第二章 文獻探討
第二節 有理數與分數的相關研究
本節分別從分數的起源、分數與有理數的意義、兒童的分數詞意義的 發展模型說明。
壹、分數的起源
分數一詞來自拉丁文「fangere」。分數的概念起源於「分」，用於解決 不滿一個單位量的量的數值問題，且在不同的情境中有不同的意義，故分 數具有豐富的意義(呂玉琴，1995)。
甯自強（1995）認為分數原來是用在解決卻並不滿一個單位量的量底 數值的問題，是等分割一物件活動的紀錄與結果。透過將原單位量加以等 分割得到的單位分量的重複，因而得到與被測量量等價的量，以分割的份 數與重複的次數的並置作為被測量量的指標。例如：將一公尺的繩子分成 四等份，原單位量即為一公尺的繩子，等分割成四等分後，單位分量為四 分之一公尺，此指標所帶的單位是原單位量的單位（例如：公尺）。而被 測量的量則是單位分量的倍數。
呂玉琴（1996）也認為分數概念起源於「分」，是用來解決不滿一個 單位量的數值問題。例如，將一個麵包要平分給三個人，每一個人可以得 到三分之一個麵包。
在九年一貫數學學習領域課程目標中，數、量、形三項可以說是學習 數學的主軸，而數在學習量與形當中，更是扮演著不可或缺的元素。但是 有時候整數並無法完整的描述出一個物件，所以當無法以整數描述一物件 時，就必須引進一個不同於整數的數概念－「分數」（李端明，1997）。
貳、分數與有理數的意義 一、學者的觀點
分數是基本代數運算的基礎，學生在分數概念不完備時，則會在代數 學習上產生困難，例如國高中的方程式、函數與反函數等等（Behr, Harel, Lesh, & Post, 1992)。
Ni 和 Zhou (2005
）認為學童在學習分數概念時，會因為
與學習整數的舊經驗產生衝突而導致學習困難，因此在學習分數概念時，學童必
須了解整數與分數的差異以及分數符號的意義。
分數具有多重的意義，在數學上的定義相當明確，但是在使用上會依情境的不同而有不同的用法和解 釋。國內外學者也對分數的意義提出不同的詮釋：
Dickson, Brown 和 Gibson（1984）對分數的意義提出五種解釋（引自 呂玉琴，1991a）：
（一）整個區域的子區域（或部分-整體）(sub-area of whole region) ： 以圖形的面積來表徵所代表的意義，用來表示連續的整體(連續量)等 分後的幾個部分，相當於部分-整體的關係。這種表徵方式對學童而言容易 理解，所以常被用來建立學童的分數觀念。
（二）子集合與全體集合間的比較(a comparison between a subset of discreteobject and whole set) ：
表示一集合（離散量）等分成若干組後的幾組，以表徵其中的組數，
這種表徵方式與「部份-整體」的模式非常相近，因此，優缺點亦與「部份
－整體」的模式非常相似，也是學童容易理解的表徵方式。
（三）位在兩個全數間線上的一點 (a point in number line which line at anintermediate point between two whole numbers) ：
此模式在數線所標示的區間長度為 1 時，它的意義接近於「部份-整 體」的模式。若數線所標示的區間長度大於1 時，學童會受「部份-整體」
的操作概念影響，將「數線全長」當作「全部」來處理，則「部份-整體」
的模式所學到的概念反而混淆概念學習。
（四）除法運算的結果 (the result of a division operation) ：
表示兩數相除的結果，特別是在整數無法整除但必須除盡時。例如：
3 個餅平分給 2 個人，每個人可以得到多少餅時，可以用 3÷2=
3
2
得到結 果。此外，它也有一個較重要的意義，就是在將分數轉換為等值的小數時，可以說明轉換過程中算則的意義，例如：
5
3
=5÷3=1.67。（五）二組集合或二個度量的大小比較的方法 (a way of comparing the sizesof two sets of the objects or two measurements) ：
表示二個集合（離散量）或二個量（連續量）的比較結果，稱為比值。
例如：甲有3 元，乙有 2 元，甲是乙的多少倍，即可表示成 3：2，用分數
2
3
來表示結果。Hunting （1986）對於分數最初概念的解釋：分數是以一個連續物品 的細分。Behr 和 Post（1988）將分數解釋成下列五種模式：
（一）「部分-全體」的概念。
（二）比例：強調兩量的關係。
（三）比值：用一個數值來代表兩數量的關係。
（四）商：兩數相除的結果。
（五）操作：分數一種轉換。
林碧珍（1990）將分數的意義分成以下五種模式：
（一）「部分-整體」模式：全部區域的部份區域，以連續量（長度、面積、
容積）為主。
（二）子集合-集合模式：集合中的部份集合。
（三）數線模式：數線上的一個數值。
（四）商模式：兩個整數相除的結果。
（五）比值模式：二個集合或二個度量相除的結果。
林福來、黃敏晃和呂玉琴（1996）認為分數是透過分割活動與集聚活 動來確定一個量（例如：4 個糖果）與一個單位量（例如：12 個糖果裝一 包）數值關係的指標，且這樣的分割活動與集聚活動並不是唯一。例如：
12 個糖果的其中 4 個，可以透過將 12 個糖果分割成 12 等分，再集聚其中 的4 等分來獲得，亦可將 12 個糖果分割成 6 等分，再集聚其中的 2 等分
來獲得。因此，在確定單位量後，把測量同一量的不同數值指標（例如：
4 12
與2
6
）視為相等，忽略不同數值指標的分割份數與集聚數，只注重分割 份數與集聚數之間的比值關係，且把比值作為數值指示的數，稱為有理數。楊瑞智（2000）認為分數具有十種意義：「部分-全部」；子集合-集合；
乘法運算元；等值分數；整數除法的結果；分數是一個數/數線上的一點；
平均；當量；比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量；機率。詹婉 華（2003）的研究中，將分數概念分為「等分」、「簡單分數」、「單位量」、
「等值分數」等四個子概念。
王淑芬（2004）認為在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分 割的活動，將一個或多個基準單位量平分成數份，再合成數等份的結果。
例如「m n」是把一個或多個基準單位量，等分割成為 n 等份，再合成其
m 份，命名為「n 分之 m」。劉秋木（2006）將分數定義為：n 分之 m，當
xn = ym 時存在 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下，n 分之 m 是一對一的關係。
蔡正利（2008）認為有理數即是分數的等價集（指等值分數）。例如：
1 2
、2
4
、3
6
…等等皆是由與1
2
等價的所有等值分數構成的集合，是一個類 也表示一個有理數。例如：1
2
與2
4
這二個分數的等價集相同。被分數表徵 的有理數與分數間的關係，是一個類（例如：1
2
、2 4
、3
6
…等等）與構成 這一個類的個體（例如：1
2
）之間的關係。透過雙向的「部分-全體」的測 量運思，只能用等分割的概念去分辨等值分數，但是，卻缺少共測單位而 無法了解真正的等值分數意義，但在發展到有理數數概念，就可完整發展 出整數概念。綜合上述諸位學者對於分數意義的看法，整理成下表（表 2-2-1 ）：
表2-2-1 學者對於分數的意義
詹婉華（2003） 分數概念分為「等分」、「簡單分數」、「單位量」、「等值 分數」等四個子概念。
王淑芬（2004） 在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的活 動，將一個或多個基準單位量平分成數份，再合成數等 份的結果。例如「m n」是把一個或多個基準單位量，等 分割成為 n 等份，再合成其 m 份，命名為「n 分之 m」。
劉秋木（1996） 將分數定義為：n 分之 m，當 xn = ym 時存在 x 與 y 之 間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下，n 分之 m 是一對 一的關係。
蔡正利（2008） 認為有理數即是分數的等價集（指等值分數），是一個類 也表示一個有理數。被分數表徵的有理數與分數間的關 係，是一個類與構成這一個類的個體之間的關係。
雖然各學者們對從分數意義的看法不盡相同，但至少皆認同分數的意 義至少包合上述五項內涵，分別為「部分-整體」、「子集合-集合」、「商」、
「數線上的一點」、及「比與比值」。 二、國小數學教材的觀點
教育部台灣省國民學校教師研習會（2001）認為分數意義用一個就 好：把一個或多個基準單位量透過實作或心理的等分割活動分成n 等分，
再合成m 等分，命名為 n 分之 m，即為分數的原始意義。在數學上，把所 有等值分數所成的集合稱為有理數的集合。
教育部九年一貫課程綱要數學學習領域（2003）的分數則包含簡單分 數概念（單位分數內容物只有一個的真分數）、等分概念、單位量概念、
等值分數概念、分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解 分數、小數、整數之間的關係等。有理數即是分數，有理數教學，必須釐 清、練習並且連結有理數的四種意涵：「平分的意涵」、「測量的意涵」、「比 例的意涵」、「部分-整體的意涵」。最後歸結成日後數學學習中，有理數最 核心的意涵－「除的意涵」：
（一）平分的意涵：在低年級的學童會發展出強烈的公平感，因此，教師 可以從平分開始幫助學童學習分數，比較容易解決分數學習中常見的認知 衝突。
（二）測量的意涵；在學習長度測量時就能同時發展小數與分數兩種課 題。因為單位的強調，測量將會是處理「部分-全體」的意涵與帶分數認知 衝突中的重要工。
（三）比例的意涵：比的原理是一種平分的方式，即使學童尚未學習比例 式，但是透過比的方式亦可以解題。最後透過比值的學習就可以一貫地解 決比例的大部份問題。
（四）「部分-全體」的意涵：「部分-全體」的概念較為抽象，且真分數（將 全體當作 1）的暗示太抽象，造成國小學童學習假分數或帶分數的困擾，
因此，必須透過單位的強調才能解決其認知衝突。
由上述可知，教育部九年一貫課程綱要對分數的意義主要包含：「平 分的意涵」、「測量的意涵」、「比例的意涵」、「部分/整體的意涵」。在名詞 上，教育部與學者的論點雖然稍有出入，但其分數意義的分類上大致仍大 同小異。
參、兒童分數概念的發展模型
Piaget、Inhelder 和 Szeminska（1960）等人認為學童在了解「部分/
全部」和「部分/部分」的關係時，必須經過一些階段的學習，Piaget 稱這 些階段為先期基模（anticipatory scheme）。先期基模使學童能了解「部分/
全部」和「部分/部分」的關係，用以處理分割問題，學童先學會二等分，
接下來是四等分→三等分→五等分→六等分。Piaget 等人（1960）亦發現，
孩 童 在 處 理 長 度 和 面 積 有 關 的 分 數 問 題 時 ， 先 會 處 理