數概念的本質

本研究主要目的在分析兒童分數概念。兒童分數概念是數概念進一步 的抽象，因此對於兒童的數概念本質必須有所探討。本節首先說明數概念 的本質，再探討數概念的發展模型，以作為分析兒童分數解題活動的參考。

壹、 數概念的本質

Steffe（1990）指出數學教學模式裏的意義理論可追溯到歷史上兩個重 要 學 派 ， 一 個 是 結 構 學 派 （structural school），另一個則是操作學派

（operational school）。其中結構學派的理念和理解、經驗與察覺的各項學 習階段是相關的。數概念類型的數學知識是源於解決有關數與量問題的經 驗，亦是項知識的獲得，因此，理應經歷「經驗」、「察覺」以及「瞭解」

的各項學習階段，而不是無中生有的（甯自強，1993c）。

對於「數」的定義，甯自強（1998a，1998b）整理國外學者各自的看 法：

一、Gauss 認為數是一個指標，是用來界定量與一單位量間的關係，還指 出界定的方法依被界定量可否由單位量利用重複累積而複製得到（引 自甯自強，1998a，1998b）。

二、羅素提出了數是相似的類所成的類（class of classes），即是物件的共 同類經由抽象而成，換句話說，3 是由 3 張桌子，3 個人，3 個椅子…

等物件的類的抽象而成（引自甯自強，1998a，1998b）。

如果依 Gauss 和羅素的定義要確定界定量與單位量的關係，或要確定

類的基數。但不論是Gauss 或是羅素，他們都是以「數」來解釋「數」，亦 都不免落入循環界定的問題（引自甯自強，1998a，1998b）。

三、皮亞傑經由對兒童的觀察發現數概念與序列概念是同時產生；皮亞傑 認為數概念一方面是序列（series），另一方面則同時為類（class），主 張 數 概 念 是 同 時 指 類 及 序 列 的 融 合 。 其 所 謂 的 類 是 某 性 質 相 同

（equivalence）的元素所成的集合；序列則是兩個元素比較後所產生 的非對稱的關係（引自甯自強，1998a，1998b）。

皮亞傑提出了一項重要的觀點：數概念是類別與不對稱關係之綜合，

所以強調要發展兒童之邏輯基礎能力，例如：『分類』、『序列』、『一對一 對應』、『保留概念』，對於處在感覺運思前期的兒童而言，計數並不具有 數字的意義，對於皮亞傑來說，他認為要了解數量必須仰賴兒童將物體間 的關係連結起來，如此才有機會了解所謂的數量關係及數概念（引自潘菱 芳，2001）。

四、Davydov 從活動的觀點對數下一個操作型定義：數概念是指某量，及 該 量 中 用 作 測 量 單 位 的 一 部 分 ， 經 測 量 活 動 所 建 立 的 一 組 多 重

（multiple）的關係。Davydov 認為數概念是指某量及該量中測量單位 的一部份，經由測量活動所建立的重組關係。可以發現Davydov 的定 義基本上和Gauss 類似，其最大的不同在 Davydov 認為次數是由測量 活動確定的（引自甯自強，1998a，1998b）。

序列概念的提出，是從活動的歷程來看數，最主要的目的是確定數 值。所以類和序列的概念，應該和數數活動相關。數數活動的功能，在於 確定被測量的量與測量單位之間的關係，即確定被測量的數值(甯自強，

1998 a，1998b)。

整數概念是指整數詞所呼出的集聚單位（composite unit）。集聚單位是 指一個以「1」為元素的群體或是集聚「1」所成的單元，一集聚單位的數 值指示的是一集聚單位量與單位量「1」的關係，而此關係是透過數數活

動來達成（甯自強，1993a）。

王淑芬（2004）將數概念的分成知識論與心理學兩方面：知識論主張 數是由對物的共同屬性抽象而得，如高斯、羅素、歐基里德等學者的主張；

心理學主張數是透過對物的心理活動抽象得到，如皮亞傑、Davydov、Steffe 學者的主張。數是由個別的單位「1」所組成的全體，所以，若兒童能確 定一標準單位作為測量單位，就能進行數數活動了。

貳、數概念的發展模型

甯自強（1992，1993a）將兒童的整數詞意義發展區，依運思的層次與 數概念類型對應，依序分成：序列性合成運思、累進性合成運思、「部分-全體」運思、測量運思。各運思方式與數概念的性質詳述如下：

一、序列性合成運思（sequential integration operations）

將構成事物的元素合成為一事物的能力稱為合成運思。「序列性合成 運思」是指依數詞將指示的量依序表現以進行量的合成與分解，並將過程 加以數值化。對數概念運思的方式是透過標準數詞序列，由「1」開始，

將一個物件與一個數詞相對應的方式透過數數來確定數值的方式（Steffe et.al.，1988）（引自甯自強，1992）。此階段兒童的「ㄨˇ」是一個數值的整 數概念，指五個「1」，表示「1」為元素的群體或集聚「1」所成的集聚單 位（甯自強，1992）。例如：將花片擺至兒童面前，詢問「ㄨˇ」在那裡時，

兒童可以指向全體的五個花片，顯示兒童符合此時期，即能將抽象的計數 動作合成一集聚單位。若是兒童只有指向第5 個花片，而不是全體 5 個花 片，此時的「ㄨˇ」不是基數也不是序數，而是個位置數。

二、累進性合成運思（progressive uniting operations）

「累進性合成運思」是以合成運思的成品—集聚單位當做起點，進一 步累加「1」，形成另一個集聚單位，且舊的集聚單位是內嵌於新的集聚單 位中的內嵌數概念，在累進性合成運思的兒童對數概念運思的方式，是以 一個數為起點「往上數」或「往下數」，將一個物件對應一數詞。此階段

兒童的「ㄨˇ」可以是一個「5」，或一再複製的「5」。兒童在處理 5 個花片 和3 個花片合起來是多少個花片的合成問題時，兒童會有兩種做法；一種 是以「5」為起點，逐一添加一個「1」而成為異於「1」的新計數單位，

此種情形稱為高階單位；另一種會分別把5 個 1 和 3 個 1 各自表現出來，

再重新從1 開始，利用數數活動得到合成量的數值「8」，此種情形稱為低 階單位。但此時部分內嵌於全體的關係，只是隱約的「部分-全體」關係，

當混合使用兩單位時，往往會失去高階單位的群體性（甯自強，1992，

1993a）。

張淑怡（1995）為了調查二年級學童在加減問題的解題活動類型，曾 針對一位學童進行訪談，結果發現他的數概念具有內嵌性、可被計數及高 低單位混淆…等等的概念，加減運算概念具有逐一往上數或倒數、以十來 做累加、了解加法結合律和加減互逆等等性質，由此可知此學童的數概念 屬於累進性合成運思。

三、「部分-全體」運思（part-whole operations）

「部分-全體」運思是累進性合成運思的重組。其運思的方式是把內嵌 於全體部分經過複寫再予以脫嵌外提後，放置回原處，並且保留全體不 變。其餘的部分如同獨立的事物，它的使用不會影響原來的全體，此時的

「ㄨˇ」是可以重複的「5」結構，表示「5」被重複製作，也就是混合使用 高、低兩階單位時，不會失去其群體的數值。例如：問兒童9 隻手有多少 個手指頭，兒童可以答出45，再增加 4 隻手，兒童可以答 65 個手指頭，

但若是移走 3 隻手時，兒童可能回答 42 隻，造成這種現象的原因是因為 兒童無法掌握5 和 1 間的部分-全體關係，因此只移走部分，全體就崩解了。

如果兒童可以答出 50 個手指頭，則表示兒童能明顯的區分兩階單位的部 分-全體的關係。因此，集聚單位可以由兩階單位組合而成的，能把集聚單 位視為兩階單位的組合則此集聚單位就是合成性巢狀數，此時的「部分-全體」運思是單方向的，是指全體由部分合成，但是部分只能經過取消合

成活動再重新獲得（甯自強，1992，1993a）。

李光榮（1997）對一位四年級學童進行數概念和乘除概念的個案研 究，使用教學晤談，結果顯示該學童有將全體的子集獨立運作、控制集聚 單位直接對單位數做合成和分解、但缺乏合成性巢狀數的保留概念，證明 了「部份-全體」運思的特徵和這個階段所描述的合成性巢狀數概念。

四、測量運思（measurement operations）

「測量運思」是「部分-全體」運思的重複運作，在重複的運用「部分 -全體」運思以重組相同基數的次階集聚單位後，「1」的集聚單位，它把內 嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位當成部分，加以複寫後予以外提，

再置回原處，並保留原有的最高階集聚單位與「1」的部分-全體關係，此 時的「ㄨˇ」是測量單位的「5」，也就是測量數概念。和可重複的「5」最 大的差異在於其所蘊含的「部分-全體」關係是雙向的。就是「5」不僅是 五個一構成的全體，也是另一個全體中的部分。在這一階段兒童能同時控 制兩個層級的「部分-全體」關係。例如：兒童數出 30 個積木並確定其中 含有6 個 5，另外在一塊布下放入一些積木，告知兒童全部共有 65 個積木，

要求他確定布下有幾個5？兒童能以「5」為單位，確定有 7 個 5。則他可 以處理三個階層的高低單位關係，由於他能同時控制兩個層級的「部分- 全體關係」，因此，「部分-全體關係」對他而言是可逆的，可逆的「部分-全體關係」是由「測量運思」所建構的。不同的運思方式主要是依照數概 念的品質來區分，判斷的標準有兩點；可由數概念被使用時的功能得知；

另一方式是由與單位「1」或和其他集聚單位之間的關係得知（甯自強，

1992，1993a）。

由此可知，每個運思期的終點會成為下一個運思期的起點。研究者若 能經由分析受訪者所用整數時持有的概念，就能進一步的判斷受訪者對整 數的運思方式，這些運思方式將可以幫助分析受訪者的分數概念。