與 學習成為有效的活動。就數學知識本身而言，學習新的知識又以舊有的知 識經驗作為基礎，依靠學生認知結構進行同化，當學習的概念混淆不清 時，對數學學習的干擾就可能表現在定理、公式、法則的誤用，及範例的 應用錯誤等等情形（邱明星，2005）。
為了深入了解學生在「縮圖、放大圖與比例尺」單元易產生的迷思概
表2-4-1（續）
縮小圖與放大圖是相似的概念，國小的課程教學對於相似沒有明確的 定義，只是介紹圖形放大與縮小，做為相似圖形的先備經驗介紹，而放大 縮小會帶給將來國中學習相似概念時造成的語意干擾，受全等、同類、形 狀相近、方位的影響而產生誤解，同樣的，在介紹放大縮小時，同時也會 受到面積比例當作放大縮小的語意干擾，認為放大幾倍，就等同於面積放 大幾倍（高俊豐，2009）。
多數學生對平面圖形的迷思概念，往往以視覺的觀點來判斷，受到直 觀上視覺的誤差以及方位變化所影響（朱莉文，2005）。吳宜靜（2005）
指出學生在判斷縮放圖時容易忽略分數倍的縮放圖，完全憑藉以第一眼直 觀的「圖形相像程度」判斷，不考慮相似形性質（如：縮放圖各部分同時 等比例縮放）；忽略圖形的旋轉，只是單純考慮水平向與鉛直向的縮放，
尤以三角形縮放圖的辨識，若斜邊朝下水平放置，直角朝上，則不容易察 覺該圖形為原圖經旋轉後的縮放圖。由於日常生活所見的物品大都是水平 擺放，而在教學時也常以水平方位來介紹各種平面圖形，因此易造成學童 在辨識非水平方位的平面圖形時產生困難。雖然是相同的圖形，但是位置 變換後，就較不易辨認出來，顯示圖形擺放的位置會影響兒童對圖形的判 斷（劉雪芳，2009）。
在幾何領域相關文獻中提及學生在「縮圖、放大圖與比例尺」單元的 學習上，學生易產生一些迷思概念，以下就最常出現的比例、角度、面積 以及繪製縮圖與放大圖之迷思概念進行探討。
一、 比例
學生解比例問題的迷思而產生失敗的解題策略有加法策略或常數差、
忽略問題重要資訊、任意的運算、誤解題意、比例項錯置（黃寶彰，2003；
陳曉琪，2006；傅宗聖，2007）及計算錯誤等，在這些失敗的策略中，又
以加法策略是為最普遍的，有些是因為缺乏比例概念的基本知識所致，而 有些是因為兒童本身粗心大意所影響（黃寶彰，2003；傅宗聖，2007）。
黃寶彰（2003）在與六、七年級學生進行一對一的半結構訪談，發現 學生在解兩數量的比、比值、比的相等及求比例式，此四項基本概念學生 較無明顯的學習困難，而學生在比與比例主要的學習困難是在應用比和比 值解決有關的問題（如身高問題）、應用比例來解題及判斷比的大小（如 組合問題、濃度問題、身高問題及交換問題等）。
陳曉琪（2006）針對國小六年級學生共計61人，進行「比和比值」的 前測測驗，超過半數以上的學生有以下的迷思概念：
（一） 比的前後項錯置（黃寶彰，2003）。
（二） 比值分母和分子錯置。
（三） 比值的基本概念認知不足。
（四） 比和比值混淆，將比值寫到比的部分，或是將比寫到比值的部分
（黃寶彰，2003）。
（五） 步驟較多先約分再擴分，或運思能力不足先擴分再約分。
（六） 受題目多餘訊息影響解題。
（七） 直接將數字進行加減乘除求解。
對於相似的概念，學生雖顧及「形狀相同、大小不同」的概念，但是 實際上卻有極高機會導致錯誤的「加法相似」概念以及「面積相同」概念。
「加法相似」概念會誤認「放大」是「加法」上的關係，而不是倍數關係，
以致於採用了錯誤的「加法策略」策略，因而通過解題（魏宗明、劉祥通，
2003）。
當學生無法判斷兩者是否成比例關係時，比較容易傾向將它們看成是 自己較為熟悉的比例關係，而產生迷思概念。在小學的數學教育中，線性
比例關係是一個重要的主題，學生對於非比例的概念中，尤其對於不規則 出現的量，較不容易理解到哪些情境是不成比例、哪些是具比例關係的，
例如一個人的年齡和腳的大小，學生比較能了解到這樣的關係是不成比 例；然而對於正方形的面積是否和邊長具有比例關係，學生則無法像前一 個例子立即做出反應，正確思考連結邊長和面積是具有比例關係的（高俊 豐，2009），因而學生對比的概念不熟悉，進而影響理解比例尺以及縮放 圖的幾何性質。
二、 角度
角具有開度、區域，以及旋轉量三種意義（陳錦傳，1995），國小以 旋轉量來介紹角，藉由時鐘長針和短針的轉法，教導學生旋轉時固定不變 的點稱為頂點，旋轉前的位置稱為始邊，旋轉後的位置稱為終邊，旋轉的 方向與時鐘相同稱為順時針方向，相反方向稱之為逆時針方向，旋轉程度 的大小叫做旋轉角度，即旋轉程度越大角度越大，反之亦然。
陳錦傳（1995）發現學童角的大小比較會受到「角的邊長」、「角的 方向與弧線標示的交互作用」兩因素的影響，「邊長不同」的角比「邊長 相同」的角更不容易比較出角的大小；「角的方位不同且有弧線標示」的 表現也低於「角的方位相同且有弧線標示」，顯示學生是有條件的受到角 的方位以及弧線標示的影響。
學生在角度的迷思概念（鍾登宏，2004；吳宜靜，2005）：
(一) 以角的夾邊為判斷依據，認為放大圖的兩角夾邊較長，因此其角度也 較大。黃金泉（2002）研究國小四年級學童對角的概念認知瞭解情形 與解題策略，題型為兩條線相交所成的兩角，如圖2-4-1，答錯者的學 生會以邊比較長、面積比較大、外形比較大的理由決定角的大小。角 張開程度的大小不因為邊長的差異而有所不同，此概念的建立是角度
數量化的基礎。角的大小是指角的一邊掃過一個範圍，到達另一邊後 兩邊張開程度的大小，因此角的大小是二維特徵，和長度的一維特徵 有差異，一般人常會在角的兩邊各選一點，以此兩點的距離當做角的 開度，形成一個角的邊越長，其角度就越大的錯誤觀念（黃榆婷，
2007）。
圖 2-4-1 邊長不同且沒有弧線標示之角
(二) 誤認為面積小的角或鄰邊較短的角，其角度就比較小。
(三) 圖形放大，各部分放大，所以學生會誤認為角度也會放大。
(四) 若圖形並非單一角，而是包含在圖形中的圖形角時，學生容易顧慮其 餘的圖形面積，進而比較面積的大小，主要受視覺直觀影響，誤認弧 線與角的兩邊所圍成的區域，因而學生會誤解若內部面積大，則會認 為角度比較大，即放大圖會有比較大的對應角。
學生偏重以角的圖形所呈現的視覺訊息，例如角的頂點、邊線等來理 解角的意義，且教學上教師用以解釋角的意義以及標計角所外加的弧線，
可能會造成學生對角的概念的誤解（陳錦傳，1995），因而教師適當安排 不同變項之角的大小比較試題，可以診斷學生的迷思概念，進一步幫助學 童選擇更有效的解題策略。
三、 面積
圖形區域是個點集合，面積是點集合所對應的量，因此面積本身是一 種量，是一種依附在圖形區域所產生的量（陳鉪逸，1998）。陳志遠（2010）
指出學生在學習面積單元時，容易產生「面積定義的誤解」、「單位概念、
單位面積點數及面積單位間轉換」、「面積保留概念」、「面積與周長的 不了解與混淆」、「對面積公式的不了解及誤用」、以及「量感及單位概 念不足，導致對圖形進行估測具有困難」。
綜合各種文獻以及研究者的教學經驗中，歸納出學生在「縮圖、放大 圖與比例尺」單元學習時，計算面積有下列幾項迷思概念：
(一) 單位混淆
學童未經教學前，具備了面積的基本概念、保留概念及簡單的估測概 念，但對於測量方面則不熟悉，其中單位換算與計算面積兩個向度在前測 上得分較低，學生對於面積的換算感到困難，但是只要先判別哪個面積單 位大，再了解長度單位與面積單位間的關係，就能找出面積單位間的換算
學童未經教學前，具備了面積的基本概念、保留概念及簡單的估測概 念，但對於測量方面則不熟悉，其中單位換算與計算面積兩個向度在前測 上得分較低，學生對於面積的換算感到困難，但是只要先判別哪個面積單 位大，再了解長度單位與面積單位間的關係，就能找出面積單位間的換算