第四章 結果與討論
第三節 個案探討在異分母分數減法的解題表現
在異分母分數減法的題目裡，研究者將測試題目分為三個子概念進行 個案探討：
一、兩分數的分母為倍數關係的異分母分數減法。
（一）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母為倍數關係時，學童
F
可從題目發現兩分母倍數關係，進而選出數字較大的分母當作通分後的共同 分母。
個案一 題目： 13
4 － 11 12
師：那第二題（參考圖4-3-1），4 分之 13 減 12 分之 11 可以直接減嗎？
F 生：不行。
師：不行，所以妳就把它…
F 生：通分。
師：通分，那要怎麼通？
F 生：4 乘以 3 的答案跟那個 12 一樣。
師：4 乘以 3 的答案跟 12 一樣。
圖4-3-1 學童 F 在減法概念一作答內容 學童
F
知道當進行異分母分數的減法，分數的分母為4 和 12（倍數關 係），必須先通分，學童將分母較小的數乘以某個數即可以變成分母較大 的數時，可從題目發現兩分母倍數關係，進而直接選數字較大的分母 12 當作通分後的共同分母12。因此，學童
F
在兩分數的分母是倍數關係的異分母分數減法題型中，能由題目直接找出較大數作為通分後的分母，較無計算上的問題。
（二）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母為倍數關係時，將分母較 小的數乘以某個數即可以變成分母較大的數時，較大的數就是通分後共同 的分母。
個案二 題目： 13
4 － 11 12
師：請問你喔，你的這個12 怎麼來的？它可以直接算嗎？（參考圖 4-3-2）
B 生：不行〈搖頭〉
師：不行，好。那你這12，分母 12 怎麼來的？
B 生：4、3，4 乘以 3 師：那為什麼4 要乘以 3？
B 生：因為 12，4 可以乘 12，兩個分母就可以一樣
師：所以你要把它們分母變一樣？〈看學生〉
B 生：對〈點頭〉
師：為什麼知道是12？〈看學生〉
圖4-3-2 學童 B 在減法概念一作答內容
B 生：〈傻笑搖頭、摸手〉
師：不知道？覺得？
B 生：沒有啊，安親班老師有教我們用短除法啊。
師：然後找出來什麼？
B 生：先用 4 然後 4 可以乘以 4 跟 12 的都，就把它寫在這裡，然後 4 乘以 1 等於 4，4 乘 以 2 等於 8，然後這樣子之後，4 乘以 3 等於 12，就把它寫在這裡。
師：喔，那你找的4 乘以 3，這個是在找它們兩個的什麼？
B 生：因數。
師：因數？你確定？〈眼神看學生〉
B 生：ㄟˊ？倍數啦！
師：倍數？什麼倍數？
B 生：…〈搓手〉
師：好，沒有關係。好，所以你就把它變成12 對不對？
B 生：對。〈點頭〉
師：那為什麼上面的分子是13 變成這個？
B 生：因為它乘以，4 乘以 12，4 乘以 3 等於 12。然後它乘以 3，它也要乘以 3。然後…
師：所以分子的13 乘以 3 變成。
B 生：乘以 3 師：變39？
B 生：對。〈點頭〉
師：喔，然後它們就可以怎樣？直接減？
B 生：〈點頭〉
學童
B
知道當進行異分母分數的減法，，分數的分母為4 和 12（倍數 關係），將分母較小的數乘以某個數即可以變成分母較大的數時，較大的 數就是通分後共同的分母 12。學童B
說安親班有敎短除法找出共同的分 母，一開始說利用短除法可以找兩分母的因數，後來又改口說短除法找出 的是兩分母的倍數。深入追問學童B
為什麼找出的是12，學童B
卻因此困惑答不出來。學童
B
知道找出共同分母後，分子分母要同乘以一數，利用 短除法找出同乘的數，顯示學童具備「擴分」的概念。因此，學童
B
在兩分數的分母是倍數關係的異分母分數減法題型中，只知道程序性知識(計算方式使用短除法)，卻缺乏陳述性知識(不知道找出 的數為兩分數分母的公倍數) ，更加證實學童
B
的概念不夠清楚，僅知道 如何計算，不知其所以然。二、兩分數的分母是互質關係的異分母分數減法。
（一）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母是互質關係時，學童使用 的策略是將兩分母相乘即為共同分母，但是卻不清楚為什麼要這麼做。
個案一 題目： 17
4 －1 4 5
師：你這個20 怎麼來的？（參考圖 4-3-3）
A 生：20
師：這樣子可不可以算？題目這樣子可以算嗎？
A 生：不行
師：然後你20 是 4 乘以 5 來的，是不是？
A 生：恩〈點頭〉
圖4-3-3 學童 A 在減法概念二作答內容
師：好，一樣喔。然後你把它兩個相減對不對？
A 生：對〈點頭〉
師：這個1，20 分之 17 減 1 又 20 分之 4，
這個分子的 21 怎麼來的？
A 生：17 加 4
師：17 加 4，有寫錯嗎？
A 生：寫錯了
師：寫錯了？因為題目是…
圖4-3-4 學童 A 在減法概念二計算過程
A 生：題目是減的
師：對〈點頭〉那應該怎麼算？來，你可以算一遍給我嗎？
A 生：好。（參考圖 4-3-4）
師：好了？所以你的答案是20 分之 13？少了什麼？你本來寫 20 分之 13，然後劃掉不對。
A 生：〈放下筆〉
師：所以你的答案是20 分之 7？7 怎麼來的？
A 生：ㄟ？寫錯了，
師：什麼東西寫錯了？哪裡有算錯？
A 生：忘記…忘記…
師：好，那應該怎麼改？哇！你好聰明唷，馬上學就會了。
你把這個題目，假分數換成…（如圖 4-3-5）
A 生：蛤？帶分數
師：帶分數，然後你就可以算了是不是？
A 生：對
圖4-3-5 學童 A 在減法概念二計算過程 學童
A
知道當兩異分母分數要相減，分母為4 和 5（互質關係），兩分 母相乘（4×5）即為共同分母 20。當題目是假分數減帶分數時，學童A
將 兩分母通分後，分子 4 和 17 卻不改變，接著自行將題目的減法，直覺的 運算成加法。當題目是假分數減帶分數時，學童A
會直覺將分子相減，卻 忽略了減數的整數部分，算完之後又能自我發現計算錯誤，卻不知道哪個 步驟錯誤，經由提示後，將題目的假分數更改為帶分數後，就可以算出正 確的答案。因此，學童
A
在兩分數分母是互質關係的異分母分數減法題型中，並 不是很清楚在何種情況進行何種找共同分母的方式，亦不知道為什麼這樣 做，造成在計算時有時可以找出共同的分母，有時又無法正確運算，且多 步驟的運算會造成學童A
計算上的錯誤率增高。（二）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母是互質關係時，學童
B
使 用的策略是將兩分母直接相乘，做為通分後的共同分母。學生將此行為稱 為「交換乘」。個案二 題目： 17
4 －1 4 5
師：我問你這一題可以直接算嗎？（參考圖4-3-6）
B 生：不行。〈搖頭〉
師：不行？好，那你要怎麼做？
B 生：兩個相…兩個互乘。
師：兩個互乘，哪兩個？
B 生：就 5 乘以 4，20 阿。然後 5 乘以 17，4 乘以 4。
B 生：這一個。〈指計算紙答案〉
師：〈指考卷〉那這個哪裡錯？
B 生：這個要先把這個換成帶分數再跟它相減。
師：那我問你，你沒有換帶分數跟有換帶分數，哪個數字大？〈指考卷和計算紙〉
B 生：〈指考卷〉
師：〈指考卷〉這個？那你比較喜歡哪一個算法？
B 生：〈指計算紙〉
師：這個？換成帶分數的算式？
B 生：恩。〈點頭〉
師：好。那為甚麼那個時候你會這樣算？
B 生：自己就以為 5 乘以 4 是 20。
師：喔，可是剛剛你第二題有用這個短除法對不對？
B 生：因為這個這個用短除法除不盡，然後老師(安親班)就會叫我們直接相乘。
師：直接相乘？
B 生：對。〈點頭〉
師：阿你怎麼知道除不盡？你心算？
B 生：對。
學童
B
知道當進行異分母分數的減法，分數的分母為4 和 5（互質關 係），將兩分母直接相乘（4×5），所得到的數就是通分後的共同的分母20。學童
B
將此行為稱為「交換乘」。詢問學童B
為什麼上二題用短除法，這 一題卻不使用？學童B
回答：因為這個用短除法除不盡，然後老師(安親班) 就會叫我們直接相乘。找出通分後的共同分母後，學童B
知道當分母乘以 一個數時，同分數的分子也必須乘上同一個數，學童B
將此行為稱為「通 分」。由此可知，學童B
將學習到的「擴分」與「通分」兩個名詞的意義 混淆。當假分數減掉帶分數時，學童
B
會忽略減數中整數的部分，直接將兩 分數的分子相減，至於減數中整數的部分則直接放置於答案，無法察覺出 過程中的錯誤。當整數與假分數形成帶分數時(例如題目中學童B
的答案：1 69
20
)，學童B
會先將假分數換成帶分數，再將整數部分3 加上原來的整數 1，形成最後的答案。提示學童B
若是題目要求將假分數換成帶分數再計算，學童能夠自行做出正確答案2 又 20 分之 9，尋問施測卷上哪裡錯誤，
學童
B
回答：這個要先把這個換成帶分數再跟它相減。因此，學童
B
在兩分數分母是互質關係的異分母分數減法題型中，只 是一為接受安親班老師的教法－短除法除不盡所以直接相乘，卻不知道使 用短除法找到能被整除的數是1，一樣可以得到答案。顯示學童B
只知道 程序性知識短(短除法的計算方式)，卻缺乏陳述性知識(不知道短除法求出 的意義)，因此，題目若是稍加變化，學童B
則會因此算錯，且無法自行檢 驗自己作法過程的錯誤進行修改，或是有其他解法。三、兩分數的分母非倍數與互質關係，但是兩分數的分母有大於2 的公因 數的異分母分數減法。
（一）進行異分母分數的減法，而兩分數的分母非倍數與互質關係，但是 兩分數的分母有大於2 的公因數時，學童
A
無法正確的找出共同分母，使 用的策略是直覺的將兩分母中較大的數做為共同的分母，此解法與該學童A
解兩分母是整數倍時是相同的。個案一 題目： 6 7
12－3 5 9
師：這一題為什麼分母是12？題目這樣子可以算嗎？（參考圖 4-3-8）
A 生：不行
師：不行，好，那你把它換成
A 生：就寫一寫…〈拿筆作答〉
師：3 又 9 分之 5 寫成 3 又 12 分之 15，12 怎麼來的？
A 生：6 又 12 分之 7 來的
師：6 又 12 分之 7 來的？的 12 來的？
圖4-3-8 學童 A 在減法概念三作答內容
A 生：12 比較大〈眼神飄向旁邊〉
師：12 比較大？好那 5 為甚麼變 15？分子的 5 為什麼變 15？
A 生：為什麼變 15？….〈聳肩〉
師：不知道？那你為什麼寫15？為什麼不寫 5？
A 生：因為…因為要換成 12 師：那為什麼分子要變15？
A 生：… 〈聳肩〉
師：5 變 15？不知道？
A 生：對
師：可是你剛剛跟我說因為…這裡有 3 啊，
A 生：對
師：剛剛這個，7 不是這樣來的嗎？
A 生：對
師：所以你這個，5 變 15 怎麼來的？
A 生：5 乘以 3
師：5 乘以 3 來的？是因為你短除法這邊的 3 還是因為下面的 3？
A 生：下面的 3
學童
A
在進行異分母分數減法，分母有大於2 的公因數時，無法正確 找出12 和 9 的共同分母，直覺的將兩分母中較大的數做為共同的分母 12。雖然共同分母找錯，但是學童
A
此題仍知道通分是要將分子分母同乘一 數，因此利用短除法找出短除法左方的公因數，短除法下方的數即為通分 後，分子分母要同乘的數。雖然共同分母找錯，但是學童