估算與數感

Sowder 曾問學生一個問題：「一個 10 歲的孩子身高 1.5 公尺，他 20 歲時有 多高?」有將近三分之一的學生回答「3 公尺!」Sowder 認為這種現象表示學生雖 然會寫算式計算答案，但卻不是真正理解使用該算式的原因，以及使用該算式後 其數字代表的意義（引自支毅君，1997）。因此，一個具有數感的人，對於數字 的大小、與數字所代表的意義應有合理的範圍與知覺，當出現不合常理的答案時，

也會有所察覺。

壹、數感(number sense)的意義

所謂的數感，國內也有學者稱為數字感，或稱為數字常識。簡單來說，數感 是一種心中的對數的直覺（NCTM,1989）。一般而言，數感通常是直觀的、不言 自明的，美國哈佛大學史培基（Spelke, 2005）研究指出嬰兒天生就有數感的能力，

而且數感和他們長大後在學校學習算術能力有很高的相關性；Hope (1987)認為數 感很難定義但卻很容易辨識，研究指出數感良好的學生，可以根據脈絡和表徵的 目的用多重方式來進行表徵，也可以辨識基準數字（benchmark numbers）以及數 字模式（number patterns），特別是來自於數字系統的深層結構，能夠在真實世 界的量與數學世界的數和數字表徵間揮灑自如。

McIntosh , Reys & Reys(1992)從數字、運算與數字與運算所產生的情境三個 方面來探討數感的架構，對於數字的知識，運算的知識能夠有相當的理解，進而 應用到計算的情境之中，則可促進良好的數感，如圖 2-2-1。

圖 2-2-1 數感主要元素關係圖（McIntosh, Reys, & Reys, 1992）

Sowder (1992)總結多位學者的論點，說明數感具有良好的概念組織，不但能

連結數字和運算特性的關係；也能運用非標準化的策略進行心算和估算；而且數 感是一種可以作為辨認數字的大小、相對和絕對大小，以及做質與量的判斷，並 且能瞭解計算的不合理性。

美國數學教師協會(NCTM) 在1989年出版中小學「學校的數學課程與評量標 準」中提出數感能力佳的學生，擁有以下幾點特質（引自洪瑋辰，2010）：

一、能充分理解數字的意義。

二、能發現數字間的不同關係。

三、能比較數字的相對大小。

四、能理解運算對數字的影響。

五、能應用參考點於日常生活中。

除了國外學者對數感的各種探討外，國內學者對數感也提出了許多見解：林 素微（2002）將數感界定為「在生活經驗關連、隱含數量的非例行性數學情境下

（如閱讀書報等非正式數學的環境），個體對於情境中數量的覺知以及推理」；

楊德清（2002）認為數感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和運算所產生 之情境的一般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展 有效的解題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中包含數字和運算之情境 的相關問題，是多種能力的組合；李茂能、許清陽、楊德清（2001）把數感稱為

「數字常識」，他們認同數字常識是一種數字與運算的洞察力，在計算時能考慮 不同層面的正確性，洞察運算結果的正確性，以及合理的使用數字的常識。

許清陽（2001）歸納出數字常識組成成份有五個向度，其分類架構如下：

ㄧ、瞭解數字的意義和關係的能力：

對正整數、小數、分數等有理數的理解，能瞭解數字的基本意義及數字間的 關係。例如，知道68和69之間有無限多個分數；910×0.5與910÷2的意義是相同的。

二、辨認數字大小的能力：

此能力指的是比較和排序數字的能力。例如，能辨認 35×0.08 的乘積會比35 小很多；6.7比6.6987 大。

500 A 也會跟著改變。例如，在比較 28×27、26×28、27×29、29×25 時，能瞭解27×29 比 其它三者還大；知道三位數和二位數相乘的乘積可能是四位數，也可能是五位

貳、數感的重要性

Reys (1991)認為擁有數感是很重要的，對處理有關數字的問題來說，數感就 隱含在數字之中。林素微（2002，2005）將數感的重要性分析如下：

一、引發學習數學的興趣

傳統的數學教學大多較偏重數學的運算，如此容易使學生覺得枯燥乏味，若 能將其轉換成數感的教學，改成以思考數字間巧妙關係，進而發展邏輯推理判斷 的能力，將更能吸引學生主動學習。

二、協助發展心算、估算、估測等技巧

估算是指取出「大約」的值，但是目前國小數學領域估算單元的教材大多要 求「精算」，所以學生較不習慣以估算求得答案。但在1988年9月的NCTM簡訊 中刊出其會員選出「估算」為五項重要的數學主題之ㄧ，這也顯示估算的重要；

因為一個具有良好數感的人，在估算方面的能力也會相對較高。

三、增進解題過程中的後設認知能力

後設認知可分為「知識」與「控制」兩個要素（許清陽，2005），如果在教 學中增強學生的數感訓練，讓學生的數學知識增加，控制數字的能力增加，便等 於增進學生在數學學習上的後設認知能力。

在數感和學業成就相關的檢定上，許清陽（2006）的研究顯示：大部分學校 學生的數感和數學學業成就有顯著的相關。由此可知，數感和數學學業成就的關 係相當緊密。因此，要發展學生的數學能力，兒童的估算能力是很重要的基礎。

估算策略是數感最重要的成份，學生的估算技巧愈好，數感的表現也就愈好，在 校的數學成就表現也就愈好。

叁、估算與數感的關係

支毅君（1997）曾提供 3 個二位整數乘法直式（47×9=423，98×16=948，

38×12=456），要學生指認出哪一個是錯誤的算式，但在 16 位國小受測學生中，

只有 8 位找出答案，且其中僅 4 位是以數的大小來判斷，其他都是以筆算程序求

出結果才決定答案，正說明我國學生明顯數感不足的現象。

NCTM (2000)主張「數學標準的核心就是發展數感能力」，且在「數字和運 算標準」中也提到希望使所有學生能夠達到以下三項目標：

一、能了解數字、數字的表徵方式、數字間的關係及數字系統。

二、能了解運算的意義及運算間的關聯。

三、能流暢的計算並做合理的估算。

由以上可以說明數感和估算有著密切的關係：估算能力是數感最重要的組成 成份，而且想要發展數感能力，更要了解數字、數字的表徵方式、數字間的關係，

以及能做合理的估算。

林怡靜、曹雅玲（2005）在國小五年級學童數感教學之研究--以分數為例中 選取台北市某國小五年級33位學生為研究對象。研究結果顯示：在進行數感活動 的教學活動中發現，兒童對分 數仍存在著迷失概念，而且非常依賴『運算』、『規 則』等傳統算則，不會使用參考點和估算來進行解題。在經過教學引導後，兒童 漸漸發展出參考點與估算的能力，因此在解題時，會先運用參考點的能力與估算 的能力，而不是只有盲目的進行機械式的運算與思考，由此可以發現兒童數感的 提升。換言之，增進了兒童估算的能力，亦增進了兒童分數數感的能力。

尤仁聰（2011）利用電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）平台研 發「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」。透過線上施測，探討國小四年級學 童在評量中的表現與答題過程中的自我調整策略。研究者分析數感的組成成分後，

選定「估算」為不可或缺的能力，再融入自我調整學習的內涵。研究顯示學童透 過自我調整學習後，二位數和三位數的加減估算能力都有顯著的進步。

黃瓊儀（2011）亦使用電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）平台 研究學生在數感上的表現，研究結果顯示：線上壞鍵計算機融入教學對學生在學 習數感五向度（許清揚，2001）中的「瞭解數字的意義和關係的能力」、「瞭解 運算對數字的意義和影響的能力」、「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」、

「以多重方式表徵數字的能力」方面之學習具有良好的成效；對不同能力學生也

能有效提升高分組與低分組學生之整數數感能力；另外，研究結果也顯示線上壞 鍵計算機融入教學能顯著提升學生估算評量中的解題能力；最後，不同數感能力 學生經線上壞鍵計算機教學後，能顯著提升學生在線上壞鍵計算機估算評量中的 解題能力。

由以上文獻結論可知，要發展學生的數學能力，兒童的估算能力和數感能力 是很重要的基礎。估算能力是數感的最重要的成份，而且增進兒童估算的能力，

也就提升了兒童數感的能力；而數感能力愈佳，在校的數學成就表現也就愈好。

基於此，本研究欲開發「線上壞鍵計算機估算動態評量」，用以評估學生的數感 和估算能力，進而提升學生在校的數學成就表現。