代數應用問題解題策略使用之差異情形

本節旨在探討三位參與者於教學介入前後代數應用問題解題策略使 用的差異情形。每位參與者皆分成兩部分探究：第一部分為解題策略使 用觀察記錄表所得資料之分析，依解題策略六步驟分別獨立探討該解題 策略本身的出現率（可被觀察到的出現次數）及正確率（完整依本研究 所指的解題策略執行的次數）之前後差異情形，並輔以質性文字描述作 補充；第二部分為探討一元一次方程式應用問題訪談大綱於教學介入前 後之對照，並輔以教學觀察之補充說明。本節的最後則探討三位參與者 在代數應用題解題策略使用差異之綜合分析。

一、 參與者甲

(一) 解題策略使用觀察記錄表

表 21 為參與者甲策略使用百分比觀察記錄表，從表中可以發現該生 在基線階段的所有評量直接放棄作答，連題目都不看，測驗卷全部空白，

或許這並不代表該生完全不具備任何解題策略，可能多少受到動機影響 而不願作答，但觀察表的確顯示該生在介入前完全沒有出現任何解題策 略之使用，六個解題策略步驟的出現率皆為 0%。

教學策略介入後的評量觀察表顯示，參與者甲六個解題策略步驟的 出現率皆有所提升，顯示該生從解題策略教學中獲益並有意願使用之：

其中「3 畫圖」、「4 列」和「5 算」的出現率最高為 93%，「6 檢查」次之 為 89%，而「1 讀」和「2 說」出現率則偏低，分別為 15%和 19%。另 外就正確率而言：「1 讀」和「2 說」出現率雖低，但使用上正確率皆為 100%，大致在閱讀題目和說出重點上沒有遇到困難；「5 算」的正確率為 96%，顯示該生在去括號、同類項合併及移項計算等求解一元一次方程 式的計算能力佳；「4 列」和「6 檢查」的正確率皆為 92%，表現亦尚佳；

而相較其他五個策略步驟，「3 畫圖」的正確率相對較低，為 84%，甚至 比下一個步驟「4 列」還低，是該生相對較弱勢的解題策略步驟。

觀察參與者甲在介入期中的「1 讀」策略使用，發現該生只有教學 評量第一次的三種題型和第二次的綜合題型有唸讀出題目，共計 4 次，

其後的評量皆未觀察到該生唸讀題目，然該生在測驗卷上的自我檢核皆 有勾選此步驟，實驗結束後詢問該生，該生表示有唸在心裡面，可見隨 著教學與評量次數之增加，該生能從放聲思考內化到在心中默唸。至於 介入期中的「2 說」策略使用尚有出現過幾次，雖不致於亂說或說錯，

但大多就是把題目的文字敘述按照順序再說一次重點，「說」的品質嚴格 來看並不優，且大多時候音量偏小接近喃語，到介入期後期，甚至到維 持期已經觀察不到該生有「說」的策略使用，同樣該生在測驗卷上的自 我檢核卻有勾選此步驟，在實驗結束後詢問該生亦表示有在心裡「說」。

參與者甲介入期的「3 畫圖」策略使用，從初期合併型的畫圖正確，

但比較型的畫圖則不正確，綜合型則是放棄作答，到介入期中期的合併 型和比較型的畫圖正確，但綜合型畫圖則不正確，最後介入期後期則是 三種題型皆能正確畫圖，顯示該生在「畫圖」的策略使用是漸入佳境，

先能掌握較簡單題型的畫圖策略，再慢慢習得較困難的題型之畫圖策略。

當中值得留意的是四題「畫圖」錯誤的題目中有三題該生接下來的「列 方程式」卻正確，如圖 15 所示，研究者觀察該生畫完圖後又會回頭再看 題目且口中喃喃自語後才作列式，而非根據所畫的圖來列式，才會出現 上述如此的情況。可見策略的使用因人而異，應保有彈性，可依據個人 的優劣勢能力加以省略、合併或調動某些步驟，以參與者甲為例，該生 鑑定為學障知動型，可見空間作圖為該生的弱勢，語文為該生的相對優 勢，可嘗試將策略調整成「1 讀、2 說、3 列、4 算、5 查」。

探討參與者甲介入期的「4 列」策略使用發現其出現率 93%和正確 率 92%皆頗高，有「列出方程式」當中的兩次錯誤，一次是粗心多寫一 個 x 但並未影響後面的計算、有一次是嘗試列式但不理解題意最後才放 棄，故在「4 列」的策略使用尚佳。介入期的「5 算」策略該生出現率 93%和正確率 96%亦高，有出現「計算」策略中僅有一次因列式已碰到

困難故影響到後面就隨意亂算，其他皆能正確計算，甚至有兩次計算過 程中發現答案不合理，能再回頭檢查並自行校正加減計算與去括號的錯 誤，如圖 16 所示，可見該生在去括號、同類項合併與移項法則等運算規 則的策略使用之表現頗佳。最後介入期的「6 檢查」策略該生之出現率 為 89%，大多是因不會解題而遑論作答到「檢查寫答案」的步驟，正確 率為 92%，有出現「檢查寫答案」當中的兩次錯誤，一次是未能偵錯而 直接寫答案、另一次是計算正確卻粗心抄錯答案，如圖 17 所示，顯示該 生在「6 檢查」的表現尚可。

圖 15 參與者甲作答表現(1)

圖 16 參與者甲作答表現(2)

表 21 參與者甲策略使用百分比觀察記錄表

策略使用 階段 出現率(出現次數/評量次數) 正確率(正確使用/出現次數)

1.閱讀題目 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 15% ( 4/27) 100% ( 4/ 4) 維持期 0% ( 0/ 9) --

2.說出重點 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 19% ( 5/27) 100% (5 / 5) 維持期 0% ( 0/ 9) --

3.畫圖假設 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 93% (25/27) 84% (21/25) 維持期 100% ( 9/ 9) 67% ( 6/ 9)

4.列方程式 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 93% (25/27) 92% (23/25) 維持期 100% ( 9/ 9) 78% ( 7/ 9)

5.移項計算 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 93% (25/27) 96% (24/25) 維持期 100% ( 9/ 9) 89% ( 8/ 9)

6.檢查寫答案 基線期 0% ( 0/ 9) --

介入期 89% (24/27) 92% (22/24) 維持期 100% ( 9/ 9) 67% ( 6/ 9)

圖 17 參與者甲作答表現(3)

圖 18 參與者甲作答表現(4)

解題策略教學介入結束兩週後進入維持期，參與者甲的「1 讀」和

「2 說」出現率為 0%。「3 畫圖」、「4 列」、「5 算」和「6 檢查」的出現 率為 100%，顯示該生願意繼續使用後面四個解題步驟。然就正確率來看，

「3 畫圖」僅有 67%、「4 列」為 78%、「5 算」為 89%、「6 檢查」為 67%，

該生的出錯皆出現在綜合型的題目，此題型的「畫圖」和「列式」部分 該生大多沒有耐心去理解題意而草率拼湊作圖和列式，但到了「計算」

本身大致能正確使用運算規則，所以正確率相對較高，但就「檢查」部

分同樣也無意願檢查重算，有一次甚至遇上該生感冒精神狀況差，所以 即便知道算錯了也直接寫答案了事，如圖 18 所示。

另外參與者甲在解題策略使用觀察記錄表中發現以下比較特別的地 方：該生能善用計算機直接來進行驗算檢查的動作，毋須再用紙筆寫下 驗算式子，既省時、正確性又高，同時也可降低認知負荷量，利於該生 專注於解題工作本身；某道題目算出來答案是 9 公斤，該生感到疑惑開 始自問自答：「怎麼可能只有 9 公斤？」，研究者感到一則以喜，一則以 憂，喜的是該生開始質疑答案的合理性、會作檢查的動作，憂的是該生 的生活經驗匱乏、不知變通幼兒的體重是有可能為 9 公斤的，因此可能 會有把對的答案改成錯的風險。

(二) 一元一次方程式應用問題訪談大綱

表 22 為一元一次方程式應用問題訪談大綱之介入前後對照表，從對 照表中可以看出參與者甲在教學介入前對解應用題沒有興趣、也認為沒 有必要，也沒有有效的解題策略，在教學介入後該生對解數學應用問題 的動機有些許提升，因本課程的教學較為「簡單有趣」，比以前更看得懂 題目，也願意繼續使用此策略解題，然面對更困難的應用問題，如學校 平常考試的試題則仍束手無策，此外本教學仍然無法改變該生的想法，

即仍不認為問題解決能力有其生活上的實用性，認為只要有計算能力即 可應付生活。

表 22 參與者甲一元一次方程式應用問題訪談大綱介入前後對照表

基線期最後一次 介入期最後一次

一、學習動機與態度 1.你對解數學應用問題有興趣嗎？為

什麼？

答：(1)沒有興趣。(2)因為如果有很多 字要一直算，很煩！

1.本課程是否提起你對解決數學應用問 題的興趣？為什麼？

答：(1)還好，一點點。(2)感覺有比平常 的教學簡單有趣，但有時還是會看不懂 老師的算式，就算不懂也不想問老師，

【續前頁】

【續前頁】

答：就拿題目上看到的數字隨便列式。 答：根據老師所教的，看關鍵字和圖來列 式，能算多少是多少。

3.【執行計畫】你是如何求解出未知數的？(按照去括號、同類項合併規則？正確 的移項順序？放棄求解。)

答：不知道。 答：透過移項和去括號算出來的。

4.【驗算與檢查】你會檢查計算過程和所求出的答案嗎？(檢查每一計算步驟？檢 查答案合理性？將解代回方程式驗算？寫下正確答案？直接作答不再檢查？不 會正確解釋。)

答：不會檢查，但如果有算出來會寫答 案。

答：在張老師(研究者)的課會檢查，但平 常考試不會檢查，因為沒有計算機，而且 考試題目太多，懶得算。當答案超出合理 性時，我不會懷疑，因為算出來就是算出 來了。平常考試不會把解帶回方程式，太 麻煩了！

在電子白板使用方面，教學介入讓該生有實際操作互動的機會，不 再只是教師單向地播放教材內容，然電子白板是讓該生覺得「比較高級」， 對學習解題本身並無直接的助益。另外教學觀察中亦發現操作電子白板 於教學時因其可變換畫筆和顏色，學生也樂於使用、覺得有趣，多少提 升到學習動機，但曾出現未預期到的書寫感應不靈敏、暫時無法擦除、

畫面書寫的內容突然全不見又出現的突發失靈狀況，也未預料到身型較 高大的參與者甲容易遮蔽到投影而多少影響到作答之書寫的窘境，進而 影響教學流暢性和學習效率，如圖 19 所示。

圖 19 參與者甲電子白板使用

就一元一次方程式解題歷程之訪談比較顯示在教學介入前，參與者 甲並無有效的解題策略，直接拿題目上的數字隨意列式計算，有算出來

就一元一次方程式解題歷程之訪談比較顯示在教學介入前，參與者 甲並無有效的解題策略，直接拿題目上的數字隨意列式計算，有算出來