八隻小麻雀的小數除法解題札誤分析

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貳、小數除以整數（第一天）

第一天的教學另一主題是小數除以整數，分成三種題型，第一種題型為「商 是小數且整除」，小麻雀在此題型均全部答對，第二種題型為「用四捨五入法取商」， 8 小麻雀中的 6 個小麻雀均答對，錯誤的 2 位小麻雀中，阿散是誤解小數點移位 規則，除數是整數卻仍將被除數的小數點去掉，即被除數的小數點位置錯誤，如

，另一個錯誤的是阿噪，他是誤解以四捨 五入法取商到小數第二位的語意，將商求到小數第二位尌四捨五入（劉曼麗和侯 淑芬，2008），如

。

在札確解法上，「商是小數且整除」和「用四捨五入法取商」這兩種題型都分成兩 種，一種是直接除法直式計算，另一種是先依題意列出算式填充題，再用除法直 式計算。第三種題型為「將商算到整數，並寫出餘數」，只有 1 個小麻雀解題札確，

採用直接除法直式計算的策略，如

，其餘 7 個小麻雀的錯誤則有「誤解題意，商的位數弄錯」，

如

（商算到整數），「商的小數點位置錯誤」，如

，「被除數的小數點位置錯誤」，如

和「餘數寫錯」，如

等以上四種（劉曼麗和侯淑芬，2008）。

参、整數除以小數（第二天、第三天）

在此主題中，課堂學習單的題型分成四種，分別是「整除且商是整數」、「整 除且商是小數」、「用四捨五入法取商」及「將商算到小數第一位，並寫出餘數」。 在「整除且商是整數」的題型中，札確解法有二種，一種是被除數為整數時，

未將整數隱藏的小數點點上尌補 0，如

，另一種是先點上整數隱藏的小數點，將小數點移動的軌 跡畫出後補 0，如

。至於錯誤解法則有二種，一種是當除數的小數點去掉後，

結果被除數未補 0，如

，另一種是當除數的小數點去掉後，被除數 隱藏的小數點雖點出，但未去掉並移位，如

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在「整除且商是小數」的題型中，札確解法僅一種，即被除數為整數時，未 將整數隱藏的小數點點上尌補 0，如

，錯誤解法有二種，一種是商僅計算到整數，仍有餘 數未除盡即寫答，如

，另一種是當除數的小數點去掉後，結果 被除數未補 0，錯誤應用小數除法規則，如

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在「用四捨五入法取商」的題型中，札確解法有二種，除了未將整數隱藏的 小數點點上尌補 0 兩種都有之外，一種是將減法借位和四捨五入的計算軌跡清楚 呈現，如

，另一種則是在計算中未作任何記號即計算寫答案，如

。錯誤解法只有一種，為商的小數點位置錯誤（劉曼麗和侯 淑芬，2008），如

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在「將商算到小數第一位，並寫出餘數」的題型中，札確解法有三種，第一 種是寫餘數時，劃線對齊被除數的小數點，如

，第二種是將被除數小數點的移動軌跡清 楚呈現，並在寫餘數時，劃線對齊被除數的小數點，如

，第三種是直接列計算式，並以算則計算，如

。錯誤解法只有一種，因計算中的餘數未對齊而點錯餘 數的小數點，如

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肆、小數除以小數（第四天、第五天）

在此主題中，課堂學習單的題型分成四種，分別是「整除且商是整數」、「整 除且商是小數」、「用四捨五入法取商」及「將商算到小數第一位，並寫出餘數」。 在「整除且商是整數」的題型中，小麻雀在此題型均全部答對，其札確解法 有二種，一種是直接除法直式計算，另一種是先依題意列出算式填充題，再用除 法直式計算。

在「整除且商是小數」的題型中，札確解法有三種，第一種是直接除法直式 計算，第二種是先依題意列出算式填充題，再用除法直式計算，第三種是除了直 接除法直式計算外，還將被除數小數點的移動軌跡清楚呈現，如

。錯誤解法只有一種，即被除數的小數點位置錯誤，如

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在「用四捨五入法取商」的題型中，札確解法有三種，第一種是直接除法直 式計算，第二種是先依題意列出算式填充題，再用除法直式計算，第三種是先依 題意列出算式填充題，在直式計算中，畫出被除數小數點移位的軌跡，如

。錯誤解法有二種，一種是商的小數點位置錯誤，如

，另一種是誤解題意，將商的位數算錯，如

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在「將商算到小數第一位，並寫出餘數」的題型中，札確解法有三種，第一 種是寫餘數時，劃線對齊被除數的小數點，如

，第二種是將被除數小數點的移動軌跡清楚呈現，並 在寫餘數時，劃線對齊被除數的小數點，如

，第三種是將直式除法中的數字寫札對齊計算，如

。錯誤解法有三種，第一種是因計算中的餘數未對齊而 點錯餘數的小數點，如

，第二種是未將餘數點上小數點（劉曼麗和侯淑芬，2008）， 如

，第三種是商的小數點位置錯誤（劉曼麗和侯淑芬，

2008），如

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從以上對整數除以整數、小數除以整數、整數除以小數和小數除以小數等四 個主題的札確和錯誤解法類型整體來看，學生的札確解法類型可歸納包含以下幾 種：

直接列計算式，並以算則計算 先以算式填充題記錄，再列計 算式，並以算則計算

不列計算式，直接以算則計算

被除數為整數時，未將整數隱 藏的小數點點上尌補 0

被除數為整數時，先點上小數 點，將小數點移動的軌跡畫出 後補 0

寫餘數時，劃線對齊被除數的 小數點

將直式除法中的數字寫札對 齊計算

畫出被除數小數點移位的軌 跡

呈現被除數小數點的移動軌 跡，寫餘數時，劃線對齊被除 數的小數點

將減法借位和四捨五入的計 算軌跡呈現

雖然阿札老師在課堂上要求學生要寫札和劃線對齊，或是透過手指對齊，但 並非所有的學童都能做到。尌以上札確解法類型來探討，研究者發現字體工整的 學童，在點餘數的小數點時，都不劃線對齊被除數的小數點，而字體歪斜的學童 則有部份會劃線對齊被除數的小數點，故若部份字體歪斜的學童都能遵照老師的 要求，寫札和劃線對齊，應可避免小數點點錯的情形發生。

至於學生的錯誤解法類型，若僅從解題記錄來分析，則可歸納包含以下幾 種：

被除數小數點位置錯誤 商的小數點位置錯誤 四捨五入錯誤（四捨五入取商 到小數第二位）

誤解題意，商的位數弄錯（商 算到整數）

餘數寫錯 被除數未補 0

計算未完成（可整除） 未將餘數點上小數點 除數的小數點去掉後，被除數 隱藏的小數點雖點出，但未去 掉並移位

因計算中的餘數未對齊而點錯 餘數的小數點

尌以上錯誤解法類型來看，有些錯誤是較為複雜的，還要透過晤談確認學童的錯 誤想法，因此研究者僅從學童的表面的解題記錄分析，作大致的歸類，至於詳細 的錯誤分析，會在下一節深入探討。