第五章 二階規劃模型建立與求解
第二節 二階規劃模型的建立
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𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚) 第 n 期製造商的成本函數
第二節 二階規劃模型的建立
一、零售商決策模型
在有限的 N 階段內，零售商知道每一階段的市場需求𝑫𝒏 = (𝐷1, … , 𝐷𝑁)，零 售商需要決定每一階段的最優訂貨量𝐪𝒏𝒓 = (q1𝑟, q2𝑟, … q𝑟𝑛)，使得 n 期成本費用的總 和最小。I𝑛𝑟 ≥ 0 表示零售商第 n 期結束時的庫存數量，則有I𝑛𝑟 = I𝑛−1𝑟 + q𝑟𝑛− 𝐷𝑛， 假設零售商初始庫存量為s。
零售商持有自有資金，𝑌𝑛𝑟表示第 n 期結束時的現金數量，如果自有資金不能 滿足當期的訂貨成本，則零售商面臨資金約束，可通過線上庫存融資模式向第三 方 B2B 電商平台融資，融資固定成本為 A，融資利率為𝛾𝑟，現金的轉換函數為：
𝑌𝑛𝑟 = 𝑌𝑛−1𝑟 + 𝑝 ∙ 𝐷𝑛 − 𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛, 𝐹𝑛𝑟)；假設零售商初始現金量為𝑀𝑟。最後一期的現金 餘額𝑌𝑁𝑟是整個週期利潤和初始資金的總和。
𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛, 𝐹𝑛𝑟)表示第 n 期零售商訂購q𝑟𝑛數量和融資𝐹𝑛𝑟時的成本函數，零售商的 成本包括兩個部分，關於訂購產品的成本和關於融資的成本。引入 0-1 變量，其 中𝑥為訂購量或者融資量。
𝜂(𝑥) = {0 當𝑥 = 0 1 當𝑥 ≥ 0
關於銷售產品的成本包括三個部分，第一部分是固定的訂購成本𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛)，
第二部分是訂購產品的變動成本w ∙ q𝑟𝑛，第三部分是庫存成本ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟；關於融資的 成本也包括兩個部分，第一部分是融資的固定成本𝐴 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑟)，第二部分是融資的 利息成本𝛾𝑟∙ 𝐹𝑛𝑟，因此每一期零售商的總成本為：
𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛, 𝐹𝑛𝑟) = 𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛) + w ∙ q𝑟𝑛+ ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟+ 𝐴 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑟) + 𝛾𝑟∙ 𝐹𝑛𝑟
每一階段零售商必須滿足市場需求，所以上一期的期末庫存加上當期的訂購
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量必須大於市場需求量，因此有：
I𝑛−1𝑟 + q𝑟𝑛 ≥ 𝐷𝑛
每一階段零售商的最高融資額度不能超過前期庫存加上本期訂購量的價值 的質押比例，因此有：
𝐹𝑛𝑟 ≤ 𝜃𝑟∙ 𝑝 ∙ (I𝑛−1𝑟 + q𝑛𝑟)
每一階段期初，也就是上一期期末的自有資金與融資的總和應大於需要支出 的訂貨成本，於是有如下限制式：
𝑌𝑛−1𝑟 + 𝐹𝑛𝑟 ≥ 𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛) + w ∙ q𝑟𝑛+ ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟+ 𝐴 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑟) + 𝛾𝑟∙ 𝐹𝑛𝑟 於是零售商的優化問題為：
𝐪min𝒏𝒓, 𝑭𝒏𝒓 ∑ 𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛, 𝐹𝑛𝑟)
𝑁
𝑛=1
= ∑[𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑛𝑟) + w ∙ q𝑛𝑟 + ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟+ 𝐴 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑟) + 𝛾𝑟∙ 𝐹𝑛𝑟
𝑁
𝑛=1
]
s.t I0𝑟 = 𝑠, 𝑌0𝑟 = 𝑀𝑟 （1）
I𝑛𝑟 = 𝑠 + ∑𝑛𝑗=1(q𝑗𝑟− 𝐷𝑗) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （2）
𝑌𝑛𝑟 = 𝑀𝑟+ ∑𝑛𝑗=1[𝑝 ∙ 𝐷𝑗− 𝐶𝑗𝑟(q𝑟𝑗, 𝐹𝑗𝑟)], 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （3）
𝑌𝑛−1𝑟 + 𝐹𝑛𝑟 ≥ 𝐶𝑛𝑟(q𝑛𝑟, 𝐹𝑛𝑟) （4）
𝐹𝑛𝑟 ≤ 𝜃𝑟∙ 𝑝 ∙ (I𝑛−1𝑟 + q𝑛𝑟) （5）
I𝑛−1𝑟 + q𝑟𝑛 ≥ 𝐷𝑛 （6）
I𝑛𝑟, q𝑛𝑟, 𝐹𝑛𝑟 ≥ 0, 其中q𝑛𝑟為整數 （7）
零售商優化模型的目標函數是各階段的成本之和最小。限制式（1）表示初 始庫存量和初始資金量。限制式（2）表示每階段零售商庫存量的轉換關係。限 制式（3）表示每階段零售商現金轉換關係。限制式（4）表示零售商自有資金和 融資數量之和能夠支付每次訂貨成本。限制式（5）表示零售商融資數量不能超 過前期庫存加上本期訂購數量之價值的質押比例。限制式（6）表示零售商每階 段必須滿足市場需求。限制式（7）是對決策變量的約束，每期訂購量、融資量、
期末庫存非負，並且訂購量為整數。
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二、製造商的決策模型
零售商先做出每一階段的最優決策𝐪𝒏𝒓 = (q1𝑟, q2𝑟⋯ q𝑁𝑟)之後，製造商根據零售 商的最優訂貨決策來決定每個階段的最優生產決策𝐐𝒏𝒎 = (Q1𝑚, ⋯ Q𝑁𝑚)，使得所有 階段的成本總和最小。I𝑛𝑚表示第 n 階段結束時製造商的庫存。I𝑛𝑚 = I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚− q𝑛𝑟，假設製造商初始庫存量和 N 階段結束后的庫存量都為b,即I0𝑚 = 𝑏
製造商第 n 期結束后自有資金為𝑌𝑛𝑚,如果當期期初的自有資金不能滿足當 期的成本費用則面臨資金約束的問題，可利用訂單進行融資，融資的固定成本為 B，融資利率為a𝑚，製造商需要決定每一階段的融資數量𝐹𝑛𝑚，𝑌𝑛𝑚 = 𝑌𝑛−1𝑚 + 𝑤 ∙ q𝑛𝑟 − 𝐶𝑛𝑚(Q𝑚𝑛, 𝐹𝑛𝑚)，假設製造商的初始現金為𝑌0𝑚 = 𝑀𝑚。
𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚)表示第 n 期製造商生產量為Q𝑚𝑛，融資量為𝐹𝑛𝑚時的成本函數，成 本包括兩個大部分，第一部分是關於生產產品的成本，第二部分是關於融資的成 本。關於生產產品的成本又包括三個部分，第一個部分固定的生產成本𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑛𝑚)， 第二部分是可變的生產成本c ∙ Q𝑚𝑛；第三部分是庫存成本ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚；關於關於融資 的成本也包括兩個部分，第一部分是融資的固定成本𝐵 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑚)，第二部分是融資 的利息成本a𝑚∙ 𝐹𝑛𝑚，因此製造商第 n 期的總成本為：
𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚) = 𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑚𝑛) + c ∙ Q𝑛𝑚+ ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚+ 𝐵 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑚) + a𝑚∙ 𝐹𝑛𝑚 對於製造商來說每一階段自有資金與融資的總和應大於需要支出的生產成 本，於是有如下限制式：
𝑌𝑛−1𝑚 + 𝐹𝑛𝑚 ≥ 𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑚𝑛) + c ∙ Q𝑚𝑛 + ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚+ 𝐵 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑚) + a𝑚∙ 𝐹𝑛𝑚
每一階段製造商必須滿足零售商的訂購量，上一期的期末庫存加上當期的生 產量必須大於零售商訂購量，因此有：
I𝑛−1𝑚 + Q𝑚𝑛 ≥ q𝑟𝑛
訂單融資模式下，每一階段製造商的最高融資額度不能超過貨物價值的一定 比例，因此有：
𝐹𝑚 ≤ 𝜖𝑚∙ 𝑤 ∙ q𝑟
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每一階段製造商會面臨產能的限制，因此有：
Q𝑚𝑛 ≤ 𝐽𝑚 製造商的優化模型為：
𝐐min𝒏𝒎,𝑭𝒏𝒎∑𝑁𝑛=1𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚)= ∑𝑁𝑛=1[𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑚𝑛) + c ∙ Q𝑚𝑛 + ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚+ 𝐵 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑚) +a𝑚∙ 𝐹𝑛𝑚]
s.t I0𝑚 = 𝑏, 𝑌0𝑚 = 𝑀𝑚 （1）
I𝑛𝑚 = 𝑏 + ∑𝑛𝑗=1(Q𝑚𝑗 − q𝑗𝑟) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （2）
𝑌𝑛𝑚 = 𝑀𝑚+ ∑𝑛𝑗=1[𝑤 ∙ q𝑟𝑗− 𝐶𝑗𝑚(Q𝑗𝑚, 𝐹𝑗𝑚)] 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （3）
𝑌𝑛−1𝑚 + 𝐹𝑛𝑚≥ 𝐶𝑛𝑚(Q𝑚𝑛, 𝐹𝑛𝑚) （4）
𝐹𝑛𝑚 ≤ 𝜖𝑚∙ 𝑤 ∙Q𝑛𝑚 （5）
Q𝑛𝑚 ≤ 𝐽𝑚 （6）
I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚 ≥ q𝑟𝑛 （7）
I𝑛𝑚, Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚 ≥ 0, 其中Qnm為整數 （8）
製造商優化模型的目標函數是各階段的成本之和最小。限制式（1）表示初 始庫存量和初始資金量。限制式（2）表示每階段製造商庫存量的轉換關係。限 制式（3）表示每階段製造商商現金轉換關係。限制式（4）表示製造商商自有資 金和融資數量之和能夠支付每次生產成本。限制式（5）表示製造商融資數量不 能超過生產數量（訂單）的質押比例。限制式（6）表示製造商生產能力限制。
限制式（7）表示每階段製造商必須滿足零售商的訂購量。限制式（8）是對決策 變量的約束，每期生產量、融資量、期末庫存非負，並且生產量為整數。
三、零售商與製造商二階規劃模型的建立
（一）供應鏈存在資金約束並且可以獲得外部融資情況下
以上分析的是供應鏈存在資金約束並且可以獲得外部融資情況下的零售商 和製造商的產銷融資優化模型。根據以上分析零售商為領導者的二階規劃模型如 下：
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qmin𝑛𝑟, 𝐹𝑛𝑟 ∑𝑁𝑛=1𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛, 𝐹𝑛𝑟) = ∑𝑁𝑛=1[𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛) + w ∙ q𝑟𝑛+ ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟+ 𝐴 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑟) + 𝛾𝑟∙ 𝐹𝑛𝑟] s.t I0𝑟 = 𝑠, 𝑌0𝑟 = 𝑀𝑟
I𝑛𝑟 = 𝑠 + ∑𝑛𝑗=1(q𝑗𝑟− 𝐷𝑗) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁
𝑌𝑛𝑟 = 𝑀𝑟+ ∑𝑛𝑗=1[𝑝 ∙ 𝐷𝑗− 𝐶𝑗𝑟(q𝑟𝑗, 𝐹𝑗𝑟)], 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 𝑌𝑛−1𝑟 + 𝐹𝑛𝑟 ≥ 𝐶𝑛𝑟(q𝑛𝑟, 𝐹𝑛𝑟)
𝐹𝑛𝑟 ≤ 𝜃𝑟∙ 𝑝 ∙ (I𝑛−1𝑟 + q𝑛𝑟) I𝑛−1𝑟 + q𝑟𝑛 ≥ 𝐷𝑛
I𝑛𝑟, q𝑛𝑟, 𝐹𝑛𝑟 ≥ 0, 其中q𝑛𝑟為整數
𝐐min𝒏𝒎,𝑭𝒏𝒎∑𝑁𝑛=1𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚)= ∑𝑁𝑛=1[𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑚𝑛) + c ∙ Q𝑚𝑛 + ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚+ 𝐵 ∙ 𝜂(𝐹𝑛𝑚) +a𝑚∙ 𝐹𝑛𝑚]
s.t I0𝑚= 𝑏, 𝑌0𝑚= 𝑀𝑚
I𝑛𝑚= 𝑏 + ∑𝑛𝑗=1(Q𝑚𝑗 − q𝑗𝑟) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁
𝑌𝑛𝑚= 𝑀𝑚+ ∑𝑛𝑗=1[𝑤 ∙ q𝑟𝑗− 𝐶𝑗𝑚(Q𝑗𝑚, 𝐹𝑗𝑚)] 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 𝑌𝑛−1𝑚 + 𝐹𝑛𝑚≥ 𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚)
𝐹𝑛𝑚≤ 𝜖𝑚∙ 𝑤 ∙ Q𝑚𝑛 Q𝑛𝑚≤ 𝐽𝑚
I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚 ≥ q𝑟𝑛
I𝑛𝑚, Q𝑛𝑚, 𝐹𝑛𝑚≥ 0, 其中Q𝑚𝑛為整數
（二）供應鏈不存在資金約束
如果零售商和製造商不存在資金約束，則沒有相應的融資固定成本和利息成 本，沒有初始資金的設置，沒有融資額與自有資金之和大於當期的支付成本的條 件限制，沒有當期融資額度的相關限制，因此將上述二階規劃模型不考慮融資決 策變量和資金的約束，則零售商和製造商無資金約束時的產銷優化模型如下：
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minq𝑛𝑟 ∑𝑁𝑛=1𝐶𝑛𝑟(q𝑟𝑛)= ∑𝑁𝑛=1[𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛) + w ∙ q𝑟𝑛+ ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟]
s.t I0𝑟 = 𝑠 （1）
I𝑛𝑟 = 𝑠 + ∑𝑛𝑗=1(q𝑗𝑟− 𝐷𝑗) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （2）
𝑌𝑛𝑟 = ∑𝑛𝑗=1[𝑝 ∙ 𝐷𝑗− 𝐶𝑗𝑟(q𝑟𝑗, 𝐹𝑗𝑟)], 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （3）
I𝑛−1𝑟 + q𝑟𝑛 ≥ 𝐷𝑛 （4）
I𝑛𝑟, q𝑛𝑟 ≥ 0, 其中q𝑟𝑛為整數 （5）
min𝐐𝒏𝒎 ∑𝑁𝑛=1𝐶𝑛𝑚(Q𝑛𝑚)= ∑𝑁𝑛=1[𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑛𝑚) + c ∙ Q𝑛𝑚+ ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚]
s.t I0𝑚= 𝑏 （6）
I𝑛𝑚= 𝑏 + ∑𝑛𝑗=1(Q𝑚𝑗 − q𝑗𝑟) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （7）
𝑌𝑛𝑚= ∑𝑛𝑗=1[𝑤 ∙ q𝑟𝑗− 𝐶𝑗𝑚(Q𝑗𝑚, 𝐹𝑗𝑚)] 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （8）
Q𝑛𝑚≤ 𝐽𝑚 （9）
I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚 ≥ q𝑟𝑛 （10）
I𝑛𝑚, Q𝑛𝑚≥ 0, 其中Q𝑛𝑚為整數 （11）
限制式（1）表示零售商初始庫存量。限制式（2）表示每階段零售商庫存量 的轉換關係。限制式（3）表示每階段零售商現金轉換關係。限制式（4）表示零 售商每階段必須滿足市場需求。限制式（5）是對決策變量的約束，每期訂購量、
期末庫存非負，並且訂購量為整數。限制式（6）表示製造商初始庫存量。限制 式（7）表示每階段製造商庫存量的轉換關係。限制式（8）表示每階段製造商商 現金轉換關係。限制式（9）表示製造商生產能力限制。限制式（10）表示每階 段製造商必須滿足零售商的訂購量。限制式（11）是對決策變量的約束，每期生 產量、期末庫存非負，並且生產量為整數。
（三）供應鏈存在資金約束，又不能獲得外部融資
前 2 種情境是假設一定滿足市場需求，對於已知的市場需求，收入是已知的，
因此目標函數只需要每階段成本之和最小化即可。如果零售商和製造商存在資金
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約束，又不能獲得外部融資的情境與前 2 種無資金約束和可以獲得外部融資的情 境不同。如果存在資金約束又不能獲得外部融資，零售商和製造商用自己的資金 支付相應的成本費用，有可能不能滿足全部的需求，只滿足部門需求，滿足多少 需求需要根據優化模型得出，此時滿足需求不知，銷售收入不固定，因此將目標 函數變為利潤最大化。此時假設不能滿足市場需求將會失去銷售機會，得不到銷 售的利潤。假設不考慮缺貨成本。假設供應鏈是資訊對稱的。
零售商第 n 期的利潤函數為𝜋𝑛𝑟(q𝑟𝑛) = 𝑝 ∙ 𝑚𝑖𝑛(q𝑟𝑛+ I𝑛−1𝑟 , 𝐷𝑛 ) − 𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑛𝑟) − w ∙ q𝑟𝑛− ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟。 其 中 𝑚𝑖𝑛(q𝑟𝑛+ I𝑛−1𝑟 , 𝐷𝑛 ) 表 示 零 售 商 第 n 期 的 銷 售 量 。 𝑝 ∙ 𝑚𝑖𝑛(q𝑟𝑛+ I𝑛−1𝑟 , 𝐷𝑛 )表示第 n 期的銷售收入。
第 n 期零售商的庫存為I𝑛𝑟 = |q𝑛𝑟 + I𝑛−1𝑟 − 𝐷𝑛|+,其中|𝑎|+ = 𝑚𝑎𝑥{𝑎, 0}，表示 𝑎與 0 比較取較大者。每一期零售商现金转换为𝑌𝑛𝑟 = 𝑌𝑛−1𝑟 + 𝜋𝑛𝑟(q𝑛𝑟)。零售商的目 標函數是使各期的總利潤最大。
假設零售商存在資金約束，同時製造商也存在資金約束，那麼零售商在決定 每一期的訂購量時，不僅要考慮自身現有的初始資金和需求量，還應該考慮製造 商能否滿足零售商的訂購量，即零售商訂購量不能高於製造商可能的最高發貨量。
假設Q𝑛𝑚𝑎𝑥是製造商第 n 期最大的生產量，製造商最大生產量受到製造商資 金和產能的約束。製造商的最大生產量是在現有產能狀況下，將所有可用資金全 部投入生產之後可以生產的數量，即Q𝑛𝑚𝑎𝑥 = min (𝐽𝑚,𝑌𝑛−1
𝑚 −𝑍𝑚
c )。製造商肯能的最 大可發貨數量是I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚𝑎𝑥。零售商每一期的訂購量不能大於製造商可能的最 大可發貨數量，即q𝑛𝑟 ≤ I𝑛−1𝑚 + Q𝑚𝑎𝑥𝑛 。
零售商應該考慮一些極端的情況，當第 n 期零售商的訂貨量導致製造商生產 時等不到利潤，那麼即使零售商訂貨，製造商也會選擇不生產。這時製造商會用 可能的庫存發貨。假設𝐼𝑛𝑚,𝑚𝑎𝑥表示製造商第 n 期最大可能期末庫存，製造商可能 的最大期末庫存是當期最大生產量發貨給零售商之后的剩餘庫存，即𝐼𝑛𝑚,𝑚𝑎𝑥 = max (0, Q𝑚𝑎𝑥 − q𝑟)。如果製造商有剩餘庫存能夠滿足零售商的訂購量，那麼零售
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商訂貨，製造商按照訂購量發貨給零售商；如果製造商剩餘庫存不能滿足零售商 訂購量，那麼零售商就不訂貨。
在這樣的約束之下，零售商制定使得每一期利潤最大的最優訂購量𝐪𝒏𝒓 = (q𝑟1, q𝑟2, … q𝑛𝑟)，之後向製造商下單。製造商再根據零售商的訂單，制定使得利潤 最大的生產量𝐐𝒏𝒎= (Q1𝑚, ⋯ Q𝑁𝑚)。
假設製造商的第 n 期利潤為𝜋𝑛𝑚(Q𝑛𝑚)，即𝜋𝑛𝑚(Q𝑚𝑛) = w ∙ q𝑟𝑛−𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑛𝑚)− c ∙ Q𝑛𝑚− ℎ𝑚∙ 𝐼𝑛𝑚。製造商库存转化函數為I𝑛𝑚 = 𝐼𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚− q𝑟𝑛，製造商的現金轉換函 數為𝑌𝑛𝑚 = 𝑌𝑛−1𝑚 + 𝜋𝑛𝑚(q𝑚𝑛)。
此時，零售商和製造商的二階規劃如下：
𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝜋𝑛𝑟(q𝑛𝑟) = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝑝 ∙ 𝑚𝑖𝑛(q𝑟𝑛+ I𝑛−1𝑟 , 𝐷𝑛 )
𝑁
𝑛=1
−
𝑁
𝑛=1
𝐾𝑟∙ 𝜂(q𝑟𝑛) − w ∙ q𝑟𝑛− ℎ𝑟∙ 𝐼𝑛𝑟
s.t I0𝑟 = 𝑠, 𝑌0𝑟 = 𝑀𝑟 （1）
q𝑛𝑟 ≤ I𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚𝑎𝑥 （2）
I𝑛𝑟 = |q𝑟𝑛+ I𝑛−1𝑟 − 𝐷𝑛|+ 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （3）
𝑌𝑛𝑟 = 𝑌𝑛−1𝑟 + 𝜋𝑛𝑟(q𝑛𝑟), 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （4）
I𝑛𝑟, q𝑛𝑟, ≥ 0, 其中q𝑟𝑛為整數 （5）
𝑚𝑎𝑥 ∑𝑁𝑛=1𝜋𝑛𝑚(Q𝑚𝑛) = 𝑚𝑎𝑥 ∑𝑁𝑛=1w ∙ q𝑟𝑛−𝑍𝑚∙ 𝜂(Q𝑛𝑚)− c ∙ Q𝑛𝑚− ℎ𝑚∙I𝑛𝑚
s.t I0𝑚= 𝑏, 𝑌0𝑟= 𝑀𝑟 （6）
I𝑛𝑚 = 𝐼𝑛−1𝑚 + Q𝑛𝑚− q𝑟𝑛 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （7）
𝑌𝑛𝑚 = 𝑌𝑛−1𝑚 + 𝜋𝑛𝑚(q𝑚𝑛) 𝑛 = 2, ⋯ , 𝑁 （8）
Q𝑚𝑛 ≤Q𝑛𝑚𝑎𝑥 （9）
I𝑛𝑚, Q𝑚𝑛 ≥ 0, 其中Q𝑛𝑚為整數 （10）
零售商和製造商的目標函數都是利潤最大化。限制式（1）表示零售商庫存 初始值和初始資金。限制式（2）表示零售商的訂購量不能大於製造商可以發貨 的數量。限制式（3）表示每階段零售商庫存轉換關係。限制式（4）表示每階段
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資金的轉換關係。限制式（5）表示零售商決策變量約束，訂購量和期末庫存不 小於 0，並且訂購量為整數。限制式（6）表示製造商初始庫存和初始資金。限制 式（7）表示製造商每階段庫存轉換關係。限制式（8）表示製造商每階段資金轉 換關係。限制式（9）表示製造商生產能力限制，每期生產量不大於最大可能生 產數量。限制式（10）表示製造商決策變量約束，每期期末庫存和生產量不小於
資金的轉換關係。限制式（5）表示零售商決策變量約束，訂購量和期末庫存不 小於 0，並且訂購量為整數。限制式（6）表示製造商初始庫存和初始資金。限制 式（7）表示製造商每階段庫存轉換關係。限制式（8）表示製造商每階段資金轉 換關係。限制式（9）表示製造商生產能力限制，每期生產量不大於最大可能生 產數量。限制式（10）表示製造商決策變量約束，每期期末庫存和生產量不小於