電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生代數應用問題解題之成效

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(1)國立臺灣師範大學特殊教育學系身心障礙特教教學碩士論文. 電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生代數應用問題解題之成效 Effects of Problem-Solving Strategy Instruction integrating Interactive Whiteboard on Algebraic Word Problems by Students with Learning Disabilities. 指導教授：潘裕豐教授研究生：張齡友撰. 中華民國一○四年六月.

(2) 誌. 謝. 回首這四年來的研究所在職班生活，歷經了結婚和生子的人生大事，總算熬到寫致謝辭的這一刻，要兼顧學業、工作及家庭不容易，論文得以完成，要感謝許多貴人的支持與協助。首先由衷地感謝指導教授潘裕豐老師給予我論文最大的發揮空間，也盡可能在百忙中撥冗提點論文中需要琢磨修正之處，並在我感到困惑之際適時地指點迷津，使我獲益良多。此外也非常感謝杜正治教授及國北師的李乙明教授願意擔任本論文的口試委員，在研究方法與論文撰寫上提供許多實質的建議，因為有老師們謹慎的論文審查使得論文能更臻完善。接著感謝學校辦公室同仁的體諒與關心，讓我能兼顧教學工作與研究所的課業，也要感謝本研究三位參與學生的配合，以及協助本研究的教師同仁們，讓我能學以致用，因為有你們，才能交織出本研究論文的點點滴滴。再來要感謝生育我的父母，一路提攜與栽培，教育我認真處事的態度；也感謝公婆替我分擔了照顧小兒並料理餐點的家務，讓我求學過程無後顧之憂；還有我寶貝的兒子帛均，每當我感到挫折疲累之際，有你可愛的笑容和童言童語，媽媽就又燃起前進的動力；最後，我要感謝最重要的幕後推手─我的老公偉捷，雖然在截然不同的領域工作，卻能提供給我許多如格式排版指導、統計諮詢和口試幫忙等實質的協助，感謝你也深愛你。僅以本文獻給我敬愛的人及所有關心我的人，感謝你們一路走來的陪伴與關懷。. 張齡友謹識 2015 年 6 月於臺北.

(3) 摘. 要. 本研究旨在探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生代數應用問題之解題成效，以及策略使用的前後差異情形。研究方法採單一受試研究法之跨受試多基線設計，對三位國中學習障礙學生進行實驗教學與評量。本研究的解題策略修改自 Montague（1992）的認知與後設認知策略，包括「閱讀題目、說出重點、畫圖假設、列方程式、移項計算、檢查寫答案」等六個認知步驟，以及「我教我做、自問自答」兩個後設認知子步驟。所得資料透過視覺分析法探討一元一次方程式應用問題測之得分情形，並透過觀察與訪談分析策略使用的差異情形。. 本研究結果如下：一、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題「整體」得分具有立即與保留效果。二、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題「合併型」、「比較型」、及「綜合型」各題型得分具有立即效果，保留成效則有個別差異。三、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題的「假設未知數」、「列方程式」、「計算」、及「寫答案」各部分得分具有立即與保留效果。四、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，提升其學習動機與參與度，亦提高其解題策略使用之出現率與正確率。綜合以上研究結果顯示電子白板融入解題策略教學能增進學習障礙學生在一元一次方程式應用問題的解題成效，改善其解題策略之使用情形，亦提升其學習解題的動機與課程參與度。. 關鍵詞：代數應用問題、電子白板、解題成效、解題策略、學習障礙.

(4) Abstract The purpose of this study was to probe the effects of problem-solvinng strategy instruction integrating interative whiteboard on algebraic word problems by students with learning disabilities and the differences found in its process. The multiple-probe design across subjects of single-subject experiment was employed. The participants were three ninth-grade students with learning disabilities. The strategy was adapted from Montague’s Cognitive-Metacognitive Strategies for Mathematical Problem Solving (1992), and it included six steps: reading, paraphrasing, diagraming, displaying equation, calculating, and checking. The method of visual analysis was used to discuss the participants’ performances on one-variable linear equation word problems, and analysis the differences of strategy-use by observation and interview. The results of this study were as the following: 1. After instruction, the students with learning disabilities increased their overall scores on algebraic word problems, and showed immediate and maintainable effects. 2. After instruction, the test scores of the three participants showed immediate effects on three types of algebraic word problems, but maintainable effects had individual differences. 3. After instruction, the test scores of the three participants showed immediate and maintainable effects on four parts of algebraic word problems. 4. After instruction, the motivation and the participation of the participants increased. Furthermore, the occurrence and the accuracy of the strategy-use improved. Key words: algebraic word problems, interative hiteboard, the effects of problem-solvinng, problem-solvinng strategy, learning disabilities..

(5) 目錄目錄............................................................................................................. I 圖目錄.......................................................................................................III 表目錄........................................................................................................ V 第一章緒論...............................................................................................1 第一節研究背景與動機 ......................................................................1 第二節研究目的與待答問題 ..............................................................5 第三節名詞釋義 ..................................................................................6 第二章文獻探討 ......................................................................................9 第一節學習障礙學生數學學習的特徵與困境 ..................................9 第二節數學的解題歷程與解題策略 ................................................18 第三節電子白板融入教學 ................................................................44 第三章研究方法 ....................................................................................59 第一節研究參與者 ............................................................................59 第二節研究設計 ................................................................................63 第三節研究工具 ................................................................................68 第四節教學設計 ................................................................................71 第五節實施程序 ................................................................................73 第六節資料處理 ................................................................................76 第四章結果與討論 ................................................................................77 第一節. 代數應用問題整體解題表現之分析..................................77. 第二節. 代數應用問題三種題型解題表現之分析..........................87. 第三節. 代數應用問題四個部分解題表現之分析..........................92. 第四節. 代數應用問題解題策略使用之差異情形..........................97. I.

(6) 第五節. 綜合討論 ............................................................................122. 第五章結論與建議 ............................................................................129 第一節結論 ......................................................................................129 第二節建議 ......................................................................................130 參考文獻.................................................................................................135 中文部分 ............................................................................................135 英文部分 ............................................................................................142 附錄.........................................................................................................147 附錄一解一元一次方程式應用問題先備能力測驗卷(範例) .......148 附錄二教學流程一致性檢核表 ......................................................149 附錄三論文研究參與學生家長同意書 ..........................................150 附錄四一元一次方程式應用問題測驗卷(範例) ...........................151 附錄五解題策略使用觀察記錄表 ..................................................152 附錄六一元一次方程式應用問題訪談大綱 ..................................153 附錄七解題策略提示卡 ..................................................................154 附錄八教學計畫 ..............................................................................155. II.

(7) 圖目錄圖 1 Lester 的數學解題之認知-後設認知解題模式 ..............................22 圖 2 Mayer 的解題歷程與知識的關係及實例對照 ...............................23 圖 3 Montague 的認知-後設認知解題模式 ............................................28 圖 4 電子白板系統運作模式 .................................................................45 圖 5 研究架構..........................................................................................63 圖 6 實驗設計模式 ..................................................................................66 圖 7 研究執行時間進度甘特圖 .............................................................75 圖 8 三位參與者代數應用問題測驗整體得分曲線圖 .........................80 圖 9 參與者甲在不同階段各題型之平均作答正確率 ..........................88 圖 10 參與者乙在不同階段各題型之平均作答正確率 .......................89 圖 11 參與者丙在不同階段各題型之平均作答正確率 .......................90 圖 12 參與者甲在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................93 圖 13 參與者乙在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................94 圖 14 參與者丙在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................96 圖 15 參與者甲作答表現(1) ...................................................................99 圖 16 參與者甲作答表現(2) ...................................................................99 圖 17 參與者甲作答表現(3) .................................................................101 圖 18 參與者甲作答表現(4) .................................................................101 圖 19 參與者甲電子白板使用 .............................................................105 圖 20 參與者乙作答情形(1) .................................................................108 圖 21 參與者乙作答情形(2) .................................................................108 圖 22 參與者乙作答情形(3) .................................................................109 圖 23 參與者乙電子白板使用 ............................................................. 110 圖 24 參與者丙作答情形(1) ................................................................. 115 圖 25 參與者丙作答情形(2) ................................................................. 115 III.

(8) 圖 26 參與者丙作答情形(3) ................................................................. 115 圖 27 參與者丙作答情形(4) .................................................................. 116. IV.

(9) 表目錄表 1 Polya 的「怎樣解題」之技巧指引 ................................................18 表 2 Schoenfeld 的數學解題之相關問題 ...............................................20 表 3 Montague 問題解決認知過程與自我調整策略教學步驟 .............29 表 4 學習障礙學生應用問題相關教學研究之摘要 ..............................34 表 5 學習障礙學生代數應用問題相關研究之摘要 ..............................38 表 6 學障生代數應用問題教學研究題型與本研究題型對照 .............41 表 7 Montague 認知與後設認知策略和本研究解題策略之對照 .........43 表 8 國內電子白板相關教學研究摘要 ..................................................49 表 9 國內電子白板應用於身障教學研究摘要 ......................................56 表 10 三位參與者基本資料表 ................................................................61 表 11 代數應用問題測驗配分表.............................................................70 表 12 參與者甲代數應用問題測驗整體得分之分析摘要表 ................78 表 13 參與者乙代數應用問題測驗整體得分之分析摘要表 ................82 表 14 參與者丙代數應用問題測驗整體得分之分析摘要表 ................85 表 15 參與者甲在不同階段各題型之平均作答正確率 .......................87 表 16 參與者乙在不同階段各題型之平均作答正確率 .......................89 表 17 參與者丙在不同階段各題型之平均作答正確率 .......................90 表 18 參與者甲在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................92 表 19 參與者乙在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................94 表 20 參與者丙在不同階段各部份之平均作答正確率 .......................95 表 21 參與者甲策略使用百分比觀察記錄表 ...................................100 表 22 參與者甲一元一次方程式應用問題訪談大綱介入前後對照表 .................................................................................................................102 表 23 參與者乙策略使用百分比觀察記錄表 ...................................107. V.

(10) 表 24 參與者乙一元一次方程式應用問題訪談大綱介入前後對照表 ................................................................................................................. 111 表 25 參與者丙策略使用百分比觀察記錄表 ..................................... 116 表 26 參與者丙一元一次方程式應用問題訪談大綱介入前後對照表 ................................................................................................................. 118. VI.

(11) 第一章緒論本研究的目的在探討電子白板融入解題策略教學對增進學習障礙學生代數應用問題的解題成效。本章的內容包含研究背景與動機、研究目的與待答問題、名詞釋義等三節分別敘述如後。. 第一節研究背景與動機數學與我們的日常生活與職場工作關係密切，舉凡費用繳納、逛街購物、儲蓄理財、娛樂消費、買賣交易、食物烹調、圖表訊息解讀等各項活動，無不需要用到正確的數學概念、有效率的運算技巧、以及問題解決的能力（Lerner, 2003），才能足以應付多樣化的環境，得以順利適應現代生活，可見數學應用擴及生活層面之廣，數學能力對生活品質影響之大。數學學習旨在培養演算、抽象、推論、溝通及解題的綜合性能力（教育部，2011）。數學學習不僅只是強調機械式地進行繁雜的數字計算，更應重視概念的理解與邏輯推理的思考過程，並能成為帶得走的能力，亦即要能實際應用在真實的生活情境。正如前所述，許多日常活動都和數學有關，且常含有未知的數，此時若沒有問題解決的能力，可能會增加生活上的不便與困擾，亦較不利於社交與就業。 Polya（1945/2006）在其所著「How to solve it」一書中提出四階段解題歷程，使問題解決概念漸受重視，之後開始有學者亦紛紛提出對問題解決歷程的論述，究其內容大同小異，而問題解決在教學與研究上反應在有前後文脈的應用問題，或稱文字題（word problem），學者們便將此歷程應用在數學的解題教學上，應用問題的解題教學儼然成為現代數學課程中的重要課題。數學學習隨著學生年級的增加有其循序漸進的邏輯結構，從國小升上國中是具體運思轉化為形式運思之際，因應學生認知發展上抽象能力 1.

(12) 的提高，應用問題的解題教學應從小學主要利用生活經驗和直觀的具體情境，轉化為學習抽象的代數以進行思考推理來解決問題的歷程（教育部，2011b）。目前國中七年級上學期第一冊第三章就開始學習代數的觀念，亦即一元一次方程式，這是從具體到抽象的關鍵時期、從算數到代數的過渡範圍，此階段的學習值得教育工作者留意與研究（洪意琇，2008），若此時期的基礎未能穩固建立，後面的學習則愈顯困難，除了影響學生的數學成就表現外，也可能打擊學生學習數學的自信與動機，甚至不利於將來的生活與就業適應。研究者於教學現場中也發現若學生能熟練一元一次方程式的相關概念與計算，則後續學習二元一次聯立方程式及一元二次方程式會比較順利。依據身心障礙及資賦優異學生鑑定辦法（2013）可知學習障礙學生的智力正常，但卻在聽、說、讀、寫或算等學習上有顯著困難，故研究者在教學現場中發現在各類身心障礙學生中，學習障礙學生是被安置於普通學校身心障礙資源班接受直接教學服務之大宗。因學障生在生理與心理方面的差異與限制，導致這群學生在普通教育的學習環境遭遇適應困難，而據研究者觀察數學學習上的挫敗最為常見，且多數的學障生只要遇到有較多文字敘述的應用問題更是敬而遠之、直接放棄。相關研究發現學障生在釋義、視覺化、推測等問題表徵上有明顯的困難，且較常使用對解題沒有助益的繪畫（pictorial）表徵策略（Montague, Bos, & Doucette, 1991；Montague, 2003），又監控解題歷程的自我調整之後設認知能力也不佳（Montague, 2007）而常導致解題失敗，特教需求應運而生。綜觀早期學習障礙學生的數學教學研究著重在加、減、乘、除法的基本計算和問題解決上，鮮少有關於代數、金錢技能和分數等領域的相關研究（Miller, Butler, & Lee, 1998）。學障生問題解決的研究過去大部分著重在小學中、高年級的一步驟、二步驟的少步驟文字題，內容由加減法到乘除法文字題的教學，漸漸地發展出多步驟、多餘訊息題型等語意結構更為複雜的題型，亦開始出現針對國中生在代數領域問題解決的研 2.

(13) 究，國內的起步較晚，目前針對國中學障生代數應用問題的教學研究仍不多。國內外相關研究（江美娟、周台傑，2003；吳雅琪、孟瑛如，2005；李冠穎、張美華，2010；黃秋霞、方美珍，2007；Garderen, 2007；Hutchinson, 1993；Maccni & Hughes, 2000；Montague, 1992）結果發現系統性的教學程序、明確的認知解題步驟、後設認知的調整與監控等解題策略之教學介入，能有效改善學習障礙學生的解題技巧，並提升其應用問題之解題能力，可見實施明確的解題策略教學，對學習障礙學生之應用問題解題有一定的助益，因此本研究對學障生實施解題策略教學以提升其解題成效。九年一貫課程的實施，「資訊教育」列為重大議題之一，「運用科技與資訊」則為十大基本能力之一（教育部，2008），可見應將資訊融入各學科領域的教學當中，使資訊科技成為教室中日常教學活動的一部分，讓學生平時上課都能接觸到資訊科技，在任何時間及地點都能利用電腦這項學習工具來解決日常生活當中碰到的問題（王全世，2000；張國恩， 1999）。因應新特殊教育課程綱要的推行，其基本理念強調融合教育與普通教育之接軌，特殊需求學生課程設計應首要考量普通教育課程（教育部，2011a），因此特殊教育教師在為學習障礙學生設計教學課程時，因順應時代快速變動的潮流與科技的日新月異，將資訊科技融入課程、教材與教學中，並讓學生從中獲得學習效益。我國教育部也隨之跟進電子白板導入校園的資訊教育政策熱潮：自 96 年度起推動「建構 e 化學習環境」，鼓勵各縣市遴選試辦學校，盼種子學校示範電子白板融入教室教學的實驗活動，逐漸將電子白板導入校園，互動式電子白板（Interactive Whiteboard, IWB）始成為資訊融入教學之新寵兒（蕭英勵，2007）；98 年度教育部推動的「優質化均等數位教育環境計畫」中致力於建置多功能 e 化專科教室及多功能 e 化數位教室，其中就包含了「互動式電子白板」的設置（蕭英勵，2013）。 3.

(14) 電子白板提供一個師生們互動學習的操作介面，透過手指或感應筆直接觸碰白板來控制電腦，方便師生能從電子白板上啟動並操作教學軟體、共同瀏覽課程內容、呈現多樣化的視覺材料，增加了學習的流暢性、豐富性、變化性與主動性，可將資訊融入教學的特性發揮得淋漓盡致。相關研究（王嘉禾，2012；王源豐，2012；李阿芬，2012；林儀惠，2008；陳彥君、董修齊，2010）發現互動式電子白板的教學較傳統的講述教學，有助於提升學生的學習動機和興趣。研究者在教學現場中亦發現透過電子白板教學，學生表現得更為專注、對學習更有興趣、上課氣氛也較為活潑，因此研究者以電子白板作為本研究之教學媒介。綜合上述，數學應用問題之解題能力影響未來的就業與生活適應，而學習障礙學生在此解題能力上之不足造成其學習挫敗，透過有效的解題策略教學，輔以電子白板之教學媒體，可提升其解題成效與學習興趣，因此本研究的目的旨在探討電子白板融入解題策略教學的包裹式方案，對於增進學習障礙學生代數應用問題的解題成效。. 4.

(15) 第二節研究目的與待答問題根據上述的研究背景與動機，本研究的目的如下：一、探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生在代數應用問題「整體」的正確解題成效。二、探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生在代數應用問題的「合併型」、「比較型」、及「綜合型」三種題型之正確解題成效。三、探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生在代數應用問題的「假設未知數」、「列方程式」、「計算」、及「寫答案」四個部份之正確解題成效。四、探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生在代數應用問題「解題策略使用」的前後差異情形。根據上述研究目的，本研究的待答問題如下：一、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題「整體解題成效」之立即效果與保留效果如何？二、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題的「合併型」、「比較型」、及「綜合型」三種題型之立即效果與保留效果如何？三、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學後，其在代數應用問題的「假設未知數」、「列方程式」、「計算」、及「寫答案」四個部份之立即效果與保留效果如何？四、學習障礙學生在接受電子白板融入解題策略教學的前後，其代數應用問題「解題策略使用」的差異情形如何？. 5.

(16) 第三節名詞釋義一、電子白板電子白板即指互動式電子白板（Interactive Whiteboard, IWB），其外觀與傳統白板相似，是一大型的電子感應面板，藉由 USB 線與電腦連結，電腦須再與單槍投影機作連結，則投影機會將電腦上的內容投影到面板上，使用者可經由直接觸控電子白板來操作電腦，電腦亦會同步顯示電子白板上書寫的內容。本研究所使用的電子白板廠牌規格為 SMART Board TM 480 Interactive WhiteBoard。二、解題策略數學的解題策略是指個體在進行數學應用問題的解題活動時，對解題歷程的計畫、監控與調整，以達問題解決之目的。本研究所指的解題策略是修改自 Montague（1992）提出的認知與後設認知策略教學模式，有六個認知解題步驟，分別是「閱讀題目、說出重點、畫圖假設、列方程式、移項計算、與檢查寫答案」，每一步驟皆有「我教我做、自問自答」兩個後設認知子步驟監控之，並利用「一讀、二說、三畫圖，四列、五算、六檢查」的口訣，以利學生記憶與使用策略。三、代數應用問題代數應用問題（algebraic word problems）即是以文字敘述的方式呈現數學題目，通常以英文符號來代表未知數，英文符號的種類決定是幾「元」，英文符號的最高次數決定幾「次」，再依題意列出等式（即方程式），最後進行求解。本研究的代數應用問題指的是利用一元一次方程式來解決的應用問題。一元一次方程式指的是僅含有一種英文符號的未知數，且此未知數最高次數是一次式，並能依據題目列出數量關係之等式，共包含「合併 6.

(17) 型」、「比較型」及「綜合型」三種題型。四、解題成效「問題解決」（problem solving）指的是在面對問題的情境時個體思考的歷程，也就是綜合運用所學得的知識與技能以達到目的的過程（張春興，1996）。問題解決在教學上反應在有前後文脈的應用問題，或稱文字題（word problem），解題成效即指應用問題測驗的得分情形或作答正確率。本研究之解題成效是指參與者在研究者自編之代數應用問題測驗的得分情形。一份代數應用問題測驗共三題，合併型、比較型和綜合型各一題，每題 20 分，各題採分段給分：正確假設未知數給 5 分，正確列方程式給 5 分，正確計算給 5 分，正確寫答案給 5 分，滿分為 60 分。得分越高表示參與者解題成效越佳。. 7.

(18) 8.

(19) 第二章文獻探討本研究旨在探討電子白板融入解題策略教學對學習障礙學生代數應用問題的解題成效。本章的目的是在探討電子白板融入解題策略教學與代數應用問題解題的相關文獻。本章有三節，分別是學習障礙學生數學學習的特徵與困境、數學的解題歷程與解題策略、及電子白板融入教學等節分別敘述如後。. 第一節學習障礙學生數學學習的特徵與困境一、學習障礙學生的數學學習特徵學習障礙為身心障礙類別之一，其為一個統稱，事實上學習障礙是異質性高的群體，亦即每一位學習障礙學生都是獨一無二的個體，因此並非每一位學習障礙學生都會顯現出相同的或是所有的學習障礙特徵。 Geary（2004）表示 5％至 8％的學齡兒童會有某種形式的記憶或認知上的缺損，進而干擾其在某一個或是更多的數學領域中學習數概念或程序性知識的能力，Geary（1993,2004）將數學學習障礙次分為三種亞型：（一）程序型（Procedural）：在認知表現上的特徵為經常使用在發展上較不成熟的解題程序、在執行程序的過程中經常出錯、對於程序使用背後的概念理解差、在較複雜的程序上要排序多種步驟遭遇困難。許多個案在發展上的特徵是較遲緩的，但常隨著年齡和年級的升高而改善，不清楚此類型是否與閱讀障礙有關；（二）語意性記憶型（Semantic Memory）：在認知表現上的特徵為從語意記憶中提取數學事實有困難、簡單及與數字有關的算術題提取事實的出錯率高，且正確提取的反應時間是無章可循的，在發展上呈現差異性，且並不會隨著年齡或年級的升高而有實質上的改變，此類型似乎與拼音形式的閱讀障礙一起發生；（三）視覺空間型（Visuospatial）：認知表現的特徵為在數字和其他形式的數學訊息與關係的空間呈現上有困難、經常錯誤詮釋或是誤解空間訊息，此類型可能與 9.

(20) 閱讀障礙無關。研究者整理諸位學者及研究者提出學習障礙學生可能出現的數學學習特徵如下（王淑惠，2008；朱淳琦，2011；洪意琇，2008；郭靜姿、許慧如、劉貞宜、張馨仁、范成芳，2001；黃瑋苓，2006；楊坤堂，2007； Lerner, 2003；Lerner & Johns, 2009；Miller & Mercer, 1997）。 (一) 注意力（Attention）學習障礙學生在學習數學時，常無法有效地集中、維持或轉移注意力。在面對需要多步驟的計算時，現階段問題尚未完成，就容易衝動地就著手下一個問題。而且在解題過程中容易忽略重要的訊息，但卻無法有效排除應用問題中無關的細節，計算顯得草率與粗糙，也缺乏驗算的工作，常因粗心而計算錯誤。此外學習障礙學生較難長時間專注於聽老師講解、計算或解有多重步驟的複雜文字題。 (二) 視覺─空間處理過程（Visual-Spatial Processing）學習障礙學生對於數字、錢幣、運算符號的辨識有困難，如+看成×、 3 看成 8、6 看成 9、及 17 看成 71 等，有些學障生看時鐘的指針亦遭遇困難。在抄寫和仿繪圖形也有困難，形象與背景的區分不易，如會忽略題目的某些部分，而經常會出現省略小數點、運算符號或重要之細節、書寫時不能成一直線，如對齊列式有困難及位值辨識不易、使用數線也有困難。視覺空間組織困難，如減數減與被減數及小數點的擺放有困難。空間方向的辨別有困難，如寫作業單時會找不到題目的位置。 (三) 聽覺處理過程（Auditory Processing）學習障礙學生難以與老師或同學作口頭的練習。理解口語的數學名詞上有困難，易因缺乏語意轉換的能力而算錯。依序計數也有困難，無法使用「向上數」的策略。 (四) 記憶與檢索（Memory and Retrieval） 10.

(21) 學習障礙學生在短期記憶上有困難，即對於保留數概念、記住演算法則的步驟和符號代表的意義上有困難，如忘記計算步驟或程序、報讀時間時有困難、無法解決多步驟或複雜的問題等。學習障礙學生的長期記憶能力亦不足，在經過一段時間後就容易忘記某些概念及演算步驟，因無法回憶九九乘法表、基本的數字關係及計算過程等而算錯。此外有些學習障礙學生有序列記憶缺陷，對於按序計數、完成複雜問題之步驟，以及解答複雜文字問題等，都感到困擾。 (五) 知覺動作問題（Motor problems）學習障礙學生精細心理動作協調不佳，無法抄寫數字、在寫數學文字時難以辨認、書寫速度過慢或是書寫不正確，且要求學習障礙學生在指定的小空間內寫出適當大小的字有困難。 (六) 語言和閱讀能力（Language and Reading Abilities）學習障礙學生語言的缺陷可能造成對「加上、拿走、位值、進位、借位」等數學名詞概念的混淆。若無法閱讀或理解在數學問題之下的語言結構意涵，便無法確切地了解題意，也不知排除文字題中多餘的數字及無關訊息，以致無法順利進行解題工作，故文字應用題對於有閱讀困難的學生更是困難。 (七) 數學學習策略（Mathematics Learning Strategies）學習障礙學生可能會出現策略運用與覺察能力不足，不會使用策略或選擇錯誤的策略等問題。他們無法適當的使用複誦、訊息組織與精緻化等認知策略以促進學習，且學習模式較固著、難以變通，而不知如何有效學習。計算題或文字題皆需解題者使用認知學習策略來解題，若學生缺少了自我教導、自我管理、自我監控等後設認知能力，用以辨識與選擇適當策略、組織訊息、監控解題過程、評估答案正確性、類化解題策略至其他適當的情境等，將會影響到學生在數學解題上的表現。. 11.

(22) (八) 數學焦慮（Mathematics Anxiety）學習障礙學生由於長期反覆的失敗、累積的挫折，在社會情緒的特質上易顯現出低自尊、消極被動、焦慮、負向的自我概念與內言、不當的歸因、缺乏自我效能、以及容易出現負向的行為等問題。綜合上述，學習障礙學生在數學學習上可能有訊息處理過程的缺陷、語言與閱讀理解方面的困難、以及缺乏有效的學習介入策略以促進學習等特質，再加上長期的學習挫敗導致的數學焦慮，而阻礙了學習障礙學生的數學學習。二、學習障礙學生的數學學習表現與困難學習障礙學生由於缺乏有效的學習策略介入以及不佳的學習特質，在數學學習上會顯現明顯的困難。數學是一門系統性的學科領域，低階層的數學學習是高層次的基礎，當學習障礙學生在上一個教育階段已顯現數學能力上的不足，若此問題未及時獲得補救將會持續到下一個教育階段（Cawley & Miller,1989）。學習障礙生經常在數學的計算與問題解決上碰到困難，而這些在數學上碰到的問題通常在小學就會顯現，並且持續到中學，最後影響到其成人生活（Miller & Mercer,1997）。學者們（Badian,1999；Fuchs & Fuchs,2001；Miller, Butler, & Lee, 1998； Rivera, 1997）的研究即指出普通教育中約有 6%至 7%的學生會出現特定的數學學習困難，而有特殊教育需求的身心障礙學生遭遇到數學學習困難的情形更多，約有 26%的學習障礙學生須接受數學的補救教學，更有 50%學習障礙學生的 IEP 中列有數學的教育目標（引自 Lerner, 2003）。 McLeod 與 Armstrong（1982）調查教師們指出在他們的學障生中約有 26% 的比例，因為在普通教育中遇到數學學習困難而被認為需要特殊教育服務。Geary（2004）表示 5％至 8％的學齡兒童因記憶或認知的缺損而干擾其數學領域中學習數概念或程序性知識的能力。 Miller、Butler 與 Lee（1998）的文獻回顧調查研究顯示六年級以上 12.

(23) 的學習障礙學生有三分之二須要數學領域的特殊教學，許多研究者也指出障礙學生在數學的計算及問題解決上有相當大的困難。學習障礙學生學習數學常見的困難包括：整數除法、分數的基本運算、十進制、百分率、分數的術語、整數乘法、位值、度量衡能力、需要用手指算及數學語言等（McLeod & Armstrong,1982）。 Cawley 與 Miller（1989）調查 8 歲至 17 歲學習障礙學生的數學能力表現，結果發現大部分學障生隨年齡的增長其表現都較前一個年齡進步，但與一般生相較是呈現線性的微幅成長：八歲和九歲的學障生在計算和應用的表現相當於一年級的水準，但到十七歲只有 5.8 年級的計算能力與 5.2 年級的應用能力表現，由此可見，學障生與同儕的數學能力之落差隨年齡增長而越來越大，學障生在學時的數學能力之進步上大約是每兩年才會進步一個年級的水準。盧台華（1995）身心障礙學生數學能力之比較研究，探討國小學障、聽障、智障及國中智障這四組學生其數學能力的差異，並針對內在差異進行類型分析，研究結果發現：(1)國小學障生的整體數學能力最佳，(2) 就概念、計算與應用的三大領域來看，四組在應用領域均呈現較低的能力，然而學障組能力仍為最佳，(3)身障生的數學成就有隨年齡成長而逐漸增加的趨勢，但在發展上有漸趨遲滯的現象，(4)國小學障組的分數小數、除法、金錢、測量、時間與範型能力較差，而加法、集合與幾何最佳，其餘能力則相當平均。由此可見，智力是決定數學能力或成就的重要因素，可是學習障礙學生的應用能力表現仍差。柯華葳（1999）所編製的基礎數學概念評量，內容包含數概念、計算及應用問題等十二個子測驗，主要是為了篩選鑑定學習障礙學童的數學能力，柯華葳以國小二年級到六年級的學生為樣本，將兒童分成高分組、一般學生及低分組，研究分析結果顯示低分組學童的困難有基礎數學概念不足、答題費時、作答速度不夠快、不夠自動化等。朱經明與蔡玉瑟（2000）對 47 位國小五年級數學障礙兒童實施動態 13.

(24) 評量工具的協助，用以診斷其錯誤類型，結果發現 33％經協助後，因不會計算而完全不會，這些數學障礙兒童應補救其計算上的練習；2％有閱讀與認字問題的數學障礙兒童以語音提示有效，這群學生應加強數學語言的理解；18％的數學學障兒童經簡化或圖解問題後能正確解題，故可鼓勵這些學童熟練題型及使用圖解方式以增進解題能力；30%數學障礙兒童的基本計算沒有問題。 Geary（2004）指出許多研究在探討幼童解決簡單算術題或文字題時的解題策略一致發現數學學習障礙兼閱讀障礙（MLD/RD）、數學學習障礙（MLD only）、閱讀障礙（RD only）、及一般成就孩童在提取長期記憶事實的策略使用上有差異：MLD/RD 及 MLD only 較同儕常犯計算錯誤，且較經常也較長時間使用較不成熟的策略（從頭數而非向上數）。可見若能自動化提取數學基本事實能提高解題效率，在解決較複雜的問題時，如文字題，能降低工作記憶的認知負荷而減少出錯（Geary,2004）。Lerner （2003）指出計算機的使用比較適合數學推理教學，並不是數學計算技巧的教學，針對缺乏基本計算概念的學生，使用計算機將在數學推理與問題解決的學習中獲得很大的幫助（楊坤堂，2007）。陳佩盈（2008）探討國中資源班學習障礙、情緒障礙、聽覺障礙、語言障礙、自閉症、亞斯柏格等身心障礙學生在數學文字題（「正負數與數線」單元，加入「比較類」元素）的解題歷程與錯誤類型，並探究中介式動態評量對解題成效的提升如何。研究結果指出參與者皆能自行讀題，也具備加減法的基本運算能力，但由於語意知識薄弱又無法同時處理多個訊息，故在「問題轉譯」的解題階段最需協助。而大部分的學生能從中介式動態評量中得到幫助，其中語文程度較差的學生成效最為明顯，多用圖示表徵方式協助解題。由上述可知，學習障礙學生在數學計算上會有不夠自動化的問題、在應用問題的解題上會有因語文能力的影響而有語意理解和問題轉譯的困難，且數學困難會從小學持續到中學，甚至影響到成人生活。學習障 14.

(25) 礙學生的數學能力呈微幅成長，故與一般學生的差距越來越大，推測其因乃由於數學的運算會越來越繁複，題目的文字敘述也越來越長，又越來越多需要運用抽象思考與邏輯推理的題型，再加上學習障礙學生本身在學習上的限制，都可能造成數學能力難以進步，故需透過明確的解題策略教學以提升學障生的問題解決能力。三、學習障礙學生數學應用問題解題表現與困難學習數學的概念和數學計算技巧之最終目的就是希望能夠應用在生活情境中以解決問題（Lerner, 2003），然而學習障礙學生在應用問題方面往往有解題的困難：可能因注意力缺陷導致在解題時忽略細節、難以按步驟解題而易衝動作答導致錯誤；可能有抽象理解與推理的困難而造成數學表徵轉換和概念詮釋上的困難；也可能有語言方面的閱讀理解困難而無法瞭解題意，便無法進行解題；亦或是可能缺乏有效的學習介入策略來選擇正確的解題策略以計畫並執行解題，亦無法有效地使用後設認知策略來監控與調整解題的歷程。秦麗花（1995）指出數學學習障礙學生缺乏解題的相關知識、或不懂數學語言、或總是依賴關鍵字而只處理表面問題，因此造成盲目地計算。對於學習障礙學生來說解題困難的主要原因是理解時的表徵困難、對於文字、數字與符號的理解困難，導致無法將語言和數字訊息轉譯成內在表徵（引自林淑玲，1999）。王瑋樺（2001）以 Mayer 的解題理論分析四位國小三年級數學學障生加法文字題的解題歷程並進行補救教學，發現學生因語文知識不足而無法獨立讀題，有依賴關鍵字解題、忽略重要語句及衝動作答的特徵；題目組織能力弱，無法同時記住多個條件，遑論思考條件之間的關係；缺乏基本且正確的數學概念，常憑直覺使用錯誤的基模知識或固定採用慣用的基模知識解題；將文字敘述轉換成算式表徵困難、策略思考常無法連貫；計算能力不足，常採用全部數、畫圈數的方式解題，亦無法監. 15.

(26) 控解題程序的正確性。 Witzel、Mercer 與 Miller（2003）表示將複雜的概念轉換成具體的操作或圖示表徵有助於學生理解抽象的概念，在 Witzel 等學者（2003）的研究發現接受明確程序教學模式 CRA（具體-表徵-抽象）的學習障礙學生在代數轉換方程式的求解表現較接受傳統教學（抽象）者佳。然而許多學習障礙學生在問題表徵的過程中卻也呈現困難：八年級的學障生在一般解題策略的知識上與一般生及低成就學生的同儕相較並無顯著差異，即在文字題的閱讀、計算、檢查等策略使用上是相似的，但與高成就學生則有差異，可見學障生看似擁有一定程度的策略知識，但在解題時顯得不完備或運用不當；另外學障生在文字題的問題表徵策略上遭遇很大的困難，其與一般生及高成就學生相較，在品質上有明顯的差異，如：用以理解文字題的釋義、想像問題的情境、視覺化的圖示以簡化困難的問題、推測與解題計畫等的知識運用與控制等；因此學障生將文字題中的語言及數量資訊轉換成數學的方程式及運算符號是有困難的，所以經常使用「嘗試錯誤」的解題策略，而呈現一堆無關的計算（Montague, Bos, & Doucette, 1991）。Garderen 與 Montague（2003）調查 66 位六年級的學習障礙、一般成就及資賦優異等不同能力與成就的學生，在解數學文字題時視覺-空間表徵策略的使用情形，結果指出資優生較常使用基模（schematic）表徵策略，但學障生則使用較多的繪畫（pictorial）表徵策略，而成功的數學解題與基模表徵有正相關，但與繪畫表徵呈負相關，可見學障生在視覺化表徵策略的質與量均不佳。 Fuchs, L.、Fuchs, D.與 Prentice（2004）指出現有的數學問題解決教學研究文獻大多著重在少步驟與加減法的基礎問題，這窄化了精密的語意結構情境，數學教育應著重在更複雜的問題解決任務，數學障礙學生在解決含有不相關訊息的題目及增加題目情境的真實性是有困難的，此外有些研究亦未有效控制學生的閱讀能力，並未區分數學障礙是否兼有閱讀障礙，實應檢視兩者間的交互作用與關連性。Fuchs 等（2004）比 16.

(27) 較是否兼併閱讀障礙的數學障礙學生在數學問題解決教學之成效，結果顯示數學障礙、閱讀障礙、以及數學兼閱讀障礙的學生在計算（computation）及標籤（labeling）上的進步較一般正常的學生少，數學兼閱讀障礙的學生比其他組別在概念上的辨識與轉換（conceptual underpinning）進步較少。學習障礙學生學習代數應用題時，在缺乏基本的數學名詞與數字運算的流暢度下，又要學習新的複雜解題程序，因而面臨了雙重的挑戰（Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999）。羅榮福（2004）分析學習障礙學生與普通學生解一元一次方程式四種題型（算式的四則運算、解一元一次方程式、用文字符號列式、應用問題）的答題狀況和訪談，比較兩者解題歷程的差異及探究學障生學習困難的原因，結果發現兩者在解題表現及解題歷程上皆有差異。學障生解題的錯誤類型有：對題意理解不清、無法列出關係式、不知如何假設未知數、無法列出一元一次方程式、不會進行驗算等。學障生在了解問題和擬定計畫的解題歷程上最易出錯，又因缺乏或不會使用先備知識導致執行計畫失敗，又因認知與後設認知能力不佳而未能有效監控解題歷程並執行驗算。綜觀以上相關研究可以發現學習障礙學生解數學應用問題時困難重重：缺乏正確的數學概念、計算能力不佳、語文能力較弱、問題表徵的質與量均差，導致組織訊息與整合題意的困難，常依賴關鍵字或是使用慣用的基模解題，又缺乏有效的後設認知策略以監控解題歷程與進行檢查，而導致解題失敗。. 17.

(28) 第二節數學的解題歷程與解題策略一、數學的解題歷程此處旨在說明學者提出的數學解題歷程之相關概念與模式，分為 Polya 的數學解題歷程、Schoenfeld 的數學解題歷程、Lester 的認知─後設認知解題歷程、及 Mayer 的數學解題歷程等四個部分，分別敘述如後。 (一)Polya 的數學解題歷程 Polya（1945/2006）所著「怎樣解題」（How To Solve It）一書中提出的解題歷程四階段，分別是(1)瞭解問題：瞭解已知數、未知數與條件為何。(2)擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關連，並想辦法擬定解題計畫。(3)執行計畫：依據擬定的計畫，正確地執行與演算每一個步驟。 (4)驗算與回顧：驗證所得到的答案是否正確。如表 1 所示。 Polya 指出在解題時個人可能都會經歷此四個階段，然後並非直線進行，有時須返回前一階段，有時須不斷循環，盼學生能在解題過程中遭遇問題時，最終能運用這些步驟來解決問題。表 1 Polya 的「怎樣解題」之技巧指引 1.瞭解問題. (1)未知數是什麼？已知的數據是什麼？條件是什麼？. (你必須要瞭解這個. (2)是否可能滿足條件？條件足夠決定未知數嗎？或是不足. 問題). 夠的？或者是多餘的？或者是矛盾的？ (3)畫一個圖，引入適當的符號。 (4)分開條件的各個部分。你能夠將它們寫下來嗎？. 2.擬定計畫 (找出已知數與未知數之間的關連。若無法找到立即的聯結，必須考慮輔助的問題。最終須獲得問題的計畫。). (1)你以前看過這個問題嗎？或者你以前看過相同的問題而形式稍有不同？ (2)你知道相關的問題嗎？你是否知道一個可以用得上的定理？ (3)看著未知數！試著想出一個有相同或類似未知數的熟悉問題。 (4)這裡有一個你以前解過的相關問題，你能否應用它？你能應用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？你是否能【接下頁】. 18.

(29) 【續前頁】. 引入輔助元素以利其可能被應用？ (5)你能重述問題嗎？你能重述得更不同嗎？回到定義。 (6)如果你不能解這個問題？嘗試先去解相關的問題。你能想到一個較易利用的相關問題嗎？一個更一般化的問題？一個更特殊的問題？一個類似的問題？你能解這個問題的一部分嗎？保留已知條件的一部分，丟開其他部分；這樣決定的未知數會如何？你能從已知條件推導而得到有用的結果嗎？你能考慮其他已知數去決定未知數嗎？你能改變已知數和未知數嗎？如果必要的話兩個都改變，如此新的未知數和已知數會更接近嗎？ (7)你使用了所有已知數嗎？你使用了所有的條件嗎？你已經考慮過這個問題所涉及的所有觀念嗎？ 3.執行計畫 (實行你的計畫). 執行你的解題計畫，檢查每一個步驟。你能清楚地知道每一個步驟都正確嗎？你能證明它是對的嗎？. 4.驗算與回顧. (1)你能檢驗結果嗎？你能檢驗論證嗎？. (驗算所得到的. (2)你能用不同方法導出這結果嗎？你一眼就瞭解它嗎？. 解答). (3)你能把這個結果或方法應用到別的問題上嗎？. 資料來源：Polya（1945）. (二)Schoenfeld 的數學解題歷程 Schoenfeld（1985）所著「數學解題」（Mathematical Problem Solving）一書中強調數學解題的四個變項：(1)資源（resources）：個體本身所擁有能立即且有效地應用於解題的數學相關知識，包含數學事實與程序等； (2)捷思（heuristics）：一般所指的是解題的策略和技巧，如畫圖及引入適當符號、猜測、簡化問題、與尋找組型等；(3)控制（control）：解題時對於策略使用的調整監控，包含計畫、監控與評估、作決定、及有意識的後設認知活動；(4)信念系統（belief system）：個體對於數學的看法與觀感，即如何看待解題這一件事，將會影響其解題行為與學習態度。由上述可知 Schoenfeld 將後設認知的決策與調整和信念系統的概念加入了解題歷程之中。 19.

(30) Schoenfeld 的相關研究中發現解題成功與否的關鍵在「控制」因素，因此他以控制的觀點出發，將解題的歷程分為六個階段，如表 2 所示，分別是：(1)閱讀（reading）：開始讀題，先釐清題目的條件、題目的目標與自己的相關知識；(2)分析（analysis）：簡化或重述問題，選擇何種觀點？條件是否明顯？目標是否有系統地執行？；(3)探索（exploration）：尋求已知條件、未知條件，以及目標間的關聯性。本階段為何被引起，以及行動的重點或方向，和行為的合理性；(4)計畫與執行（planning-implement）：擬定解題計畫並評估其適當性，執行計劃並逐步驗證是否依計畫進行(5)驗證（verification）：重新檢視答案，檢查解題結果的正確性與合理性(6)過渡（transition）：評估當前的解題狀態，捨棄的策略是否仍有用處？新的策略之影響與適當性，是否有行動的必要？表 2 Schoenfeld 的數學解題之相關問題 1.閱讀（reading） R1：注意到問題的所有條件嗎？條件是明確的或不明顯的？ R2：有正確地注意到目標狀態嗎？目標狀態是明確的或不明顯的？ R3：是否有評估解題者現在的知識狀態與解題工作間的關係？ 2.分析（analysis） A1：選擇什麼觀點？選擇是明確的或不履行？ A2：選擇問題的條件而採取行動嗎？(正向操作) A3：根據問題的目標而採取行動嗎？(逆向操作) A4：有看見問題的條件和目標之間的關聯嗎？ A5：部分與整體連貫嗎？解題者所採取的行動（A1 至 A4）合理嗎？有更進一步看似更適切的評論或觀察嗎？ 4.計畫與執行（planning-implement） PI1：有任何計畫的證據嗎？計畫明顯嗎或計畫的存在必須意味著有目的性的行為？ PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？架構是否良好？ PI3：參與者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？如果有，這些評估與 PI2 的判斷比較如何？【接下頁】. 20.

(31) 【續前頁】. PI4：執行是否有依計畫結構化地進行？ PI5：是否有在局部或整體的層次去評估執行(特別是出錯時)？ PI6：評估之有無對結果的影響如何？ 5.驗證（verification） V1：解題者是否重新檢查答案？ V2：有無考驗解答？如果有，如何考驗？ V3：有無歷程及解答的評估？對結果的信心有多少？ 6.過渡（transition） T1：對當前的解題狀態有無評估？若放棄一種解題途徑，是否企圖利用其中有用的部分？ T2：有無評估先前放棄的解題途徑，對解答產生的局部與整體影響如何？所採取的行動是否適當或必要？ T3：所採取的新途逕對解答評估的短程或長程影響如何？或是直接跳入新的方法？ T4：採取新途徑後有無評估局部及整體的影響如何？行動是否適當或必要？資料來源：Schoenfeld（1985）. (三)Lester 的認知─後設認知解題歷程 Lester（1985/1994）結合了 Polya 的解題歷程及後設認知的概念，發展出數學解題的認知─後設認知解題模式，如圖 1 所示。此模式含蓋了四項「認知成分」：(1)定位（orientation）：評估與了解問題的策略行為； (2)組織（organization）：行為的計畫與行動的選擇；(3)執行（execution）：依據計畫而調整行為；(4)驗證（verification）：評估所作決策與執行成果。上述解題歷程與 Polya 的解題階段相似，但 Lester 又再加上三項「後設認知成分」對解題的影響：個人（person）、工作（task）與策略（strategy）。. 21.

(32) 認知成分. 後設認知成分. 組織. 執行定位. 個. 工作. 人策略. 驗證. 圖 1 Lester 的數學解題之認知-後設認知解題模式. (四)Mayer 的數學解題歷程 Mayer（1992）從認知心理學的角度切入探究數學的解題歷程，其將解題歷程分為兩階段，每一個階段又包含了兩個子步驟，如圖 2 所示，茲將其內涵分述如下。 1. 問題表徵（problem representation）：解題者將文字或圖案轉換成心理表徵。 (1) 問題轉譯（problem translation）：透過語言及語意知識了解題意，將問題所陳述的語句轉化成解題者能理解的內在心理表徵，如重述句子或畫圖。 (2) 問題整合（problem integration）：解題者透過基模知識，將題目中各條件的關係加以整合成連貫的表徵，在此步驟解題者必須有分辨問題類型的能力。 2. 問題解決（problem solution） (1) 解題計畫及監控（solution planning and monitoring）：解題者運用適當的策略知識想出解題計畫並監控之。能將問題目標細分成幾個子目標，然後再逐步地達成這些目標。 (2) 解題執行（solution execution）：解題者運用程序性知識，操作算數 22.

(33) 規則以順利運算出題目的答案。 Mayer 以買地磚的問題為例來說明解題歷程各階段所運用的知識類型，如圖 2 所示，題目是「地磚以邊長為 30 公分的正方形出售。若每塊地磚的價錢是 0.72 元，請問一個長 7.2 公尺、寬 5.2 公尺的矩形房間，鋪滿地磚共需花多少錢？」【語言知識】長 7.2 公尺、寬 5.4 公尺的矩形房間. 問. 問題轉譯. 【語意知識】 1 公尺=100 公分. 題表徵. 【基模知識】問題整合. 面積=長寬. 【策略知識】房間面積=7.25.4 每塊地磚面積=0.30.3. 問. 房間面積÷每塊地磚面積=所需地磚數. 計劃與監控. 地磚數0.72=總價格. 題解決. 【程序性知識】執行. 7.25.4=38.88 0.30.3=0.09 38.88÷0.09=432 432$0.72=$311.04. 圖 2 Mayer 的解題歷程與知識的關係及實例對照. 23.

(34) 綜合上述，諸位研究者對於解題歷程所提出的看法雖然有些許不同，但整題看來大致皆從 Polya 數學解題歷程四階段的概念出發，研究者自行歸納整理成以下四個解題歷程：包含(1)瞭解與分析問題：透過閱讀題目以瞭解與評估問題的類型，分析此問題的已知數與條件為何，以及未知數與目標為何，並將問題透過重述或畫圖等方式轉換成內在表徵；(2) 擬定計畫：解題者瞭解已知數、未知數及目標之間的關聯性，並透過策略知識加以組織及擬定適當的解題計畫；(3)執行計畫：按照擬定的計畫逐步依算術規則執行解題；(4)驗證：解題者須檢查答案及解題歷程是否正確。此外後續的學者又加入了後設認知成分的概念，強調擬定與執行計畫時監控與調整的重要性。二、數學的解題策略此處欲探討解題策略教學對學習障礙學生應用問題解題之影響，分為代數應用問題相關內涵之說明、及學習障礙學生解題策略教學相關研究之內容與成效等兩部分作論述。 (一) 代數應用問題之相關內涵當個體有所追求但還沒有找到適切的手段以達到目的時所感受到的心理困境即是所謂的「問題」，而「問題解決（problem solving）」指的是在面對問題的情境時個體思考的歷程，也就是綜合運用所學得的知識與技能以達到目的的過程（張春興，1996）。問題解決在教學上反應在有前後文脈的應用問題，或稱文字題（word problem）。而依文字題句型的內涵可分為三個部分：(1)陳述句（assignment）：說明事物和數量間的直接關係，即給定某一變項數值，如：小玉的體重是 20 公斤；(2)關係句（relation）：說明兩變項在數量上的對應、互動或比較關係，如：姐姐比小玉重 10 公斤；(3)問句（question）：題目的目標，即要求回答的未知數數值，如：姐姐體重是幾公斤（引自林沅芝，2005）。此外 Lewis 與 Mayer （1987）依語言性質和運算性質之不同將文字題分為兩種類型：(1)一致 24.

(35) 語言（consistent language）：題目的文字敘述和運算時的符號相同，如：紅茶一杯 15 元，柳橙汁比紅茶貴 10 元，請問柳橙汁一杯多少元？(貴→ 加法)(2)不一致語言（inconsistent language）：問題的文字敘述和所需的運算符號是不同的，如：柳橙汁一杯 25 元，柳橙汁比紅茶貴 10 元，紅茶一杯多少元？(貴→減法)（引自蔡明典，2008）。應用問題依語意結構之不同可分為：(1)改變類（change）：指一數量經由增加或減少的改變後成為另一個數量的問題；如：草地上原有 10 隻小鳥，飛走了 3 隻，草地上還有幾隻小鳥？(2)合併類（combine）：指兩個數量的總合問題，如：教室裡有 30 位學生，其中有 18 個男生，請問女生有幾人？；(3)比較類（compare）：指兩個數量進行多少或大小的關係比較問題，如：一個漢堡 45 元，蛋餅比漢堡便宜 20 元，一個蛋餅多少元？；(4)等化類（equalize）：指一數量的改變歷程，最後達到兩個數量間的均等問題，如：我有 40 顆彈珠，若弟弟再多 10 顆就會和我一樣，弟弟有幾顆彈珠？（Garcia, et al., 2006；Riley, Greeno, & Heller, 1983）。代數（algebra）可視為中學及其以後教育的「守門員」，亦即學生必須能成功地完成代數課程才能從高中畢業（Chambers, 1994），又許多職業也需具備基本的代數能力，因此代數是生存於當今社會，為了獲得更高的學歷與更好報酬的工作，所需必備之重要能力（Kortering, deBettencourt, & Braziel, 2005；Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999）。代數具有抽象的本質，其被視為抽象思考的入門（Witzel, Mercer, & Miller, 2003），其是使用文字符號來代表某些事物的數量或數值間的數量關係，其具一般數字的屬性，可能是已知的數或是未知的數，而如此以象徵性的語言來呈現的代數方程式，學習者在解題時必須要調適以往對於文字符號的詮釋，並學習進行這些符號的數字運算，如用英文字母 x 代表未知的數量並求解 2x＋3＝9（Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999；Witzel, Mercer, & Miller, 2003）。代數應用問題（algebra word problem）指的是使用文字敘述的方式 25.

(36) 來呈現數學題目，在問題表徵的過程中要能建構解題情境的心像或將之圖示化，並將其中一個未知數以某一英文符號作假設，甚至將其他需要用到的未知數透過與已假設的英文符號間的數量關係來表示之，再根據題意列出方程式，接著進入問題解決執行階段，使用適當的算術或代數運算技巧求出方程式的解，最終得到此問題的答案。 (二) 學習障礙學生的解題策略教學學習障礙學生除了本身固有的學習條件限制外，不良的教學也是造成其學習困難的原因之一，學習障礙學生需要長期且密集地的補救教學和彈性調整，才足以因應其在數學學習上的特殊需求（Cawley & Miller,1989），而示範（Modeling）教學能增強學習障礙學生的計算能力及解題的正確率和效率（Rivera & Smith,1987,p.79），可見從早期的研究即可發現學習障礙學生的數學學習效果與教師的教學品質息息相關。 Montague（1996）及 Montague 等人（2000）表示若教師了解學生的知識基礎、技能水準、學習風格、訊息處理過程、策略的使用情形、在數學領域的學習動機等，能導向更有效率的教學。 Hutchinson（1993）指出在自我教導策略解決一步驟與二步驟文字題的相關研究中顯示有效的策略包括：閱讀、畫圖、計畫、執行、檢查及使用計算機，而有效教學的特徵包括：使用自我教導提示卡、自我提問、示範、引導練習、獨立練習與精熟水準。學習障礙學生代數教學介入的相關研究顯示成功的解題者須具備基本的先備技能，即能區分並使用基本的數學名詞與進行基本的數學運算，藉以用來表徵問題、解決問題並自我監控解題歷程，以提升學習者解代數文字題的成效（Maccini, McNaughton, & Ruhl, 1999）。自我調整（self-regulation）是數學問題解決的重要後設認知能力，然而學障生的自我調整能力不佳，所以需要教導其明確的解題策略以監控解題的認知歷程（Montague, 2007）。研究者歸納出介入學習障礙學生應用問題解題之教學策略的相關研究包括：圖示. 26.

(37) 表徵策略、具體-半具體-抽象（CSA）策略、問題解決策略、認知策略、認知與後設認知策略等。 Zimmerman 與 Cunningham（1991）指出數學解題的視覺化包含內在意象的建構與形成(所謂的心像)，和透過紙筆輔助的外在圖像，並有效率地使用這些意象進行數學的探索與理解。Presmeg（1986）將圖像分成五種類型：(1)具體圖像或心像、(2)用以呈現視覺空間基模所描述的關係之形式（pattern）圖像、(3)包含行動與手勢的動覺圖像、(5)數學公式的記憶圖像，而在問題解決中形式圖像最為重要，因為關係的呈現較適用於抽象概念和問題的類化。Hegarty 與 Kozhevnikov（1999）觀察與訪談六年級男學生的數學解題過程，並將其視覺-空間表徵策略分成繪畫（pictorial）與基模（schematic）兩種，繪畫圖像指的是將問題中所描述的對象(人、地、物)予以表面的視覺化，而基模圖像所呈現的是問題的空間關係與轉換，研究亦發現基模圖像與成功的問題解決有正相關，但與繪畫圖像呈負相關（引自 Garderen & Montague , 2003）。 Montague 與 Bos（1986）教導六位學習障礙的中學生解決兩步驟的文字題，提出八個步驟的認知策略：(1)大聲地唸讀題目：詢問老師不認識的字；(2)大聲地解釋題目：留意題目中的數字並說出重要的訊息，自我提問：「題目在問什麼？我正在找什麼？」；(3)視覺化：畫圖以表徵問題；(4)大聲地陳述題目：「我知道…我要找…」，畫下題目中的重要訊息； (5)推測：「有多少個步驟？」，寫下須用到的運算符號；(6)估計：「我的答案大約是多少？」；(7)計算：列出算式並算出答案；(8)自我檢查：檢查每一個步驟與計算過程，「答案合理嗎？」。在處理介入階段，參與者會接受策略習得訓練、策略應用練習及測驗。研究結果顯示此策略大幅地增進其中五位參與者的數學解題表現，當中有四位將此策略類化到更複雜的三步驟文字題，且三個月後仍有維持效果。 Montague（1992）探討認知與後設認知策略教學對六位中學學習障礙學生在數學問題的解題成效，圖 3 為 Montague（1992）所設計的數學 27.

(38) 問題解決的認知-後設認知模式，並以此模式設計策略教學的解題步驟，分別為：閱讀 (read)、釋義(paraphrase)、視覺化 (visualize)、推測 (hypothesize)、估計 (estimate)、計算 (compute) 及檢查 (check)等七個步驟，每一個步驟下皆使用自我教導(SAY)、自我提問(ASK)及自我監控 (CHECK)的後設認知成分，如表 3 所示。. 認知策略與歷程. 後設認知策略與歷程. （特定的問題解決策略）. （認知策略的覺察與調整）. 閱讀（理解）釋義（轉譯）. 數學. 自我教導（使用策略知識）. 視覺化（轉換）. 問題. 自我提問（使用策略知識）. 推測（計畫）. 解決. 自我監控（策略控制）. 估計（預測）計算（算術）檢查（評價）. 圖 3 Montague 的認知-後設認知解題模式. Montague（1992）研究結果發現此策略教學能改善參與者在一步驟、二步驟及三步驟的解題能力，並能將策略的使用類化至不同情境，然而只有兩位參與者具有二週至兩個月的維持成效。兩階段的介入發現結合認知與後設認知策略教學較單獨使用認知策略或後設認知策略的效果來得好。. 28.

(39) 表 3 Montague 問題解決認知過程與自我調整策略教學步驟 1.閱讀(為了理解問題) 說：閱讀題目，如果我不懂，就再讀一次。問：已經讀過並了解問題了嗎？檢查：當我在解題時，我已經了解問題了。 2.釋義(用自己的話說) 說：畫下重要訊息。用我自己的話重述問題。問：我已經畫下重要訊息了嗎？題目在問什麼？我在找什麼？檢查：我所畫下的是解題目所必須的訊息。 3.視覺化(畫一個圖或表) 說：畫一個圖或表。問：這個圖能適切地代表此問題嗎？檢查：確認這個圖是否有違反此問題。 4.推測(解題計畫) 說：決定解題需要多少個步驟與運算。寫下運算符號(＋,－,×,÷)。問：如果我(做了)…，我會得到什麼？如果我(做了)…，接下來我需要做什麼？這個問題需要幾個步驟？檢查：確認這個計畫是否有意義。 5.估計(預測答案) 說：圈出數字，在我的腦海中作計算，並寫下估計值。問：我有估計答案的區間嗎？我有寫下估計值嗎？檢查：我有用到重要的訊息。 6.計算(進行運算) 說：依正確的順序來計算。問：答案與我的估計相差多少？我的答案合理嗎？小數點或金錢符號在正確的位置嗎？檢查：確認計算的順序是否正確。【接下頁】. 29.

(40) 【續前頁】. 7.檢查(確認過程皆正確) 說：檢查計算過程。問：我是否已經檢查每一個解題步驟？我是否已經檢查計算過程？我的答案正確嗎？檢查：確認所有步驟都正確，若沒有，回頭再作一次。若有需要，則請求幫助。資料來源：Montague（1992）. 接著 Montague、Warger 與 Morgan（2000）提出了一套以實徵研究為本位的完整教學方案「Solve It!」，此解題策略教學方案是用來協助數學學習困難的學生解文字題。問題解決的評量方式的類型有二：第一種是透過 10 題簡單的一步驟、二步驟及三步驟之標準參照文字題，評量文字題的解題表現，包含基線期的前測、教學介入期的測驗，以瞭解進步情形，最終達連續 4 次答對 7 題以上的精熟水準；第二種為透過 MPSA-SF （Mathematical Problem-Solving Assessment-Short Form）此非正式的診斷 -處方評量工具，來瞭解個別學生在數學解題的優勢與弱勢，亦即其解題策略的知識與使用。此方案亦強調問題解決策略之明確教學，其內涵包括：高度結構與組織化的課程安排、適當的線索與提示、引導與分散練習、立即與矯正性回饋、正增強、過度練習與精熟。 Hutchinson（1993）研究認知策略教學對國中學習障礙學生代數應用問題的解題成效，實驗設計為基線期、教學介入精熟期、轉換期與維持期等階段。此教學策略是透過結構化的學習單逐步解題：目標、未知、已知（用自己的話說與畫圖）、問題類型、列方程式、解方程式、對照目標及檢查等，並使用提示卡以自我提問的方式經歷問題表徵至問題解決兩階段，欲提升學生在關係、比例及兩個變量與方程式等三種題型的解題能力。20 名學生中有 12 名為實驗組，個別接受上述的認知策略教學介入，8 名為控制組，接受一般教學。結果顯示此教學策略是有效的介入，實驗組大部分的學生解題表現有進步且優於控制組。 30.

(41) Maccini 與 Hughes（2000）以具體-半具體-抽象（concrete-semi concrete-abstract）的教學順序（實物操作-圖示表徵-數學符號），教導六位學障中學生透過代數解題策略「STAR」（Maccini, 1998）來解決整數的加減乘除法文字題，其步驟分別為 Search：搜尋文字題的資訊、Translate：將文字以畫圖等形式轉譯成等式、Answer：回答問題、Review：回顧解題過程。結果顯示學生能學習並能獨立地使用解題策略，其在問題表徵與問題解決的正確率皆有提升，策略使用的百分比亦有增加，且具有類化及保留效果，學生對此教學介入持正向態度並有興趣學習代數課程。 Garderen（2007）針對三位八年級的學習障礙學生進行畫圖以及含有圖示表徵的解題步驟之策略教學。Garderen 將圖示表徵分為：線段表徵（line diagram），有利於資料的排序；部分/整體表徵（part/whole diagram），有利於資料的彙整，其所使用的「視覺化（Visualize）」解題策略是參考 Montague（1997）在數學文字題的認知─後設認知解題策略，包含閱讀、視覺化、計畫、計算及檢查的五個認知解題歷程，亦結合了說、問、檢查的後設認知策略，但與 Montague 不同的是此策略特別強調「視覺化」的認知歷程，將之又再畫分為畫圖（draw）與安排（arrange）兩個子步驟。Garderen 的研究結果顯示這些學生圖示表徵的能力以及圖表的使用次數皆有所進展，解一步驟及二步驟的文字題表現亦有進步，甚至會使用此策略去解決其他類型的問題，學生對此課程感到滿意也會繼續在其他學習情境使用此策略解題。江美娟與周台傑（2003）探討國小數學學習障礙學生在接受後設認知策略教學後，對其應用問題解題能力的影響，以及實驗教學前後在解題歷程上行為特質的變化。江美娟所使用的教學材料是改編自 Montague （1992,1995,1997）的認知─後設認知策略的解題步驟並設計口訣為「一讀、二說、三畫圖、四計畫、五計算、六檢查」，在解題歷程中使用自我教導、自我提問及自我監控等後設認知策略。研究結果發現，研究對象在接受後設認知策略教學後，其在應用問題解題測驗的得分上，不論是 31.

(42) 整體表現、多餘訊息題型、二步驟題型的得分均顯著增加，且具有保留效果，但一步驟題型得分並未能顯著增加；此教學能減少數學學障生在閱讀及分析問題上的錯誤，減少使用關鍵字或猜測來解題，增進題意的理解、圖示策略的使用、及主動驗算與檢查答案等的行為。吳雅琪與孟瑛如（2005）以資訊融入解題策略的實驗教學課程來探討對國小數學學習障礙學生文字題的解題成效，以及對解題歷程的錯誤和解題態度的影響，該研究是參考 Mayer（1992）的解題歷程模式加以設計而成六個步驟的解題策略：唸題目、理解題意、畫圖表示、列出算式、計算、檢查，並透過具體（實物教學）─半具體（資訊融入教學、簡易圖示教學）─抽象（列式教學）的漸進式方法進行解題，結果證實參與者整體解題表現較介入前進步，且具維持成效，此外經教學後參與者在解題歷程上的錯誤減少、解題態度上有改進。黃秋霞與方美珍（2007）比較三種圖示表徵策略對三位國小學障生教學介入的效果：「圖片表徵」、「錢幣表徵」和「線段表徵」。結果顯示三種表徵皆能提升學生的解題正確率，亦具有良好的保留效果；「總量未知加法文字題」的成效最好；2 位學生使用線段表徵的進步趨勢最大，保留效果亦最佳，1 位則是使用錢幣表徵的學習成效最好。李冠穎與張美華（2010）參考 Montague（1992,1997）的解題策略、 Kamann 與 Wong（1993）的自我增強策略，設計出四大步驟的後設認知策略，口訣為「念、畫、算、查」，教導國小學障生解決被比較量未知二步驟、參照量未知二步驟的應用問題，結果指出參與者在教學介入後測驗得分顯著增加，亦能維持效果，兩位參與者甚至持續進步；另外，三位學生雖然皆能顯著習得此解題策略，但僅有一位參與者能保留。洪意琇（2008）教導國中學習障礙學生解一元一次方程式文字題，採用的後設認知策略教學是修改自 Montague（1992,1995,1997）的解題策略，簡化為「閱讀、說出、畫圖、列式、計算、檢查」，學生在教學後測驗的整體得分和各解題階段得分有立即和維持效果，三位受試亦呈現 32.