數學的解題歷程與解題策略

一、數學的解題歷程

此處旨在說明學者提出的數學解題歷程之相關概念與模式，分為 Polya 的數學解題歷程、Schoenfeld 的數學解題歷程、Lester 的認知─後 設認知解題歷程、及 Mayer 的數學解題歷程等四個部分，分別敘述如後。

(一)Polya 的數學解題歷程

Polya（1945/2006）所著「怎樣解題」（How To Solve It）一書中提出 的解題歷程四階段，分別是(1)瞭解問題：瞭解已知數、未知數與條件為

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資料來源：Polya（1945）

(二)Schoenfeld 的數學解題歷程

Schoenfeld（1985）所著「數學解題」（Mathematical Problem Solving）

一書中強調數學解題的四個變項：(1)資源（resources）：個體本身所擁有 能立即且有效地應用於解題的數學相關知識，包含數學事實與程序等；

(2)捷思（heuristics）：一般所指的是解題的策略和技巧，如畫圖及引入適 當符號、猜測、簡化問題、與尋找組型等；(3)控制（control）：解題時對 於策略使用的調整監控，包含計畫、監控與評估、作決定、及有意識的 後設認知活動；(4)信念系統（belief system）：個體對於數學的看法與觀 感，即如何看待解題這一件事，將會影響其解題行為與學習態度。由上 述可知 Schoenfeld 將後設認知的決策與調整和信念系統的概念加入了解 題歷程之中。

Schoenfeld 的相關研究中發現解題成功與否的關鍵在「控制」因素，

因此他以控制的觀點出發，將解題的歷程分為六個階段，如表 2 所示，

分別是：(1)閱讀（reading）：開始讀題，先釐清題目的條件、題目的目標 與自己的相關知識；(2)分析（analysis）：簡化或重述問題，選擇何種觀 點？條件是否明顯？目標是否有系統地執行？；(3)探索（exploration）：

尋求已知條件、未知條件，以及目標間的關聯性。本階段為何被引起，

以及行動的重點或方向，和行為的合理性；(4)計畫與執行

（planning-implement）：擬定解題計畫並評估其適當性，執行計劃並逐步 驗證是否依計畫進行(5)驗證（verification）：重新檢視答案，檢查解題結 果的正確性與合理性(6)過渡（transition）：評估當前的解題狀態，捨棄的 策略是否仍有用處？新的策略之影響與適當性，是否有行動的必要？

表 2 Schoenfeld 的數學解題之相關問題 1.閱讀（reading）

R1：注意到問題的所有條件嗎？條件是明確的或不明顯的？

R2：有正確地注意到目標狀態嗎？目標狀態是明確的或不明顯的？

R3：是否有評估解題者現在的知識狀態與解題工作間的關係？

2.分析（analysis）

A1：選擇什麼觀點？選擇是明確的或不履行？

A2：選擇問題的條件而採取行動嗎？(正向操作) A3：根據問題的目標而採取行動嗎？(逆向操作) A4：有看見問題的條件和目標之間的關聯嗎？

A5：部分與整體連貫嗎？解題者所採取的行動（A1 至 A4）合理嗎？有更進 一步看似更適切的評論或觀察嗎？

4.計畫與執行（planning-implement）

PI1：有任何計畫的證據嗎？計畫明顯嗎或計畫的存在必須意味著有目的性的 行為？

PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？架構是否良好？

PI3：參與者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？如果有，這些評估與 PI2 的判斷比較如何？

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PI4：執行是否有依計畫結構化地進行？

PI5：是否有在局部或整體的層次去評估執行(特別是出錯時)？

PI6：評估之有無對結果的影響如何？

5.驗證（verification）

V1：解題者是否重新檢查答案？

V2：有無考驗解答？如果有，如何考驗？

V3：有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？

6.過渡（transition）

T1：對當前的解題狀態有無評估？若放棄一種解題途徑，是否企圖利用其中 有用的部分？

T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局部與整體影響如何？所 採取的行動是否適當或必要？

T3：所採取的新途逕對解答評估的短程或長程影響如何？或是直接跳入新的 方法？

T4：採取新途徑後有無評估局部及整體的影響如何？行動是否適當或必要？

資料來源：Schoenfeld（1985）

(三)Lester 的認知─後設認知解題歷程

Lester（1985/1994）結合了 Polya 的解題歷程及後設認知的概念，發 展出數學解題的認知─後設認知解題模式，如圖 1 所示。此模式含蓋了 四項「認知成分」：(1)定位（orientation）：評估與了解問題的策略行為；

(2)組織（organization）：行為的計畫與行動的選擇；(3)執行（execution）：

依據計畫而調整行為；(4)驗證（verification）：評估所作決策與執行成果。

上述解題歷程與 Polya 的解題階段相似，但 Lester 又再加上三項「後設 認知成分」對解題的影響：個人（person）、工作（task）與策略（strategy）。

圖 1 Lester 的數學解題之認知-後設認知解題模式

(四)Mayer 的數學解題歷程

Mayer（1992）從認知心理學的角度切入探究數學的解題歷程，其將 解題歷程分為兩階段，每一個階段又包含了兩個子步驟，如圖 2 所示，

茲將其內涵分述如下。

1. 問題表徵（problem representation）：解題者將文字或圖案轉換成心理 表徵。

(1) 問題轉譯（problem translation）：透過語言及語意知識了解題意，

將問題所陳述的語句轉化成解題者能理解的內在心理表徵，如重 述句子或畫圖。

(2) 問題整合（problem integration）：解題者透過基模知識，將題目中 各條件的關係加以整合成連貫的表徵，在此步驟解題者必須有分 辨問題類型的能力。

2. 問題解決（problem solution）

(1) 解題計畫及監控（solution planning and monitoring）：解題者運用適 當的策略知識想出解題計畫並監控之。能將問題目標細分成幾個 子目標，然後再逐步地達成這些目標。

(2) 解題執行（solution execution）：解題者運用程序性知識，操作算數

認知成分 後設認知成分

策略

個

人

工 作

驗證

執行 組

織 定位

規則以順利運算出題目的答案。 0.30.3=0.09 38.88÷0.09=432 432$0.72=$311.04

問題轉譯

綜合上述，諸位研究者對於解題歷程所提出的看法雖然有些許不同，

但整題看來大致皆從 Polya 數學解題歷程四階段的概念出發，研究者自 行歸納整理成以下四個解題歷程：包含(1)瞭解與分析問題：透過閱讀題 目以瞭解與評估問題的類型，分析此問題的已知數與條件為何，以及未 知數與目標為何，並將問題透過重述或畫圖等方式轉換成內在表徵；(2) 擬定計畫：解題者瞭解已知數、未知數及目標之間的關聯性，並透過策 略知識加以組織及擬定適當的解題計畫；(3)執行計畫：按照擬定的計畫 逐步依算術規則執行解題；(4)驗證：解題者須檢查答案及解題歷程是否 正確。此外後續的學者又加入了後設認知成分的概念，強調擬定與執行 計畫時監控與調整的重要性。

二、數學的解題策略

此處欲探討解題策略教學對學習障礙學生應用問題解題之影響，分 為代數應用問題相關內涵之說明、及學習障礙學生解題策略教學相關研 究之內容與成效等兩部分作論述。

(一) 代數應用問題之相關內涵

當個體有所追求但還沒有找到適切的手段以達到目的時所感受到的 心理困境即是所謂的「問題」，而「問題解決（problem solving）」指的是 在面對問題的情境時個體思考的歷程，也就是綜合運用所學得的知識與 技能以達到目的的過程（張春興，1996）。問題解決在教學上反應在有前 後文脈的應用問題，或稱文字題（word problem）。而依文字題句型的內 涵可分為三個部分：(1)陳述句（assignment）：說明事物和數量間的直接 關係，即給定某一變項數值，如：小玉的體重是 20 公斤；(2)關係句

（relation）：說明兩變項在數量上的對應、互動或比較關係，如：姐姐比 小玉重 10 公斤；(3)問句（question）：題目的目標，即要求回答的未知數 數值，如：姐姐體重是幾公斤（引自林沅芝，2005）。此外 Lewis 與 Mayer

（1987）依語言性質和運算性質之不同將文字題分為兩種類型：(1)一致

語言（consistent language）：題目的文字敘述和運算時的符號相同，如：

紅茶一杯 15 元，柳橙汁比紅茶貴 10 元，請問柳橙汁一杯多少元？(貴→

加法)(2)不一致語言（inconsistent language）：問題的文字敘述和所需的運 算符號是不同的，如：柳橙汁一杯 25 元，柳橙汁比紅茶貴 10 元，紅茶 一杯多少元？(貴→減法)（引自蔡明典，2008）。

應用問題依語意結構之不同可分為：(1)改變類（change）：指一數量 經由增加或減少的改變後成為另一個數量的問題；如：草地上原有 10 隻 小鳥，飛走了 3 隻，草地上還有幾隻小鳥？(2)合併類（combine）：指兩 個數量的總合問題，如：教室裡有 30 位學生，其中有 18 個男生，請問 女生有幾人？；(3)比較類（compare）：指兩個數量進行多少或大小的關 係比較問題，如：一個漢堡 45 元，蛋餅比漢堡便宜 20 元，一個蛋餅多 少元？；(4)等化類（equalize）：指一數量的改變歷程，最後達到兩個數 量間的均等問題，如：我有 40 顆彈珠，若弟弟再多 10 顆就會和我一樣，

弟弟有幾顆彈珠？（Garcia, et al., 2006；Riley, Greeno, & Heller, 1983）。

代數（algebra）可視為中學及其以後教育的「守門員」，亦即學生必 須能成功地完成代數課程才能從高中畢業（Chambers, 1994），又許多職 業也需具備基本的代數能力，因此代數是生存於當今社會，為了獲得更 高的學歷與更好報酬的工作，所需必備之重要能力（Kortering,

deBettencourt, & Braziel, 2005；Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999）。代 數具有抽象的本質，其被視為抽象思考的入門（Witzel, Mercer, & Miller, 2003），其是使用文字符號來代表某些事物的數量或數值間的數量關係，

其具一般數字的屬性，可能是已知的數或是未知的數，而如此以象徵性 的語言來呈現的代數方程式，學習者在解題時必須要調適以往對於文字 符號的詮釋，並學習進行這些符號的數字運算，如用英文字母 x 代表未 知的數量並求解 2x＋3＝9（Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999；Witzel, Mercer, & Miller, 2003）。

代數應用問題（algebra word problem）指的是使用文字敘述的方式

來呈現數學題目，在問題表徵的過程中要能建構解題情境的心像或將之 圖示化，並將其中一個未知數以某一英文符號作假設，甚至將其他需要 用到的未知數透過與已假設的英文符號間的數量關係來表示之，再根據 題意列出方程式，接著進入問題解決執行階段，使用適當的算術或代數 運算技巧求出方程式的解，最終得到此問題的答案。

(二) 學習障礙學生的解題策略教學

(二) 學習障礙學生的解題策略教學