國小五年級學童異分母分數加減之研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：謝闓如. 博士. 國小五年級學童異分母分數加減之研究. 研究生：蔡佩珊撰. 中華民國一百年六月.

(2)

(3) 摘要本研究旨在探討旨在探究國小五年級學童異分母分數加減法的概念，以了解學童在各類分母間的情境之表現情形。本研究採取質量並行的方式分為兩個階段進行，第一階段採用紙筆測驗，自行編製問卷進行資料蒐集，第二階段則以「半結構性晤談（semi-structed interview）」對六位學童進行訪談，以了解學童在此單元解題錯誤類型時的想法，找出學生學習此單元的問題。研究結果經過分析之後，得到以下結果：一、根據實證研究結果顯示，在異分母分數加減法問題中，在「分母是互質關係」的計算題與應用題表現有差異存在，在「分母有大於 2 的公因數」的計算題與應用題表現無顯著差異。二、學童在分母為整數倍的異分母分數加減法題型中，較能由題目找出通分後的分母，而不需要經過計算。三、學童在兩分數的分母是互質關係的異分母分數加法題型中，學童只知道程序性知識短(短除法的計算方式)，卻缺乏陳述性知識(不知道短除法求出的意義)。題目若是稍加變化，學童則會因此算錯，且無法自行檢驗自己作法過程的錯誤進行修改，或是有其他解法。四、學童在兩分數的分母非倍數與互質關係，但是兩分數的分母有大於 2 的公因數的異分母分數加法加法題型中，會直覺的將兩分母互乘找出通分後的分母，即使數字較大也依舊如此計算。五、無論是在異分母分數加法或減法，或是在哪一種概念題型中，學童因為無法分辨哪種概念使用哪種解題方式較容易，因此皆直接將兩分母相乘作為通分後的分母，即使數字較大也不影響作答。關鍵字：異分母分數、分數加法、分數減法、分數加減法. i.

(4) ii.

(5) Abstract The purpose of this study was to investigate 5th graders’ concept of addition and subtraction of fraction with different types of denominator combinations. Both quantitative and qualitative methods were used in this study.. First, a self-constructed paper-and-pencil test was given to all. participants. Six students were chosen for semi-structured interviews based on their responses on the test. The results were as follows: 1. There are significant differences on addition and subtraction fractions with prime denominators for both algorism calculations and word problems. There is no difference on denominators with factors that were equal to or greater than 2. 2. When one denominator is the multiply of the other, students could find the common denominator easier by reading the problems, without any calculation. 3. When dealing with the prime denominators, students only use the algorism (short division) to find the common denominator, but did not understanding the meaning and/or concept of the algorism.. Students could not check/find their. process/errors if the problems were twisted from the example.. 4. In the addition problems that two dominators had common factors equal to or greater than 2, students will multiplied two dominators directly as the common one, even with large numbers.. 5. Some students could not distinguish what methods were suitable for which problems.. They multiplied two denominators together as the common one in. order to solve problems.. Keywords: fraction with different denominators, fraction subtraction, fraction addition, addition and subtraction of fraction. iii.

(6) 目錄第一章緒論....................................................................................................... 1 第一節研究動機..................................................................................................1 第二節研究目的..................................................................................................4 第三節名詞解釋..................................................................................................4. 第二章文獻探討............................................................................................... 5 第一節數概念的本質..........................................................................................5 第二節有理數與分數的相關研究....................................................................10 第三節分數教材分析........................................................................................22 第四節分數概念與異分母分數運算錯誤類型相關研究................................25. 第三章研究方法............................................................................................. 35 第一節研究步驟................................................................................................35 第二節研究對象................................................................................................38 第三節研究工具................................................................................................39 第四節資料處理與分析....................................................................................43. 第四章結果與討論......................................................................................... 45 第一節學童在計算題與應用題的解題表現....................................................45 第二節個案探討在異分母分數加法的解題表現............................................52 第三節個案探討在異分母分數減法的解題表現............................................61 第四節討論........................................................................................................73. 第五章結論與建議......................................................................................... 75 第一節結論........................................................................................................75 第二節建議........................................................................................................79. 參考文獻........................................................................................................... 81 壹、中文部分......................................................................................................81. iv.

(7) 貳、外文部分......................................................................................................85. 附錄................................................................................................................... 87 附錄一施測說明................................................................................................87 附錄二晤談大綱題目初稿................................................................................88 附錄三晤談大綱題目修改稿............................................................................93 附錄四異分母分數加減法預試試題................................................................98 附錄五異分母分數加減法正式施測試題......................................................102 附錄六訪談逐字稿..........................................................................................106 【A 生訪談逐字搞】........................................................................................106 【B 生訪談逐字搞】........................................................................................114 【C 生訪談逐字搞】........................................................................................121 【D 生訪談逐字搞】........................................................................................129 【E 生訪談逐字搞】 ........................................................................................137 【F 生訪談逐字搞】 ........................................................................................146. v.

(8) 表目錄表 2-2-1 學者對於分數的意義..................................................................................14 表 2-2-2 兒童分數詞的意義......................................................................................21 表 2-3-1 分數教材之分析..........................................................................................24 表 3-1-1 各題型的概念與題數分布..........................................................................38 表 3-3-1 九年一貫數學科領域課程之五年級分年細目內容..................................40 表 3-3-2 預試資料難度的分析..................................................................................42 表 4-1-1 全體學童在異分母分數加減法第一大題計算題作答表現......................46 表 4-1-2 全體學童在異分母分數加減法第二大題應用題作答表現......................46 表 4-1-3 全體學童在兩分數的分母為倍數關係作答情形......................................47 表 4-1-4 異分母分數加減法各概念之單一樣本 t 檢定摘要表...............................47 表 4-1-5 全體學童在兩分數的分母是互質關係作答情形......................................48 表 4-1-6 全體學童在兩分數分母有大於 2 的公因數作答情形..............................49 表 4-1-7 全體學童在兩分數的分母為倍數關係作答情形......................................50 表 4-1-8 全體學童在兩分數的分母是互質關係作答情形......................................50 表 4-1-9 全體學童在兩分數分母有大於 2 的公因數作答情形..............................51. vi.

(9) 圖目錄圖 3-1-1 研究流程....................................................................................................36 圖 4-2-1 學童 A 在加法概念一作答內容 ...............................................................52 圖 4-2-2 學童 A 在加法概念一計算過程 ...............................................................53 圖 4-2-3 學童 F 在加法概念一作答內容................................................................54 圖 4-2-4 學童 A 在加法概念二作答內容 ...............................................................55 圖 4-2-5 學童 A 在加法概念二計算過程 ...............................................................55 圖 4-2-6 學童 A 在加法概念二計算過程 ...............................................................56 圖 4-2-7 學童 B 在加法概念二作答內容 ...............................................................57 圖 4-2-8 學童 C 在加法概念三作答內容 ...............................................................59 圖 4-2-9 學童 C 在加法概念三計算過程 ...............................................................59 圖 4-2-10 學童 D 在加法概念三做答內容 ...............................................................60 圖 4-3-1 學童 F 在減法概念一作答內容................................................................62 圖 4-3-2 學童 B 在減法概念一作答內容 ...............................................................63 圖 4-3-3 學童 A 在減法概念二作答內容 ...............................................................64 圖 4-3-4 學童 A 在減法概念二計算過程 ...............................................................64 圖 4-3-5 學童 A 在減法概念二計算過程 ...............................................................65 圖 4-3-6 學童 B 在減法概念二作答內容 ...............................................................66 圖 4-3-7 學童 B 在減法概念二計算過程 ...............................................................66 圖 4-3-8 學童 A 在減法概念三作答內容 ...............................................................68 圖 4-3-9 學童 B 在減法概念三作答內容 ...............................................................70 圖 4-3-10 學童 E 在減法概念三作答內容 ...............................................................71. vii.

(10) 第一章緒論本研究旨在探究國小五年級學童異分母分數加減法的概念。全章共分三節，首先主要在說明本研究之動機，其次是研究目的，最後及對本研究中所提及之相關名詞作明確的界定。茲分述如下：. 第一節研究動機無論在日常生活中的應用，或是在數學與科學領域中，分數概念及四則運算都是一個實用也很重要的數學知識，例如：同時採買多樣商品的金額、計算物品單價進行比較哪樣較便宜…等等。假若一個國小學童的分數概念無法正確建立，則無法進行其他概念（方程式、函數…等等）的學習，而學童的分數四則運算是所有計算能力的基礎，學童若未能具備熟練的運算能力，將會在未來數學學習上產生挫折（呂玉琴 1991a，劉秋木 1996）。研究者曾經詢問學生，如何解決生活中異分母分數加減的問題，學生大多回答使用計算機將分數換成小數再計算，理由是因為較簡單且不容易算錯，可見國小學童不喜歡計算異分母分數加減的問題。鍾啟芳（2005）曾對國小六年級學生做訪問，大部份學生認為數學知識在生活上都用不到，不知如何將他們課堂所學的數學知識應用到生活上，部份老師在教學時將數學視為工具，再利用這工具來解題，如此一來可能導致學生認為在課堂上學習的數學和日常生活的應用是兩回事。教育部九年一貫課程綱要（2003）的課程目標中提到，九年一貫數學學習領域的教學總體目標如下：（1）培養學生的演算、抽象、推論及溝通等四大能力。（2）學習應用問題的解題方法。（3）奠定好學生下一個階段的數學基礎。（4）培養學生欣賞數學的態度及能力。其中第二點提到：「學習應用問題的解題方法」，教師因此以應用問題的教學來培養學生在日常生活中解決問題的能力，延伸至教學現場可發現，數學教學大多是先由教師進行例題的說明講解，學生再模仿教師行為 1.

(11) 解例題的相關類題；有些教師會教導學生所有可能出現的題型，並將數字稍作變化，一直反複練習直至精熟，但是在這種反覆練習的模式之下，卻養成學生記憶問題的解法，無法主動思考，所以教師很難由考試結果清楚掌握學生的學習成效（何森曜 2005）。鍾啟芳（2005）認為若能讓學生在學習數學概念的同時也能解決生活上的問題，這樣就不會造成數學工具和應用問題的區分了。教育部九年一貫課程綱要之數學學習領域的基本理念也指出，應該培養學生數學解題能力，並有能力使用所學的數學知識和計算能力去解決身邊所遇到的問題。國小學童接觸到的數學概念是以整數為基礎，但當遇到整數無法解決的情境，就必須引進分數（呂玉琴， 1991b）。在大多數人的學習歷程或是生活中，不難發現分數在數學與科學的相關教材裡是常被使用的重要概念，國小學習的分數運算延伸至國中的方程式、函數甚至高中的反函數、指數與對數…等等的單元皆息息相關，因此，分數概念雖然不容易了解但卻很重要。教育部九年一貫課程綱要（2003）指出分數概念的學習是國小學童第一次碰到兩個整數並列的情況，而分數計算若要熟練必須仰賴整數計算的精熟，卻也因學童整數計算的經驗造成有理數學習上的錯誤。由此可知，分數概念的學習是一個極重要的課題，是國民小學數學課程裡往後學習數學的基石。林碧珍（1990）研究顯示，學童對分數不能理解，會阻礙他們以後的數學學習發展，因為數學概念具有抽象及前後連貫的特性，是由一連串的概念抽象化所形成的，假若一位國小學童的分數概念無法正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。在國民小學數學課程中，分數概念於各年級分散學習，相關概念的建立有其先後順序，如果前一概念無法建立，學童則無法往下一個概念學習（呂玉琴，1991b）。美國數學教師學會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]，2000）指出在小學第一階段中較幼小的學童應要透過每天的情境及有意義的問題來經驗簡單分數。楊瑞智（2000）認為學生如能有效處理分數概念，有助於了解及掌握真實世界問題的能力。分數概. 2.

(12) 念是一個在問題情境中具有多重意義的數學子概念，包含等分概念、單位量概念、等值分數概念…等等，這些子概念牽涉連續量與離散量兩種不同的情境，導致學生學習效果不好（林天麒，2009）。九年一貫數學學習領域（教育部，2003）的能力指標中，N-1-9、N-3-3、… 等都是關於分數概念的能力指標，尤其是數與量這一部份，在第二階段的 19 個能力指標中，分數就佔了 6 個，可見分數在國小數學教學其重要性。國民小學數學課程五大主題中的其中一個主題「數與量」，在課程編排上是先讓學生學習整數，之後才是小數與分數的學習。如果將學生國小數學課程中的「整數」與「分數」教材對照，即可發現，學生學習困難度較低的單元---「整數」，學習過程中整數有從數詞對應到具體物的活動，整數有唱數、數數等的活動，學習活動安排多且學習時間也很充裕；而被大家公認學習上困難度較高的單元－「分數」，學習過程中卻沒有唱分數、數分數等的活動，亦沒有數詞與具體物對應的活動，學習活動安排少且學習時間也相對較短（呂玉琴，1995）。分數學習的困難造成學生產生許多錯誤與迷思，學生帶著這些錯誤的分數概念，進入較為進階的分數運算時，理解勢必較為困難，因此許多學生面對分數的運算往往只能依靠計算規則的背誦（尤志弘，2008）。綜觀分數概念的相關研究文獻，如：黃月平（2004）研究國小六年級學童分數乘除、許孝全（2006）研究國小六年級學童分數加法概念結構分析、黃國榮（2003）網路化模糊取向的分數減法概念診斷…等等，篇數雖然多，卻鮮少看到以分數加減法概念為主題而深入探討學童概念發展情形的研究。教育部九年一貫課程綱要（2003）課程目標中，國民小學階段的數學目標中第三點中提到：國小學童在小學畢業前，必須熟練小數與分數的四則計算；解決日常生活中的問題。由此可知，分數四則是國小高年級學生的必要學習重點之一，學習分數四則的前提之下，學童必須先有異分母分數加減與分數乘除的個別學習概念，在此概念的建立之下，才能運用舊知識學習新知識－分數四則。. 3.

(13) 由上述諸點可知，異分母分數的加減實為學童學習分數四則學習的重要基石，因此，本研究乃針對國小五年級學童異分母分數加減概念進行探討與相關研究，以及分析學童對於異分母分數加減的錯誤解題方式，了解學生學習分數的困難所在，更進一步可以找出改進解決的方法。經由學生在教室內的測驗，給予充分的時間完成，可以瞭解五年級學生在異分母分數加減法的迷思與數學解題的能力，並透過深入半結構式訪談的方式，來瞭解學生異分母分數加減法概念發展的情形，期望能豐富本土學童分數概念的實徵資料，以提供課程編製者和教學者作為參考資料。. 第二節研究目的本研究主要目的在於探討國小五年級學童異分母分數加減法概念的認知情形，藉由解題的過程，探討學生的迷思，並以半結構式晤談法，針對六位學童，深入探討其差異。本研究的主要目的包括：一、探討國小五年級學童異分母分數加減法概念在計算題與應用題的解題表現。二、分析國小五年級學童學生在異分母分數加減法測驗中，學生所呈現出錯誤類型的分數概念。三、分析學童的解題迷思，並以半結構式晤談法，針對六位學童，深入探討其差異。. 第三節名詞解釋本節名詞釋義指在使表達更為明確，避免混淆，便於討論，故將本研究所涉及之相關特定名詞界定及說明如下：一、國小五年級學童本文中的國小五年級學童為九十九學年度就讀五年級之學童。。二、錯誤類型本研究之錯誤類型指學生經由「數學擬題測驗」產生的錯誤情形之分類，再輔以半結構性晤談進行錯誤類型分析，瞭解學生錯誤產生的原因。 4.

(14) 第二章文獻探討本章分為四節，根據本研究中相關理論依據進行探討。第一節討論數概念本質，以及其發展模型；第二節說明有理數與分數的意義，以及兒童的分數詞意義的發展模型；第三節探討分數教材分析；第四節則是分數概念與異分母分數加減的相關研究，分述如下：. 第一節數概念的本質本研究主要目的在分析兒童分數概念。兒童分數概念是數概念進一步的抽象，因此對於兒童的數概念本質必須有所探討。本節首先說明數概念的本質，再探討數概念的發展模型，以作為分析兒童分數解題活動的參考。壹、數概念的本質 Steffe（1990）指出數學教學模式裏的意義理論可追溯到歷史上兩個重要學派，一個是結構學派（ structural school），另一個則是操作學派（operational school）。其中結構學派的理念和理解、經驗與察覺的各項學習階段是相關的。數概念類型的數學知識是源於解決有關數與量問題的經驗，亦是項知識的獲得，因此，理應經歷「經驗」、「察覺」以及「瞭解」的各項學習階段，而不是無中生有的（甯自強，1993c）。對於「數」的定義，甯自強（1998a，1998b）整理國外學者各自的看法：一、Gauss 認為數是一個指標，是用來界定量與一單位量間的關係，還指出界定的方法依被界定量可否由單位量利用重複累積而複製得到（引自甯自強，1998a，1998b）。二、羅素提出了數是相似的類所成的類（class of classes），即是物件的共同類經由抽象而成，換句話說，3 是由 3 張桌子，3 個人，3 個椅子… 等物件的類的抽象而成（引自甯自強，1998a，1998b）。如果依 Gauss 和羅素的定義要確定界定量與單位量的關係，或要確定 5.

(15) 類的基數。但不論是 Gauss 或是羅素，他們都是以「數」來解釋「數」，亦都不免落入循環界定的問題（引自甯自強，1998a，1998b）。三、皮亞傑經由對兒童的觀察發現數概念與序列概念是同時產生；皮亞傑認為數概念一方面是序列（series），另一方面則同時為類（class），主張數概念是同時指類及序列的融合。其所謂的類是某性質相同（equivalence）的元素所成的集合；序列則是兩個元素比較後所產生的非對稱的關係（引自甯自強，1998a，1998b）。皮亞傑提出了一項重要的觀點：數概念是類別與不對稱關係之綜合，所以強調要發展兒童之邏輯基礎能力，例如：『分類』、『序列』、『一對一對應』、『保留概念』，對於處在感覺運思前期的兒童而言，計數並不具有數字的意義，對於皮亞傑來說，他認為要了解數量必須仰賴兒童將物體間的關係連結起來，如此才有機會了解所謂的數量關係及數概念（引自潘菱芳，2001）。四、Davydov 從活動的觀點對數下一個操作型定義：數概念是指某量，及該量中用作測量單位的一部分，經測量活動所建立的一組多重（multiple）的關係。Davydov 認為數概念是指某量及該量中測量單位的一部份，經由測量活動所建立的重組關係。可以發現 Davydov 的定義基本上和 Gauss 類似，其最大的不同在 Davydov 認為次數是由測量活動確定的（引自甯自強，1998a，1998b）。序列概念的提出，是從活動的歷程來看數，最主要的目的是確定數值。所以類和序列的概念，應該和數數活動相關。數數活動的功能，在於確定被測量的量與測量單位之間的關係，即確定被測量的數值(甯自強， 1998 a，1998b)。整數概念是指整數詞所呼出的集聚單位（composite unit）。集聚單位是指一個以「1」為元素的群體或是集聚「1」所成的單元，一集聚單位的數值指示的是一集聚單位量與單位量「1」的關係，而此關係是透過數數活 6.

(16) 動來達成（甯自強，1993a）。王淑芬（2004）將數概念的分成知識論與心理學兩方面：知識論主張數是由對物的共同屬性抽象而得，如高斯、羅素、歐基里德等學者的主張；心理學主張數是透過對物的心理活動抽象得到，如皮亞傑、Davydov、Steffe 學者的主張。數是由個別的單位「1」所組成的全體，所以，若兒童能確定一標準單位作為測量單位，就能進行數數活動了。貳、數概念的發展模型甯自強（1992，1993a）將兒童的整數詞意義發展區，依運思的層次與數概念類型對應，依序分成：序列性合成運思、累進性合成運思、「部分全體」運思、測量運思。各運思方式與數概念的性質詳述如下：一、序列性合成運思（sequential integration operations）將構成事物的元素合成為一事物的能力稱為合成運思。「序列性合成運思」是指依數詞將指示的量依序表現以進行量的合成與分解，並將過程加以數值化。對數概念運思的方式是透過標準數詞序列，由「1」開始，將一個物件與一個數詞相對應的方式透過數數來確定數值的方式（Steffe et.al.，1988）（引自甯自強，1992）。此階段兒童的「ㄨˇ」是一個數值的整數概念，指五個「1」，表示「1」為元素的群體或集聚「1」所成的集聚單位（甯自強，1992）。例如：將花片擺至兒童面前，詢問「ㄨˇ」在那裡時，兒童可以指向全體的五個花片，顯示兒童符合此時期，即能將抽象的計數動作合成一集聚單位。若是兒童只有指向第 5 個花片，而不是全體 5 個花片，此時的「ㄨˇ」不是基數也不是序數，而是個位置數。二、累進性合成運思（progressive uniting operations）「累進性合成運思」是以合成運思的成品—集聚單位當做起點，進一步累加「1」，形成另一個集聚單位，且舊的集聚單位是內嵌於新的集聚單位中的內嵌數概念，在累進性合成運思的兒童對數概念運思的方式，是以一個數為起點「往上數」或「往下數」，將一個物件對應一數詞。此階段 7.

(17) 兒童的「ㄨˇ」可以是一個「5」，或一再複製的「5」。兒童在處理 5 個花片和 3 個花片合起來是多少個花片的合成問題時，兒童會有兩種做法；一種是以「5」為起點，逐一添加一個「1」而成為異於「1」的新計數單位，此種情形稱為高階單位；另一種會分別把 5 個 1 和 3 個 1 各自表現出來，再重新從 1 開始，利用數數活動得到合成量的數值「8」，此種情形稱為低階單位。但此時部分內嵌於全體的關係，只是隱約的「部分-全體」關係，當混合使用兩單位時，往往會失去高階單位的群體性（甯自強，1992， 1993a）。張淑怡（1995）為了調查二年級學童在加減問題的解題活動類型，曾針對一位學童進行訪談，結果發現他的數概念具有內嵌性、可被計數及高低單位混淆…等等的概念，加減運算概念具有逐一往上數或倒數、以十來做累加、了解加法結合律和加減互逆等等性質，由此可知此學童的數概念屬於累進性合成運思。三、「部分-全體」運思（part-whole operations）「部分-全體」運思是累進性合成運思的重組。其運思的方式是把內嵌於全體部分經過複寫再予以脫嵌外提後，放置回原處，並且保留全體不變。其餘的部分如同獨立的事物，它的使用不會影響原來的全體，此時的「ㄨˇ」是可以重複的「5」結構，表示「5」被重複製作，也就是混合使用高、低兩階單位時，不會失去其群體的數值。例如：問兒童 9 隻手有多少個手指頭，兒童可以答出 45，再增加 4 隻手，兒童可以答 65 個手指頭，但若是移走 3 隻手時，兒童可能回答 42 隻，造成這種現象的原因是因為兒童無法掌握 5 和 1 間的部分-全體關係，因此只移走部分，全體就崩解了。如果兒童可以答出 50 個手指頭，則表示兒童能明顯的區分兩階單位的部分-全體的關係。因此，集聚單位可以由兩階單位組合而成的，能把集聚單位視為兩階單位的組合則此集聚單位就是合成性巢狀數，此時的「部分全體」運思是單方向的，是指全體由部分合成，但是部分只能經過取消合 8.

(18) 成活動再重新獲得（甯自強，1992，1993a）。李光榮（1997）對一位四年級學童進行數概念和乘除概念的個案研究，使用教學晤談，結果顯示該學童有將全體的子集獨立運作、控制集聚單位直接對單位數做合成和分解、但缺乏合成性巢狀數的保留概念，證明了「部份-全體」運思的特徵和這個階段所描述的合成性巢狀數概念。四、測量運思（measurement operations）「測量運思」是「部分-全體」運思的重複運作，在重複的運用「部分 -全體」運思以重組相同基數的次階集聚單位後，「1」的集聚單位，它把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位當成部分，加以複寫後予以外提，再置回原處，並保留原有的最高階集聚單位與「1」的部分-全體關係，此時的「ㄨˇ」是測量單位的「5」，也就是測量數概念。和可重複的「5」最大的差異在於其所蘊含的「部分-全體」關係是雙向的。就是「5」不僅是五個一構成的全體，也是另一個全體中的部分。在這一階段兒童能同時控制兩個層級的「部分-全體」關係。例如：兒童數出 30 個積木並確定其中含有 6 個 5，另外在一塊布下放入一些積木，告知兒童全部共有 65 個積木，要求他確定布下有幾個 5？兒童能以「5」為單位，確定有 7 個 5。則他可以處理三個階層的高低單位關係，由於他能同時控制兩個層級的「部分全體關係」，因此，「部分-全體關係」對他而言是可逆的，可逆的「部分全體關係」是由「測量運思」所建構的。不同的運思方式主要是依照數概念的品質來區分，判斷的標準有兩點；可由數概念被使用時的功能得知；另一方式是由與單位「1」或和其他集聚單位之間的關係得知（甯自強， 1992，1993a）。由此可知，每個運思期的終點會成為下一個運思期的起點。研究者若能經由分析受訪者所用整數時持有的概念，就能進一步的判斷受訪者對整數的運思方式，這些運思方式將可以幫助分析受訪者的分數概念。. 9.

(19) 第二節有理數與分數的相關研究本節分別從分數的起源、分數與有理數的意義、兒童的分數詞意義的發展模型說明。壹、分數的起源分數一詞來自拉丁文「fangere」。分數的概念起源於「分」，用於解決不滿一個單位量的量的數值問題，且在不同的情境中有不同的意義，故分數具有豐富的意義(呂玉琴，1995)。甯自強（1995）認為分數原來是用在解決卻並不滿一個單位量的量底數值的問題，是等分割一物件活動的紀錄與結果。透過將原單位量加以等分割得到的單位分量的重複，因而得到與被測量量等價的量，以分割的份數與重複的次數的並置作為被測量量的指標。例如：將一公尺的繩子分成四等份，原單位量即為一公尺的繩子，等分割成四等分後，單位分量為四分之一公尺，此指標所帶的單位是原單位量的單位（例如：公尺）。而被測量的量則是單位分量的倍數。呂玉琴（1996）也認為分數概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量的數值問題。例如，將一個麵包要平分給三個人，每一個人可以得到三分之一個麵包。在九年一貫數學學習領域課程目標中，數、量、形三項可以說是學習數學的主軸，而數在學習量與形當中，更是扮演著不可或缺的元素。但是有時候整數並無法完整的描述出一個物件，所以當無法以整數描述一物件時，就必須引進一個不同於整數的數概念－「分數」（李端明，1997）。貳、分數與有理數的意義一、學者的觀點分數是基本代數運算的基礎，學生在分數概念不完備時，則會在代數學習上產生困難，例如國高中的方程式、函數與反函數等等（Behr, Harel, Lesh, & Post, 1992)。Ni 和 Zhou (2005）認為學童在學習分數概念時，會因為 10.

(20) 與學習整數的舊經驗產生衝突而導致學習困難，因此在學習分數概念時，學童必須了解整數與分數的差異以及分數符號的意義。分數具有多重的意義，在數學. 上的定義相當明確，但是在使用上會依情境的不同而有不同的用法和解釋。國內外學者也對分數的意義提出不同的詮釋： Dickson, Brown 和 Gibson（1984）對分數的意義提出五種解釋（引自呂玉琴，1991a）：（一）整個區域的子區域（或部分-整體）(sub-area of whole region) ：以圖形的面積來表徵所代表的意義，用來表示連續的整體(連續量)等分後的幾個部分，相當於部分-整體的關係。這種表徵方式對學童而言容易理解，所以常被用來建立學童的分數觀念。（二）子集合與全體集合間的比較(a comparison between a subset of discreteobject and whole set) ：表示一集合（離散量）等分成若干組後的幾組，以表徵其中的組數，這種表徵方式與「部份-整體」的模式非常相近，因此，優缺點亦與「部份－整體」的模式非常相似，也是學童容易理解的表徵方式。（三）位在兩個全數間線上的一點 (a point in number line which line at anintermediate point between two whole numbers) ：此模式在數線所標示的區間長度為 1 時，它的意義接近於「部份-整體」的模式。若數線所標示的區間長度大於 1 時，學童會受「部份-整體」的操作概念影響，將「數線全長」當作「全部」來處理，則「部份-整體」的模式所學到的概念反而混淆概念學習。（四）除法運算的結果 (the result of a division operation) ：表示兩數相除的結果，特別是在整數無法整除但必須除盡時。例如： 3 2. 3 個餅平分給 2 個人，每個人可以得到多少餅時，可以用 3÷2= 得到結果。此外，它也有一個較重要的意義，就是在將分數轉換為等值的小數時， 11.

(21) 5 3. 可以說明轉換過程中算則的意義，例如： =5÷3=1.67。（五）二組集合或二個度量的大小比較的方法 (a way of comparing the sizesof two sets of the objects or two measurements) ：表示二個集合（離散量）或二個量（連續量）的比較結果，稱為比值。例如：甲有 3 元，乙有 2 元，甲是乙的多少倍，即可表示成 3：2，用分數 2 來表示結果。 3. Hunting （1986）對於分數最初概念的解釋：分數是以一個連續物品的細分。Behr 和 Post（1988）將分數解釋成下列五種模式：（一）「部分-全體」的概念。（二）比例：強調兩量的關係。（三）比值：用一個數值來代表兩數量的關係。（四）商：兩數相除的結果。（五）操作：分數一種轉換。林碧珍（1990）將分數的意義分成以下五種模式：（一）「部分-整體」模式：全部區域的部份區域，以連續量（長度、面積、容積）為主。（二）子集合-集合模式：集合中的部份集合。（三）數線模式：數線上的一個數值。（四）商模式：兩個整數相除的結果。（五）比值模式：二個集合或二個度量相除的結果。林福來、黃敏晃和呂玉琴（1996）認為分數是透過分割活動與集聚活動來確定一個量（例如：4 個糖果）與一個單位量（例如：12 個糖果裝一包）數值關係的指標，且這樣的分割活動與集聚活動並不是唯一。例如： 12 個糖果的其中 4 個，可以透過將 12 個糖果分割成 12 等分，再集聚其中的 4 等分來獲得，亦可將 12 個糖果分割成 6 等分，再集聚其中的 2 等分 12.

(22) 來獲得。因此，在確定單位量後，把測量同一量的不同數值指標（例如： 4 2 與）視為相等，忽略不同數值指標的分割份數與集聚數，只注重分割 12 6. 份數與集聚數之間的比值關係，且把比值作為數值指示的數，稱為有理數。楊瑞智（2000）認為分數具有十種意義：「部分-全部」；子集合-集合；乘法運算元；等值分數；整數除法的結果；分數是一個數/數線上的一點；平均；當量；比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量；機率。詹婉華（2003）的研究中，將分數概念分為「等分」、「簡單分數」、「單位量」、「等值分數」等四個子概念。王淑芬（2004）認為在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的活動，將一個或多個基準單位量平分成數份，再合成數等份的結果。例如「 m n 」是把一個或多個基準單位量，等分割成為 n 等份，再合成其 m 份，命名為「n 分之 m」。劉秋木（2006）將分數定義為：n 分之 m，當 xn = ym 時存在 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下，n 分之 m 是一對一的關係。蔡正利（2008）認為有理數即是分數的等價集（指等值分數）。例如： 1 2 3 1 、、 …等等皆是由與等價的所有等值分數構成的集合，是一個類 2 4 6 2 1 2. 2 4. 也表示一個有理數。例如：與這二個分數的等價集相同。被分數表徵 1 2. 2 4. 3 6. 的有理數與分數間的關係，是一個類（例如：、、 …等等）與構成 1 2. 這一個類的個體（例如：）之間的關係。透過雙向的「部分-全體」的測量運思，只能用等分割的概念去分辨等值分數，但是，卻缺少共測單位而無法了解真正的等值分數意義，但在發展到有理數數概念，就可完整發展出整數概念。綜合上述諸位學者對於分數意義的看法，整理成下表（表 2-2-1 ）：. 13.

(23) 表 2-2-1 學者對於分數的意義學者 Dickson, Brown 和 Gibson（1984） (引自呂玉琴， 1991a). 分數與有理數的意義 1. 整個區域的子區域(或部分-整體) 。 2. 子集合與全體集合間的比較。 3. 位在兩個全數間線上的一點。 4. 除法運算的結果。 5. 二組集合或二個度量的大小比較的方法。. Hunting (1986). 分數為以一個連續物品的細分。. Behr 等人（1988）. 1. 2. 3. 4. 5.. 林碧珍（1990） 1. 2. 3. 4. 5. 林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）. 「部分-全體」的概念。比例：強調兩量的關係。比值：用一個數值來代表兩數量的關係。商：兩數相除的結果。操作：分數一種轉換。「部分-整體」模式：全部區域的部份區域。子集合-集合模式：集合中的部份集合。數線模式：數線上的一個數值。商模式：兩個整數相除的結果。比值模式：二個集合或二個度量相除的結果。. 1. 認為分數是透過分割活動與集聚活動來確定一個量（例如：4 個糖果）與一個單位量（例如：12 個糖果裝一包）數值關係的指標，且這樣的分割活動與集聚活動並不是唯一。 2. 確定單位量後，把測量同一量的不同數值指標視為相等，忽略不同數值指標的分割份數與集聚數，只注重分割份數與集聚數之間的比值關係，且把比值作為數值指示的數，稱為有理數。. 楊瑞智（2000） 1. 「部分-全部」 2. 子集合-集合 3. 乘法運算元 4. 等值分數 5. 整數除法的結果 6. 分數是一個數/數線上的一點 7. 平均 8. 當量 9. 比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量 10. 機率。 14.

(24) 詹婉華（2003）分數概念分為「等分」、「簡單分數」、「單位量」、「等值分數」等四個子概念。王淑芬（2004）在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的活動，將一個或多個基準單位量平分成數份，再合成數等份的結果。例如「 m n 」是把一個或多個基準單位量，等分割成為 n 等份，再合成其 m 份，命名為「n 分之 m」。劉秋木（1996）將分數定義為：n 分之 m，當 xn = ym 時存在 x 與 y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下，n 分之 m 是一對一的關係。蔡正利（2008）認為有理數即是分數的等價集（指等值分數），是一個類也表示一個有理數。被分數表徵的有理數與分數間的關係，是一個類與構成這一個類的個體之間的關係。. 雖然各學者們對從分數意義的看法不盡相同，但至少皆認同分數的意義至少包合上述五項內涵，分別為「部分-整體」、「子集合-集合」、「商」、「數線上的一點」、及「比與比值」。二、國小數學教材的觀點教育部台灣省國民學校教師研習會（2001）認為分數意義用一個就好：把一個或多個基準單位量透過實作或心理的等分割活動分成 n 等分，再合成 m 等分，命名為 n 分之 m，即為分數的原始意義。在數學上，把所有等值分數所成的集合稱為有理數的集合。教育部九年一貫課程綱要數學學習領域（2003）的分數則包含簡單分數概念（單位分數內容物只有一個的真分數）、等分概念、單位量概念、等值分數概念、分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解分數、小數、整數之間的關係等。有理數即是分數，有理數教學，必須釐清、練習並且連結有理數的四種意涵：「平分的意涵」、「測量的意涵」、「比例的意涵」、「部分-整體的意涵」。最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵－「除的意涵」： 15.

(25) （一）平分的意涵：在低年級的學童會發展出強烈的公平感，因此，教師可以從平分開始幫助學童學習分數，比較容易解決分數學習中常見的認知衝突。（二）測量的意涵；在學習長度測量時就能同時發展小數與分數兩種課題。因為單位的強調，測量將會是處理「部分-全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工。（三）比例的意涵：比的原理是一種平分的方式，即使學童尚未學習比例式，但是透過比的方式亦可以解題。最後透過比值的學習就可以一貫地解決比例的大部份問題。（四）「部分-全體」的意涵：「部分-全體」的概念較為抽象，且真分數（將全體當作 1）的暗示太抽象，造成國小學童學習假分數或帶分數的困擾，因此，必須透過單位的強調才能解決其認知衝突。由上述可知，教育部九年一貫課程綱要對分數的意義主要包含：「平分的意涵」、「測量的意涵」、「比例的意涵」、「部分/整體的意涵」。在名詞上，教育部與學者的論點雖然稍有出入，但其分數意義的分類上大致仍大同小異。參、兒童分數概念的發展模型 Piaget、Inhelder 和 Szeminska（1960）等人認為學童在了解「部分/ 全部」和「部分/部分」的關係時，必須經過一些階段的學習，Piaget 稱這些階段為先期基模（anticipatory scheme）。先期基模使學童能了解「部分/ 全部」和「部分/部分」的關係，用以處理分割問題，學童先學會二等分，接下來是四等分→三等分→五等分→六等分。Piaget 等人（1960）亦發現，孩童在處理長度和面積有關的分數問題時，先會處理. 1 ，然後是 2. 1 1 1 1 → → → 。為了探討兒童如何建構部份與整體的關係來形成分數的 4 3 5 6. 概念，使用連續量的具體物研究 4 歲至 7 歲兒童對面積的分割行為，研究 16.

(26) 發現，兒童的分數概念發展可分為五個階段：一、四歲到四歲半的兒童，將一物體一分為二非常困難，在分割之前沒有預想的計畫或基模（Scheme），對於不同形狀之分割，長方形比較容易，圓形次之，正方形較難。這個階段的最大特徵，是缺乏部分和全體之間的任何關係，兒童比較不會注意到他所接觸的部份是全體之中所含的元素。二、四歲到六歲的兒童，對於有規律或小範圍物體有一分為二的能力，但如果整體的大小增加了，其分一半的能力更要延緩。將物體分成相等的三部份的能力尚未發現，在分割圖形中利用長方形比較容易解決。三、六歲到七歲的兒童，能成功將物體分成相等的三等分，但是操作的瞭解還處於具體的操作層次，若以一個餅為例，在這個階段的兒童具有整體性的保留概念，因此兒童能了解到將各個分割塊數結合所得到的總量與整個餅是一樣的。表示兒童了解部分和全體之間的關係。四、十歲左右的兒童能實施六等分的分法，首先用三分法分一個餅，然後再將所分得的三塊餅每塊再用二分法分一次。 Piaget 等人（1960）的研究還發現兒童在了解分數運算之前，必須具有下列七個子概念，分別如下：一、要有一個可以除盡的全體。二、一個分數包含各部份的限定數，分配物品時各部份須與接受者相對應。三、子分割活動中，全體必須被耗盡，沒有剩餘。四、全體被切割成各部份的數與切割數之間有固定關係。五、分數的概念是指分割後的每一部份皆相等。六、兒童操作再細分的部分概念時，了解細分的部份是再細分的全體，亦可是全體的一部份。七、因為部分的總和等於全體，所以全體維持不變。甯自強（1993b）認為從兒童呼出的「分數詞」所代表的意義分析可 17.

(27) 以探究兒童的分數概念。甯自強解釋所謂「分數詞」是一種口語上的特定類型，即只是一群信號（signs）而非符號（symbols）。在不同運思階段的兒童所呼出整數詞意義是不同的；同理，兒童在不同階段的運思方式所呈現的分數詞意義也不一樣。要瞭解兒童的分數意義，必須分析兒童在有關分數的問題情境中的解題活動類型。甯自強（1993b，1997a ，1997b）和 Ning （1992）觀察學生「分數詞」的理解，分析兒童在運思層次和分割活動的不同，依據學童在不同階段的運思方式，提出兒童分數概念發展的五個階段：序列性合成運思與分數的前置概念、累進性合成運思與起始單位分數、「部份-全體」運思與加法性分數、測量運思與巢狀分數、有理數概念。說明如下：一、序列性合成運思與分數的前置概念對處於分數概念前身的學童而言，其運思活動雖然有數概念及分割的活動，但數概念只是序列性合成運思，此層次的兒童並未具有分數概念，稱為分數概念的前身。而在分割上則缺乏等分割概念，更無法對等分割後的分得量與單位量作並置比較，缺乏部分－整體的關係，因此其分數詞所指向的數學物件為「並置類型」（Juxtaposed pattern），所謂的「並置類型」是指由兩個使用子分割單位形成的集聚單位被並置所形成的物件，此時所涉及的活動多為分散的活動（即離散量）。以分數詞四分之一來說，其意義為「1 和 4」或「4 和 1」，給兒童 8 塊積木，要求取其中的四分之一， 1 4. 兒童解答不是「1 個」就是「4 個」積木。他是純由空間的感覺來指出的， 1 4. 亦即她的不是約定成俗的分數概念，此類型稱為「撕裂類型」(splitting patterns)。二、累進性合成運思與起始單位分數所謂「起始單位分數」乃是指兒童具有累進性合成運思時的內嵌數概念，換句話說就是在累進性合成運思下，分數詞的意義為「起始單位分數」 18.

(28) (initial unit fraction)。一旦兒童引入累進性合成運思於分數情境，就如同在整數情境中連結兩個整數一樣，將子分割單位構成的分子部份內嵌於子分割單位構成的分母部分，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」（embedded patterns）。以分數詞四分之一來說，是指由 1 指涉的集聚單位，內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中，即四分之一是指「4 中間的 1」。由於兒童並不是明顯的「部份-全體」關係，而是隱約（implicit）的「部份 -全體」關係，這種「部份-全體」關係可稱為部份在全體之中（part-in-whole），分子僅僅是內嵌於分母的一部分，若是將分子自分母移出則會造成全體的摧毀。此時期兒童的特徵為：無法進行單位分數的累積 1 3. 活動。若問兒童 +. 1 2 1 1 =多少，答案會是；若問和誰比較多，則會回 3 6 4 3. 1 4. 答，可見此時學童的單向「部分-全體」關係並不明確且容易產生混淆，在此刻的分子僅內嵌於分母的一部分，無法獨立於分母之外進行累積運作的單位。三、「部份-全體」運思與加法性分數在「部份 - 全體」運思下分數詞的意義為「加法性分數 (additive fraction)」，是 Ning（1992）在區分兒童不同的分數詞意義時，標示僅能以部份-全體運思同化分數情境的分數概念類型的名詞。在部份-全體運思期，具有子分割運思，此時子分割活動的結果不但成為可被集聚的計數單位，同時也是子分割單位集聚而成的集聚單位中的獨立部份單位。換句話說，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位經過部份全體運思，自集聚單位中脫嵌（disembedding）而出。子分割單位自此開始成為所謂的單位分數單位（unit fraction unit）。例如，了解四分之三是由三個四分之一所指示的單位分數單位所構成的集聚單位，且知道四分之一加四分之一等於四分之二，而不會認為是八分之二，稱為加法性分數，分子與分母間的「部份全體」關係是獨立於全體之外。「起始單位分數」與「加法性分數」兩概 19.

(29) 念的區分在於分子與分母間是否具備明顯的部份-全體關係，加法性分數的部份-全體關係僅能明顯的出現於單位分數內容為單一個物的情境中。王淑芬（2004）針對一位三年級的兒童進行教學晤談研究，發現其分數概念具有以下的特徵：分數詞表示部份在全體之中的並置關係；把單位分數視為獨立運作的單位；能進行同分母分數的合成、分解、比較。此研究的結果支持了「加法性分數」的理論描述。四、測量運思與巢狀分數此階段兒童具有雙向的部份－全體運思，與具有子分割單位數值化的分數概念。由於兒童在測量運思期能同時運思兩個分數。在測量運思下分數詞的意義為「巢狀性分數」。巢狀性分數(nestedfraction)是除了「起始單位分數或並置類型」及「加法性分數」兩種分數詞意義以外的第三種分數詞意義。在巢狀分數時，兒童具有雙向的部份－全體運思，此時學童可理解等值分數與分數的次序比較，但是因缺乏共測單位的概念，兒童只能以等分割方式來運思，而無法用共測單位來確認兩分數為等值，例如兒童以 1 2. 3 6. 等分割來確定與是等值，無法使用共測單位的「六分之一」，來比較 3 6. 1 2. 1 2. 3 6. 與是等值。因此，可將與視為同一分量的測量值，能進行通分及帶分數、假分數的互化。五、有理數概念在等比例運思下分數詞的意義為「有理數」。有理數是巢狀分數的重組，即兩個部份－全體的重組，兒童不僅具有部份－全體雙向運思下的巢狀分數，更能以分數做為測量單位，如以知二者皆是. 1 3 4 為測量單位比較與，兒童 24 6 8. 12 3 4 ，所以等於。因能理解等值分數之間的關係，因此稱為 24 6 8. 有理數。亦即能以共測單位來理解不同分數詞之間的等值或次序關係。在此運思期下知道分數間的稠密性，亦能將分數視為一「比值」。學童在此 20.

(30) 已能進行不同分母或分子的通分，並進行分數的四則運算，也能處理比值的問題。整理上述內容，將分數詞的意義依部分－全體關係，子分割活動，單位型態來分析，如下表 2-2-1：. 表2-2-2 兒童分數詞的意義. 數概念運分數詞意義與特徵思方式數的前置 1. 標準數詞序列上的一個「位置」，或是「特定的空間圖形」，概念兒童並不具備約定俗成的「數概念」性質。 2. 兒童在此階段的解題活動就是數數。 3. 兒童只能在具體活動下才能解決問題。 4. 兒童無法了解數的合成、分解以及比較等等的問題。序列性合 1. 屬於分數的前置概念成運思 2. 兒童具備數保留概念，能將合成運思由抽象的計數動作合成為一個聚單位。 3. 兒童無法將子分割單位化。 4. 兒童未具有分數概念。 5. 分數詞對兒童而言大都是指「並置類型」。「並置類型」的使用大多出現在離散量的活動。 6. 兒童沒有部分/全體的概念。累進性合 1. 屬於內嵌並置類型成運思 2. 兒童沒有子分割單位化的概念。 3. 兒童將一任意數詞（並非表示 1）所指示的量當成基礎出發點。 4. 兒童建構兩數間的關係是集合間的包含關係。 5. 兒童缺乏部份-全體運思時，無法進行單位分數的累積活動。部分-全體 1. 兒童能做同分母的合成、分解、比較問題，但是缺乏通分的概念。運思（單 2. 兒童了解單位分數的內容物為單一物，單位分數的內容則為向）多個的離散量問題。 3. 兒童可將數個「集聚單位」和數個「1」單位合而為一，並形成新的集聚單位。. 21.

(31) 測量運思 1. 兒童了解等值分數與分數次序的差異。（雙向的 2. 兒童缺乏共測單位的概念，只能用等分割的方式來運思。部分-全體 3. 兒童對於等值的理解只限於分母為倍數的關係，分母為非倍數的關係則無法了解。運思） 4. 兒童能將任何整數當作單位量且成為測量單位。比例測量 1. 屬於兩個「部分-全體」關係的重組。運思 2. 「部分-全體」關係的運思數概念是雙向關係。 3. 兒童了解分數間的稠密性，且知道為比值意義。 4. 兒童能掌握兩集聚單位的關係為運思的起點。. 由以上文獻可知，可發現學童在分數概念的發展歷程是循序漸進，上個階段的概念建立是開啟下階段學習的起點。學童在分數的前置概念，缺乏等分割與將等分割後的分量與單位量作並置比較的能力；學童必須具備起始單位分數，才能進行等分割活動，並將等分割後所得的分量與單位量作並置比較，但此時並不具有單向「部分-全體」運思能力，對於分量與單位量關係的掌握不明確。若學童發展加法性分數概念後，才能掌握分量與單位量的關係，但只有單向的「部分-全體」運思。若發展至巢狀分數，則具有透過等分割方式運思的等值分數概念。當學童具備有理數概念時，就可將共測單位進行不同分母兩分數的比較並理解其等值分數或次序關係。若兒童在分數的概念能掌握單位量之間的關係，那麼兒童就具備加法性分數的概念－同分母相加減，當兒童能掌握通分的概念，並以此概念來進行解題時，則具備了巢狀分數的概念－異分母(兩分母互為倍數關係)相加減，當兒童掌握分數共測單位，理解不同分數詞間的等值或次序關係，則具備了有理數的概念－異分母（兩分母不互為倍數關係）相加減，此時的兒童在分數的加減法上，較能理解且應用在題目上。. 第三節分數教材分析國民中小學課程標準歷經八十二年版的新課程改革後，教材開始重視數學問題之理解，不論教材或教法都有了重大的變革。教育部自 2003 年 22.

(32) 開始積極實施九年一貫之課程改革，主張應以學生為主體，以生活經驗為重心。在國民中小學九年一貫課程綱要（教育部，2003）裡，數學學習領域被區分為四個階段，國小五年級屬於第二階段，而分數則歸屬於數學內容五大主題之「數與量」的部分。數學學習領域的分年細目中，2-n-07、 2-n-10、3-n-09、4-n-06、4-n-07、4-n-08、5-n-05、5-n-06、5-n-07、5-n-11、 6-n-03、6-n-05，皆是關於分數概念的能力指標之分年細目，在小學數與量三個階段的能力指標中，有關分數的主題也佔了相當的比例，尤其隨著年級越高所佔的比例也越高，顯示在九年一貫課程數學學習領域之中，分數在國小的數學教學上的重要性。分數的啟蒙在二年級，學習重點在於建立等分概念、認識單位分數和單位分數的小大比較，認識的層面涵蓋分數表徵的說、讀、聽、寫和做，並能在各種表徵間的轉換。三年級時，延伸二年級的基礎，分別透過連續量及離散量的情境，引入分數詞序列，來描述逐次累積單位分數的合成結果，並能進行同分母分數的大小比較，以奠定以後進行分數加減運算的基礎。四年級開始認識真分數、假分數與帶分數，並學習假分數與帶分數的互換，以及同分母分數的計算。五年級在測量情境中，學會分數中整數相除的意義，並能作簡單異分母分數的加減。六年級則是綜合二至五年級所學，運用進行分數的兩步驟四則混合計算。教師在課堂上教授學童分數概念之前，應先瞭解九年一貫數學課程正式綱要裡的分數能力指標，藉此瞭解學童在學習分數的教材內容。研究者針對 2007 年的九年一貫課程綱要（教育部，2007）分析分數教材之內容，依國小各階段、各年級、分年細目指標、能力指標進行整理成下表 2-3-1。. 23.

(33) 表 2-3-1 分數教材之分析階年分年細目能力指標段級一二 2-n-07 能在具體情境中，進 N-1-05 能在具體情境中，進行分裝與行分裝與平分的活動。平分的活動。二三. 四. 三五. 六. 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-2-09 能在具體情境中，初步認識分數。 N-2-10 能認識真分數、假分數與帶分 4-n-08 能認識真分數、假分數，做同分母分數的比較、加減與整數與帶分數，熟練假分數與數倍計算，並解決生活中的問題。帶分數的互換，並進行同分 N-2-11 能理解分數之「整數相除」的母分數的比較、加、減與整意涵。 N-2-12 能認識等值分數，並做簡單數倍計算。 4-n-09 能認識等值分數，進的應用。行簡單異分母分數的比較， N-2-16 能在數線上標記小數，並透過並用來做簡單分數與小數的等值分數，標記簡單的分數。互換。 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上。 5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 5-n-07 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。 6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。 6-n-04 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的問題。 6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。 6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 24. N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。 N-3-06 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-3-07 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-3-09 能理解分數(含小數)乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-10 能理解分數(含小數)除法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-3-15 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。 A-3-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。.

(34) 本研究目的在於量測學童的分數加減法概念，在現今國小數學的教材中，分數加減法單元出現在五年級，五年級學童數概念發展的運思期要由「部份-全體運思」進入「測量運思」的階段，也就是由只掌握單向的「部份-全體」關係轉變成能掌握兩階層的「部份-全體」關係；表現在分數詞上則是由「加法性分數」進到「巢狀分數」的一個階段，綜合上述有關於九年一貫之分數能力指標，及甯自強（1993b，1997a，1997b）分數概念層次，發現教育部所設計的九年一貫國小分數課程，在六年級階段已進入有理數概念的層次。而本研究中的五年級學童則可能具備「加法性分數」或「巢狀分數」數概念，但尚未理解「有理數數概念」。. 第四節分數概念與異分母分數運算錯誤類型相關研究壹、學童分數概念相關研究由許多學者對兒童分數概念的相關研究可以發現，大致分為兩種：一種是所謂的錯誤類型或迷思概念的描述。另一種則是針對少數學生做晤談，再描述其分數概念的特質。Behr和Post （1988）研究國小四年級學童等值分數概念，利用分數板、折紙等教分數概念，利用數線教等價分數，操作教具來比較分數的大小，並教分數的加、乘運算。對幼稚園到國小二年級學童的研究中發現：將一圖形切成數等分或將一個集合分成數個相等的子集合是分割概念是理解分數的基礎和技能。Kieren（1983）在國際數學教育會議中指出：分割機制在學習分數概念中的地位如同數數對於數概念的發展一樣重要。由以上的研究可知，如果數學知識是來自於具體活動的抽象，要研究兒童的分數知識的起源，具體的分割經驗的研究是相當有意義的。林碧珍（1990）以圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學童的分數概念，並分析學童的思考方式、解題策略及錯誤類型，研究發現：一、五、六年級學童在將分數的圖形表徵轉換到分數的符號表徵的表現 25.

(35) 上，「將數線上的點表示成分數」的表現最差；但學生對於「將分數在數線上標點」則有較優的表現。二、五、六年級學童在「部份-全體」、「子集合-集合」與比值的模式上；真分數圖形比假分數圖形容易，在數線模式則以假分數型態比真分數型態容易。顯示不同的表徵轉換，學生的思考亦有不同。因此，教師可以藉由觀察學生在不同表徵間轉換的表現，瞭解學生的分數概念。三、部分五、六年級學童將數線的分數問題看成是「部分-全體」的分數問題，卻沒注意單位的標示。當數線為一個單位長時，處理數線的分數問題與處理「部分-全體」的分數問題類似。但當數線非一個單位長時，將數線看成「部分-全體」的問題來處理就會產生錯誤。因此學童在數線問題上，「一個單位長」的與「不是一個單位長」的成就有很大的差異性。關於此現象，呂玉琴（1991a，1991b，1993）有類似的研究報告，研究均指出學童對分數的學習明顯仰賴反覆記憶的方式，因此，較缺乏有意義的分數概念。學童分數概念常見的錯誤類型有：一、不瞭解處理「部分/全部」的分數問題時各部分均需等分。二、將同樣大小的連續量分成兩份，但兩份不一樣大小。三、將同樣大小的離散量分成兩份，但兩份個數不一樣多。不同大小的離散量卻分成個數相同的兩份，但總量不一樣多。四、指認單位量有困難。五、在處理比較分數的大小及等值分數時，受自然數的影響而產生根據分子或分母的大小來比較、將分母、分子同加一數來比較或分別比較二分數的分子、分母等策略。 Mack（1995）對國小三、四年級學童進行個別教學實驗，探討學童的分數意義，研究發現：一、學童建構分數符號表徵的意義時，常常會受到整數符號的過分概括， 26.

(36) 並亦常將分數符號意義過分概括至整數。二、學童具有分數的非正式知識，但與分數符號知識無法連結。學童在遇到無法處理的分數問題時，會改變單位量或是分解單位量，且傾向於自我假設在同一情境中出現的分數皆具有相同的單位量，使問題簡化到自己能夠處理。林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）對國小二年級學童進行個別晤談與教學實驗，研究發現：一、90%以上的學童已具備的先備知識有數數、將偶數個離散物二等份、使用一半、公平、平分等語詞的生活經驗。二、約90%的學生能操作連續量實物的二、三、四等分與離散量實物的二、三、四等分及五等分。三、能以二分之一、四分之一描述連續量分配的結果，但是，奇數個連續物用二分之一表達結果仍有困難。陳靜姿（1997，1999）研究國小四年級學童的等值分數概念，利用紙筆測驗及訪談來探討，研究發現該學童屬於部份－全體運思階段，分數概念是加法性分數，且具有下列幾項性質：幾分之幾可當作一個分量；分數可以是分數單位；將分數當成函數關係時分母代表將一個整體分割成幾份；分裂量與分裂數成反比；將分子、分母比出數值大小，再將較大的數除以較小的數所得的商來代表分數值。李端明（1997）透過教學晤談法研究一個國小四年級學童，探討學童的分數概念及其解題類型，結果發現該名學童的分數概念也是加法性分數概念，具有以下的性質：以分數詞表示兩量的並置關係、可運思的子分割活動、確定分數詞的算子意義、具單向的「部份-全體」關係，但缺乏雙向的「部份-全體」關係及缺乏共測單位與分數的密度概念。彭海燕（1998）針對國小四到六年級學童等值分數概念的表現利用紙筆測驗及訪談來探討，研究發現學童等值分數概念的表現，先後發展次序如下：會做分割個數與分母相等的題目；了解分母是分割個數的倍數或因 27.

(37) 數之等值分數；能在圖形上自行增加分割線或忽視分割線或把個數合併成一個來說明擴分的概念；具備單位形成與組合能力；具備運作思考能力，可以不受干擾而判斷等積異形的相等關係；最後具備想像與忽視分割線的彈性思考能力，了解分割線與分母之間非直接倍數關係的等值分數問題。游政雄（2002）以紙筆測驗、個別訪談，研究台灣北部地區國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等量及等值分數等子概念的表現情形，結果發現：一、普遍運用整數知識來處理分數問題，將分子、分母視為獨立的二個數。二、判斷是否等分問題時，只注意到被等分割的數量，卻忽略等分割後的每一塊是否相等。三、連續量情境問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形。四、一半的語言敘述問題比二分之一的符號問題簡單。五、面對餘量再分的問題時會自行增加或減少內容物。劉世能（2002）針對台灣北部地區國小高年級學童的等值分數概念研究，結果發現學童有四種錯誤類型：一、依分母的大小來比較分數。二、依分子的大小來比較分數，三、將分母、分子同加成一數來比較分數大小，四、分別比較兩個數的分子、分母。王淑芬（2004）透過教學晤談法研究一個國小三年級學童，結果發現該名學童的分數概念是加法性分數概念，並具有以下的性質：子分割活動已達可運思階段、單向的部份-全體運思、單位分數是可計數的、單位分數內容物如果是複數個易發生單位量混淆的問題，對等關係是加法性的，其中亦描述了此階段學童分數詞使用的狀況。目前國民小學的分數教學，是由分東西的經驗帶入，經由生活中“一半＂的語言，連結學童對二分之一的概念，再帶入分數符號。詹婉華，呂 28.

(38) 玉琴（2004）研究顯示學童的生活經驗無法與分數符號產生連結，以筆測試題為研究工具，多階段抽樣抽取台灣地區國小高年級學童共2612人，經共同因素分析檢驗「國小高年級分數概念量表」包含三個分數子概念：等分概念、單位量概念、等值分數概念。研究發現，「國小高年級分數概念量表」具有不錯之信、效度。洪素敏（2004）針對國小五年級學童以紙筆測驗進行測驗，發現學童分數的迷思概念有：不知道分數的意義、單位量不同但分數相同，學童也視為等值、未把分數看成一個數值，而是把分子和分母做個別的考慮。進一步從訪談中篩選出12位參加補救教學活動的學童，發現參加補救教學活動的學童具有下列七項分數迷思概念：一、對分數詞意義的不瞭解。二、比較大小時忽略單位量要一致。三、受單一圖形表徵的限制。四、對分數的大小缺乏數字常識。五、以整數的運算類推分數的加法。六、等值分數的求法和分數的乘法混淆。七、無法將分數視為數線上的一個數值。 Ni和Zhou（2005）認為學童在學習分數概念時，會因為與學習整數的舊經驗產生衝突而導致學習困難，因此在學習分數概念的過程中，學童必須了解分數符號的意義以及分數與整數之間的差異。在不同分數概念（「部份-全體」的圖示、文字、數線、整體量概念、等值分數與分數加減）的表現上，研究顯示學生在「部份-全體」圖示題」、「整體量概念題」、「等值分數題」及「分數加減題」的解題表現顯著優於「部份-全體」文字題」及「數線題」（何森曜2005）。莊大慶（2007）針對國小高年級學童的等值分數概念進行研究，採用紙筆測驗，研究發現： 29.

(39) 一、五年級未學過擴、約分的學童，在作答表現上以分數單位概念的試題最容易，其次是「部分-全體」關係的試題，最難的部份是尋找共測單位的試題。二、已學過擴、約分的學童在作答表現上，以尋找共測單位的試題最容易、其次是分數單位概念的試題，最難的是「部分-全體」關係的試題。三、六年級已學過通分的學童，在答題表現上，以尋找共測單位的試題最容易、其次是分數單位概念的試題，最難的是分數的兩階層部分/全體關係試題。顏淑如、易正明與林原宏（2007）針對 75 位國小六年級學童在分數學習（等分概念、「部份/全體」概念、不同分數間的轉換等三個概念）上的知識結構進行分析，發現學童學習分數的核心概念是「等分概念」，且分數概念的發展順序依序為：「等分概念」、「部分-全體」概念、「不同分數間的轉換」。李彥典（2008）對國小四年級分數概念進行研究，發現：「等值分數概念」的百分比最低，「單位量概念」次之，「等分概念」的百分比最高，由此可知，國小四年級學童分數概念的基礎概念是「等分概念」，而「等值分數概念」及「單位量概念」則普遍有學習上的困難。導致學童分數運算錯誤的原因之一，與學童分數概念不清楚有關，林天麒（2009）列出學童在分數概念上常常犯錯的類型：一、單位量指認錯誤二、缺乏部分與全部的概念三、視分數中的分子與分母為兩個獨立不相關的個體四、缺乏等分概念五、缺乏等值分數的概念六、誤認為「等分」是除了面積相等外，形狀也必須相同七、缺乏「整數相除可以用分數來表示」的概念 30.

(40) 八、缺乏「分數是一個比值」的概念由文獻可知學童在連續量或離散量的情境，皆有單位量指認的困難，有時會忽略給定的單位量，或是因分子、分母的因素而改變單位量。在未給定單位量的分數相關問題，學童也會只依造題目所給定的其他分數符號來比較，卻未思考到單位量的問題。貳、學童在異分母分數加減運算錯誤類型之相關研究 Tatsuoka（1984）研究指出學生在分數加減法概念的試題中，每個階層都有學生存在迷思概念，即使是高分組的學生也會產生基本概念的錯誤。Tatsuoka（1987）針對分數加法進行工作分析（task analysis），利用電腦偵錯程式，分析出學生所犯的錯誤規則，發現學生在分數運算的所有錯誤算則反應中，學生使用一致性錯誤算則的比率相當高。湯錦雲（2002）探討錯誤類型形成的原因，採紙筆測驗與晤談二種方式，針對422位學童進行紙筆測驗，以調查學童在分數運算的錯誤情形。經由筆紙測驗的結果整理、歸納出學童的錯誤類型有：缺乏部份與全部概念、等分概念、認為分數不是一個數而是數線上的一點、缺乏分數是整數相除的結果或比值的概念。再從中抽取具有代表性錯誤的學童進行晤談，已更深入了解學童解題的想法與策略。最後綜合測驗與晤談的資料歸納出造成學童錯誤類型的原因為：不了解題意、過份依賴連續量的部份-全體模式、數線上的點和線段長的概念混淆、把整數類推致分數概念等。許天維和易正明（2001）對國小二至五年級學童進行個別晤談探討國小學生的分數運算概念，發現學童多半將分數運算符號錯誤運用或不正確地解釋運算式中數字的意義。龐嘉芬（2001）研究發現國小高年級學童在分數概念及數學能力表現並不一致，尤其以異分母分數加減的估算能力表現較不理想。黃國榮（2003）針對國小六年級學生進行分數減法概念之研究，得到下列結果： 31.