縮圖、放大圖與比例尺相關內容分析

九年一貫課程綱要（教育部，2008）指出幾何不但是數學教育中的重 要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。幾何為典型的視覺影像 處理，例如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、

圖形識別等，國小階段幾何形體的理解包含察覺、操作、構造等諸面向。

小學教師在從事幾何教學時，必須避免自己歐氏幾何訓練的干擾，避免處 處受制於定義的認定與邏輯順序。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知 識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。因此小學的幾何教 學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，儘量讓學童發 揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢 慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，

打下良好的基礎。

本研究選定幾何領域中「縮圖、放大圖與比例尺」單元進行測驗編製，

以診斷學生數學概念與迷思概念的表現情形，以下將對此單元的相關數學 概念逐一說明。

一、縮圖與放大圖

劉好（1997）指出放大圖與縮小圖通常以邊長的比值來描述其放大或 縮小的倍率，例如N表示一個正實數，甲表示一個圖形，如果甲圖形上任 意兩點的距離均放大或縮小為原來的N倍，所成的圖形稱為乙圖，如果N

＞1則稱乙圖為甲圖的N倍放大圖，反之若N＜1則稱乙圖為甲圖的縮小圖。

放大圖與縮小圖是相對的概念，學生應確實理解幾何圖形在縮放前後的變 化性質，例如直線變到直線、對應邊線段長成比例、對應角角度不變。

吳宜靜（2005）指出兩個幾何圖形若有相同的形狀，並且具備對應角 相等、對應邊成比例的特質，則稱為相似圖。我們可以從將圖形以一致均

勻等比例的的伸縮，獲得相似圖形，而在邊長比等於1時，又稱為全等圖 形。由原圖形經縮放比值為1的的轉換（亦即與原圖全等）、旋轉、翻轉、

鏡射所得的新圖形，都是與原圖相似的相似形。若有相似的概念，更可以 應用到所有幾何圖形上。縮圖與放大圖的產生，實則由全等的兩圖形透過 邊長比例的變化形成。因此，與縮圖與放大圖相關之概念包含圖形各組成 部分（邊、角、頂點）之對應關係與邊長比例縮放。

二、縮圖、放大圖與比例尺相關數學概念

依據九年一貫數學領域能力指標6-s-02「能認識平面圖形放大、縮小對 長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。」，以下逐一探討與此能力指 標有關的「比與比例」、「比例尺」、「角度」以及「面積」的數學概念。

(一) 比與比例

放大縮小的問題情境蘊含比例概念，而比例尺的學習也與比例概念密 不可分，因此要在「縮圖、放大圖與比例尺」單元有良好的表現，須對比 例概念相關教材熟悉。

比是兩對應關係量A、B的記錄，當兩數量因某種原因而產生對應的關 係，表示兩個數量A和B之間的對等關係時，用數學符號「A：B」來代表，

其中A是比的前項，B是比的後項。在符號「A：B」中，將前項除以後項 所得的商則稱為比值，而比值通常是以分數的形式表示。當兩個比的比值 相等時，就稱這兩個比成比例。等值分數是比例概念的基礎，將相同的單 位量做不同的等分除的分割，會有不同的等值分數產生，而將等值分數寫 成等式，就產生了比例關係的概念。

國小學生在比與比例基礎題的表現，六年級學生覺得由難而易的題型 依序為：「求比值」→「比值的意義」→「求比例式第四項（非整數倍）」

→「求比」→「求比例式第四項（整數倍）」→「比的判斷」。日常生活 中，比例的相關用語經常用來被描述生活的問題，且解比例問題能力是決 定能否學習更高層次數學的重要分界。但是，在學生數學知識的學習過程 中，比例問題卻成了中小學學生的難題（黃寶彰，2003）。

比例問題有其重要性與複雜性，劉祥通（1999）指出比例問題是「數 與計算」的範圍，從整數、小數、與分數延續而來，它承繼整數加減法、

整數乘除法、分數加減法、與分數乘除法；是「數量關係」的範圍，如比、

比例與比值等性質；是「圖形與空間」題材，例如比例尺的意義、縮圖與 放大圖；也是「量與實測」的題材，例如密度、消費、度量、價格、濃度 等性質。

九年一貫課程綱要（教育部，2008）指出：比例關係是日常生活與自 然科學中經常用到的數量關係，本身有非常豐富的性質，可以視為乘除關 係的重要延伸。比例關係有兩種看法：一是倍數相同的觀點，一是比值相 等的觀點，兩者對於解決實際的應用問題都很重要，學生必須熟稔兩者，

才算是真正掌握了比例關係。比例關係的具體表現是比例式，由倍數或比 值的觀點，都可以歸結到「外項相乘等於內項相乘」的結果。在比例的計 算中，可以自然的引入繁分數的記法與計算。比例在國中階段也有延伸課 題，連比、正比與反比的關係以及函數關係的特例，可見比例概念是非常 重要的數學學習基礎。

莊玉如（2005）蒐集相關文獻，指出比例問題有下列幾個主要類型：

1. 組合問題（關聯的集合）：問題中兩個集合間並沒有明顯的意義關係，

經過問題的陳述後才產生關係。例如，親子遊戲中3個小孩，需要2個大 人來協助，有15個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？

2. 母子問題（部份—部份—全部）：一個集合是由兩個以上的部份集合所 組成，而部份集合之間有比例關係。例如10個湯圓裝一盒，其中一盒有

5個是花生口味，如果買5盒湯圓，有幾個是花生口味？

3. 密度問題（內涵量的量數）：由兩個外延量所組合的比的關係，產生一 個內涵量的量數。例如，水的密度是由水的重量及水的體積之比所決 定。例如3公升的水重3公斤，請問多少公升的水重8公斤？這樣的關係 可類推至其它內涵量如速率（距離與時間的比）等。

4. 交換問題：兩個物件因某種約定，使其具有相同的價值，例如以物易物 情境中，3枝鉛筆可以換2塊橡皮擦，鉛筆與橡皮擦的等價是因某種約 定，又如買賣的情境中，3個水煎包賣20元，水煎包與價格的等價亦是 相同的道理。

5. 放大與縮小：問題情境中的兩個量數有固定的比值，如果將其中的一個 量數增加，另一個量數亦跟著增加；反之若一個縮小，則另一個也跟著 縮小。例如：樹的高度與影子的關係，樹高10公尺，影子長6公尺，若 樹高15公尺，影子長為多少公尺？

為了有效進行「縮圖、放大圖與比例尺」單元之診斷測驗，須深入了 解學生解比例問題的策略（黃寶彰，2003；傅宗聖，2007）：

1. 乘法策略

（1） 倍數法：所謂倍數法即第一個比率式中分子與分母之間具有倍數關 係，再將此倍數擴充到第二個比率式裡。例如「3顆糖果賣5元，9 顆糖可賣多少錢？」中，先以9÷3＝3，算出9顆糖果是3顆糖果的3 倍，而5元的3倍是15元，因而算出9顆糖果賣15元。

（2） 單價法：這是將比值單位化的作法，先計算出一個單位的量，然後 再計算總額。例如「3顆糖果賣6元，5顆糖可賣多少錢？」中，先 以6÷3＝2，算出一顆糖果要2元，再計算2×5＝10，求出5顆糖果要 10元。

（3） 數量分解法（decomposing method）：所謂數量分解法是指將問題 量數在計算過程中分解為兩個以上的量數再予以組合的解題策 略。Vergnaud(1983)的研究中，學生解「放熱器運轉32小時消耗8 公升的汽油，那麼運轉104小時會消耗多少公升的汽油？」之策略 如下所述：

學生解法 32×3＝96＋8＝104 ; 86＝24＋8/4＝26 Vergnaud

（1983）的 分析

104＝（3×32）＋（1/4×32）

X＝（3×8）＋（1/4×8）

＝24＋2＝26

上述學生的策略是將104分解為96和8這 兩數字，再計算出答案。

（4） 公式法：常用的乘法策略，也就是十字交乘法。在「a：b＝X：c」

的比例問題情境中，學童運用公式a×c＝b×X，求得X＝a×c÷b，公 式法雖可提昇解題的效率，但對於國小學生過於抽象，易使學生形 成公式化的記憶，忽略對本身問題的理解。

2. 加法策略

以加、減代替乘、除求解比和比例問題的一種解題方法。在「a：b＝

X：c」的比例問題情境中，學童直接將a：b進行累加，形成na：nb，進而 推算出X的解題方式。例如「玩具二個賣十元，六個賣多少錢呢？」，學 生從玩具二個賣十元開始推算，玩具四個賣二十元，玩具六個賣三十元，

這是一種擴充式的推理，但有其實際運用上的限制。對於比例問題有許多 學生會以累加的方法來解題，當題目的數字較小時，應用加法常可順利解 題，但是當數字較大時，要完成解題將是困難且不經濟的。

學生解比例問題時最常出現的錯誤解法是加法策略，在比例的問題情

境中，學生使用累加法來解題的三個可能原因（Hart,1981）：第一個原因 為學生不熟悉乘法運算，逃避乘法；第二個可能的原因為學生不會求比 值；第三個原因則為學生在分數的計算上比較薄弱，不熟悉分數的乘法。

如果題目較容易或是數字較小，學生使用累加法可以解題，但當問題中的 數字為非整數倍，就只有極少數人能用累加法成功解題。

(二) 比例尺

比例尺是一種抽象的內涵量概念，它並非像量長度的直尺，可以拿來 直接測量實物的長短，學生需先了解縮圖或放大圖與原圖邊長的倍率關 係，才能理解的一種「表示原物與縮圖（或放大圖）之倍率關係」概念。

因此先讓學童理解縮小或放大圖倍率關係後，再介紹比例尺概念及應用。

劉好（1997）指出比例尺可以說是比和比值的應用，是表示縮圖或放 大圖上的長度與實際長度的比值。比例尺的求法一般採計算縮圖或放大圖 與原圖的對應邊長之比，常以1和其縮小或放大的倍率的比、比值或線段

劉好（1997）指出比例尺可以說是比和比值的應用，是表示縮圖或放 大圖上的長度與實際長度的比值。比例尺的求法一般採計算縮圖或放大圖 與原圖的對應邊長之比，常以1和其縮小或放大的倍率的比、比值或線段