第三章 研究方法
第二節 二階規劃（Bi-level Programming）
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網站。根據資料收集的結果，本研究的資料主要以次級資料為主，初級資料為輔。
收集資料的途徑。本研究使用多種途徑收集資料，例如文獻檔案、訪問、觀 察等。資料收集的途徑越多，驗證效果越強，得出結果越準確。本研究的資料收 集途徑主要是查詢文獻、檔案記錄和訪問。
收集資料內容。個案研究可以同時使用質性資料和量化資料，得出較綜合結 論。質性資料和量化資料具有不同的優勢，質性資料可以表示使用量化資料不易 呈現的內容。量化資料可以表現質性資料不易表現的相互關係。
四、資料分析
根據資料首先分析整體的環境背景，然後分析每一個具體案例，最後對比個 案公司，找出案例的共同之處和不同之處。本研究分別分析了整合型電商平台、
銷售型電商平台和採購型電商平台的供應鏈金融產品體系和運作模式、流程。再 將每個案例進行比對，找出相似和不同之處，抽象出電商平台供應鏈金融體系的 一般運作模式，從而完成本階段的目標。
五、撰寫個案研究結果
將分析結果按照一定的邏輯順序撰寫成個案研究報告。
第二節 二階規劃（Bi-level Programming）
二階規劃的理論基礎起源於 Stackelber 對策論，Stackelber 在他的經濟專著 中建立了動態的寡頭市場產量的對策模型，模型假設市場上有兩個產品性質相同 的生產商，但一方較強，另一方較弱，雙方決策是較強的一方先制定策略，較弱 的一方則根據較強的一方的策略再決定自身的策略。這樣模型分為了上下兩層，
每一層都有各自的目標函數、決策變量和約束條件。
Danskin (1967)在他的專著中介紹了一類 Man-Min 問題，並且介紹了此類問 題在武器分配領域的應用。Danskin 提出 Man-Min 問題的最初始的形式是：
max𝑥∈𝑋 min
𝑦∈𝑌 𝑓(𝑥, 𝑦)
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這樣的形式不同於兩個參與方的對局（two-person games），兩個參與方對局 中的參 與人是 同時 做 決策，而 Man-Min 問題的 參與方 中 ， 第 一層參 與方
（maxinizing player）首先行動出決策，完全資訊話情況下，第二層參與方
（minimizing player）得知第一層參與者的決策之後再做出決策。Danskin 的 max-mix 模型中第一層參與方的決策只是影響了第二層參與方的得益（payoff）。
Falk (1973)提出了 Max-Mix 問題更一般的形式，形式如下：
max𝑥∈𝑋 min
𝑦∈𝑌(𝑥)𝑓(𝑥, 𝑦)
Falk (1973)提出的 Max-Mix 問題中，第一層的參與者的決策不僅影響第二層 參與者的得益（payoff）即目標函數，還影響第二層參與者的限制範圍。Falk 分 析了目標函數和限制函數都是線性時模型的一些性質。
Bracken and McGill (1973)介紹了限制條件是數學規劃的 Max-Min 問題，並 且討論了這種模型的凹凸性。在 B 的文章中考慮以下問題：找出向量𝑥 = (𝑥1… , 𝑥𝑛) 和 𝑣𝑖 = 𝑣1𝑖, … , 𝑣𝑘𝑖𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑚 ，使得：
minimize
𝑥∈𝑋 𝑓(𝑥) 限制條件為：ℎ𝑖(𝑥) = minize
𝑣𝑖∈𝑉𝑖 𝑔𝑖(𝑥, 𝑣𝑖) ≥ 0. 𝑖 = 1, … , 𝑚
Bracken 分析了這個模型的凹凸性，當𝑋是凸集（convex set），在這個集合內，
𝑓(𝑥)是關於𝑥的凸函數（convex function），對於每一個𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑚，如果 𝑔𝑖(𝑥, 𝑣𝑖)是關於𝑥的凹函數（concave function），那麼這個模型就是凸規劃（convex program）。
進一步的 Bracken 延伸了這類模型，討論了當限制條件也是 max-mix 問題時 的 情 況 ， 考 慮 問 題 ： 找 出 向 量 𝑥 = (𝑥1… , 𝑥𝑛) 和 𝑣𝑖 = 𝑣1𝑖, … , 𝑣𝑘𝑖𝑖) 和 𝑢𝑖 = 𝑢1𝑖, … , 𝑢𝑘𝑖𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑚，使得：
minimize
𝑥∈𝑋 𝑓(𝑥)
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限制條件為：ℎ̃𝑖(𝑥) = max
𝑢𝑖∈𝑈𝑖(𝑥) minize
𝑣𝑖∈𝑉𝑖 𝑔𝑖(𝑥, 𝑢𝑖, 𝑣𝑖) ≥ 0 . 𝑖 = 1, … , 𝑚，
Bracken 證明當滿足以下條件時，此類規劃模型為凸規劃。條件（1）：𝑋是凸 集（convex set）；（2）對於𝑥 ∈ 𝑋, 𝑖 = 1, … , 𝑚，𝑔𝑖(𝑥, 𝑢𝑖, 𝑣𝑖)是關於(𝑥, 𝑢𝑖)的凸函 數。（3）𝑈𝑖(𝑥)關於(𝑥, 𝑢𝑖)的凸函數；（4）𝑓(𝑥)是關於𝑥的凸函數。
Bracken, Falk, and McGill (1974)將限制條件有 max-min 規劃的 max-min 問題 進行了轉換。即模型
minimize
𝑥∈𝑋 𝑓(𝑥) 限制條件為：ℎ̃𝑖(𝑥) = max
𝑢𝑖∈𝑈𝑖(𝑥) minize
𝑣𝑖∈𝑉𝑖 𝑔𝑖(𝑥, 𝑢𝑖, 𝑣𝑖) ≥ 0 . 𝑖 = 1, … , 𝑚，
等價于模型：
minimize
𝑥,𝑢1,…,𝑢𝑚 𝑓(𝑥) 限制式： 𝑥 ∈ 𝑋
𝑢𝑖 ∈ 𝑈𝑖(𝑥) minize
𝑣𝑖∈𝑉𝑖 𝑔𝑖(𝑥, 𝑢𝑖, 𝑣𝑖) ≥ 0
Candler and Townsley (1982)文章從 Stackleberg 對策論引申提出二階規劃名 詞，給出了一般線性規劃的數學模型。
二階規劃是多階規劃的一個特殊情況，只有兩個決策者，兩個決策者分別位 於不同的階層，具有不同的決策變數和不同的目標函數。高階和低階的目標函數 和限制式沒有必然的聯繫，但一方的決策會影響另一方的決策過程。處於高階的 決策者先確定自身的決策，稱為領導者。低階決策者要在高階決策者做出決策之 後才能做出決策，稱為跟隨者。高階的決策會影響低階的決策和行為，低階決策 者根據高階的決策制定自身的決策以使目標達到最大化，並將自身的決策反應給 高階決策者，高階決策者為了利益最大化，根據低階的反應調整決策，反復進行 這樣的過程，直到雙方都得到相對滿意的結果為止。
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一、二階規劃的一般數學模式
二階規劃的一般形式如下(Wang et al., 2017)：
mix𝑥∈𝑋𝑓𝑢(𝑥, 𝑦)
s. t. G(𝑥, 𝑦) ≤ 0 在給定𝑥，其中𝑦解
mix𝑦∈𝑌 𝑓𝑙(𝑥, 𝑦)
s. t. g(𝑥, 𝑦) ≤ 0
其中𝑥 ∈ 𝑋表示高階（領導者）的決策變量，𝑦 ∈ 𝑌表示低階（追隨者）的決 策 變 量 ； 𝑓𝑢(𝑥, 𝑦) 和 𝑓𝑙(𝑥, 𝑦) 分 別 表 示 高 階 和 低 階 的 目 標 函 數 ； G(𝑥, 𝑦) ≤ 0 和 g(𝑥, 𝑦) ≤ 0分別表示高階和低階的限制條件。
二階規劃可行解區域為：
S = {(x, y): 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌, G(𝑥, 𝑦) ≤ 0, g(𝑥, 𝑦) ≤ 0 對於給定的𝑥，低階決策者的可行解區域為：
S(x) = {y: g(𝑥, 𝑦) ≤ 0}
每一(x, y) ∈ S是二階規劃的一個可能的解，對於一個固定的可能解𝑥，低階 決策者將選擇𝑦的值，最大化它的目標函數𝑓𝑙(𝑥, 𝑦)，因此對於每一個可能的解𝑥，
低階決策者將反饋一個可能的𝑦，假定每一個可能的𝑥，對應的𝑦值存在，於是𝑦是 𝑥的一個函數，稱為反應函數，記為𝑦 = 𝜓(𝑥)。如果高階決策者完全知道它的反 應函數，它的優化問題就可以改寫為：
max𝑥∈𝑋 𝑓𝑢(𝑥, 𝜓(𝑥)) s. t. G(𝑥, 𝑦) ≤ 0
𝑦 = 𝜓(𝑥)
高階可行解的集合為S𝑢 = {(𝑥, 𝑦): G(𝑥, 𝑦) ≤ 0, 𝑦 = 𝜓(𝑥)，在高階決策者的可 行解區域，如果對於每一個(𝑥, 𝑦)，有𝑓𝑢(𝑥∗, 𝑦∗) ≥ 𝑓𝑢(𝑥, 𝑦)，則(𝑥∗, 𝑦∗)為這個二
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階問題的最佳解。
二階規劃問題是多階規劃的特例，通常具有如下特點（滕春賢，李智慧，2002）：
（1）系統是分階層管理的，高階決策者先做出決策，低階決策者服從高階 的決策，但有相當的自主權。
（2）各階層決策者有不同的目標，這些目標往往是相互矛盾的。
（3）各階層決策者各自控制一部分的決策變量，以優化各自的目標。
（4）高階決策者優先做出決策，低階決策者在優化自己的目標而選擇決策 時，不能違背高階的決策。
（5）高階的決策可能影響低階的策略集，因而部分的影響低決策者目標的 達成，但高階決策者不能完全控制低階的決策，在高階決策允許的範圍內，低階 決策者有自主決策的權利。
（6）低階的決策不但決定著自身目標的達成，也影響高階目標的達成，因 此，高階在最大化自身利益時，必須考慮低階決策者可能採取的策略。
二、求解二階規劃方法
（一）求解二階規劃的數值算法
二階規劃的結構是非常複雜的，這使得二階規劃的求解相當的困難。但很多 學者致力於二階規劃的演算法研究也取得了可喜的成果，設計出了許多二階規劃 的可行解法，例如 KKT 方法(Bard, 1983; Edmunds & Bard, 1991; Etoa, 2011)、分 支界限法(Bard & Falk, 1982)、懲罰函數法(Lv, Chen, & Wan, 2010)、下降法(Ghatee
& Hashemi, 2007)等，絕大多數數值求解方法對二階規劃模型中的目標函數和限 制式的性質和特點有較高的要求，例如凸性、線性、連續性、可微等。
1. KKT 法
Bard (1983)說明了如何將線性二階規劃利用 KKT 條件轉換為一階線性規劃。
對於如下的二階規劃：
max𝑥∈𝑋 F(𝑥, 𝑦)
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在給定𝑥，其中𝑦解 max𝑦∈𝑌 𝑓(𝑥, 𝑦)
s. t. g(𝑥, 𝑦) ≥ 0 有如下定理：
當函數F，𝑓和g在可行域內連續可微，(𝑥∗, 𝑦∗)是原二階規劃問題解的必要條 件是在可行域內存在一組𝒘∗使得(𝑥∗, 𝑦∗, 𝒘∗)對於下列的問題來說是可行的。
max𝑥,𝑦,𝑤F(𝑥, 𝑦)
𝑠. 𝑡. ∇𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) + w∇𝑦 g(𝑥, 𝑦) = 0 w g(𝑥, 𝑦) = 0
g(𝑥, 𝑦) ≥ 0 w ≥ 0
其中w是 KKT 條件的乘子（Lagrange Multipliers），∇代表梯度符號（gradient operator）。從以上定理的條件不變，如果再加入一些條件則可以退出如下的定理：
如果𝑓和g對所有的𝑥是凸函數（concave），則(𝑥∗, 𝑦∗)是原二階規劃問題解的 充分必要條件是在可行域內，(𝑥∗, 𝑦∗, 𝒘∗)是上述含有 KKT 的一階線性規劃的解。
這樣 Bard (1983)給出了解二階規劃問題的充要條件。
2. 分支界限法
在 KKT 條件方法的基礎之上，許多學者進行了延伸，用分支界限法是求解 整數規劃問題重要的方法，也是求解二階規劃的一種重要方法。分支界限法的主 要思路是，首先將二層規劃問題轉化為相應的單層規劃問題，然後利用分支界限 法對單層規劃進行求解。Fortuny-Amat and McCarl (1981)首先將二階規劃的低階 規劃問題利用 KKT 條件代替，從而將一個二階規劃問題轉化為相應的一階規劃，
然後將一階規劃中的互補鬆弛條件用兩個帶 0-1 變量的等式約束代換，最後利用 分支界限方法求解相應的混合整數規劃。Bard and Moore (1990)提出了類似于 Fortuny-Amat and McCarl (1981) 的 方 法 ， 提 出 解 線 性 約 束 的 二 次 二 階 規 劃
（quadratic bilevel programming）的分支界限算法，首先用 K-T 條件將二次的二
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階規劃轉化為單層規劃，再去掉互補鬆弛條件（complementary slackness conditions）
進行問題求解，最後驗證求得的解是否滿足互補鬆弛條件，如果滿足，則求得的 解可能為原問題的一個最優解，否則，利用分支界限法驗證互補 Muu and Quy (2003)鬆弛條件的全部組合。Audet, Savard, and Zghal (2007)將線性二階規劃轉換 為線性的混合 0-1 整數規劃，再利用 Gomory 隔平面縮減可行解的範圍，再利用 分支界限法使得迭代能夠停止，從而求得全域最優解。Muu and Quy (2003)利用 價值函數技術（merit function technique）將線性約束的二階二次凸規劃近似轉化 為帶有凸性限制式的一階凸規劃，然後用適當的單純細分（simplicial subdivision）
將凸-凹限制式的凸規劃近似一階凸規劃，最後用分支界限法找出這個帶有凸-凹 限制式一階凸規劃的全域最優解，從而找到原來二階二次凸規劃的最優解。
Hansen, Jaumard, and Savard (1992)基於低階緊約束（tightness constraints）最優性 必要條件，提出了一個新的分支界限法來求解線性二階規劃。
3. 罰函數法
類似分支界限法，罰函數法是求二階規劃問題一個重要方法，罰函數法的主 要求解思路是首先將二階規劃轉化為同等性的一階規劃，再利用罰函數分析一階 規劃問題的最優解，從而確定二階規劃問題的解。White and Anandalingam (1993) 利用線性規劃在對偶間隙（duality gap）為零原理，將低階問題的對偶間隙作為 高階問題罰項，將原問題分解成一系列的線性規劃問題從而更容易求解，之後構 造割集（cut set）提出求解線性二階規劃問題的全局最優罰函數法。Campelo,
類似分支界限法，罰函數法是求二階規劃問題一個重要方法，罰函數法的主 要求解思路是首先將二階規劃轉化為同等性的一階規劃，再利用罰函數分析一階 規劃問題的最優解，從而確定二階規劃問題的解。White and Anandalingam (1993) 利用線性規劃在對偶間隙（duality gap）為零原理，將低階問題的對偶間隙作為 高階問題罰項，將原問題分解成一系列的線性規劃問題從而更容易求解，之後構 造割集（cut set）提出求解線性二階規劃問題的全局最優罰函數法。Campelo,