隸屬於四個類別各集群學童知識結構之異同

依據兩次施測學童於整數加減法文字題改變、合併、比較以及等化四個類別 中所隸屬的模糊集群，分別以POT 軟體，取閾值ε =.16，進行知識結構分析，以 探討在四個類別隸屬於不同模糊集群之學童，其在該類別之序性係數和關係矩陣 (分別如附錄九、十、十一及附錄十二所示) ，及其知識結構之異同。

一、根據改變類次序性係數和關係矩陣，可得其精熟次序階層結構圖，配合各群 學童在各類型之平均數，繪製圖4-15，並將結果分述如下：

（一）隸屬於改變類第一群及第二群學童之精熟次序階層結構，在第一年和第 二年均分別為3 個和 1 個階層。

（二）兩次施測分別隸屬於改變類各群之學童，其在改變類精熟次序階層結構 之階層數、各階層類型數和各階層的類型內容並不相同。

（三）兩次施測分別隸屬於改變類第二群學童之精熟次序階層結構完全相同。

（四）第一年隸屬於改變類第一群 (部分精熟群) 學童之精熟次序階層結構，

分述如下：

1、類型 5 (改變拿走型改變量未知) 為類型 4 (改變添加型起始量未知) 、類 型11 (改變拿走型起始量未知) 和類型 14 (改變拿走型結果量未知) 之前 置關係；類型8 (改變添加型結果量未知) 為類型 4 (改變添加型起始量未 知) 和類型 11 (改變拿走型起始量未知) 之前置關係；而類型 4 (改變添加 型起始量未知) 、類型 11 (改變拿走型起始量未知) 和類型 14 (改變拿走 型結果量未知) 均為類型 20 (改變添加型改變量未知) 之前置關係。

2、類型 5 (改變拿走型改變量未知) 和類型 8 (改變添加型結果量未知) 為第 1 階層類型，位於所有類型最下層，此兩種類型為此群學童之基礎類型；

而類型20 (改變添加型改變量未知) 為第 3 階層類型，位於所有類型之最 上層，為此群學童最不易精熟之類型。

（五）第二年隸屬於改變類第一群 (部分精熟群) 學童之精熟次序階層結構，

分述如下：

1、類型 5 (改變拿走型改變量未知) 為類型 8 (改變添加型結果量未知) 和類 型11 (改變拿走型起始量未知) 之前置關係；類型 8 (改變添加型結果量未 知) 、類型 11 (改變拿走型起始量未知) 和類型 14 (改變拿走型結果量未 知) 均為類型 4 (改變添加型起始量未知) 和類型 20 (改變添加型改變量 未知) 之前置關係。

2、類型 5 (改變拿走型改變量未知) 和類型 14 (改變拿走型結果量未知) 為第 1 階層類型，位於所有類型最下層，此兩種類型為此群學童之基礎類型；

類型 4 (改變添加型起始量未知) 和類型 20 (改變添加型改變量未知) 為

第3 階層類型，位於所有類型之最上層，此兩種類型其最不易精熟的類型。

（六）配合表4-9、4-13 和表 4-17 可知：

1、第一年隸屬於改變類第一群 (部分精熟群) 之學童，其在第二年被分在 第一群之學童最多。對這些學童而言，兩年施測其精熟次序階層結構均 分為3個階層，且第一年學童以類型5 (改變拿走型改變量未知) 和類型8 (改變添加型結果量未知) 最精熟 (平均數均達1.52以上) ，對類型20 (改 變添加型改變量未知) 最不精熟 (平均數為.29) ；而第二年學童以類型 5 (改變拿走型改變量未知) 和類型14 (改變拿走型結果量未知) 最精熟 (平均數均達1.66以上) ，對類型4 (改變添加型起始量未知) 和類型20 (改變添加型改變量未知) 最不精熟 (平均數在.69以下) 。其中類型8 (改 變添加型結果量未知) 雖由第1 階層變成第2階層，但其平均數由1.52提 升到1.66，顯示，這些學童在此類型並無退步；而類型4 (改變添加型起 始量未知) 由第2 階層變成第3階層，其平均數由.75滑落至.69，顯示這 些學童在此類型出現退步現象，面對此特殊現象值得進ㄧ步探究。

2、第一年隸屬於改變類第二群 (精熟群) 之學童，其在第二年被分在第二 群之學童最多。這些學童亦是改變類兩年施測各集群人數列聯表中人數 最多的ㄧ群。對這些學童而言，兩次施測改變類6個文字題類型均屬於 第1階層，平均數均達1.74以上，顯示此群學童在改變類各類型均達精 熟，且其在改變類各類型之平均數，第二年均高於第一年。即以第一年 在改變類各類型文字題已達精熟，且經過一年的學習與成長，在改變類 各類型的精熟度持續成長之學童人數最多。

3、在改變類以第一年隸屬於第二群，且在第二年隸屬於第一群的學童最 少。對這些學童而言，第一年所有改變類類型均屬於第1 階層，平均數 均達 1.74 以上，這些學童於改變類各類型均達精熟；第二年其精熟次 序階層結構有所變化，階層數由 1 層增加為 3 層，且其在改變類各類型 的平均數均下滑 (平均數均在 1.67 以下) ，推測此現象概由學童在學習 這些類型時依樣畫葫蘆學會了，並沒有內化到自己的知識結構中。

第一年施測 第二年施測

第 一 群

.29 (第3 階層)

.75~1.29 (第2 階層)

1.52~1.59 (第 1 階層)

.37~.69 (第3 階層)

1.53~1.66 (第2 階層)

1.66~1.67 (第 1 階層) 第

二 群

1.74~1.92 (第 1 階層)

1.86~1.96 (第 1 階層) 圖4- 15 兩次施測在改變類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數 註：類型4 為改變添加型起始量未知；類型 5 為改變拿走型改變量未知；

類型 8 為改變添加型結果量未知；類型 11 為改變拿走型起始量未知；

類型 14 為改變拿走型結果量未知；類型 20 為改變添加型改變量未知。

二、根據合併類次序性係數和次序性關係矩陣，可得其精熟次序階層結構圖，配 合各群學童在各類型之平均數，繪製圖4-16，並將結果分述如下：

（一）第一年隸屬於合併類第一、第二、第三和第四群學童，且在第二年隸屬 於合併類第二、第三和第四群學童之精熟次序階層結構均分為 2 個階 層；而第一年隸屬於合併類第五群 (精熟群) 學童，及第二年隸屬於第 一群 (未精熟群) 和第五群 (精熟群) 學童之精熟次序階層結構，則只有 1 個階層。

（二）兩次施測分別隸屬於合併類不同集群之學童，其在合併類精熟次序階層 結構之階層數、各階層類型數和各階層類型內容並不盡相同。

（三）第一年隸屬於合併類第一群 (部分量精熟群) 和第二群 (未精熟群) ，及 第二年隸屬於合併類第二群 (部分量精熟群) 之學童，其精熟次序階層 結構完全相同，特徵如下：

1、類型 13 (合併類部分量未知) 為類型 10 (合併類全體量未知) 之前置關係。

2、隸屬於此 3 群之學童，以類型 13 (合併類部分量未知) 為第 1 階層類型，

位於所有類型最下層，為其基礎類型；而類型10 (合併類全體量未知) 為 第2 階層類型，位於所有類型之最上層，為其最不易精熟之類型。

3、雖然第一年隸屬於第一群和第二群，及第二年隸屬於第二群之學童，其精 熟次序階層結構完全相同，但第一年隸屬於第一群及第二年隸屬於第二群 之學童，其在類型 13 (合併型部分量未知) 之平均數分別為 2.00 和 1.84，

表示此兩群學童對於類型13 (合併類部分量未知) 已達精熟；而第一年隸 屬於第二群的學童在類型13 (合併類部分量未知) 的平均數只有.21，對此 群學童而言，此類型雖為其基礎類型，但是此群學童於此類型仍未達精熟。

（四）第一年隸屬於合併類第三群 (退位錯誤群) 和第四群，及第二年隸屬於 合併類第三群 (全體量精熟群) 和第四群之學童，其精熟次序階層結構 完全相同，特徵如下：

1、類型10 (合併類全體量未知) 為類型13 (合併類部分量未知) 之前置關係。

2、隸屬於此4群之學童，以類型10 (合併類全體量未知) 為最下層類型，即為 此4群學童之基礎類型；而類型13 (合併類部分量未知) 為第2階層類型，

位於所有類型最上層，即為此4群學童最不易精熟之類型。

3、雖然第一年隸屬於第三群和第四群，及第二年隸屬於第三群和第四群之學 童，其精熟次序階層結構完全相同，但第一年隸屬於第三群及第二年隸屬 於第四群之學童，在類型13 (合併類部分量未知) 的平均數均為1.00；而第 一年隸屬於第四群及在第二年隸屬於第三群之學童，在類型13 (合併類部 分量未知) 的平均數均為.00，顯示類型13 (合併類部分量未知) 雖同為該 群學童之上位類型，但是同次施測分別隸屬於第三群和第四群的學童，於 此類型的精熟度有大不相同。

（五）第一年隸屬於合併類第五群 (精熟群) ，及第二年隸屬於合併類第一群 (未精熟群) 和第五群 (精熟群) 之學童，其精熟次序階層結構特徵如下：

1、隸屬於此 3 群之學童，其精熟次序階層結構完全相同，且均只有 1 個階層。

2、但第一年隸屬於第五群 (精熟群) 及第二年隸屬於第五群 (精熟群) 之學 童，其類型10 (合併類全體量未知) 和類型 13 (合併類部分量未知) 的平

均數均為2.00，表示此 2 群學童在合併類各類型均達精熟；而第二年隸屬 於第一群之學童，其在類型10 (合併類全體量未知) 和類型 13 (合併類部 分量未知) 之平均數均為.00，顯示此群學童在合併類各類型均未達精熟。

（六）配合表4-10、4-14 及表 4-18 可知：

1、第一年隸屬於合併類第一群 (部分量精熟群) 之學童，其在第二年被分在 第五群之學童最多。對這些學童而言，第一年和第二年施測其精熟次序階 層結構，分別為2 個和 1 個階層。第一年這些學童在類型 10 (合併類全體 量未知) 未達精熟 (平均數為.06) ，在類型 13 (合併類部分量未知) 已達 精熟 (平均數為 2.00) ；第二年這些學童在合併類各類型均達精熟 (其平 均數均為2.00) 。

2、第一年隸屬於合併類第二群 (未精熟群) 之學童，其在第二年被分在第五 群 (精熟群) 之學童最多。對這些學童而言，第一年和第二年其精熟次序 階層結構，分別為2 個和 1 個階層。第一年這些學童在類型 10 (合併類全 體量未知) 未達精熟 (平均數為.12) ，在類型 13 (合併類部分量未知) 已 達精熟 (平均數為 2.00) ；第二年這些學童在合併類各類型均達精熟 (平 均數均為2.00) 。

3、第一年隸屬於合併類第三群 (退位錯誤群) 之學童，其在第二年被分在第 五群 (精熟群) 之學童最多。對這些學童而言，第一年和第二年其精熟次 序階層結構，分別為2 個和 1 個階層。第一年這些學童在合併類各類型均 達精熟，但因一次退位計算未精熟，故在類型13 (合併類部分量未知) 平 均數為 1.00 ；第二年這些學童在合併類各類型均達精熟，且一次退位計 算達精熟。

4、第一年隸屬於合併類第四群 (全體量精熟群) 之學童，其在第二年被分在 第五群 (精熟群) 之學童最多。對這些學童而言，第一年和第二年其精熟 次序階層結構，分別為2 個和 1 個階層。第一年這些學童在類型 10 (合併 類全體量未知) 已達精熟 (平均數為 2.00) ，在類型 13 (合併類部分量未 知) 未達精熟 (平均數為.00) ；第二年這些學童在合併類各類型均達精熟

(平均數均為 2.00) 。

5、第一年隸屬於合併類第五群 (精熟群) 之學童，其在第二年被分在第五群 (精熟群) 之學童最多，這些學童亦是合併類兩年施測各集群人數列聯表 中人數最多的ㄧ群。對這些學童而言，兩次施測合併類2 個類型均屬於第 1 階層，平均數高達 2.00，即這些學童在合併類各類型均達精熟。也就是 說，以第一年和第二年施測，在合併類2 個文字題類型均達精熟之學童占 了最多數。

6、第一年隸屬於第五群 (精熟群) ，且在第二年隸屬於第一群 (未精熟群) 的 學童最少，僅有1 人。對該學童而言，兩次施測所有合併類類型均屬於第 1 階層，但是此學童第一年在合併類 2 個類型之平均數均高達 2.00，而第 二年在此 2 個類型之平均數均滑落至.00，造成該學童此特殊現象之原 因，值得進一步探究。

第一年施測 第二年施測

第 一 群

.06 (第 2 階層)

2.00 (第 1 階層)

.00 (第 1 階層)

第 二 群

.12(第 2 階層)

.21 (第 1 階層)

.14 (第 2 階層)

1.84 (第 1 階層)

第 三 群

1.00 (第 2 階層)

1.97 (第 1 階層)

.00 (第 2 階層)

1.91 (第 1 階層)

第 四 群

.00 (第 2 階層)

2.00 (第 1 階層)

1.00 (第 2 階層)

1.95 (第1階層) 第

五 群

2.00 (第 1 階層) 2.00 (第 1 階層)

圖4- 16 兩次施測在合併類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數 註：類型10 為合併類全體量未知；類型 13 為合併類部分量未知。

三、根據比較類次序性係數和次序性關係矩陣，可得其精熟次序階層結構圖，配

三、根據比較類次序性係數和次序性關係矩陣，可得其精熟次序階層結構圖，配