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國立中山大學教育研究所 博士論文

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國立中山大學教育研究所 博士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Doctorate Dissertation

建構有效的國小六年級小數除法補救教學模式 之行動研究

Constructing an Effective Model of Math Remedial Instruction of Decimal Division of Sixth Grade in Elementary School

by Taking Action Research

研究生:鄭寰文

Huan Wen Cheng 指導教授:梁淑坤博士

Dr. Shuk-kwan S. Leung

中華术國 105年1月

January 2016

國 立 中 山 大 學 教 育 研 究 所 博 士 論 文

論 建 構 有 效 的 國 小 六 年 級 小 數 除 法 補 救 教 學 模 式 之 行 動 研 究 研 究 生

: 鄭 寰 文 104 學

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國立中山大學教育研究所 博士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Doctorate Dissertation

建構有效的國小六年級小數除法補救教學模式 之行動研究

Constructing an Effective Model of Math Remedial Instruction of Decimal Division of Sixth Grade in Elementary School

by Taking Action Research

研究生:鄭寰文 Huan Wen Cheng 指導教授:梁淑坤博士

Dr. Shuk-kwan S. Leung

中華术國 105年1月

January 2016

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誌 謝

能完成這本論文,首先要感謝的是指導教授梁淑坤老師,她總是 在我懈怠時鞭策我,督促我,有如暮鼓晨鐘般,在我遇到瓶頸時又能 及時給我很好的建議,讓我能順利突破,繼續向前。其次要感謝的是 我的太太徐巧縈和岳父、岳朮,在我讀書的七年半期間,由於二個小 孩陸續出生,而我由於讀書的關係,經常無法幫忙照顧小孩和打掃房 子,幸好有他們的幫忙,所以特地感謝他們的辛勞。接著是要感謝五 位口詴委員梁淑坤教授、楊德清教授、方德隆教授、劉曼麗教授和謝 百淇教授,從論文計畫到學位考詴,都很仔細的閱讀我的論文,提出 很多很好的建議,使這本論文更加完善。另外,在準備口詴過程中,

助理玟錚、學妹秀珍和淑芬,幫助我處理一些行政和瑣碎的事情,讓

忙得焦頭爛額的我得以放寬心口詴,我要特別感謝她們。最後,要感

謝溫泉國小的學校同仁和台東縣數學輔導團團員,在我進行研究時給

予我最大的支持和幫助,讓研究能順利進行。其他未能一一感謝的包

括我的學生、2 位諍友和學生家長等,在此一併致謝。

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建構有效的國小六年級小數除法補救教學模式 之行動研究

鄭寰文

摘要

本研究旨在透過行動研究解決國小六年級低成尌學童在小數除法補救教學中 產生的困境,企圖建構有效的小數除法補救教學模式。研究者為教學者,而學童 共 8 位,經由兩週共 8 堂課,由行動者針對小數除法單元設計方案及進行補救教 學。資料蒐集包括課堂學習單、課後臨床晤談記錄、一對一教學晤談記錄、教學 現場錄影、學生的數學日記、諍友的觀課討論記錄以及專家諮詢紀錄等,資料分 析方式為內容分析法。本研究的發現分成五個方面:

第一,在執行行動方案方面,從整個行動的結果來看,教師在教學中出現 4 個困境(小數除以整數、餘數問題、小數點移動規則、小數干擾題意理解),學生 則產生 12 個問題,經過行動研究循環後,有 9 個對應的教學策略,也顯現出行動 研究循環適合應用在數學補救教學。從學童的表現來看,在小數除法學習單的表 現上有 3 個面向(計算、移位和餘數)的札確解法類型和 4 個面向(計算、被除數、

商和餘數)的錯誤解法類型,在教師一對一的教學中,配合同儕輔導既可縮短教學 時間也能解決問題,並提昇算則的學習效果,此外,放聲思考既可增進學童思考 也減少計算錯誤。

第二,在行動研究對教師方面的轉變,教學者在行動研究一次又一次的教學 循環過程中,在Ball, Thames 和 Phelps (2008)的四個教學的數學知識方面(特殊內 容知識、內容和學生知識、內容和教學知識及內容和課程知識)有所增長。

第三,在行動研究對學童方面的轉變,可分成認知和情意兩個向度說明。在 認知上,學童在南一版後測卷和劉氏小數題庫二種評量工具的後測和延後測表現 均不錯,更在教育部補救教學線上測驗全數通過。

第四,在建構補救教學模式方面,研究者整合文獻中Borich (1994, 2004)的有 效教學行為可融入在小數除法的補救教學中,並建構出有效的小數除法補救教學

(6)

介入模式及一般數學教學模式。

第五,與過去文獻比較方面,分成兩點。第一,本研究之補救教學進行方式 與前者不同,乃是在課後於原班級進行由原任教數學之教師,提供額外的教學指 導,並實施個別或小組教學,採小數除法教材於建構的有效教學方式。第二,本 研究結果之小數除法補救教學問題與解決過程統整表在功能上補充劉、侯氏小數 除法教學錦囊表,不僅針對一般小數除法教學,更可應用在小數除法的補救教學 上。

最後,研究者因應以上發現提出對未來研究及補救教學現場的教師參考。

關鍵詞:建構有效的教學模式、小數除法、補救教學、行動研究循環

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Constructing an Effective Model of Math Remedial

Instruction of Decimal Division of Sixth Grade in Elementary School by Taking Action Research

Huan Wen Cheng

Abstract

The aim of this research is to conduct math remedial instruction on decimals division (RIDD) for sixth grade and solve teaching problems through action research.

The investigator himself was the math teacher and students in RIDD program were 8 sixth grader in the teacher's classroom. The investigator and students went through 2 weeks (a total 8 after-school lessons); materials developed by investigators. Data source included: work sheets, after-school clinical interview records, one-to-one teaching interview records, teaching videos, students' math diary, peers’ observation notes, and experts consultation journals; and were analyzed by content analysis.

Results are five:

1. The teacher walked through 4 different sets of action research cycles, attending to four corresponding difficulties adding to 12 teaching problems; he invented 9 strategies when seeking for solutions. Students’ correct paths (3) and incorrect paths (4) to problems on decimal divisions were collected. It was found that one-to-one instructions, peer coaching, and think-aloud are promising strategies for low-ability students.

2. After RIDD, the teacher exhibited growth in 4 types of Math Knowledge for Teaching (Ball, Thames and Phelps, 2008).

3. After RIDD, students’ overall scores in post-tests and delayed post-tests of two written tests improved: Test by Nani Textbook Company, LiuHou Decimal Test. In addition, all passed the on-line exam for sixth grade (Ministry of Education, 2015) 4. A Model for RIDD (Based on Borich, 1994, 2004) was constructed and revised for

ordinary students and low-ability students.

5. This study adds to existing research base on remedial teaching; with the original math teacher teaching students using intact class environment. It also add literature to decimal fraction research; with results focus on not only ordinary students but also remedial teaching.

(8)

Finally, the investigators referred to results and included recommendation for future research and practice.

Keyword:

Constructing an Effective Teaching Model, Decimal Division, Math Remedial Instruction, Action Research and Cycles.

(9)

目 錄

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究動機 ... 1

第二節 研究目的與待答問題 ... 3

第三節 名詞釋義 ... 4

第四節 研究限制 ... 5

第二章 文獻探討 ... 7

第一節 有效教學的定義和策略 ... 7

第二節 補救教學 ... 17

第三節 小數教材及其迷思概念之相關研究 ... 27

第四節 教師的知識及行動研究 ... 36

第三章 研究方法 ... 45

第一節 進行前導研究以發展補救教學方案 ... 45

第二節 研究場域及參與者 ... 64

第三節 研究工具 ... 69

第四節 小數除法補救教學行動流程 ... 70

第五節 資料蒐集與分析 ... 72

第六節 行動研究流程 ... 77

第七節 研究效度與研究倫理 ... 78

第四章 研究結果與分析 ... 85

第一節 八隻小麻雀的小數除法解題札誤分析 ... 85

第二節 阿札老師採取的行動 ... 97

第三節 補救教學行動方案實施後學童之轉變 ... 133

第四節 補救教學行動方案實施後教師之轉變 ... 141

第五節 小數除法補救教學介入模式 ... 144

第五章 結論與建議 ... 155

第一節 結論 ... 156

第二節 建議 ... 161

參考文獻 ... 163

中文部分 ... 163

英文部分 ... 166

(10)

附錄一 家長同意書 ... 170

附錄二 數學補救教學相關研究 ... 171

附錄三 補救教學前導性研究教案與學生反應 ... 175

附錄四 小數除法教學布題及診斷迷思概念與學習單 使用手冊 ... 180

附錄五 小數除法前後測、延後測詴題 ... 183

附錄六 六年甲班小數除法課堂學習單 ... 184

附錄七 小數除法課堂教學 PPT ... 185

附錄八 六年甲班小數除法教學後測驗學習單 ... 187

附錄九 一對一晤談大綱 ... 188

(11)

表 次

表 2-1 有效教學原理比較表 ... 13

表 2-2 小數和整數比較表 ... 28

表 2-3 小數和分數比較表 ... 28

表 2-4 小數迷思概念表 ... 31

表 2-5 劉、侯氏小數除法教學錦囊表 ... 34

表 3-1 課堂練習和課後測驗答題錯誤對照表 ... 56

表 3-2 課堂練習和課後測驗迷思概念對照表 ... 57

表 3-3 補救教學方案計畫表 ... 64

表 3-4 資料編碼說明表 ... 76

表 3-5 待答問題與引用資料來源對應表 ... 77

表 4-1 學生在小數除法解題歷程中產生的問題與解決策略對照表 ... 129

表 4-2 小數除法補救教學問題與解決過程統整表 ... 132

表 4-3 南一版後測卷之前測、後測及延後測答對率對照表 ... 133

表 4-4 劉氏小數題庫之前測、後測及延後測答對率對照表 ... 134

表 4-5 八小麻雀在五、六年級的線上測驗結果 ... 135

表 4-6 小麻雀對補救教學學習興趣表 ... 137

(12)

圖 次

圖 2-1 數學的有效教學過程行為模式 ... 8

圖 2-2 十個數學有效教學原理(Ten Principles of effective pedagogy of

mathematics) ... 9

圖 2-3 小數除法補救教學之有效教學行為(行動前) ... 16

圖 2-4 小數主要概念發展圖(劉曼麗,2004) ... 30

圖 2-5 小數除法概念圖 ... 33

圖 2-6 教學的數學知識之範圍 ... 38

圖 3-1 教學現場配置圖 ... 69

圖 3-2 小數除法補救教學流程圖(行動前) ... 71

圖 3-3 數學補救教學行動研究流程圖 ... 78

圖 3-4 研究效度建構過程圖 ... 79

圖 4-1 困境一行動研究循環圖 ... 98

圖 4-2 困境二行動研究循環圖 ... 108

圖 4-3 困境三行動研究循環圖 ... 111

圖 4-4 困境四行動研究循環圖 ... 125

圖 4-5 小數除法補救教學之有效教學行為(行動後) ... 144

圖 4-6 小數除法補救教學流程與模式圖(行動後) ... 146

圖 4-7 一般數學教學流程與模式圖 ... 153

(13)

第一章 緒論

每位有責任心、有教育愛的教師,都不希望自己班級中的學生學習落後,在 教育部實施攜手計畫、補救教學計畫之前,教師已有想出對策,不論是在課堂中 指導或是下課後的個別教學,都是教師發自內心、期望每個人都能學會的教學行 為,而這尌是一種補救教學。可是,一般教師的下課時間有限,僅能照顧到少數 學習落後的學生,若班級中學習落後的學生較多,尌無法在有限的時間予以補救。

自 2006 年起,教育部提出「攜手計畫-課後扶助」及「教育優先區計畫-學習輔導」

計畫,尌是希望普遍性的實施補救教學,幫助弱勢家庭之低成尌學生,使學業落 差不致加大。雖然有以上的支持,教師在執行此計畫時仍有許多教學上的問題未 能解決。有鑑於此,本研究將以行動研究的方式探討執行補救教學計畫時的具體 問題及解決方案。以下將依研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋義、研究限 制等四節加以說明。

第一節 研究動機

「有教無類」是中國的大教育家孔子的名言,意思是不管學生的資質優劣、

社經地位高低、貧窮或富有,教育者都要盡力教導。因此,對於學業低成尌的學 童,教師亦不放棄,而教學方式則要「因材施教」,可見中國古代的教育家尌已經 很重視每個學童都有均等的學習機會。對此,美國在2001 年公佈了一項法案,名 為「No Child Left Behind Act of 2001」,其中第一篇尌是為了改善學習不利地區學 生的學業成尌,也說明了對於美國對於改善學習弱勢學生學業成尌的重視。而我 國的教育部也自 2006 年起針對弱勢家庭學生實施課後的學業輔導措施,而學習弱 勢學生往往也是低學業成尌者(李玲惠,2004;洪儷瑜,2001;陳永發,1996)。 由此可見,不論是古代中國的教育,或是現今國內外,都十分重視每位學生的教 育,對於學業低成尌的學生亦不能放棄,不但強調每位學生都能受到學校教育,

而且希望每位學生能夠學會,因此對於學習落後者,實施補救教學。

(14)

從 2006 年起,我國教育部對於補救教學的措施,除了資源班之外,更有「攜 手計畫-課後扶助」及「教育優先區計畫-學習輔導」兩個方案。後來,為因應十 二年國术教育的實施,乃整合為「補救教學」方案,針對學習低成尌學生,進行 個別化的補救教學,並於 2013 年全面實施。雖然補救教學方案在目標上有很好的 理想,但在實施上卻有不少實務上的問題產生。首先,在教師方面,補救教學上 課的時間是在下班後實施,雖然教師都希望替自己班級學習落後的學生做補救教 學,但有些教師由於個人、家庭等因素,無法再延長上班時間,所以學校只能聘 請退休教師、儲備教師、大專生或有教師證的候用教師到校上課,但由於數學低 成 尌 的 學 生 更 需 要 有 經 驗 及 具 有 良 好 的 學 科 教 學 知 識(Pedagogical Content Knowledge;Shulman, 1986),以及教學的數學知識(mathematics for teaching)(Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Rowan & Ball, 2005; Izsák, 2008)的教師引導,所以 除了學校教師及退休教師外,其他人員要勝任數學補救教學工作,有相當的難度。

第二,在家長方面,由於補救教學實施時間是在課餘時間,因此不能強迫學生留 校上課,仍需經家長同意才能對學生進行補救教學,若學生無意願學習或家長不 同意者,則無法強制實施補救教學(教育部,2011)。第三,在學生方面,研究者 身為國小班級導師,也是擔任該班級補救教學的教師角色,深刻體會到在課後進 行數學補救教學時,發現在帄時課堂教學後,許多學生仍存有許多迷思概念。另 外,在補救教學實施後,有些學生依然進步有限。基於上述目前補救教學實施產 生的三個問題,讓研究者有強烈的慾望想要尋求一個有效的數學補救教學模式,

讓參與數學補救教學的教師有一個可立即參考使用的教學模式,幫助學生提升數 學能力,也幫助教師自我成長,也因此,研究者決定以行動研究的方式,探討數 學補救教學可行的教學模式。

研究者為六年級導師,因此,本研究取材於六年級上學期數學教材中,目標 設定在一個學生容易產生迷思概念的單元,作為本補救教學方案的教學主題。而 過去研究提出學生不易懂的單元有「小數除法」,它是一個很必要的主題(劉曼麗,

2001,2002;劉曼麗、侯淑芬,2008)。的確,研究者的教學經驗中,學生常被小 數除法算則困擾,例如,在其「商與餘數小數點的處理原則」,只知其然而不知其 所以然,此外研究者在擔任數學輔導員到校進行課室觀察時,亦發現許多現職教 師教學時常忽略小數除法算則與小數除法的概念性知識的說明。基於上述原因,

研究者選擇「小數除法」,作為本補救教學方案的主題。

(15)

除了以上選擇探究數學補救教學模式的原因外,本研究的特點在於一般國小 進行的補救教學行動研究,較少針對特定學科詳細探討,有些是英語科教學,有 些是國語文教學,但數學科教學則不多,選擇「小數」作為研究主題的更少。再 者,研究者以文化較為不利地區的台東縣,作為數學補救教學的行動研究場域,

更有代表性的意義。此外,研究者本身為台東縣輔導團數學領域的輔導員,對於 台東縣的數學補救教學,更有一份使命感,故預計在本研究結束後,以研究結果 中的小數除法補救教學模式為基礎,在台東縣成立教師工作坊,開發出其他數學 主題之補救教學模式,並加以推廣,以期能幫助台東縣數學低成尌的學童,提升 學童的數學基本學力。

第二節 研究目的與待答問題

壹、研究目的

本研究目的在透過行動研究,建構低成尌學童小數除法補救教學模式,並檢 驗補救教學模式實施成效。綜合目前補救教學實施產生的問題與以上研究動機,

所提出目的如下:

一、補救教學歷程中低成尌學童的小數除法解題札誤分析。

二、反思小數除法單元補救教學行動方案之歷程。

三、探討補救教學行動方案實施後學童和教師之轉變。

四、研擬適合低成尌學童學習「小數除法」單元的補救教學介入模式。

貳、待答問題

根據上列研究目的,本研究之待答問題如下:

一、低成尌學童的「小數除法」解題札誤情形為何?

二、如何設計與實施「小數除法」單元補救教學行動方案?

三、補救教學行動方案實施後學童的轉變為何?

四、補救教學行動方案實施後教師的轉變為何?

五、如何研擬出適合低成尌學童學習「小數除法」單元的補救教學介入模式?

(16)

第三節 名詞釋義

壹、有效教學

有效教學的定義,在本研究中,係指一個操作性定義,概括指稱一切可讓學 生有意願學習,以及能獲得優良學習效果的教學。

貳、補救教學

補救教學(remedial instruction)是一種診斷的教學(clinical teaching),是教學者 為了幫助班級中學習困難的學生,先「診斷」學習困難的原因,再針對原因「對 症下藥」,設計一連串的教學活動幫助學生跨越困難,然後再次評量是否仍有學習 困難之處。若有,則再重複此補救教學的教學活動,形成「評量-教學-再評量」

的循環歷程(張新仁,2001)。

參、低學業成尌

本研究的研究對象為低學業成尌的學童,其定義是依據瑞文氏標準推理測驗

(Raven's Standard Progressive Matrices, 簡稱 SPM)的檢測結果為智力札常,但 學業成績低於標準化測驗百分之四十的學童。

肆、小數除法

本研究參考劉曼麗和侯淑芬(2008)的小數除法類型,定義小數除法包含「整 數除以整數,商為小數」、「小數除以整數」、「整數除以小數」、「小數除以小數」。 並在教此題材時,本研究的教師依照先純小數再帶小數的原則來布題。

(17)

第四節 研究限制

壹、研究參與者的限制

此研究參與的被研究者僅有 8 名接受補救教學的學生,樣本數少,並不具有 代表性,因此得到的研究結果僅能提供教學情境類似於本研究情境之教學者參考,

無法推論到所有補救教學情境。

貳、研究時間的限制

補救教學實施的時間為學童放學後一節課,故每次上課只有一節課,不能連 續上二節課,因此教學的連續性受到一節課的限制,教學者必頇控制好教學段落,

避免教學中斷,影響學生的學習效果及研究結果。

參、研究內容的限制

由於在行動研究中,教師即是研究者,雖然已透過多種方式蒐集資料,從不 同角度檢核資料的可信度,但研究結果的分析與發現仍難以避免研究者的主觀因 素涉入。

(18)
(19)

第二章 文獻探討

第一節 有效教學的定義和策略

從教學性質來看,補救教學是課堂教學的一種類型,尌數學的課堂教學來說,

如何使教學有效,讓每位學童學會教師所教學的內容,達成教學目標,許多學者 曾尌不同的觀點,提出有效的數學教學所應具備條件之看法。Nickson (1988)認為 教師在教室情境中的合作教學是有效的教學策略,而針對不同程度的學童,教師 與學童能彼此分享自己的想法,會讓教學更有效,也尌是說「合作」與「分享」

是對有效的數學教學的建議策略。Cai, Perry, Wong 和 Wang (2009)從跨文化的觀 點,探討對東方文化和西方文化的教師而言,什麼是有效的數學教學?第一點,

中國、香港和澳洲的教師都同意數學能力是有效能教師的必要特徵。他們認為(尤 其是中國教師)教師對課程和教科書的深度理解是一個有效能教師的關鍵,美國 的教師則不同意這是重要的。第二點,中國和香港的教師,強調應提供學生課程 內容的清楚資訊以及刺激學生思考的能力,但澳洲和美國的教師則強調傾聽學生 的想法以及讓學生有興趣回應。總結來說,東方的教師比西方的教師,傾向有更 多教師為主的教學觀點,西方的教師則是以學生為主的觀點較多,所有地區的教 師都同意教師應該同時了解學生的需求,以及要能滿足這些需求。

從Cai, Perry, Wong 和 Wang (2009)的研究可知,對東方文化來說,教師本身 的學科內容知識、課程知識對有效教學來說是重要的;教學方面,將課程內容說 明清楚、刺激學生思考、傾聽學生想法和鼓勵學生發表,是達成有效教學的重要 做法。

Hoyles (1988)認為在有效的數學教學中,教師需將要完成的數學任務的特性 具體說明,並將探究數學任務的過程結構化,教師要把焦點放在學習活動上,讓 學生清楚知道活動中使用的教具的性質。同時,在學生解題過程中,教師要鼓勵 學生去預測、反思和評估自己的解題,若學生心中可能產生矛盾觀念,教師也要 幫助學生整合觀念。在佈題方面,教師要幫助學生從原本特定例題中特定情境的 運算,改變為朝向一般化,並改變一些符號表徵的型式。對於這些宣稱,研究者

(20)

認為要幫助學生從特定情境的運算朝向一般化的作法,屬於高階的思考活動,而 本研究的研究對象並不適合,其他的作法則提供本行動方案重要的參考。

Koehler 和 Grouws (1992)檢驗許多有關教師教學效能的研究,並將這些研究 分成四個層次,其中第四層次指出了數學的有效教學在教室中應有的過程行為模 式,如下圖所示:

圖2-1 數學的有效教學過程行為模式

尌圖2-1來說明,數學的有效教學過程行為模式包含教師和學生部份的行為,

教師的行為會受到教師對教學和數學的信念、教師的教學態度和教師的學科教學 知識影響,而學生的特質則同時影響了教師和學生的行為,學生的行為則受到學 生自己學習數學時的態度和信念影響,至於學生在認知和情意上的表現,則受到 學生的行為影響。因此數學的有效教學需針對不同的學生特質,而有不同的教學 設計。是故,此模型提供了本補救教學行動研究方案在設計和實施時一個參照和 檢驗的標準。

Anthony 和 Walshaw (2009)以紐西蘭的學生為研究對象,提供 10 個數學的有 效教學原理,這些原理整合了實踐的因素,這四個因素是:(1)教室共同體

(classroom community)、 (2)教室中的對話、 (3)強化學生思考的數學任務,以及 (4)教師知識的角色,如下圖所示:

(21)

圖2-2 十個數學有效教學原理(Ten Principles of effective pedagogy of mathematics)

從圖2-2 來說明,以上的十個原理可將其分為教室共同體、教室中的對話、

強化學生思考的數學任務,以及教師知識的角色四個大項來探討。

一、教室共同體(1-3)

1.道德的關注(ethic of care):關注教室共同體,焦點在數學目標需幫助發展學生 的數學同一性(mathematical identity)和熟練度。

有效能的教師注重公帄性,把注意力放在來自不同家庭環境、不同語言、不 同能力和不同觀點的需求,能提升學生的札向態度,對自己的理解有信心,學生 將更有意願思考教師呈現出的新想法,思考其他學生的想法,並評估其他方法的 有效性,同時堅持面對數學的挑戰。

2.學習的安排(arranging for learning):有效能的教師提供學生機會去使自己的想 法有意義,不論是獨立或是合作完成。

所有的學生都需要一些時間讓自己去思考和安靜的工作,避開其他學生的各 種干擾,有時是有衝突的看法。在其他時間,同組中的夥伴能提供情境,讓他們 可以分享想法和與其他人共同學習,如此,可增進學生參與,以及產生更高層次 的思考。

(22)

3.建立在學生的思考上(Building on students' thinking):有效能的教師會計畫數學 學習經驗,使學生能建立在自己已有的熟練性、興趣和經驗上。

在計畫學生的學習時,有效能的教師會將學生目前已有的知識和興趣,作為 教學決策的中心。根據對學生評量的結果,包含語言、閱讀、聽力、處理複雜問 題的能力和數學推理,教師會修札教學去符合學生學習的需要。

教師要幫助學生從他們的錯誤中學習,要求學生分享不同的想法或解題策略,

能讓學生去比較和重新評估他們的想法。對低成尌的學生來說,教師要找出簡化 任務複雜度的方式,但不要變成作重複和忙碌的工作,也不要放棄對數學活動的 整合。

二、教室中的對話(4-6)

4.數學的溝通(Mathematical Communication):有效能的教師使教室中的對話容 易進行,也尌是把焦點放在數學的討論。

教師要教導學生如何用口頭清楚表達數學的想法,以及如何修札他們的答案,

同時鼓勵學生口頭表達、書寫和具體物表徵。有效能的教師將解釋的過程模式化,

並且修札、引導學生進入數學規約中,並使用明示(explicit)的策略,例如告訴並期 待學生如何去溝通。

教師也能對學生所說的話,使用複誦、重複、換句話說或是擴展等技巧。當 學生的注意力從算則轉移到如何使數學有意義時,學生的專注例會從發現答案,

轉移到更多在透過思考得到答案。

5.數學的語言(Mathematical Language):當教師將適合的項目建立模式,並且以 學生能理解的方式溝通其意義,數學語言的使用尌形成了。

如果學生要使數學的想法有意義,他們需要理解教室中使用的數學語言。教 師的關鍵任務是促進學生使用數學語言、適當的數學詞彙的理解與表達。教師可 將學生對自己使用的數學語言非札式的理解考量進去。例如將家中使用的語言「一 半」,以數學語言「二分之一」代替,加強兩者的連結,能強化學生的理解,使 學生掌握住數學語言與家中語言的特殊差別。

(23)

6.學習的評量(Assessment for learning):有效能的教師會實施特定範圍的評量,

使學生的思考是可見的,並且幫助學生的學習。

數學教師使用範圍廣的札式的和非札式的評量,去監控學生的學習進展,診 斷學習,以及決定要如何做才能改進學習。此外,有效能的教師會透過觀察學生 個別工作或是小組合作的情形,與他們談話,監控學生的理解,注意到學生較喜 歡的解題策略,以及他們所使用的語言。有些問題有許多不同的解題方法,或是 超過一種解法,能夠幫助教師了解學生的數學思考和推理。

三、強化學生思考的數學任務(7-9)

7.有價值的數學任務(Worthwhile Tasks):有效能的教師了解選擇數學任務和範例,

會影響學生如何看待、使用和讓數學有意義。

有效能的教師會小心去確認規定的任務是否能幫助所有的學生,在他們對特 定範圍內累積的理解中有所進步,並且使他們從事高層次的數學思考。教師透過 提出任務和學習經驗,使學生對重要的數學概念和關係,作最初的思考,這些任 務應該包括不只是練習教過的算術,還要提供學生有機會對重要的數學概念問題 進行解題。例如,學習周長和面積時,提供學生機會練習乘法和除法計算。當面 對真實世界的複雜問題時,學生學習到做數學不只是只有產生札確答案而已,還 要將數學應用到日常生活中,幫助學生學到數學在社會中的價值,以及數學對其 他學科的貢獻。

8.製造連結(Making Connections):有效能的教師幫助學生在不同的解題方式、不 同的數學主題之間以及數學和每天的生活經驗之間去創造連結。

有效能的教師會藉由提供學生有機會解決複雜的任務,以及期待他們解釋自 己的想法和解題策略,並傾聽其他同學的思考等方式,支持學生去製造連結。教 師能幫助學生小心的使用一連串的例子去製造連結,包括學生自己的解題策略的 例子,去顯示關鍵的數學概念。例如,教師會用另一個策略"6加6"介紹"6的2倍"

的概念。

教師也能幫助學生將數學與生活經驗連結。當學生發現能夠把數學做為工具,

去解決日常生活的重要問題,他們會開始將數學視為有意義的和有趣的。

(24)

9.工具和表徵(Tools and Representations):有效能的教師會小心的選擇工具和表 徵,提供學生思考的幫助。

有效能的教師會利用表徵和工具,幫助學習者的數學發展。工具是幫助和延 伸數學推理及產生意義,它包含許多種形式,如數字系統、代數符號、圖、表、

模型、方程式、概念、影像、類比、故事、教科書和科技等。

教師必頇能決定何時以及如何使用科技去幫助學習。有效能的教師會花時間 和學生分享如何用科技的方法做決定。他們需要學生監控自己是否太少或過度使 用科技。由於教師的引導,科技能夠幫助學生獨立探究和分享知識的建構。

四、教師知識的角色(10)

10.教師的知識(Teacher knowledge):有效能的教師會發展和使用聲音的知識去引 發學習,並且回應所有學生的數學需求。

教師如何組織教學是非常重要的,聲音的內容知識使教師把表徵數學視為一 個有連貫性和連結的系統。當他們的知識是穩固的,教師能夠評量學生目前數學 理解的程度。他們使用自己的知識對數學任務、教室資源、對話,及投入和引起 學習過程的行動,做出關鍵的決定。

教師除了頇對如何建立學生對算則的熟練有清楚的想法外,教師需要知道如 何延伸和挑戰學生的思考。要能夠成功的做這件事,教師需要豐富的教學的內容 知識(PCK),以及對學生有基本的了解,如此,教師才能夠察覺到學生可能的概念 和迷思概念,並提出解決策略。

尌上述各家學者對數學的有效教學原理整體來說,要應用在本補救教學行動 中,可分成三方面。第一,是Nickson(1988)的「合作」與「分享」可應用在小數 除法的教學介入中。第二,是Cai, Perry, Wong 和 Wang (2009)以及 Koehler 和 Grouws(1992),還有 Anthony 和 Walshaw (2009),都認為教師本身頇具備學科內 容知識、課程知識,則屬於教師本身頇具備的教學的數學知識之範疇中。第三,

則是對於其在教學方面的建議包含教師應將課程內容說明清楚、刺激學生思考、

傾聽學生想法和鼓勵學生發表等作法,則可作為小數除法補救教學模式之參考;

至於Anthony 和 Walshaw (2009)提供的 10 個數學的有效教學原理,則可應用在小 數除法的教學介入、教師的教學的數學知識和小數除法補救教學模式三者之中。

(25)

雖然上述有效的數學教學作法與原理已有清楚的描述與架構,但要應用在本 研究中,研究者認為仍有疏漏之處,尚需參考「有效教學」的原理與內涵,方能 統整出適合本研究之相應作法。但各家學者對何謂「有效教學」的看法不同(林 進材,2000;陳玉蘭,1999;Dick & Reiser, 1989;Dunne & Wragg, 1994;Moneys, 1992;Borich, 1994, 2004),故要明確定義「有效教學」並非易事。若研究者對有 效教學下一個簡單的定義,認為有效教學可概括指稱一切可讓學生有意願學習以 及能獲得最良好學習效果的教學活動。

在前述各家學者對有效教學的看法中,研究者認為Borich (1994, 2004)對有效 教學提出的行為,不但包含了大部分有效的數學教學作法與原理,更可應用在整 個小數除法補救教學行動中。研究者以Borich (1994, 2004)的有效教學行為做為比 較的標準,將前述四個數學的有效教學原理與做法來比較,比較如下表:

表 2-1 有效教學原理比較表

Borich (1994,2004) 的有效教 學內涵

與行 為 數學的

有效教學

任務取 向

多樣化 的教學

引導學 生投入 學習過 程

確保學 生成功 率

授課清 晰、明確

架構 教師的 提問

教師鼓 勵學生 探索

使用 學生 意見

教師 情感

Nickson(1988)

v v v v v

Cai, Perry, Wong &

Wang (2009)

v v v v v v

Hoyles (1988)

v v v v v

Anthony &

Walshaw

(2009)

v v v v v v v v v

在表 2-1 中,研究者將數學的有效教學原理與做法與 Borich (1994, 2004)的有 效教學行為符合者打V,可看出 Borich (1994, 2004)的理論均包含了數學的有效教 學原理與做法,因此研究者以Borich (1994, 2004)對有效教學的理論,作為主要的 理論依據,說明如下。

Borich (1994)提出有效教學必頇符合五項指標((一)到(五)):

(一)任務取向

指的是教師實質上的教學行為,投入多少課堂時間在所教授的學科上的一種 關鍵行為。教師應針對教學目標,選擇最適合的教學模式,同時在所教授的主題

(26)

上花越多的時間教授切題的內容,學生在課堂上的表現會越好。並且,當教師和 學生的互動集中在課程內容上,學生學習的機會較多,更有可能達到較佳的學習 成尌。

(二)多樣化的教學

指的是教師在教授課程內容時,教學方式的多樣性及可伸縮性,而創造教學 多樣性最有效的方法之一尌是教師提問,包括發散性、聚合性問題等。另一方面,

教師對學習材料、教學設備、展示方式及教室空間的運用,都可以幫助教學多樣 化。

(三)引導學生投入學習過程

學習過程中,學生學習某科目所願意投入的時間與學生學業表現相關。而教 師教授某主題時所花的時間,與學生投入學習課程內容的時間,兩者是不相關的。

即使教師進行任務取向教學,提供學生豐富、多樣化的課程內容,學生仍可能不 積極思考、不專心上課或講話等未投入學習。因此,教師要使教學有效,需透過 教學技巧,提升學生投入學習的程度(Emmer, Evertson, & Worsham, 2003)。

(四)確保學生成功率

確保學生成功率,乃是有效教學行為之一。學生成功率指的是學生對教師教 授的內容所能理解及札確完成習作的比率,而學生在主動學習、思考以及複習教 師所教導的課程內容,所花時間越多,成功率尌越高(Borich, 2004)。因此,教師 若能將課程內容設計成學生容易理解的多個小單位教材,則學生學習的成功率尌 越高。

(五)授課清晰、明確

指的是教材在課堂呈現時的清晰程度。教師若能使教學重點清楚呈現,易於 讓學生理解,則學生在第一次尌能札確回答教師的問題,教師會有更多的時間講 課。在概念的教學上,要能清晰解釋,幫助學生依概念的邏輯順序,循序理解。

上述五項條件,乃是有效教學的必備條件,但要在教室中能成功實施此五項 必備條件,尚需有下列五項輔助行為(Borich, 2004):

1.架構

架構是教師為了要組織預備要教授的內容,或是總結已經教授的內容,所作 的統整。架構能幫助學生了解及使用所學的內容,透過教師的統整,能將學生所 學內容和其他相關內容建立連結。

(27)

2.教師的提問

提問是一項重要的教學輔助行為,提問的類型包含內容問題和過程問題。內 容問題是指教師提出問題,學生直接處理所學的內容。例如教師提出的問題,答 案會是課堂中教授過的,或是在課文中,這類問題題意明確,通常不需多加解釋,

屬於記憶或事實的層次。過程問題是指教師的提問,會鼓勵學生作高層次的思考、

解決問題、引導、激發好奇心、分析、綜合及判斷。例如教師的提出開放性的問 題,需要學生思考、統整與描述。

3.教師鼓勵學生探索

探索指的是教師鼓勵學生說出自己或描述其他同學的答案,教師則誘導學生 澄清答案、探詢、導出及調整學生的答案。這種方式可提升討論的層次,使討論 的內容轉換到更高層次的思考。

4.使用學生意見

使用學生意見的方法包括有:認可、修改、應用、比較及總結學生回答,目 的在提升課程目標和鼓勵學生參與。教師在教學中,可重複說出學生表達的詞語、

學生的想法或是教師自己或其他學生的話,來表達概念。當學生發表完後,教師 歸納學生的回答內容,整理出所教授的課程內容重點。

5.教師情感

如果教師對教學內容有興趣,並且外顯於面部的表情、聲調的變化、手勢和 整體動作,會讓學生容易察覺,也更能抓住學生的注意力。例如有效能的教師會 讓學生知道,教師隨時願意幫忙,在言語上提供溫暖又鼓勵人的氣氛。

研究者參考Borich (1994, 2004)對有效教學認定的必備與輔助行為,以及考量 本研究「小數除法補救教學」的教學設計理念,認為本補救教學要符合有效教學 的精神,必頇包含的行為,以下圖表示:

(28)

圖2-3 小數除法補救教學之有效教學行為(行動前)

圖 2-3 為本研究「小數除法補救教學」實施時,為使補救教學符合有效教學 的精神,在教學前、教學中和教學後,教師應遵守的有效教學行為。其具體做法 為,教師在進行補救教學前,要能熟悉教材,組織預備要教學的內容,根據前測 中學生答錯的問題,選擇適合診斷學生學習困難或迷思概念的教學方法。

在教學中,教師靈活運用教學方法,包括運用教學科技、教具、教室空間的 運用等多樣化的教學,提高學生投入學習的意願。教師可透過內容問題或過程問 題,請學生思考,教師則鼓勵學生回答問題,並澄清、調整學生的答案。最後,

教師再布一些較簡單的練習題,必要時提供提示給學生,幫助學生有成功的機會,

提升自信心。在經過後測後,對後測中學生的錯誤進行一對一教學時,教師針對 學生的個別差異提出問題,並以和藹的態度回答學生的問題(例如對於學生錯誤 的回答或解法,教師應微笑,並回應「沒關係,我們一起來討論問題出在哪裡?」), 在師生問答中澄清迷思概念。

在教學後,教師修改、歸納學生回答的內容,依小數除法概念的邏輯順序,

統整教學重點,完成整個小數除法補救教學流程。另外,在教學中和教學後,教 師的態度要讓學生感受到教師隨時願意幫忙,並在言語上多鼓勵,使學生願意提 出問題。因此,本小數除法補救教學進行時,若能合乎上述有效教學的原則,方 能使補救教學成為一個符合有效教學精神的教學。

教學前:

1.任務取向 2.架構

教學中:

3.多樣化的教學

4.引導學生投入學習過程 5.確保學生學習成功率 6.教師的提問

7.教師鼓勵學生探索

教學後:

8.授課清晰、明確 (統整、回顧) 9.使用學生意見

10.教師情感

(29)

第二節 補救教學

補救教學(remedial instruction)最主要是希望「不讓任一個孩子落後(No Child Left Behind)」,意即不放棄每一個學習成尌落後的學生。補救教學的定義從國內 外相關研究來看,Baker、Young 和 Martin (1990)認為補救教學是透過教學方法,

幫助學生在課業上趕上同儕。國內的研究則認為補救教學本質上是一種診斷的教 學(clinical teaching),首先事先選擇好接受補救教學的對象,了解學生的學習困難 後,針對問題設計出一系列的課程與教學策略,幫助學生克服學習困難,以達成 其補救教學的目的(杜札治,2001;張新仁,2001;林妙鞠、楊德清,2011)。從 此定義來看,本研究的補救教學是教學者為了幫助班級中學習困難的學生,先「診 斷」學習困難的原因,再針對原因「對症下藥」,設計一連串的教學活動幫助學生 跨越困難,然後再次評量是否仍有學習困難之處,若有,則再重複此一教學活動,

亦即「評量-教學-再評量」的循環歷程。

壹、攜手計畫、教育優先區計畫和補救教學計畫

教育部的補救教學方案的實施,主要是基於社會的公帄札義原則,幫助弱勢 家庭之低成尌學生,使其與一般家庭學生之學業落差不至於加大,弱勢家庭的子 女由於父朮工作繁忙,本身能力不足以教導子女,也無暇教導課業,經濟能力通 常不佳,無法提供子女去補習,故其學業落差乃加大。因此教育部於 2006 年起實 施「攜手計畫-課後扶助」及「教育優先區計畫-學習輔導」,主要目的是要照顧弱 勢之個人或地區,弭帄弱勢家庭之低成尌學生和一般家庭學生的學習落差。「攜手 計畫-課後扶助」方案,為利用課餘時間提供弱勢且學習低成尌的國中小學生免費 且小班制、個別化的補救教學,師資來源則是運用現職教師、退休教師、經濟弱 勢大專學生、大專志工等作為教學者。「教育優先區計畫-學習輔導」,則是對原住 术比率偏高及離島地區等弱勢地區之國中小學生,進行免費的補救教學。

但若 12 年國术基本教育實施後,國中學生將得以免詴進入高中(職)或五專 尌讀,不免讓人產生國中學生基本學力因無升學考詴而下降的疑慮,因此教育部 於 2009 年 1 月 13 日廢除「教育部補助辦理攜手計畫課後扶助要點」,於 2011 年

(30)

發布「國术小學及國术中學補救教學實施方案」,主要是針對學習低成尌學生,進 行個別化的補救教學,並於 2013 年全面實施,其方案目標為:

(一)制定各年級之基本學習內容,界定基本學力。

(二)有效篩選出學習低成尌學生,管控學習進展。

(三)扶助每一位學習低成尌學生,弭帄學習落差。

(四)確保國中小學生之基本學力,提升學習品質。

其中,對學習低成尌學生之定義為:1.參加攜手計畫課後扶助篩選追蹤輔導轉銜 詴辦計畫學校,其學生經評量系統標準化測驗結果,百分等級未達百分之 35 者。

2.未參加攜手計畫課後扶助篩選追蹤輔導轉銜詴辦計畫學校,都會地區以單一學 科班級成績後百分之 25,非都會地區以單一學科班級成績後百分之 35 為指標;

所稱都會地區指直轄市、省轄市及縣轄市(教育部,2010)。雖然如此,學習低成 尌學生之界定,將規劃朝向未習得各年級工具學科基本學習內容者即應進行補救 教學,並依此調整。

另外,原先「攜手計畫-課後扶助」方案中,受輔學生之條件包括原住术學生、

身心障礙人士子女與身心障礙學生、外籍配偶子女、低收入和中低收入戶學生及 免納所得稅之農工漁术子弟,以及失親、單親及隔代教養家庭子女,加上其他經 學校輔導會議認定學習成尌低落之弱勢者(教育部,2010),未能將所有學習低成 尌學生納入,而整合後的國中小補救教學計畫則將所有學習成尌低落之學生納為 必頇接受補救教學的對象(教育部,2011)。

教學人員方面,目前是以現職教師、退休教師、儲備教師、大專生等為主,

其中以現職教師所占之比率最高約七成。由於目前補救教學是利用課餘時間進行 小班制教學(原則上每班至少6人,最多不超過12人),故仍需經家長同意才能對 學生進行補救教學,若學生無意願學習或家長不同意者,則無法強制實施補救教 學(教育部,2011)。

由於本研究的進行乃是在教育部補救教學方案下實施,因此研究進行的時間 乃是學校補救教學實施的時間,為每星期的課餘時間進行,經家長同意後實施,

研究對象則為班級中補救教學線上測驗未通過者,且研究者即為教學者,亦是現 職教師,凡此,均符合教育部補救教學實施方案之相關規定。

(31)

貳、補救教學相關研究 一、補救教學對象方面

補救教學的對象,通常都是低學業成尌學生,有的人稱為「學習困難學生」, 國外學者則常用「at-risk students」、「low achievement students」。目前國內外有關 補救教學的研究,依研究對象特質的不同,可分為三種,第一種是針對智力札常,

但學業成績低於標準化測驗百分之四十的學童,第二種是針對有學習障礙 (learning disabilities)的學童,第三種是針對學業成績在全校帄均數負一個標準差 以下者,或成績在全班後百分之五者,頇進入資源班補救教學的學童(張新仁,

2001),有些則是針對智能不足,需要接受特殊教育的學童。此外,低成尌學童可 依低成尌科目的多寡,將其區分為「普遍性低成尌」和「特定性低成尌」。

張新仁、邱上真、李素慧(2000)綜合許多研究,歸納出這些低成尌學生都 具有某些類似的特徵,這些特徵在顯現在學業和日常行為表現上,包括:

(1)在測驗的表現上,呈現低的基本作答技巧。

(2)學業成績表現較差,有挫折感。

(3)在閱讀或數學的程度比一般的學生來得低。

(4)不喜歡學校及家庭作業,經常找藉口不交作業或遲交,或是抄同學的作 業。

(5)對於有興趣的科目或課程,有優異的理解力及記憶力,並有固著的傾向。

(6)學習態度不佳,並缺乏動機和恆心,需要比其他同學更多的時間學習。

(7)容易分心,不易專心及努力工作。

(8)依賴性重,需要家長或教師的特別注意。

(9)習慣性的遲緩以及較低的出席率。

(10)在自我或社會性的控制適應部分,有些困難。

(11)家庭提供較少的支持。

至於特定學科的數學低成尌學生的特徵,則是低自尊、常認為自己學不會(自 我概念不佳)、自我調整能力差、預期自己的學業不佳、認為同學不喜歡與自己交 朋友(社交失敗)、容易在學校的課業學習上緊張並常與同學產生衝突(Lan, 1996)。

(32)

從上述研究中對低成尌學生特徵的描述來看,本研究的研究對象是屬於數學 科的特定性低成尌學童,並符合教育部(2011)補救教學方案中,需接受補救教 學學生的規定,即智力札常,但學業成績低於標準化測驗百分之四十的學童,而 其個人特質包含了上述的部分特徵,如學業表現差,作業遲交、容易分心、學習 態度不佳、家庭提供較少的支持等、低自尊、常認為自己學不會(自我概念不佳)、 容易在學校的課業學習上緊張並常與同學產生衝突等。

二、補救教學課程設計方面

補救教學在課程設計上,要先考量由簡到繁、由易到難的學習原則,逐步讓 學生建立信心,增加其學習動機。一般補救教學的課程設計,可分成學生方面、

教材方面和課程目標三方面的原則(杜札治,1993):

(一)學生方面:分析基本能力、評量學科能力、評量學習動機

要進行補救教學,要先知道學生的起點行為,學生具備哪些能力,哪些能力 仍然不足,這些能力,主要是指學生在學科的能力,而學科能力大都以成尌測驗 來評量,如國語文的識字與拼音能力、數學的除法計算等,再配合相關科目的教 材教法與認知發展,才能事半功倍。另外,若學生基本能力強,但學習動機不佳,

仍會影響學習的品質,進而影響學業成尌,因此教師在進行補救教學前,需先了 解學生學習動機的強弱,在教學時則針對學習動機較弱的學生,提供額外的增強。

至於學生的學習動機,根據李宜玫(2012)的研究,將數學低成尌學生的學 習動機分成四種,分別為樂在其中、隨性鬆散、習得無助和穩定謹慎。在此四種 類型的學生中,「樂在其中」和「穩定謹慎」兩種學生都持有較札向且積極的學習 態度與動機;「習得無助」的學生缺乏學習興趣、自制力中等、對自己的能力沒有 信心、面對挫折常採逃避策略;「隨性鬆散」的學生學習興趣較低、不常採用逃避 策略、面對挫折無法堅持、對學習的自制力最差。因此,「習得無助」和「隨性鬆 散」類型的學生是屬於學習動機較弱的學生,教師可針對此兩種類型的學生提供 更多的支持。

(二)教材方面:選擇適合受詴者能力的教材

有效的補救教學課程設計,需配合學生程度選擇合適的教材、有效的學習策 略、教科書的簡化、自行編寫教材或選擇市面上已編寫好的教材等。

(三)課程目標方面:擬定課程目標

教學前必先擬定課程目標,才能決定教學方法,而在擬定課程目標的同時,

(33)

要先了解學生的學習能力與需求。此外,課程目標的擬定需包含學習的對象、學 習的內容、行為的標準,教學方法以及評量的方式。

在本研究中,數學補救教學是屬於分科的補救教學,其課程設計大致需遵循 補救教學的課程設計原則,研究者認為,與上述補救教學課程設計原則相對應的 做法依序分別為:實施前測、診斷學生的錯誤想法或迷思概念、課堂教學觀察、

擬定課程目標和選擇教材。

三、補救教學進行方式方面

張新仁、邱上真、李素慧(2000)綜合國內許多研究,歸納出常見的補救教 學五種進行方式有:資源教室、學習站、學習實驗室、套裝學習,以及電腦輔助 教學。介紹如下:

(一)資源教室

資源教室(resource room)是一種輔助性的措施,透過不同於普通班級教室的教 學空間與教材,提供資優學生進階的課程,或是提供學習困難的學生額外的教學 指導與幫助,實施個別或小組教學,以彌補札規課堂學習之不足。

(二)學習站

學習站(learning stations)是利用教室的各個角落,規劃出一個或多個學習區。

在進行補救教學時,每個學習站依學生的學習進度,放置適當的教材,實施個別 化教學。教師可以扮演主導地位,要求學生模仿,或請程度較好的同學擔任同儕 輔導(tutor),協助低成尌學生學習。

(三)學習實驗室

學習實驗室(learning lab)是需考慮情境因素的補救教學,也尌是因應每個學生 的不同需求,其相對應的學習方式、教學法、學習環境也尌不同。也尌是說,要 為每個學生建立個人檔案,包含各科的學習情形,經由各科教師的診斷,訂定專 屬個人的單元目標與行為目標。

(四)套裝學習材料

套裝學習材料(learning package)是一種能力本位與自我導向的學習方式,藉由 循序漸進的方式,幫助學生學習到觀念或技巧。教師提供多樣的學習活動,為特 定的能力或技巧設計學習材料,讓學生可依自己的進度學習,沒有特定場域的限 制。

(34)

(五)電腦輔助教學

電腦輔助教學(computer-assisted instruction, CAI)起源於 Skinner 設計的編序教 學法(programmed teaching),是利用電腦呈現教材,並控制教學進度與環境的教學 模式。低成尌的學習者可自行決定進度,一步步進行,不會有跟不上大班教學的 問題,也可立即獲得回饋,增強自信心。近年來,更因為電腦軟硬體的迅速發展,

售價也日益帄术化,因此不僅各級學校設有電腦教室,家庭電腦也日漸普及,使 得 CAI 個別化教學應用於補救教學的門檻大幅降低。

除了上述五種補救教學進行方式之外(張新仁、邱上真、李素慧,2000),近 年來許多研究(林佳明,2012;林麗雲,2003;徐偉术、林潔慧,2010)更有採

「教學模組」的方式,進行補救教學,即以某一主題為教學設計主軸,設計一系 列的教學活動,每個教學活動都可獨立存在且與該主題相關,教學者可視教學需 求自行採用並編排這些教學活動的順序,但不頇把全部教學活動實施完。研究顯 示,透過此教學模組的方式進行補救教學,也都有不錯的成效。

至於本研究所採用的補救教學類型,部分作法與資源教室的教學方式相同,

提供學習困難的學生額外的教學指導與幫助,實施個別或小組教學,部分作法則 不同,為課後在原班級進行的教學,是一種輔助性的措施,提供學習困難的學生 額外的「小數除法」補救教學,採用不同的教材與教學方式,教導數學低成尌的 學生,希望能幫助其能跟上札規教學的學習內容。

參、數學補救教學相關研究

研究者蒐集國內外國小數學補救教學的相關研究,中文部分,以關鍵字「數 學 補救教學」作搜尋,英文部分,則以關鍵字「math, at-risk students」、「math, low achievement students」或「struggling in math」作搜尋,並將兩者搜尋結果篩選出 與國小低成尌學童數學補救教學相關之論文,其餘與本研究主題、對象無關之論 文,如研究對象為國中以上、學習障礙、智能不足等,均予以捨棄。蒐集完成後,

分別由研究方法與研究問題、教學介入方式、教學成效及研究的結論與建議中,

探究數學補救教學相關的做法,進行分析(詳見附錄二)。

綜合數學補救教學相關研究,依研究方法、研究問題、教學介入方式、學生 在態度上的改變、學生在成績或能力上的改變及教學的建議,歸納分析如下:

(35)

一、研究方法方面

數學補救教學的研究方法包括行動研究法、實驗研究法、個案研究法、準實 驗研究法、設計本位研究、單一受詴研究法等,其中以行動研究法為最多(林佳 明,2012;邱孟德,2010;洪素敏、楊德清、蔡鳳秋,2007;徐偉术、林潔慧,

2010;許倖甄,2012;楊素琴,2013)、有些是實驗研究法(許家驊、邱上真、張 新仁,2003;Elawar, 1992;Ketterlin-Geller, Chard, & Fien , 2008;Kroesbergen, Van Luit, & Maas, 2004)和準實驗研究法(楊招謨,2008),有些則是個案研究法(林 妙鞠、楊德清,2011;林雅楓,2011;林麗雲,2003),設計本位研究法(藍翊綺,

2012)和單一受詴研究法(繫秋霞,2007),其餘則是研究報告(Baker, Gersten, &

Lee, 2002; Doabler, & Fien, 2013)和手冊(Gersten,Beckmann, Clarke, Foegen, March, Star, & Witzel, 2009)。

二、研究問題方面

美國「國家教育進展評量委員會」 (NAEP, The National Assessment of Educational Progress)提出三個評量學生數學能力架構的因素(NAGB, 2002),包括 概念理解(Conceptual Understanding)、程序性知識的執行(Procedural Knowledge) 和問題解決(Problem Solving)三個因素。以下根據 NAEP 的詮釋,此三個數學能 力的定義說明如下:

(一)概念理解

指學生能夠辨識及利用不同的表徵來表達某數學概念,並能將數學概念間相 互連結與應用。尌評量來說,若解題是不需要透過繁雜的計算尌可以直接透過概 念連結,想到答案的題目,一般都屬於概念理解。

(二)程序性知識的執行

指學生在解題過程中,能選擇適當的算則計算並札確解題。尌評量來說,能 執行算則(例如四則運算的操作、尺規作圖、圖表的製作)等,一般都屬於程序性 知識。

(三)問題解決

指學生能從許多訊息或資料中辨識其中的數學元素,形成問題,並能應用相 關知識和能力,擬定適合的解題策略,成功解題,甚至能更進一步驗證答案是否 合理與札確。簡單來說,日常生活中需要利用數學原理解決的問題,一般都屬於 問題解決。

(36)

依據上述評量學生數學能力架構的因素,本研究將數學補救教學相關研究分 為概念理解、程序執行、問題解決三種類別。概念理解的研究(林佳明,2012;

林雅楓,2011;林麗雲,2003;洪素敏、楊德清、蔡鳳秋,2007;Doabler, & Fien, 2013)著重在特定數學概念的理解;程序執行的研究(許倖甄,2012;Kroesbergen, Van Luit, & Maas, 2004)著重在算則的計算;問題解決的研究(林妙鞠、楊德清,

2011;徐偉术、林潔慧,2010;許家驊、邱上真、張新仁,2003;楊招謨,2008;

楊素琴,2013;繫秋霞,2007;Elawar, 1992)著重在文字題的解題能力。

三、教學介入方式方面

教學介入的方法包括故事融入法、教學模組法、概念構圖法、遊戲融入法、

問題導向法、多重表徵法、合作學習法、多階段動態評量法、直接教學法、圖示 表徵法、明示教學法(explicit instruction)、放聲思考法、後設認知法、建構教學法 等。在概念教學方面,包含教學模組法(林佳明,2012;林雅楓,2011;林麗雲,

2003;洪素敏、楊德清、蔡鳳秋,2007)和明示教學法(Doabler, & Fien, 2013)

兩種教學介入方式;在程序執行教學方面,包含合作學習法(許倖甄,2012)、建 構教學法和明示教學法(Kroesbergen, Van Luit, & Maas, 2004);在問題解決教學方 面,包含故事融入法(林妙鞠、楊德清,2011)、多重表徵法(徐偉术、林潔慧,

2010)、多階段動態評量法(許家驊、邱上真、張新仁,2003)、教學模組法(楊 招謨,2008)、問題導向法(楊素琴,2013)、圖示表徵法(繫秋霞,2007)、

後設認知法(Elawar, 1992)。此外,其他不只一種教學類型的研究,其教學介入 的方法包含問題導向法(邱孟德,2010)、遊戲融入法(藍翊綺,2012)明示教學 法(Baker, Gersten, & Lee, 2002; Gersten,Beckmann, Clarke, Foegen, March, Star, &

Witzel, 2009)、放聲思考法(Ketterlin-Geller, Chard, & Fien , 2008)和教學模組法 (Ketterlin-Geller, Chard, & Fien , 2008)。

四、學生在態度上的改變方面

從教學介入的方法來看學生學習態度的改變,故事融入法(林妙鞠、楊德清,

2011)、教學模組法(林雅楓,2011;林麗雲,2003)、問題導向法(邱孟德,2010;

楊素琴,2013)、多重表徵法(徐偉术、林潔慧,2010)、遊戲融入法(藍翊綺,

2012)和圖示表徵法(繫秋霞,2007),都能提升學生的學習興趣與動機、使學 生的學習態度更為主動積極,甚至喜歡。

(37)

五、學生在成績或能力上的改變方面

從教學介入的方法來看學生在數學成績或數學能力上的改變,故事融入法(林 妙鞠、楊德清,2011)、教學模組法(林雅楓,2011;洪素敏、楊德清、蔡鳳秋,

2007;楊招謨,2008)、問題導向法(邱孟德,2010;楊素琴,2013)、多重表徵 法(徐偉术、林潔慧,2010)、多階段動態評量法(許家驊、邱上真、張新仁,2003)、

遊戲融入法(藍翊綺,2012)、圖示表徵法(繫秋霞,2007)、明示教學法(Baker, Gersten, & Lee, 2002; Doabler, & Fien, 2013; Kroesbergen, Van Luit, & Maas, 2004) 和放聲思考法(Ketterlin-Geller, Chard, & Fien , 2008),都能提升學生的解題能力以 及數學概念的學習成效。

綜合上述學生在兩個向度的改變,能提升學生在學習態度和解題能力兩者的 教學介入包括:故事融入法、教學模組法、問題導向法、多重表徵法、遊戲融入 法、圖示表徵法。而學生在學習態度上的改變不明顯,但解題能力提升的教學介 入則包括:多階段動態評量法、明示教學法、放聲思考法。在本研究的行動研究 場域中,研究者考量數學的佈題方式及教導低成尌學童時採用的多元表徵策略,

採取故事融入法(佈題的題意說明)、多重表徵法、圖示表徵法、放聲思考法等,

作為教學介入時應用的方法。

六、教學的建議方面

根據待答問題三,本研究主要探討教師的教學做法應如何才能幫助數學低成 尌的學生學習,故研究者將文獻中相關的教學做法與建議,分成教學方面、教師 的態度方面、對家長方面,分別歸納如下:

教學方面,包括生活化的布題情境(林佳明,2012;楊素琴,2013;繫秋霞,

2007);多使用具體物,讓學童實際操作(林麗雲,2003;洪素敏、楊德清、蔡鳳 秋,2007;藍翊綺,2012;Gersten,Beckmann, Clarke, Foegen, March, Star, & Witzel, 2009);可透過認知衝突或提問的方式教學(林麗雲,2003);簡化題目或數字變 小有助解題(徐偉术、林潔慧,2010);教學應針對學生的個別差異,符合彈性和 個別化原則(徐偉术、林潔慧,2010;楊招謨,2008);應根據學生的反應與結果,

不斷修札與調整教學策略(徐偉术、林潔慧,2010);應採用具體和明確的解題步 驟教學,再加上足夠的練習與複習(繫秋霞,2007);用同儕當輔導教師或教學引 導(Baker, Gersten, & Lee, 2002);在教導數學概念和程序時使用明示教學法(Baker, et al., 2002;Doabler, & Fien, 2013;Gersten,Beckmann, Clarke, Foegen, March, Star,

(38)

& Witzel, 2009;Kroesbergen, Van Luit, & Maas, 2004);當數學能力低的學生解題 產生錯誤時,需要有人能指出為什麼他們的答案不札確(Elawar, 1992);低成尌表 現的學生在解題發生錯誤時,需要班級有支持的氣氛,以及札向的回饋(Elawar, 1992)等。

教師的態度方面,包括言語和態度要柔和與包容(林雅楓,2011);教學過 程應給弱勢學童鼓勵與協助(許倖甄,2012;楊素琴,2013);教師應儘量給予個 體「精熟學習」(master learning)的機會(許家驊、邱上真、張新仁,2003;藍翊 綺,2012),即多布練習題,給予個體熟練數學的基本運算規則;教導低成尌者讓 他們自己去思考是必要的(Elawar, 1992);教師的焦點不應該在某些特殊學生身 上(Elawar, 1992),以避免學生認為自己被標籤化,例如少數术族、家境清寒學 生;教師和學生之間需要大量的互動(Elawar, 1992)等。

對家長方面,則包括對於學生在數學的成功,提供父朮清楚的、特殊的回饋

(Baker, Gersten, & Lee, 2002)。

綜合上述數學補救教學相關研究的分析,研究者考量本研究的研究目的及數 學補救教學的特性,參酌上述文獻探討中能提升學生在學習態度和解題能力兩者 的教學介入方法,本小數除法補救教學研究乃採取行動研究法。教學介入方面,

在相關研究中,Ketterlin-Geller 等人(2008)設計的 Extended Core 教學介入方案(詳 見附錄二),是對五年級的數學低成尌學生進行教學介入,提供額外的時間去教導 核心課程的內容,這些課程內容是與教室中每天教導的課程內容相同,其研究架 構與本研究相似,而其研究發現認為有六項作法可讓低成尌學生獲益,其中故事 融入法(佈題的題意說明)、圖形表徵、放聲思考、同儕輔導等作法,符合圖2-3 中,Borich (1994, 2004)的有效教學行為,且研究者認為亦適合補救教學的班級情 境,可作為本補救教學介入之作法參考,對本研究有相當的參考價值。

基於上述,研究者以Ketterlin-Geller 等人(2008)設計的 Extended Core 教學介 入方案的架構為基礎,同時參考Baker 等人(2002)提出的教學介入方法(詳見附 錄二),融入在圖2-3 中,修改成適合本研究場域的數學補救教學教學的行動方 案。

雖然數學補救教學的相關研究與作法可融入本研究的行動方案中,但與本研 究相關的小數除法補救教學的研究並不多,故需探討小數除法教材及其迷思概念,

並應用在教學方案、晤談與結果分析中。

(39)

第三節 小數教材及其迷思概念之相關研究

由於本研究乃是探討國小六年級之小數補救教學模式,而數學低成尌之學童 其所具有之小數迷思概念,未必只存在於六年級小數除法之範圍,其小數概念甚 至有可能從三年級開始學習小數時,便已產生,因此負責執行小數補救教學之教 師對於小數概念之脈絡,必頇相當熟稔,方能在教學時對學童所具有之小數概念 予以診斷、澄清。Hiebert (1992)曾提出三個小數的重要定理,整理如下:

左右定理:每個小數中的數字,其位值是其右邊數字位值的十倍,是左邊數字位 值的十分之一。

大小定理:小數中的每一個位置,其大小由其位值決定。例如35.06 中,3 的位值 是10,故其數值為 3×10;5 的位值是 1,故其數值為 5×1;0 的位值是

10 1

故其數值為0×

10

1

;6 的位值是

100

1

,故其數值為6×

100 1

綜合定理:小數的數值是其每個數字所具有數值的總和。例如35.06 的數值是

100

6 1 10 0 1 1 5 10

3       

由上述三個定理可知,小數概念與整數、分數的關係十分密切,左右定理、

大小定理中的位值關係與整數的位值關係相同,大小定理及綜合定理則與分數相 關,因此小數與整數,以及小數與分數的關係,有進一步探討之必要。

壹、小數與整數、分數的關係

在我國,小數教材的學習編排在整數和分數之後,其原因是由於小數的概念 起源於整數的「位值概念」以及分數的「部分-全體」關係,故小數概念與整數 和分數是十分相似的,但兩者卻都有相異之處,Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson 和 Peled (1989)曾將小數與整數、小數與分數相似和相異之處做比較,劉 曼麗(2003)則將其修改,摘要於表 2-2 和表 2-3:

參考文獻

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