分數概念與異分母分數運算錯誤類型相關研究

壹、學童分數概念相關研究

由許多學者對兒童分數概念的相關研究可以發現，大致分為兩種：一 種是所謂的錯誤類型或迷思概念的描述。另一種則是針對少數學生做晤 談，再描述其分數概念的特質。Behr和Post （1988）研究國小四年級學童 等值分數概念，利用分數板、折紙等教分數概念，利用數線教等價分數，

操作教具來比較分數的大小，並教分數的加、乘運算。對幼稚園到國小二 年級學童的研究中發現：將一圖形切成數等分或將一個集合分成數個相等 的子集合是分割概念是理解分數的基礎和技能。Kieren（1983）在國際數 學教育會議中指出：分割機制在學習分數概念中的地位如同數數對於數概 念的發展一樣重要。由以上的研究可知，如果數學知識是來自於具體活動 的抽象，要研究兒童的分數知識的起源，具體的分割經驗的研究是相當有 意義的。

林碧珍（1990）以圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學童的分 數概念，並分析學童的思考方式、解題策略及錯誤類型，研究發現：

一、五、六年級學童在將分數的圖形表徵轉換到分數的符號表徵的表現

上，「將數線上的點表示成分數」的表現最差；但學生對於「將分數 在數線上標點」則有較優的表現。

二、五、六年級學童在「部份-全體」、「子集合-集合」與比值的模式上；

真分數圖形比假分數圖形容易，在數線模式則以假分數型態比真分數 型態容易。顯示不同的表徵轉換，學生的思考亦有不同。因此，教師 可以藉由觀察學生在不同表徵間轉換的表現，瞭解學生的分數概念。

三、部分五、六年級學童將數線的分數問題看成是「部分-全體」的分數問 題，卻沒注意單位的標示。當數線為一個單位長時，處理數線的分數 問題與處理「部分-全體」的分數問題類似。但當數線非一個單位長時，

將數線看成「部分-全體」的問題來處理就會產生錯誤。因此學童在數 線問題上，「一個單位長」的與「不是一個單位長」的成就有很大的 差異性。

關於此現象，呂玉琴（1991a，1991b，1993）有類似的研究報告，研 究均指出學童對分數的學習明顯仰賴反覆記憶的方式，因此，較缺乏有意 義的分數概念。學童分數概念常見的錯誤類型有：

一、不瞭解處理「部分/全部」的分數問題時各部分均需等分。

二、將同樣大小的連續量分成兩份，但兩份不一樣大小。

三、將同樣大小的離散量分成兩份，但兩份個數不一樣多。不同大小的離 散量卻分成個數相同的兩份，但總量不一樣多。

四、指認單位量有困難。

五、在處理比較分數的大小及等值分數時，受自然數的影響而產生根據分 子或分母的大小來比較、將分母、分子同加一數來比較或分別比較二 分數的分子、分母等策略。

Mack（1995）對國小三、四年級學童進行個別教學實驗，探討學童的 分數意義，研究發現：

一、學童建構分數符號表徵的意義時，常常會受到整數符號的過分概括，

並亦常將分數符號意義過分概括至整數。

二、學童具有分數的非正式知識，但與分數符號知識無法連結。

學童在遇到無法處理的分數問題時，會改變單位量或是分解單位量，

且傾向於自我假設在同一情境中出現的分數皆具有相同的單位量，使問題 簡化到自己能夠處理。林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）對國小二年級學 童進行個別晤談與教學實驗，研究發現：

一、90%以上的學童已具備的先備知識有數數、將偶數個離散物二等份、

使用一半、公平、平分等語詞的生活經驗。

二、約90%的學生能操作連續量實物的二、三、四等分與離散量實物的二、

三、四等分及五等分。

三、能以二分之一、四分之一描述連續量分配的結果，但是，奇數個連續 物用二分之一表達結果仍有困難。

陳靜姿（1997，1999）研究國小四年級學童的等值分數概念，利用紙 筆測驗及訪談來探討，研究發現該學童屬於部份－全體運思階段，分數概 念是加法性分數，且具有下列幾項性質：幾分之幾可當作一個分量；分數 可以是分數單位；將分數當成函數關係時分母代表將一個整體分割成幾 份；分裂量與分裂數成反比；將分子、分母比出數值大小，再將較大的數 除以較小的數所得的商來代表分數值。

李端明（1997）透過教學晤談法研究一個國小四年級學童，探討學童 的分數概念及其解題類型，結果發現該名學童的分數概念也是加法性分數 概念，具有以下的性質：以分數詞表示兩量的並置關係、可運思的子分割 活動、確定分數詞的算子意義、具單向的「部份-全體」關係，但缺乏雙向 的「部份-全體」關係及缺乏共測單位與分數的密度概念。

彭海燕（1998）針對國小四到六年級學童等值分數概念的表現利用紙 筆測驗及訪談來探討，研究發現學童等值分數概念的表現，先後發展次序 如下：會做分割個數與分母相等的題目；了解分母是分割個數的倍數或因

數之等值分數；能在圖形上自行增加分割線或忽視分割線或把個數合併成 一個來說明擴分的概念；具備單位形成與組合能力；具備運作思考能力，

可以不受干擾而判斷等積異形的相等關係；最後具備想像與忽視分割線的 彈性思考能力，了解分割線與分母之間非直接倍數關係的等值分數問題。

游政雄（2002）以紙筆測驗、個別訪談，研究台灣北部地區國小中年 級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等量及等值分數等子概念的 表現情形，結果發現：

一、普遍運用整數知識來處理分數問題，將分子、分母視為獨立的二個數。

二、判斷是否等分問題時，只注意到被等分割的數量，卻忽略等分割後的 每一塊是否相等。

三、連續量情境問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形。

四、一半的語言敘述問題比二分之一的符號問題簡單。

五、面對餘量再分的問題時會自行增加或減少內容物。

劉世能（2002）針對台灣北部地區國小高年級學童的等值分數概念研 究，結果發現學童有四種錯誤類型：

一、依分母的大小來比較分數。

二、依分子的大小來比較分數，

三、將分母、分子同加成一數來比較分數大小，

四、分別比較兩個數的分子、分母。

王淑芬（2004）透過教學晤談法研究一個國小三年級學童，結果發現 該名學童的分數概念是加法性分數概念，並具有以下的性質：子分割活動 已達可運思階段、單向的部份-全體運思、單位分數是可計數的、單位分數 內容物如果是複數個易發生單位量混淆的問題，對等關係是加法性的，其 中亦描述了此階段學童分數詞使用的狀況。

目前國民小學的分數教學，是由分東西的經驗帶入，經由生活中“一 半＂的語言，連結學童對二分之一的概念，再帶入分數符號。詹婉華，呂

玉琴（2004）研究顯示學童的生活經驗無法與分數符號產生連結，以筆測 試題為研究工具，多階段抽樣抽取台灣地區國小高年級學童共2612人，經 共同因素分析檢驗「國小高年級分數概念量表」包含三個分數子概念：等 分概念、單位量概念、等值分數概念。研究發現，「國小高年級分數概念 量表」具有不錯之信、效度。

洪素敏（2004）針對國小五年級學童以紙筆測驗進行測驗，發現學童 分數的迷思概念有：不知道分數的意義、單位量不同但分數相同，學童也 視為等值、未把分數看成一個數值，而是把分子和分母做個別的考慮。進 一步從訪談中篩選出12位參加補救教學活動的學童，發現參加補救教學活 動的學童具有下列七項分數迷思概念：

一、對分數詞意義的不瞭解。

二、比較大小時忽略單位量要一致。

三、受單一圖形表徵的限制。

四、對分數的大小缺乏數字常識。

五、以整數的運算類推分數的加法。

六、等值分數的求法和分數的乘法混淆。

七、無法將分數視為數線上的一個數值。

Ni和Zhou（2005）認為學童在學習分數概念時，會因為與學習整數的 舊經驗產生衝突而導致學習困難，因此在學習分數概念的過程中，學童必 須了解分數符號的意義以及分數與整數之間的差異。在不同分數概念（「部 份-全體」的圖示、文字、數線、整體量概念、等值分數與分數加減）的表 現上，研究顯示學生在「部份-全體」圖示題」、「整體量概念題」、「等值分 數題」及「分數加減題」的解題表現顯著優於「部份-全體」文字題」及「數 線題」（何森曜2005）。

莊大慶（2007）針對國小高年級學童的等值分數概念進行研究，採用 紙筆測驗，研究發現：

一、五年級未學過擴、約分的學童，在作答表現上以分數單位概念的試題 最容易，其次是「部分-全體」關係的試題，最難的部份是尋找共測單 位的試題。

二、已學過擴、約分的學童在作答表現上，以尋找共測單位的試題最容易、

其次是分數單位概念的試題，最難的是「部分-全體」關係的試題。

三、六年級已學過通分的學童，在答題表現上，以尋找共測單位的試題最 容易、其次是分數單位概念的試題，最難的是分數的兩階層部分/全體 關係試題。

顏淑如、易正明與林原宏（2007）針對 75 位國小六年級學童在分數 學習（等分概念、「部份/全體」概念、不同分數間的轉換等三個概念）上 的知識結構進行分析，發現學童學習分數的核心概念是「等分概念」，且 分數概念的發展順序依序為：「等分概念」、「部分-全體」概念、「不同分數

顏淑如、易正明與林原宏（2007）針對 75 位國小六年級學童在分數 學習（等分概念、「部份/全體」概念、不同分數間的轉換等三個概念）上 的知識結構進行分析，發現學童學習分數的核心概念是「等分概念」，且 分數概念的發展順序依序為：「等分概念」、「部分-全體」概念、「不同分數