評估線上壞鍵計算機估算動態評量教學之效益

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：施淑娟博士

評估線上壞鍵計算機估算動態評量教

學之效益

研究生：吳艾玫撰

中

華

民

國

一

○ 二

年

八

月

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摘要

本研究的主要目的是探討「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在「數感測驗」與「估算測驗」解題表現之影響，以及分析學生整數數感能力的改變，是否會影響其估算單元的解題表現。研究者先編製二份適合國小五年級學生的前後測試卷，分別是「數感測驗」與「估算測驗」，再依據「線上壞鍵計算機估算動態評量」設計標準化的漸進提示系統，接著以準實驗設計之不等組前後測設計進行教學實驗，最後依據線上壞鍵計算機估算動態評量教學的實驗組與傳統班級教學的對照組學生在「數感測驗」及「估算測驗」上的表現，分析「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學，對學生「整數數感」和估算單元學習之影響。本研究之研究結果如下：一、線上壞鍵計算機估算動態評量教學較傳統教學更能有效提升學生整體的數感能力；具有低度效果量之影響。二、線上壞鍵計算機估算動態評量教學較傳統教學更能顯著提升學生數感五向度中「辨認數字大小」、「發展計算策略與判斷答案合理性」的能力；具有低度效果量之影響。三、線上壞鍵計算機估算動態評量教學較傳統教學更能顯著提升數感中分組與低分組學生的數感能力。四、數感測驗和估算測驗二者存在中度的正相關，R 平方為 .373，實驗結果顯示如果估算測驗的成績愈高，數感測驗成績也就愈高；同樣的，數感測驗的成績愈高，估算測驗成績也會愈高，顯示數感與估算關係緊密。五、線上壞鍵計算機估算動態評量教學較傳統教學更能有效提升學生整體的估算能力；具有中度效果量之影響。六、線上壞鍵計算機估算動態評量教學較傳統教學更能顯著提升學生在加、減、乘以及除法不同運算類型的估算能力；加法和減法估算具有低度效果量之影響；乘法和除法估算具有中度效果量之影響。

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七、線上壞鍵計算機估算動態評量教學對估算高分組、中分組與低分組學生皆能有效提升其估算的能力。

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Abstract

The main purposes of this study were to explore the influence of teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" on the performances of fifth grade students in "number sense test" and "estimation test", and analyzed whether the problem solving performances of fifth grade students in estimation test be influenced by the changing of students’ abilities of integer number sense or not. At first, the researcher designed two kinds of pretest-posttest tests for fifth grade students, there were "number sense test" and "estimation test". Next, the standardized progressive prompting system was constructed for "online broken calculator estimation dynamic assessment". Then, this assessment was used for the teaching experiments by the pretest-posttest nonequivalent quasi-experimental design. Finally, according to performances of the experimental group students (teaching with online broken calculator estimation dynamic assessment) and the control group students (teaching with traditional method) in "number sense test" and "estimation test", the influence of teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" on the performances of fifth grade students was analyzed.

The results of this study were as follows:

1. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" was mo re effective than traditional teaching in enhancing the overall number sense abilities of students. However, the effect size with a low degree of influence.

2. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" was more effective than traditional teaching in enhancing the subabilities of number sense in the "identification number size," and "developing computational strategies and determine the reasonableness of the answer" dimensions. However, the effect size with a low degree of influence.

3. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" was more effective than traditional teaching in enhancing the the overall number sense abilities of the middle-ability group and the low-ability group.

4. There was a medium positive correlation between the scores of number sense test and the scores of estimation test. R squared was .373. The experimental results showed that the estimation test scores higher, the number sense test scores also higher. Similarly, the number sense test scores higher, the estimation test scores also higher.

5. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" was more effective than traditional teaching in enhancing the estimation abilities of students. The effect size with a moderate degree of influence.

6. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" was more effective than traditional teaching in enhancing the estimation abilities of students in the subdomain of addition, subtraction, multiplication, and division. Addition and subtraction with a low effect size estimate of the impact. Multiplication and division with a moderate effect size estimate of the impact.

7. Teaching with "online broken calculator estimation dynamic assessment" could enhance the estimation abilities in different ability groups effectively.

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頁數

中文摘要………Ι 英文摘要………Ⅲ 目錄……… ……… ……… ……… ……… ……Ⅳ 表目錄………Ⅵ 目錄………Ⅷ 第一章緒論………1 第一節研究動機………1 第二節研究目的與待答問題………5 第三節名詞解釋………6 第四節研究範圍與限制………7 第二章文獻探討………9 第一節估算的意義………9 第二節估算與數感………12 第三節動態評量………18 第三章研究方法………25 第一節研究流程………25 第二節研究對象………29 第三節研究工具………30 第四節實驗設計與教學設計………52 第五節資料處理與分析………58 第四章研究結果 … … … … …… … … …… … … …… 6 1 第一節不同教學模式對學生整數數感整體表現之影響 … … … 6 1 第二節不同教學模式對學生數感五向度分項成績表現之影響 … … … 6 4 第三節線上壞鍵計算機估算動態評量教學對不同數感能力學生的整數數感表現提升之情形………71

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第四節數感測驗與估算測驗成績之相關與迴歸分析………72 第五節不同教學模式對學生在估算測驗整體解題表現之影響………75 第六節不同教學模式對學生在不同運算類型估算分項成績之影響………77 第七節線上壞鍵計算機估算動態評量教學對不同估算能力學生在估算測驗解題表現提升之情形………84 第五章結論與建議………85 第一節結論………85 第二節建議………88 參考文獻………90 附錄一………95 附錄二………105

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表目錄

表 3-2-1 正式施測樣本………29 表 3-3-1 整數數感測驗試題架構表………30 表 3-3-2 數感測驗預試試題之難度與鑑別度資料表………33 表 3-3-3 國小五年級估算測驗試題架構表………35 表 3-3-4 國小五年級估算測驗預試試題分析表………36 表 3-3-5 加法估算活動試題結構表………38 表 3-3-6 乘法估算活動試題結構表………38 表 3-3-7 減法估算活動試題結構表 ………38 表 3-3-8 除法估算活動試題結構表………39 表 3-4-1 教學流程表………52 表 4-1-1 不同教學模式的整數數感測驗成績描述統計摘要表………61 表 4-1-2 實驗組與對照組之迴歸係數同質性檢定表………62 表 4-1-3 實驗組與對照組後測成績之單因子共變數分析檢定表 ………62 表 4-2-1 不同教學模式的整數數感向度一測驗成績描述統計摘要表………64 表 4-2-2 實驗組與對照組數感向度一之迴歸係數同質性檢定表………64 表 4-2-3 實驗組與對照組數感向度一後測成績之單因子共變數分析檢定表 65 表 4-2-4 不同教學模式的整數數感向度二測驗成績描述統計摘要表………65 表 4-2-5 實驗組與對照組數感向度二之迴歸係數同質性檢定表………65 表 4-2-6 實驗組與對照組數感向度二後測成績之單因子共變數分析檢定表 66 表 4-2-7 不同教學模式的整數數感向度三測驗成績描述統計摘要表………66 表 4-2-8 實驗組與對照組數感向度三之迴歸係數同質性檢定表………67 表 4-2-9 不同教學模式的整數數感向度四測驗成績描述統計摘要表………68 表 4-2-10 實驗組與對照組數感向度四之迴歸係數同質性檢定表………68 表 4-2-11 實驗組與對照組數感向度四後測成績之單因子共變數分析檢定表 68 表 4-2-12 不同教學模式的整數數感向度五測驗成績描述統計摘要表………69

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表 4-2-13 實驗組與對照組數感向度五之迴歸係數同質性檢定表………69 表 4-2-14 實驗組與對照組數感向度五後測成績之單因子共變數分析檢定表 69 表 4-3-1 實驗組數感高分組、中分組與低分組估算測驗前後測成績之成對樣本 t 檢定………71 表 4-4-1 模式摘要表………72 表 4-4-2 變異數分析表………72 表 4-4-3 係數表………72 表 4-4-4 模式摘要表………73 表 4-4-5 變異數分析表………73 表 4-4-6 係數表………74 表 4-5-1 不同教學模式的估算測驗成績描述統計摘要表………75 表 4-5-2 實驗組與對照組之迴歸係數同質性檢定表………75 表 4-5-3 實驗組與對照組後測成績之單因子共變數分析檢定表………75 表 4-6-1 不同教學模式的估算測驗加法成績描述統計摘要表………77 表 4-6-2 實驗組與對照組加法估算之迴歸係數同質性檢定表………77 表 4-6-3 實驗組與對照組加法估算後測成績之單因子共變數分析檢定……78 表 4-6-4 不同教學模式的估算測驗減法成績描述統計摘要表………79 表 4-6-5 實驗組與對照組減法估算之迴歸係數同質性檢定表………79 表 4-6-6 實驗組與對照組減法估算後測成績之單因子共變數分析檢定表…79 表 4-6-7 不同教學模式的估算測驗乘法成績描述統計摘要表………80 表 4-6-8 實驗組與對照組乘法估算之迴歸係數同質性檢定表………80 表 4-6-9 實驗組與對照組乘法估算後測成績之單因子共變數分析檢定表…81 表 4-6-10 不同教學模式的估算測驗除法成績描述統計摘要表………81 表 4-6-11 實驗組與對照組除法估算之迴歸係數同質性檢定表………82 表 4-6-12 實驗組與對照組除法估算後測成績之單因子共變數分析檢定表 …82 表 4-7-1 實驗組估算高分組、中分組與低分組估算前後測成績之成對樣本 t 檢定………84

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圖目錄

圖 2-2-1 數感主要元素關係圖………12 圖 2-2-2 數線圖………14 圖 2-2-3 花圃試題圖例………14 圖 3-1-1 研究流程圖………28 圖 3-3-1 壞鍵計算機加法估算活動………40 圖 3-3-2 壞鍵計算機減法估算活動………41 圖 3-3-3 壞鍵計算機乘法估算活動………42 圖 3-3-4 壞鍵計算機除法估算活動………44 圖 3-3-5 進入線上施測畫面………44 圖 3-3-6 核對個人資料………44 圖 3-3-7 選定測驗………45 圖 3-3-8 遊戲說明畫面………45 圖 3-3-9 操作說明畫面………45 圖 3-3-10 測驗說明………46 圖 3-3-11 練習題………46 圖 3-3-12 直接進入下一題………46 圖 3-3-13 提示一的對錯回饋………47 圖 3-3-14 提示二的擴大特徵差別提示………47 圖 3-3-15 提示三的以實例示範………48 圖 3-3-16 提示四的直接教學………48 圖 3-3-17 超過作答時間………49 圖 3-3-18 測驗結束………49 圖 3-3-19 診斷報告………50 圖 3-3-20 線上壞鍵計算機估算動態評量施測流程………51 圖 3-4-1 實驗架構圖………54

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圖 3-4-2 實驗組教學設計………55 圖 3-4-3 對照組教學設計………57 圖 4-1-1 效果量之計算公式 ………63 圖 4-2-1 組內迴歸線的相交點及差異顯著點………67 圖 4-4-1 標準化殘差次數分配圖………73 圖 4-4-2 標準化殘差常態機率分配 P－P 圖………73 圖 4-4-3 標準化殘差次數分配圖………74 圖 4-4-4 標準化殘差常態機率分配 P－P 圖………74

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第一章緒論

本研究的主要目的是探討「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在「數感測驗」與「估算測驗」解題表現之影響，以及分析學生整數數感能力的改變，是否會影響其估算單元的解題表現。本章共分成四節，第一節為研究動機，第二節為研究目的與待答問題，第三節為名詞解釋，第四節為研究範圍與限制，茲分述如下。

第一節研究動機

臺灣學生在國際間數學競試的表現，捷報頻傳，明顯優於許多先進國家，比如在2003年的國際數學與科學教育成就調查（林碧珍、蔡文煥，2007），台灣數學排名第四；2006年時，台灣學生首度參加「學生基礎素養國際研究計畫(PISA)」評比，拿到數學全球第一（林煥祥，2008）；高中資優生競技的數學奧林匹克競賽，台灣也分別拿過第五名與第九名；在「二○一二年亞太小學數學奧林匹克競賽」，台灣代表隊十名選手一舉囊括三面金牌，由以上許多輝煌的成績紀錄來看，台灣學生在數學方面的實力確實不容忽視。雖然擁有如此雄厚的數學實力，但學生們的優勢能力大多集中於快速的紙筆精算能力。洪瑞鎂（2001）分析我國學生在國際數學評量（TIMSS-R）的表現，發現我國多數的學生較缺乏與生活經驗相連結的數學能力，也就是說對於非教材內常見的問題，例如與生活上實際應用需要量感、數感的試題，以及需要自行推論和解釋過程的問題，學生的表現則顯得薄弱而不熟悉。歸究原因，可發現在傳統的教育體制下，家長重視月考的成績，學生追求的是正確和唯一的答案。因此，學生們一見到數學問題，習以為常的套入公式求解，這樣的結果，很容易造成思考僵化，只重視算則、記憶公式，而忽略了整體性的理解。

1978 年的全美數學督學聯合會（ National Council of Supervisors of

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學生基本的計算，估測與判斷結果是否合理的能力比學會精熟的計算能力還重要（引自林文生、鄔瑞香，1999），也就是說數學教育的精髓是思考，懂得思考、判斷的能力比學會精熟的計算能力還要重要。近年來，國內積極推動一連串的教育改革，教育部（2009）公佈的九年一貫課程綱要，強調要培養學生帶的走的基本能力；在數學學習領域的基本理念中提到「在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗（或數學感覺）的培養卻是同等重要。」就說明希望學生在遇到數學問題時，要能懂得思考與理解，在不用紙筆做精算的情況下，也能獲得合理的答案，而這種「學生的數學經驗或數學感覺」就是數字感（number sense），也就是根據對數的不同意義，產生一種對數的直覺；美國NCTM (2000)中也主張「數學標準的核心就是發展數感能力」。一般來說，數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題，Halberda, Mazzocco & Feigenson(2008) 研究發現概算（估算）能力和數學成就有高相關。因此，經由估算課題的教學，也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結，有更深入的理解（教育部，2009）。國內學者楊德清（2002）將數感的組成成份整理為：1.瞭解數的基本意義；2.比較數字大小的能力分辨；3.瞭解運算對數字的意義和影響之能力；4.發展並靈活運用參考點的能力；5.發展估算策略，以及能夠判斷運算結果之合理性。綜合上述可瞭解，估算屬於較高層次的數學能力，顯示了估算在數學能力中的重要性。「估算」策略則是數學概念與數感組成架構中很重要的一環，而「數感」是計算與解題的重要關鍵。因此，教師應該培養學生發展良好的數感與估算能力，才能讓學生在面對數學問題時能夠迎刃而解。現行國小數學課程版本大多偏重於加強學生精算能力，對於數感或估算相關的內容較少，依據國外研究指出，壞鍵計算機不但是廉價而方便的應用程式，還可以用來發展和評估學生的位值概念、了解數字與運算的關係、使用數學的推理能力等，而這些能力都與學生的數感有著密切的關係(Collison, Collison, & Schwartz, 2006)。黃瓊儀（2011）應用線上壞鍵計算機融入教學進行國小四年級

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學生的數感教學應用之研究，使用電子白板進行團班教學，也證實了線上壞鍵計算機融入教學較傳統教學更能有效提升學生整體的數感能力和估算評量中的解題表現。近年來的教育改革除了強調有意義的學習外，也注重多元而適配的評量方式。好的評量方法，除了要能測量出學習者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習缺失的診斷訊息，以利教學者進行有效的補救教學，才能讓教學活動更完善（涂金堂，2003）。由於數感的界定困難，使得數感評量不容易進行，學者們多認為要能有效評量數感能力，必須靠連續的、動態的、彈性的、深入的、並且多元化的評量（NCTM,1987），因此，雙向互動的動態評量（dynamic assessment）似乎是較為適配的評量方法。動態評量的重點在於學習者正向改變的幅度，且評量中包含互動的教學介入，教師關心的不再只是學生成績的相對位置，而是學生學習的軌跡與改變的情形，因此，對學生來說，學習和評量是動態的，是互補互助的。然而，這多元而適性的動態評量卻不易實施，原因即在於動態評量的內涵與實施相當昂貴，而且耗費人力、物力、及時間。近年來，由於數位科技日新月異，個人電腦運算快速，已經能處理大量的影音訊息。透過電腦化的動態評量，不僅可以節省人力、物力，同時也可以更標準化、更適性化的介入評量與教學；學生不但可以依照自己的程度依序提取標準化的漸進提示訊息，也能更合理且有效的評估學習成長改變的軌跡。電腦化的動態評量將更有效益地落實寓教於樂，使得教學歷程、評量與回饋相互結合，協助教師完成一個完整的教學活動。綜合上述可知，培養學生估算與數感能力，有助於學生處理數學問題；而以線上壞鍵計算機融入教學，不但與學生的數感有著密切的關係，對於提升國小學生的數感與估算能力，也有正面的幫助。唯一美中不足的是，此遊戲評量在教學應用上容易受到教師因素的影響，仍然無法達到個別化。因此，為了提升學生數感與估算能力，同時彌補先前研究的不足，研究者開發線上壞鍵計算機估算動態

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評量，將教師之教學流程，以動態評量漸進提示的方式標準化，使估算的教學歷程、評量與回饋融合在一起，讓學生在線上進行遊戲評量時，可以依照個別程度得到不同的提示；再者，由於國小五年級數學領域的課程以「小數的乘法估算」和此估算動態評量教學相關性較高，因此，研究者希望透過有趣而多元的線上壞鍵計算機估算動態評量教學，讓學生在友善的情境下學習估算策略，提升數感與估算的能力，進而協助學生在估算單元的學習，提高學生學習數學的興趣。

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第二節研究目的與待答問題

本研究的主要目的是探討「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在「數感測驗」與「估算測驗」解題表現之影響，以及分析學生整數數感能力的改變，是否會影響其估算單元的解題表現。基於以上所述，本研究的待答問題如下﹕ 一、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在整數數感測驗整體解題表現之影響為何? 二、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在數感五向度分項測驗解題表現之影響為何? 三、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對不同數感能力學生在整數數感測驗解題表現之影響為何? 四、估算測驗與數感測驗之相關性為何? 五、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在估算測驗解題表現之影響為何? 六、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對五年級學生在加、減、乘、除不同運算型態的估算表現之影響為何? 七、電腦化之「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學對不同估算能力學生在估算測驗解題表現之影響為何?

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第三節名詞解釋

一、估算（computational estimation）

估算是心算、數概念及各種計算技巧的綜合運用，即是以心算的過程快速的算出答案，且此結果與正確的計算結果有合理性的接近（Reys & Bestgen，1982)。二、線上壞鍵計算機估算動態評量此「線上壞鍵計算機估算動態評量」是採用電腦化數感多元評量（李淑娟、施淑娟、郭伯臣，2011）中的線上壞鍵計算機遊戲所編製。此動態評量包含加、減、乘、除四種運算類型，以計算機的方式呈現；並且搭配研究者所編擬的標準化漸進提示系統，由研究者設定起點值與目標值，運算的數字一定要是10的倍數，計算機中會有幾個按鍵壞掉不能使用，受試學生必須利用可用的按鍵，列出一個最正確的算式，來進行估算，以求得最接近目標值；受試學生若答錯，則依序給與提示；學生若答對，則進入下一題。三、數感(number sense) 數感是一個人對數字和運算的一般性了解，能變通性的使用這種了解來做數學的判斷，並發展出有用及有效的策略來處理所面對的數字情境(McIntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel, 1997)。

四、估算單元

估算單元是指小數的乘法估算單元，屬於數學領域五大主題中的數與量，是

國小五年級的學習內容。分年細目為 5-n-10；能力指標為：能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。

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第四節研究範圍與限制

一、研究範圍本研究的對象是國小五年級學生，所使用的教材為九年一貫課程綱要審定合格南一版第十冊數學課本，配合的章節為五下的第七章-小數的乘法估算。因為四年級已學過整數估算，五年級學習數與量的部分已進展到小數，所以估算內容以小數為主。小數的乘法估算表現不好，可能是整數估算的基礎就不好，所以透過整數估算提升小數的乘法估算和和數感能力，進行整數估算補救教學。二、研究限制 1、就受試者取樣限制而言：本研究基於人力、電腦設備與教學時間等相關因素，以台中市某國小五年級 4個班級學生為教學實驗樣本，無法以隨機方式取樣，亦無法進行隨機分派。 2、就推論限制而言本研究只針對動態評量、估算和整數數感解題表現進行探究，其他影響因素不在研究範圍之內，故本研究之結果不宜過度推論。

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第二章文獻探討

本研究在探討國小五年級學生進行「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學後，評估標準化漸進提示策略之效益，以及學生在數感測驗與估算測驗的解題表現。因此，本章將就估算的意義、估算與數感、動態評量的相關理論和電腦化動態評量進行文獻探討。

第一節估算的意義

Reys & Bestgen (1982) 認為估算（computational estimation）是心算、數概念及各種計算技巧的綜合運用，即是以心算的過程快速的算出答案，且此結果與正確的計算結果有合理性的接近；Siegel 等人(1982)認為估算是在計算問題時得到近似(rough) 答案的內在運思，當不需要或不可能去精算(precise computation)時，就需要估算這種能力來求出一個合理的猜測答案，它能使我們去判斷一個經由計算機所得到答案的合理性（引自劉湘川、林彩鳳，1995）。Dowker(1992)認為估算就是沒有實際做計算，而能對近似答案的算術問題作出合理的猜測。估算是種複雜的能力，包括兩項過程，首先將精確的數字簡化成概略且便於計算的數值，然後再將這些概數以適切的策略進行解題，再求出結果的一種解題方式（Sowder, 1992）。綜合以上敘述，在各研究中對估算的定義雖不明確，但可以窺見一些端倪：進行估算時並沒有實際做計算，而是運用數概念及各種心算技巧，推估出合理的答案或是可接受的近似值。

壹、估算的重要性

如果每一份套餐的價格是490元，需再外加一成服務費，那麼一份套餐的實際價格大約是550元，結帳時，若依此推估消費金額，就可以放心的刷卡了。因為

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就算來不及精算出實際的消費金額，但心中早已有「譜」，而這心中的「譜」，就是估算。其實人們隨時隨地都在進行「估算」的心理歷程，例如出門的時間、購物時的消費…等，如果估計結果都在合理的範圍之內，生活中也就少有意料之外的衝突。近年來，在美國的數學課程改革裡，都提到了估算的重要（NCTM, 2000）。支毅君（1997）指出：在日常生活所牽涉到的數字，估算往往比精算好用，因為當精確答案不需要或情況不允許時，就需要估算來求出合理的概略解答。假如學生知道一個班級的人數後，想推知全校的學生人數時，就可以利用估算策略來獲取接近正確數值的概數。因此，當九年一貫課程的基本精神是「培養學生帶的走的基本能力」，估算也已列入數學領域的課程綱要。在教育部（2009）頒布數學領域實施要點中的五大主題也說明「估算」的重要性：「估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。」我們在日常生活中所面臨的許多情境，其實並不常需要很精確的答案，而是只要對答案的特性有大致理解，就能應付自如。因此，在適當時機作估算，的確是一個十分重要的數學能力。估算能力佳的學童，往往較能將估算策略應用於生活中，解決生活所面臨的種種問題。因此，國內近年來也有愈來愈多的學者投入估算的研究（尤仁聰，2010；王秀惠，2004；吳心馨，2007；張盈盈，2003）。

貳、估算的策略

Reys, Rybolt, Bestgen & Wyat (1982)研究發現好的估算者常使用三種估算策略：重組（reformulation）、轉換（translation）和補償（compensation）。重組是改變數字以產生一種內心易於處理的形式，意即將數字改變成比較容易心算的形式，原本的問題結構仍然一樣，例如 347÷72 變成 350÷70，或將數字採不同的方式表徵，例如將 1234 的 30%變成 1234×0.3；轉換是把問題的數學結構改變為一種易於處理的形式，例如 5233+4917+5128 變成 5000×3 等等；補償是

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通過調整，把經過重組或轉化後，因為數字的改變而產生的差距做出調整。例如： 347÷72 變成 350÷70，但是 347÷72 的結果應該比 350÷70 還要小，估算出來的答案應該要比 5 小，所以估計大約是 4.8。

綜合上述得知，估算的進行是一連串「心算的過程」，也是心算、四捨五入

技能和位值等數概念的綜合能力表現（Reys, Rybolt, Bestgen & Wyat ,1982)。在國民中小學九年一貫課程數學領域中數與量主題的估算單元，分別屬於四年級和五年級。四年級的分年細目和能力指標為 4-n-05：能用四捨五入的方法，對大數在指定位數取概數，並做加、減之估算；五年級的分年細目和能力指標為 5-n-10：能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。由此可知，目前小學階段的估算策略，是使用四捨五入的方法為主的。

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情境數字運算數感

第二節估算與數感

Sowder 曾問學生一個問題：「一個 10 歲的孩子身高 1.5 公尺，他 20 歲時有多高?」有將近三分之一的學生回答「3 公尺!」Sowder 認為這種現象表示學生雖然會寫算式計算答案，但卻不是真正理解使用該算式的原因，以及使用該算式後其數字代表的意義（引自支毅君，1997）。因此，一個具有數感的人，對於數字的大小、與數字所代表的意義應有合理的範圍與知覺，當出現不合常理的答案時，也會有所察覺。

壹、數感(number sense)的意義

所謂的數感，國內也有學者稱為數字感，或稱為數字常識。簡單來說，數感是一種心中的對數的直覺（NCTM,1989）。一般而言，數感通常是直觀的、不言自明的，美國哈佛大學史培基（Spelke, 2005）研究指出嬰兒天生就有數感的能力，而且數感和他們長大後在學校學習算術能力有很高的相關性；Hope (1987)認為數感很難定義但卻很容易辨識，研究指出數感良好的學生，可以根據脈絡和表徵的目的用多重方式來進行表徵，也可以辨識基準數字（benchmark numbers）以及數字模式（number patterns），特別是來自於數字系統的深層結構，能夠在真實世界的量與數學世界的數和數字表徵間揮灑自如。

McIntosh , Reys & Reys(1992)從數字、運算與數字與運算所產生的情境三個方面來探討數感的架構，對於數字的知識，運算的知識能夠有相當的理解，進而應用到計算的情境之中，則可促進良好的數感，如圖 2-2-1。

圖 2-2-1 數感主要元素關係圖（McIntosh, Reys, & Reys, 1992）

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連結數字和運算特性的關係；也能運用非標準化的策略進行心算和估算；而且數感是一種可以作為辨認數字的大小、相對和絕對大小，以及做質與量的判斷，並且能瞭解計算的不合理性。美國數學教師協會(NCTM) 在1989年出版中小學「學校的數學課程與評量標準」中提出數感能力佳的學生，擁有以下幾點特質（引自洪瑋辰，2010）：一、能充分理解數字的意義。二、能發現數字間的不同關係。三、能比較數字的相對大小。四、能理解運算對數字的影響。五、能應用參考點於日常生活中。除了國外學者對數感的各種探討外，國內學者對數感也提出了許多見解：林素微（2002）將數感界定為「在生活經驗關連、隱含數量的非例行性數學情境下（如閱讀書報等非正式數學的環境），個體對於情境中數量的覺知以及推理」；楊德清（2002）認為數感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中包含數字和運算之情境的相關問題，是多種能力的組合；李茂能、許清陽、楊德清（2001）把數感稱為「數字常識」，他們認同數字常識是一種數字與運算的洞察力，在計算時能考慮不同層面的正確性，洞察運算結果的正確性，以及合理的使用數字的常識。許清陽（2001）歸納出數字常識組成成份有五個向度，其分類架構如下：ㄧ、瞭解數字的意義和關係的能力：對正整數、小數、分數等有理數的理解，能瞭解數字的基本意義及數字間的關係。例如，知道68和69之間有無限多個分數；910×0.5與910÷2的意義是相同的。二、辨認數字大小的能力：此能力指的是比較和排序數字的能力。例如，能辨認 35×0.08 的乘積會比35 小很多；6.7比6.6987 大。

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500 A B C 1500 500 D 三、瞭解運算對數字的意義和影響的能力：此能力指的是瞭解運算在不同數字所產生的影響，當運算元改變時，其結果也會跟著改變。例如，在比較 28×27、26×28、27×29、29×25 時，能瞭解27×29 比其它三者還大；知道三位數和二位數相乘的乘積可能是四位數，也可能是五位數。四、發展計算策略與判斷答案合理性的能力：指的是能應用不同的解題策略於計算情境，並能預估答案是否合理的能力。例如：請問數線上（圖 2-2-2）A、B、C、D 四點，哪一點最能代表 1000？ ○1 A ○2 B ○3 C ○4 D 圖2-2-2 數線圖此題的目的是測驗學生能瞭解 A.B.D 是不合理的，因為 1000 應該在 500 和 1500 的中間，所以只有 C 點是最合理的。五、以多重方式表徵數字的能力：這裡指的是能以不同的形式表徵數字的能力。例如：小明以相同的速度從 A 點出發繞著正方形花圃走（如圖 2-2-3 所指箭頭方向），走一圈需要花費 4 小時，那麼他走 3 小時後所停留的點應該是在答案○4 的位置。圖2-2-3 花圃試題圖例綜上所述，國內外學者對數感的定義雖各有不同，但大致都是針對人們對數字的感受，及運用數字的方法來做闡述。因此，我們可以知道：數感是一種兒童對數字概念的理解與應用的心理歷程，其中包含數感後設認知的知識與後設認知的監控。

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貳、數感的重要性

Reys (1991)認為擁有數感是很重要的，對處理有關數字的問題來說，數感就隱含在數字之中。林素微（2002，2005）將數感的重要性分析如下：一、引發學習數學的興趣傳統的數學教學大多較偏重數學的運算，如此容易使學生覺得枯燥乏味，若能將其轉換成數感的教學，改成以思考數字間巧妙關係，進而發展邏輯推理判斷的能力，將更能吸引學生主動學習。二、協助發展心算、估算、估測等技巧估算是指取出「大約」的值，但是目前國小數學領域估算單元的教材大多要求「精算」，所以學生較不習慣以估算求得答案。但在1988年9月的NCTM簡訊中刊出其會員選出「估算」為五項重要的數學主題之ㄧ，這也顯示估算的重要；因為一個具有良好數感的人，在估算方面的能力也會相對較高。三、增進解題過程中的後設認知能力後設認知可分為「知識」與「控制」兩個要素（許清陽，2005），如果在教學中增強學生的數感訓練，讓學生的數學知識增加，控制數字的能力增加，便等於增進學生在數學學習上的後設認知能力。在數感和學業成就相關的檢定上，許清陽（2006）的研究顯示：大部分學校學生的數感和數學學業成就有顯著的相關。由此可知，數感和數學學業成就的關係相當緊密。因此，要發展學生的數學能力，兒童的估算能力是很重要的基礎。估算策略是數感最重要的成份，學生的估算技巧愈好，數感的表現也就愈好，在校的數學成就表現也就愈好。

叁、估算與數感的關係

支毅君（1997）曾提供 3 個二位整數乘法直式（47×9=423，98×16=948， 38×12=456），要學生指認出哪一個是錯誤的算式，但在 16 位國小受測學生中，只有 8 位找出答案，且其中僅 4 位是以數的大小來判斷，其他都是以筆算程序求

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出結果才決定答案，正說明我國學生明顯數感不足的現象。 NCTM (2000)主張「數學標準的核心就是發展數感能力」，且在「數字和運算標準」中也提到希望使所有學生能夠達到以下三項目標：一、能了解數字、數字的表徵方式、數字間的關係及數字系統。二、能了解運算的意義及運算間的關聯。三、能流暢的計算並做合理的估算。由以上可以說明數感和估算有著密切的關係：估算能力是數感最重要的組成成份，而且想要發展數感能力，更要了解數字、數字的表徵方式、數字間的關係，以及能做合理的估算。林怡靜、曹雅玲（2005）在國小五年級學童數感教學之研究--以分數為例中選取台北市某國小五年級33位學生為研究對象。研究結果顯示：在進行數感活動的教學活動中發現，兒童對分數仍存在著迷失概念，而且非常依賴『運算』、『規則』等傳統算則，不會使用參考點和估算來進行解題。在經過教學引導後，兒童漸漸發展出參考點與估算的能力，因此在解題時，會先運用參考點的能力與估算的能力，而不是只有盲目的進行機械式的運算與思考，由此可以發現兒童數感的提升。換言之，增進了兒童估算的能力，亦增進了兒童分數數感的能力。尤仁聰（2011）利用電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）平台研發「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」。透過線上施測，探討國小四年級學童在評量中的表現與答題過程中的自我調整策略。研究者分析數感的組成成分後，選定「估算」為不可或缺的能力，再融入自我調整學習的內涵。研究顯示學童透過自我調整學習後，二位數和三位數的加減估算能力都有顯著的進步。黃瓊儀（2011）亦使用電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）平台研究學生在數感上的表現，研究結果顯示：線上壞鍵計算機融入教學對學生在學習數感五向度（許清揚，2001）中的「瞭解數字的意義和關係的能力」、「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」、「以多重方式表徵數字的能力」方面之學習具有良好的成效；對不同能力學生也

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能有效提升高分組與低分組學生之整數數感能力；另外，研究結果也顯示線上壞鍵計算機融入教學能顯著提升學生估算評量中的解題能力；最後，不同數感能力學生經線上壞鍵計算機教學後，能顯著提升學生在線上壞鍵計算機估算評量中的解題能力。由以上文獻結論可知，要發展學生的數學能力，兒童的估算能力和數感能力是很重要的基礎。估算能力是數感的最重要的成份，而且增進兒童估算的能力，也就提升了兒童數感的能力；而數感能力愈佳，在校的數學成就表現也就愈好。基於此，本研究欲開發「線上壞鍵計算機估算動態評量」，用以評估學生的數感和估算能力，進而提升學生在校的數學成就表現。

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第三節動態評量

張新仁（2002）認為現代教學統整的新趨勢應強調「多元」而「適配」的教學策略，其中「多元」是指多樣化的教學策略，包括結合不同的教學理論、教學原理、教學策略、學習理論、學習原則、學習策略、教學科技、教學資源，以及教學評量等。然而多樣化的結合是否適當，則需考量與教學目標、教學對象、教材性質相互之間的「適配性」。職此之故，從多元而適配的觀點而言，強調個體中介協助的評量方式－動態評量，實為可行模式與途徑。

壹、動態評量的意涵

傳統上，學校教師通常以期中考和期末考等定期考試來評量學生的學習成果（王文中等， 2007），只從學習的某一個時間點來評量，因此將學習視為靜態；而且每一次的評量都是獨立的，教師關心的是學生在每一次評量的表現，如及格與不及格、班上的排名等。傳統評量較偏向紙筆測驗，是一種重視成果導向的評量，所得知的是學生對片段知識的學習成果（周天賜，1998）；而動態評量（dynamic assessment）是一種雙向互動的評量方向，教師關心的是學生學習的軌跡與改變的情形，學習是動態的，會因時間不同，而產生質和量的變化。動態評量與傳統評量最大的差異在於突破傳統評量標準化情境的限制，主動變化測驗情境來提升個人能力，檢驗學習的過程，以尋找可以促進個體學習的策略（莊淑琴，2004）。動態評量的理論源自於俄國的發展心理學家 Vygotsky（1978 年）提出可能發展區(Zone of Proximal Development, ZPD)的概念。Vygotsky 指出學生能獨立完成的成就和協助下能完成的成就中間有一段距離，稱為可能發展區(ZPD)，瞭解學生的可能發展區，有助於教師安排教學內容，不至於太深或太淺，學校教師若以可能發展區中的事物進行教學，效率最高。可以說，動態評量企圖評量受試者的「最大可能表現水準」，注重受試者的可塑性，強調施測者的主動介入與受試者的互動合作，不僅評量學生當時的表現，也進行持續性學習歷程的評量（莊淑琴， 2004）。總括來說，動態評量乃是利用個體中介協助的評量方式，有別於一般紙筆測

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驗的靜態評量，目的在透過互動歷程來探索、評估和開展個體的學習潛能（Lidz， 1991）。

貳、動態評量的特徵

動態評量是企圖評量學習過程中改變的情形，同時在評量程序中包含教學的介入（Haywood, Brown, & Wingenfeld,1990），主要特徵概述如下：

一、測量的過程為「測驗-教學-測驗」的程序：學習評量應考量時間的連續性，亦即定點定時的評量，不足以做為最後價值判斷的唯一依據。而動態評量是指透過介紹評量內容與方式的特性，給予必要的協助與指導，使受試者的操作水準提高。它是一個跨越多個時間點，以偵測受試者在表現上的演變，是一種結合教學與診斷的評量。二、評量的重點是強調知覺、思考、學習和問題解決的過程而非過去學習的成果：動態評量所欲達到的目的不僅是要評估受試者「目前」所表現的水準，且企圖了解受試者是「如何」達到目前的水準，以及受試者「可能」可以達到的水準。三、重視可概化認知歷程的教學或學習：動態評量對概念的認知成分用細部進階的方式來安排試題，並設計有效的漸進提示系統，因此能提供有效的概念引導。四、企圖找出影響個體有效學習或行為表現阻礙的因素：動態評量基於「能力是可塑造的」假設，企圖發現改進認知功能的方法。透過動態評量可有效找出影響個體學習的因素。動態評量的重點在於學習者的可改變性，並提供發展介入方案的有效訊息。五、辨識對認知歷程教學有反應者：在「心理計量模式」中，焦點集中在幫助學生了解作業的要求，提供鼓勵與讚美，允許經由檢查解題策略而獲得成功的經驗，進而等化不利學生之間的經驗差異。六、掌握積極影響或激勵個體學習和行為反應的情境及條件：

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在「測驗極限評量模式」中，運用諸如：簡單回饋、引導學生在解題前、後，說出解題步驟或原則…等方式，教師可有效掌握影響個體學習的情境及條件。七、強化未來成功和學習可能的分辨： Budoff 運用獲益分數區分出三種類型的學習者：(1)高分者(2)獲益者(3)無獲益者，對特殊班級學生而言，這些獲益狀況對以後的學科表現是一個很好的預測指標。

叁、動態評量的模式

動態評量發展到現在，至少可以歸納為以下六種模式，這六種模式分別有不同的評量方式，來評估受試者的認知能力，但在程序上仍然依循「前測-訓練-後測」的方法，其出發點，都是為了聯結教學與評量，進而對受試者進行更深層而精緻的描述或是區分。茲摘錄如下(引自李坤崇，2002、林素微，2002）：一、學習潛能評量(Learning potential assessment，LPA)

此種模式是Budoff所提出，Budoff 主張智力本身並非固定不變，而是具有可訓練性。其目的是找出個體認知功能缺陷，由反應而瞭解訓練類型及數量，用「前測-中介-後測」評量學生經訓練後的表現。優點是以「非標準化臨床介入」訓練一般技巧，同時給予回饋，不但可提升學生認知功能缺陷或可塑性，而且由受試者藉由檢查策略來體驗成功感覺；缺點是以「非標準化臨床介入」實施不易，而且計分不客觀。

二、學習潛能評量設計模式(Learning potential assessment Device，LPAD)

此種模式是Feuerstein（1979）針對部份兒童因為缺乏中介學習經驗而造成認知缺陷的現象所設計。評量內容強調一般內容，並且藉由認知圖來建構評量作業，包含高級認知歷程，心理運作，記憶的學習成份等。採用非標準化臨床介入，在評分上不夠客觀，評分者信度也不高。三、極限評量模式(testing-the-limits) 此種模式運用「測驗中訓練」的標準化方式介入，目的是估計個體能力上限

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以及提供對一般智力較敏感的指標，例如：學生犯錯時，會以一定的程序去修正。優點是評析不同施測情境介入的最佳表現及介入策略的有效程度；缺點則是此評量模式無前後歷程，難以評估介入的效益。

四、心理計量取向評量模式(psychometric approach assessment, PAA)

此種模式由Embretson所提倡，採取「前測-訓練-後測」的程序，來評估學生能力，並運用標準化介入的方式來協助學生，以評估學生訓練後學習能力改變的情形。其特點是訓練階段受試者是透過具體操作，來增進空間處理的技巧。五、連續評量模式(continuous assessment) 此種模式結合Feuerstein學習潛能評量模式及 Campion＆Brown漸進提示評量模式，相信認知發展的增進繫於有效的中介學習。實施方式為第一階段採用標準化評量，評估學生一般認知能力，給予協助提示教學，再測其獨立表現水準，若無法達到75﹪正確率即進入第二階段，分別實施漸進提示或中介訓練。

六、漸進提示評量模式(graduated prompting assessment, GPA)

此種模式由Campion＆Brown以Vygotsky可能發展區（ZPD）的概念，採用漸進提示策略協助受試者。實施的流程採「前測－學習－遷移－後測」的方式，強調介入內容的標準化以建立量化的資料，提示系統依序為「一般」、「抽象逐漸變為具體」、「特定而具體」，提示量多寡亦表示學生能力。目的在於鑑別學業學習有困難者，以及瞭解其學習能力和遷移效率。教學（instruction）是教師和學生共同參與的一種活動歷程，教師依據教學目標，運用各種學習方法，循序漸進教學，以期學生的學習行為能隨著教學的進展而有所改變，達成既定的教學目標。而要知道教學成效如何，就必須實施客觀又正確的評量。然而在傳統評量的架構下，教師通常以一個籠統分數作為學生學習成果的指標，但即使總分相同的學生，錯誤類型卻未必相同，更遑論瞭解學生的個別差異。因此，能夠協助教師瞭解學生的個別差異和診斷學習困難的動態評量就愈顯得重要。從性質及功能而言，動態評量，都是強調個體中介協助的評量方式，有別於

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一般紙筆測驗獨立作業的靜態評量；這些動態評量核心概念均是在「中介」協助後產生的影響，實施的方式大同小異，因此不難看出動態評量用來探索評估及開發個體學習潛能「可能發展區」的方法，即是透過「鷹架」中介程序內容的安排，進而達到評估並開發個體學習潛能的目標。Swanson 與Lussier（2001）針對動態評量研究的實驗效果進行的後設分析發現，動態評量確實具有潛能開發效益。由於動態評量模式中漸進提示評量模式的特點是根據作業內容及認知成分所作的分析，依循「由一般到特定、由抽象到具體」的原則，事先設計發展出一套標準化的漸進提示系統，並採「前測－學習－遷移－後測」的程序，以了解受試者的學習、保留和遷移的能力；施測時深具實用性及客觀性，實施的結果也具助益力和區辨力，因此廣為研究者採用。李坤崇（2000）、林素微（2002）和張新仁（2002）也都認為在上述各動態評量類型中，以漸進提示評量模式較適用於學校學科特定領域的評量和補救教學，因此，本研究採用此漸進提示評量模式，進行線上壞鍵計算機估算動態評量教學。

肆、電腦化的動態評量

雖然動態評量的立意良好，能協助教師瞭解學生的個別差異和診斷學習困難，但不可否認地，動態評量是一個費時、費力、成本昂貴，且具高度挑戰性的評量方式，不僅容易因情境改變而調整評量歷程，導致信度不高；而且評量結果難以適切解釋，造成評量的執行不易，以致於無法廣泛的施行。然而，隨著數位科技的發展，電腦、網路等資訊媒體的興起，教育活動的資訊科技化成為一項重大的變革，將科技融入教育，早已成為各界的共識。時至今日，多媒體線上測驗系統可以讓學生在不受時間與空間的限制下，進行測驗評量，了解自己的能力水準，並且可以實施個別化的測驗，讓學生了解自己的學習成效及歷程（李春雄，2003）。以往動態評量最為人所詬病的，即在於評量的代價相當昂貴，如今將動態評量電腦化，不僅可節省施測所需的人力與物力，同時也可以更標準化、更適性地介入，有效評估兒童的學習遷移，電腦化將使動態評量的

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效益與價值更為人所肯定。

綜上所述，結合電腦網路技術與漸進提示動態評量理論的電腦化動態評量 (computer-based dynamic assessment, CBDA)具有下列六項優點（賴阿福，2006）：一、可推展至一般學生之補救教學 (remedial instruction)。二、節省測驗時間，可進行團體施測。三、中介歷程與中介內容標準化：每位學生接受中介示範的層次可能不同，但中介的形式均相同。四、有助於引發學習動機，尤其是多媒體中介教材。五、易於紀錄歷程(如答題時間、狀態)、分析與診斷，尤其是運用人工智慧及資料探勘技術。六、受測及施測時間具彈性。既然數位科技融入教學已日漸普及，在數理教育方面有關電腦化動態評量也愈受重視，相關研究茲摘要如下：莊麗娟、邱上真、江新合、謝季宏、羅保田（2001）考驗以「浮力概念」為主題，將漸進提示動態評量模式應用在學科領域的實際效益。在90名五年級學生為受試樣本，其中含高、中、低成就者各30名，隨機分派成實驗組及控制組。研究結果顯示多媒體動態評量模式可同步獲致區辨、助益及預測等多項效益。林素微（2002）發展電腦化數感動態評量系統以探討目前國小高年級學童的數感特徵。研究發現動態評量的提示系統運作適性而有效，整個動態評量系統對於學生具有協助與區辨的效益。彭彥翔（2006）發展一套以漸進提示法為基礎，適合國小學生之數學科電腦化動態評量系統，研究對象為國小五年級三個班級共八十九名學生。研究結果顯示直接的電腦動畫補救教學與漸進提示的電腦化動態評量方式皆能顯著提昇學生在「整數四則」單元的學習成效，但後者提升的程度明顯優於前者。賴阿福、陳志鴻（2006）以國小六年級121名學生為研究對象，評估多媒體動態評量應用於國小自然與生活科技領域之學習成效，研究結果顯示：低學習成

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就學童使用多媒體動態評量系統學習效果及保留成效顯著；學習成就和提示量關係顯著；多媒體動態評量可提升低學習成就學生的學習自信心。陳桂霞、陳惠謙（2007）基於「漸進提示」動態評量模式，建置電腦化動態評量系統。研究對象為64位國小五年級學生，分派為實驗組與控制組，前者接受二次電腦化動態評量，後者接受電腦化教學與電腦化動態評量。研究結果顯示：電腦化動態評量較電腦化教學更能提昇學童的學習成效，且在低成就組有顯著的差異性；學童對漸進提示動態評量系統採正向的學習態度，有助於學童主動學習。張建煌、孫淑柔（2009）以三位國小輕度智能障礙的學生為研究對象，探討電腦化漸進提示策略對於增進國小輕度智能障礙學生改變類加減法應用問題的解題成效。研究顯示電腦化漸進提示策略能有效提升國小輕度智能障礙學生改變類加減法應用問題的立即成效與保留成效。歸納以上學者的研究發現採用漸進提示策略的電腦化動態評量，不論在學習成效、學習自信心以及主動學習等方面，的確能有效的激發學童的學習潛能。利用電腦化方便團體施測的優點，對動態評量的應用及推廣將是很大的助益。在國小階段，大多數學童認為最令他們感覺到困難的課程就是數學，而影響學童數學焦慮因素的前三項分別為學習數學的信心、數學成就、以及數學探究動機（鍾思嘉、林青青、蔣治邦，1991）。因此，降低學生的數學焦慮，並且提高學習數學的動機與信心，進而提升學習數學的成就感，身為教師，責無旁貸。由於兒童的估算能力和數感能力是發展學生數學能力很重要的基礎，而文獻中尚無估算評量的漸進提示系統。有鑑於此，本研究以五年級的估算教學內容，依據標準化漸進提示的策略，編製加、減、乘、除四則運算的估算測驗，並輔以電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）中的線上壞鍵計算機估算動態評量，希望能藉此遊戲評量進行教學，不僅寓教於樂，還要提升每一位學生的估算和數感能力。

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第三章研究方法

本研究的主要目的是應用電腦化數感多元評量系統（李淑娟、施淑娟、郭伯臣，2011）中之線上壞鍵計算機估算評量，設計漸進提示系統進行加法、減法、乘法和除法的動態評量教學，使其成為「線上壞鍵計算機估算動態評量」，並評估此動態評量對整數數感能力和估算單元學習成就的教學效益。因此，本研究之評量工具包含三個部份，第一部份為前測卷，分別是「整數數感測驗 A 卷」和「估算測驗 A 卷」，用於了解學生在教學實驗前之表現；第二部分為在實驗組進行網頁「電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）」之「線上壞鍵計算機估算動態評量」，此評量之用途是做為教學工具；第三部份為後測卷，分別是「整數數感測驗 B 卷」和「估算測驗 B 卷」，此為前測的複本測驗，用以探討教學成效。本章就研究流程、研究對象、研究工具、研究架構以及資料的分析與處理進行說明。

第一節研究流程

本研究之流程分為四個步驟，分別是：研究文獻蒐集、編製研究工具與教學設計、分組的教學實驗、資料的分析，茲說明如下：

壹、研究文獻蒐集

首先研究相關文獻以及確定研究方向。由文獻中可以知道在國小數學領域中估算是屬於較高層次的單元，而且學生的估算能力和數感能力與數學領域的學業表現皆有著正相關；此外，電腦化動態評量結合了趣味化與個別化學習的優點，且可以多人同時在線上施測，因此，研究者多次向指導教授請益之後，確定本研究以「線上壞鍵計算機估算動態評量」作為教學工具，應用於國小五年級的估算教學，目的在了解學生在進行線上壞鍵計算機估算動態評量教學後，對估算和數感表現的影響。

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貳、編製研究工具與教學設計

一、編製前後測試卷擬定二份複本測驗-「整數數感測驗 A、B 卷」與「國小五年級估算測驗 A、 B 卷」前後測試卷的初稿，完稿後由指導教授與三位資深國小教師進行內容審查，以確保內容效度。接著是預試，「整數數感測驗 A、B 卷」的預試對象是台中市甲國小 300 位五年級的學生，「國小五年級估算測驗 A、B 卷」的預試對象是台中市甲國小 170 位五年級的學生。根據預試結果，與指導教授和三位國小專業教師討論後，調整評量試題的內容架構和作答限制。最後是修正題目，經過多次詳細檢查，確定無誤後，完成要正式施測的「整數數感測驗A、B卷」與「國小五年級估算測驗A、B卷」前後測試卷，以便後續的正式施測。二、設計動態評量本研究的主要目的在評估實施線上壞鍵計算機估算動態評量教學後的效益，因此，研究者參閱文獻中國小學生以四捨五入法來進行估算概念學習之探討以及診斷教學理論設計此系統，分別將每一個加法、減法以及乘法的估算題目依據提示量的深淺共分為四個不同等級的提示：提示一:對錯回饋，以提供學生自我檢視答案的機會。提示二:擴大特徵差別提示，給予學生思考上的協助。提示三:提供具體物或實物以實例示範並提供操作。提示四:提供具體物或實物予以直接教學。除法的估算則分為五個不同等級的提示，在上述的提示二中，再增加擴大特徵的差別提示，最後的提示五則是提供具體物或實物予以直接教學。三、編製教學設計本研究採準實驗(quasi-experimental design)之不等組前後測設計，以台中市某國小五年級學生為研究對象。其中二班為實驗組，二班為對照組；研究者分別擬定實驗組和對照組之教案設計。實驗組以在電腦教室進行「線上壞鍵計算機估

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算動態評量」為主，對照組之教學設計則是在原教室以簡報方式進行估算教學。

叁、分組的教學實驗

研究者先對實驗組和對照組分別實施「整數數感測驗A卷」與「估算測驗A 卷」二份前測卷，接著對實驗組進行「線上壞鍵計算機估算動態評量」，同一時段內也進行對照組的估算教學，兩組之教學結束後，最後再分別對實驗組和對照組實施「整數數感測驗B卷」與「估算測驗B卷」二份後測卷。

肆、資料的分析

在正式施測完成後，研究者整理相關資料並與指導教授討論與分析結果，完成論文。本研究之流程圖如下：

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蒐集相關文獻擬定研究方向：估算＋動態評量確定以線上壞鍵計算機估算評量與動態評量設計之主軸編製線上壞鍵計算機估算動態評量試題以及各試題的漸進提示系統數感測驗初稿估算測驗初稿預試修正並完成數感測驗（複本）修正並完成估算測驗（複本）修正並完成線上壞鍵計算機估算動態評量試題以及各試題的漸進提示系統完成實驗教學教案設計專家討論進行估算測驗和數感測驗前測分別進行線上壞鍵計算機估算動態評量與傳統估算教學進行估算測驗和數感測驗後測分析資料完成論文研究文獻進行分組教學資料分析編製測驗與教學設計圖 3-1-1 研究流程圖

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第二節研究對象

本研究之研究對象為國小五年級學生，分為預試及正式施測兩部分，以下針對所選取的研究對象進行說明。

壹、預試

預試採立意抽樣，於101年4月間抽取台中市甲國小10個班級的五年級學生共 308人，進行整數數感測驗的前測，間隔一週再實施後測。刪除過程中作答不完整的資料後，有效樣本數300人；另外，再於101年6月抽取台中市甲國小5個班級的五年級學生共170人，進行估算測驗的預試。

貳、正式施測-教學實驗對象

為了不影響原班級的正常教學，教學實驗之研究對象亦採立意抽樣，並另選台中市乙國小五年級四個班級的學生，其中 2 個班級為實驗組，另 2 個班級為對照組，實施教學的教師由乙國小資深的五年級教師擔任，表列如下：表 3-2-1 正式施測樣本組別人數合計實驗組 53 107 人對照組 54

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第三節研究工具

本研究採電腦化動態評量的方式進行估算教學，然後評估學生經由適性化之漸進提示系統教學後對數感能力與估算學習之效益。因此，本研究所使用的研究工具包含：整數數感測驗前後測試卷、估算測驗前後測試卷、標準化的漸進提示系統，以及電腦化數感多元評量系統（李淑娟等人，2011）、相關統計分析軟體，分述如下：

壹、編製整數數感測驗前後測試卷

本研究在進行「線上壞鍵計算機估算動態評量」教學之前，要先了解學生在數感與估算能力的起點能力，而在教學之後，也要再次測驗學生在數感與估算能力有無提升，所以研究者參考黃瓊儀、賴建昌（2011）共同編製的整數數感測驗，在原有之數感五向度的試題架構下，修改數字和增加各向度1題的題目，以增加試題難度，以求符合五年級學生施測之用。ㄧ、試題說明整數數感測驗包括前測與後測兩部份，均以選擇題的方式呈現，每則試題包含題幹和四個選項，作答時間各為一節課。試題內容根據數感五向度編製，每個向度各編6個題目，前測與後測都各有30題，且前測與後測為複本測驗。二、試題架構整數數感測驗的試題內容除了根據數感五向度編製外，試題情境也分成純數字或計算情境、生活情境、圖表等三種，試題架構如下：表 3-3-1 整數數感測驗試題架構表數感五向度純數字或計算情境生活情境圖表瞭解數字的意義和關係的能力試題2、試題3 試題5 試題1、試題6 試題4 比較數字相對大小的能試題7、試題8 試題9、試題12

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力試題10、試題11 瞭解運算對數字的意義和影響的能力試題13、試題14 試題15、試題16 試題17 試題18 發展計算策略和判斷答案合理性的能力試題19、試題20 試題21、試題23、試題24 試題22 瞭解數與運算多重表徵的能力試題26、試題29 試題27、試題28 試題25 試題30 三、試題範例：以下列舉本測驗中數感五向度的試題範例。（一）瞭解數字的意義和關係的能力 1.純數字或計算情境試題 3：（）四位數 5432 中，「4 所代表的值」是「2 所代表的值」的多少倍？ ○1 400 ○2 200 ○3 100 ○4 2 說明：此題主要是要評量學生是否具有「數字排列在百位數其所代表的數值是數字排列在個位數數值的 100 倍」的概念。（二）比較數字相對大小的能力 1.生活情境試題 9：( )小明和三位同學參加電視闖關活動，過關時，四人可由 0~9 十張蓋起來的牌中，任意抽出 4 張做排列，排出的數字就是可得的獎金，已知最後領取的獎金是 8910 元，請問如果四人能利用抽到的 8、9、0、1 四張牌排出最大的數，可以比 8910 多領大約多少元？ ○1 1 ○2 10 ○3 100 ○4 1000 元說明：此題主要是評量學童能否了解位數越高，所代表的值會越大，並依據 7、8、9、0 四個數字由大到小加以排列以算出差額。（三）瞭解運算對數字的意義和影響的能力 1.純數字或計算情境

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試題 11：（）下列哪一個數填入( )後，會讓 13579-( )的結果最大？ ○1 303 ○2 398 ○3 202 ○4 299 說明：此題主要是評量學童能否了解不同運算符號對同一組數字運算後造成的不同影響。（四）發展計算策略和判斷答案合理性的能力 1.生活情境試題 20：（）優酪乳 1 瓶有 375 毫升，小如想將優酪乳裝到容量為 1600 毫升的水壺內，請問最多可以「倒完」幾瓶優酪乳到水壺裡？ ○1 6 ○2 5 ○3 4 ○4 3 瓶說明：此題主要是評量學生能否將 375 毫公升估算為 400 毫公升，進而算出 400 的 4 倍大約是 1600。（五）瞭解數與運算多重表徵的能力 1.圖表試題 28：（）如下圖，如果把圖中的細繩拉直，繩長應接近多少公分？ ○1 5 公分 ○2 6 公分 ○3 7 公分 ○4 8 公分說明：此題是評量學生能否將 5 到 6 公分間折疊的長度估算為 3 公分，進而判斷出全部繩長大約是 7 公分。四、預試與試題分析整數數感測驗前後測試卷編製完成後，委請台中市甲國小五年級的10個班級進行預試，試題分析時根據總分的高低依序排列，分別從最高分部份向下取27％為高分組，再從最低分部份向上取27％為低分組，試題之難度與鑑別度資料如下

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表3-3-2：表3-3-2 數感測驗預試試題之難度與鑑別度資料表題號通過率難度鑑別度 1 _.64 _.61 _.49 2 _.84 _.83 _.31 3 _.52 _.51 _.36 4 _.89 _.86 _.17 5 _.87 _.82 _.33 6 _.62 _.58 _.62 7 _.67 _.60 _.59 8 _.69 _.62 _.54 9 _.66 _.67 _.46 10 _.55 _.58 _.46 11 _.71 _.68 _.51 12 _.50 _.50 _.50 13 _.62 _.67 _.53 14 _.79 _.80 _.33 15 _.65 _.60 _.70 16 _.60 _.61 _.47 17 _.65 _.63 _.50 18 _.59 _.62 _.47 19 _.77 _.75 _.37 20 _.70 _.67 _.52 21 _.72 _.67 _.63 22 _.71 _.66 _.51 23 _.44 _.49 _.41 24 _.49 _.50 _.55 25 _.79 _.74 _.50 26 _.59 _.59 _.53 27 _.37 _.35 _.26

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28 _.35 _.36 _.30 29 _.78 _.72 _.48 30 _.68 _.67 _.54 由上表可以知道本測驗的鑑別度只有第4題為0.17，屬於鑑別力尚可的標準。其餘試題的鑑別度介於0.26~0.70之間，整體而言，測驗的鑑別度良好，平均難度 0.63，屬於中間偏易。第4題的內容如下： 4( )小丸子在玩圖卡的加法遊戲，當桌面上有兩張圖卡時，例如：和，可將兩張圖卡相加，得到。現在，桌面上有四張不同的圖卡，圖卡相加後得到，請問出現數字「5」的圖卡應該是哪一張？ ○1 ○2 ○3 ○4 此題在測量數感五向度的「瞭解數字的意義和關係的能力」，探討學生對於位值概念認知的問題。選擇題目時，除顧及難度與鑑別度外，亦應考慮試題的內容效度，一般而言，品質分析或邏輯分析的考慮應比試題分析的結果更為優先（郭生玉，2004）。由於此題能準確測量數感五向度的「瞭解數字的意義和關係的能力」，雖然鑑別度數值稍低，但仍在鑑別力尚可的範圍。因此，決定保留原題目不做修改。整數數感測驗的前測與後測間隔一週實施，複本相關係數為0.79，顯示等值與穩定性良好。

貳、國小五年級估算測驗前後測試卷的編製

國小階段數學領域的估算單元，以南一版為例：三年級教材是取概數，四年級教材是整數的估算，五年級教材則以小數的估算為主。研究者正式施測的台中市乙國小五年級數學領域的教材是南一版，小數的估算排在五年級下學期的第七章，學生在學完多位小數乘法後的最後一個小節。ㄧ、試題說明國小五年級估算測驗預試時的題型均以計算題的方式呈現，以便蒐集學生的

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錯誤類型和迷思概念，做為日後編製正式施測版本選擇題的選項參考。試題內容根據五年級數學部編版和南一版教材編製，題目有23題，作答時間為一節課。二、試題架構五年級小數估算的單元目標是能用四捨五入的方法，對小數在指定的位數取概數，並做加、減、乘、除的估算。根據課本和習作的例題比重分配，取概數到個位的加、減、乘、除估算的概念出 5 題；分別取概數到小數點以下第一位、第二位、第三位的加、減、乘、除估算的概念共出 18 題，總題數 23 題。試題架構表如下：表3-3-3 國小五年級估算測驗試題架構表取概數四則運算取到個位取到小數點以下第一位取到小數點以下第二位取到小數點以下第三位加法估算試題2 試題3 試題22 試題12 減法估算試題6 試題16 試題11 試題1 乘法估算試題7 試題8、10 試題15、17 試題18、20 除法估算試題4、9 試題14、21 試題13、23 試題19、5 三、試題範例：以下分別舉例說明在指定位置取概數並做四則的估算（一）取概數到個位的加法估算試題 2：56.9053＋78.4123＝計算過程：答：（二）取概數取到小數點以下第一位的減法估算試題 16：美國的容量單位 1 加侖（gallon）大約 3.78533 公升，英國的 1 加侖大約是 4.54596 公升，兩國的 1 加侖相差幾公升？（先用四捨五入法取概數到小數點後第 1 位再計算）計算過程：答：（三）取概數取到小數點以下第二位的乘法估算