第四章 結果與討論
第二節 個案探討在異分母分數加法的解題表現
在異分母分數加法的題目裡，研究者將測試題目分為三個子概念進行 個案探討：
一、兩分數的分母為倍數關係的異分母分數加法。
（一）進行分母為整數倍的異分母分數的加法時，學童A 並不知道要怎麼 找出兩分母的公倍數，但是，學童A 卻直覺的認為取兩分母中較大的數即 可做為通分的共同分母。
個案一 題目： 7
12＋
23 36
師：看一下第一題（參考圖4-2-1），你有沒有發現它分母不一樣？
A 生：有。
師：那不一樣你怎麼算？把考卷放平。
A 生：…
師：你第一步怎麼算？你不是都把分母變成多少？
A 生：36
師：為什麼要變36？
A 生：…
圖 4-2-1 學童 A 在加法概念一作答內容
師：兩個不一樣可以加嗎？
A 生：不行。
師：好，那分母變成一樣就可以相加？是不是？
A 生：對。
師：好，那變成一樣這個行為稱為什麼？變成分母一樣這個叫什麼？
A 生：嗯…約分，擴分。
師：哪一個？，你剛說約分、擴分那是哪一個？
A 生：擴分。
師：擴分，喔！
A 生：我亂猜的還可以猜對喔！
師：為什麼12 分之 7 要變成 36 分之 7？為什麼分子寫 7？
A 生：寫錯了。
師：那第一題應該怎麼寫？請你寫給我看好不好？
A 生：(學生將過程寫在紙上，參考圖 4-2-2)
圖4-2-2 學童 A 在加法概念一計算過程
師：為什麼樣這樣做？ (用筆在紙上指出問題的位置)你要求什麼？
A 生：找分數的…分子。
師：好，這個是什麼？12 跟 36，那我問你說這個要做什麼(用筆在紙上指出問題)，你說找 分子喔，所以，你的分子是從這邊找來的喔？
A 生：對。
師：從這邊找出來的，那你找出來的是多少？
A 生：我找出來的是 21。
師：21，那 21 怎麼來的？
A 生：7 乘以 3
師：那為什麼12 變 36？你說 7 乘以 3 變 21，那為什麼 12 變 36？這 36 怎麼來的？
A 生：因為 36 比較大所以寫 36。
師：是因為12 跟 36，36 比較大所以你這裡寫 36？
A 生：對。
師：那你為什麼知道7 要乘以 3 變 21？
A 生：不知道。
師：為什麼7 要乘以 3 變 21？為什麼不是乘以 5，乘以 7，為什麼要乘以 3？
A 生：12 除以 4 等於 3。
師：因為這個12 除以 4 這裡得到 3。那為什麼 36 的 23 不用乘以你的這個 9？
A 生：…
師：你說12 除以 4 等於 3，那你這邊寫 36 除以 4 等於 9 阿，那為什麼 23 不用乘以 9？
A 生：因為 36 分之 23 是原本的 師：36 是原本的就不用乘，喔好。
進行分母為分別為12 和 36（整數倍）的分數加法時，學童 A 直覺的 取36（分母中較大者）即可做為通分的共同分母。詢問將兩個分數的分母
變成一樣的行為稱為什麼，學童A 一開始無法回答，提示「什麼分」後，
學童A 嘴裡念念有詞的只有「約分」、「擴分」兩個名詞，卻缺少思考正確 答案「通分」。找出共同分母36 後，分子的改變則不知其所以然，一開始 試卷做答時，通分後不改變分子的值直接進行計算，訪談時，學童A 知道 要改變分子，改口將分母與分子同乘以一個數，卻不知道如何解釋為什麼 要這麼做。
在分母為整數倍的異分母分數加法題型中，由學童A 回答將兩個分數 的分母變成一樣的行為稱為「擴分」，顯示學童 A 較易將「擴分」與「通 分」兩名詞的意義混淆。
（二）進行分母為整數倍的異分母分數的加法時，學童
F
可由題目找出兩 個分母的倍數關係，並以較大的分母做為通分的共同分母。個案二 題目： 7
12＋
23 36
師：請問妳為什麼把12 分之 7 加上 36 分之 23 變成妳寫的下一行？（參考圖 4-2-3）
F 生：把它們通分了。
師：把它們通分了，那妳通分通36 是怎麼來的？
F 生：是 12 乘以 3。
師：12 乘以 3，得到…
F 生：36
師：得到36，為什麼 12 要乘以 3？
F 生：因為 12 乘以 3 跟另一個 36 就一樣。
圖4-2-3 學童 F 在加法概念一作答內容 進行分母為分別為 12 和 36（整數倍）的分數加法時，學童
F
將兩分 母通分找到 36，詢問學童F
為什麼是 36？學童回答：「因為 12 乘以 3 跟 另一個36 就一樣」，顯示當兩分母為整數倍時，學童F
可用從較小的數12 找出3 倍即與另一個分母 36 相同，就可以進行相加。因此，學童
F
在分母為整數倍的異分母分數加法題型中，能由題目找 出通分後的分母，而不需要經過計算。二、兩分數的分母是互質關係的異分母分數加法。
（一）進行分母互質的異分母分數的加法時，學童
A
將兩分母相乘即為共師：不對喔，那你應該怎麼改？
A 生：45 分之 261
師：如果要把假分數先換成帶分數然後再加，可以算給我看嗎？
A 生：聽不懂
師：就是先把這個假分數換成帶分數，這樣你會不會換？
A 生：恩…〈遲疑作答，拿筆在紙上空轉，參考圖 4-2-5〉
A 生：〈放下筆〉5 又 45 分之 36
師：好，然後再跟後面這個加。（如圖4-2-6）
A 生：12 又 45 分之 26 師：你算成了5 又 45 分之 36
圖 4-2-6 學童 A 在加法概念二計算過程
師：你覺得這個比較好算，還是你寫的45 分之 261 然後再加這個 12 又 45 分之 26？
A 生：〈用手比紙的方向〉
師：怎麼沒有想到要換帶分數，為什麼想要直接用假分數？沒有想到？
A 生：對
學童
A
知道當分母為9 和 5（互質關係）的異分母分數要相加，兩分 母相乘（9×5）即為共同分母，但是卻不知道為什麼可以直接將兩數相乘，只回答老師敎的。學童
A
在解決7 23
12 36
(分母為整數倍)的問題時是取分 母較大的為共同分母，為什麼這一題不是一樣的方式時，學童A
回答不知 道，顯示學童A
仍然不是很清楚，在何種情況進行何種找共同分母的方式，亦不知道為什麼這樣做，但是，卻會在計算時找出共同的分母。學童
A
一 開始在試卷上作答時，只將分母通分，分子卻不改變，導致問卷上的作答 錯誤，訪談時學童則知道分子亦要與分母同乘一數，才可進行計算。研究者詢問5 分之 29 為什麼分數，學童
A
回答忘記了，經提示是真 分數、假分數、帶分數哪一個後，學童A
則可以選出正確答案假分數，詢 問問卷上將5 分之 29 通分後的 45 分之 29 是什麼分數，學童A
正確回答 真分數，顯示學童A
只學習到將兩異分母分數通分成同分母，卻無法將分 子做正確運算，亦無法於作答時用假分數通分後變成真分數來做錯誤的基 本判斷。題目若是以假分數的形式出現，學童
A
會以此形式進行異分母分數的加減，沒想到要將假分數換成帶分數再計算的方式。但是訪談時，提示學 童
A
將假分數換成帶分數再進行計算後，學童A
認為將假分數換成帶分數 再進行計算較容易，亦較喜愛使用這項方式，但是作答時卻直接將題目進 行計算，沒有想到使用此方法。因此，學童
A
在兩分數的分母是互質關係的異分母分數加法題型中，能將兩分母互乘找出通分後的分母，但是，卻因為計算較煩雜，而無法順 利完成分子的通分。
（二）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母是互質關係時，學童
B
因 用短除法除不盡，所以將兩分母直接相乘即為共同分母，所得到的數就是 通分後的共同的分母。個案二
題目：派大星每天工作時間占一天的 3
8 ，睡覺時間占一天的 1
3 ，問派大星每天睡 覺和工作的時間總共是一天的幾分之幾？
圖4-2-7 學童 B 在加法概念二作答內容
師：為什麼你會這樣列式？ （參考圖 4-2-7）
B 生：它問派大星每天睡覺和工作的時間總共…就是加。就等於 8 分之 3 加上 3 分之 1。
師：喔，那8 分之 3 跟 3 分之 1 可以直接這樣算嗎？
B 生：不行。要換成同分母。
師：要換成同分母。那應該要怎麼換？
B 生：8 乘以 3，因為它用短除法除不盡，然後所以就要用 8 乘以 3 等於 24。
師：喔，我懂了。好那我問你喔，請問你為什麼這個答案沒有單位？
B 生：因為它問總共是幾分之幾。然後它後面沒有加一些數…一些字，然後它只有說幾分 之幾，然後就填24 分之 17 就好了。
師：喔，它題目幾分之幾後面沒有字？〈看學生〉
B 生：恩。〈點頭〉
師：如果題目有的話？〈看學生〉
B 生：就是…就是那個單位。
學童 B 知道當進行
3 8
和1
3
（互質關係）的異分母分數減法時，因用短 除法除不盡，所以將兩分母直接相乘（3×8），所得到的數 24 就是通分後 的共同的分母。詢問學童B 為什麼直接將兩分母相乘（3×8），學童B 回答：「因為它用短除法除不盡，所以就要用8 乘以 3 等於 24。」
詢問學童B 為什麼這題答案沒有單位，學童 B 回答：「因為題目問總 共是幾分之幾，題目後面沒有加一些數一些字，所以就填數字就可以了，
不用寫單位。」進一步詢問學童B 如果題目有單位的話怎麼做答，學童 B 回答是題目的單位作答，顯示學童並不知道部分-全體的關係，所以只是題 目最後給定的單位作答，題目最後沒有給單位就無須單位作答。
因此，學童B 在兩分數的分母是互質關係的異分母分數加法題型中，
只是一味接受安親班老師的教法－短除法除不盡所以直接相乘，卻不知道 使用短除法一樣可以得到答案。顯示學童 B 只知道程序性知識短(短除法 的計算方式)，卻缺乏陳述性知識(不知道短除法求出的意義)。
三、兩分數的分母非倍數與互質關係，但是兩分數的分母有大於2 的公因 數的異分母分數加法。
（一）進行異分母分數的加法，而兩分數的分母非倍數與互質關係，但是 兩分數的分母有大於2 的公因數時，學童
C
使用的策略是直接將兩分母相 乘，做為通分後的共同分母。個案一 題目： 11
8 ＋ 17 10
師：這題目這樣子可以直接算嗎？（參考圖4-2-8）
C 生：不行
師：17 乘以 4，喔好。
學童
C
在進行異分母分數加法，分數分母為8 和 10（非互質關係），但是兩分數的分母有大於 2 的公因數時，使用的策略是直接將兩分母相 乘，做為通分後的共同分母 80，因此試卷上的數字是 80。訪談時學童
C
卻改口使用40 作為通分後的共同分母，詢問為什麼找到 40，學童回答：「8 乘以5 等於 40；然後 10 乘以 4 等於 40」，進一步追問怎麼知道的，學童C
一開始無法回答，後來回答：「算的比較快」。顯示學童C
在問卷上作答時，因為時間關係，直覺的將兩分母相乘，訪談時有充裕的閱題及思考時間，
學童
C
進而利用乘法找出兩分母的最小公倍數。因此，學童
C
在兩分數的分母非倍數與互質關係，但是兩分數的分母 有大於2 的公因數的異分母分數加法加法題型中，會直覺的將兩分母互乘 找出通分後的分母，即使數字較大也依舊如此計算。（二）進行異分母分數的加法，而兩分數的分母非倍數與互質關係，但是 兩分數的分母有大於2 的公因數時，學童
D
使用的策略是先找出兩分母的（二）進行異分母分數的加法，而兩分數的分母非倍數與互質關係，但是 兩分數的分母有大於2 的公因數時，學童