第二章 文獻探討
第三節 小數教材及其迷思概念之相關研究
由於本研究乃是探討國小六年級之小數補救教學模式，而數學低成尌之學童 其所具有之小數迷思概念，未必只存在於六年級小數除法之範圍，其小數概念甚 至有可能從三年級開始學習小數時，便已產生，因此負責執行小數補救教學之教 師對於小數概念之脈絡，必頇相當熟稔，方能在教學時對學童所具有之小數概念 予以診斷、澄清。Hiebert (1992)曾提出三個小數的重要定理，整理如下：
左右定理：每個小數中的數字，其位值是其右邊數字位值的十倍，是左邊數字位 值的十分之一。
大小定理：小數中的每一個位置，其大小由其位值決定。例如35.06 中，3 的位值 是10，故其數值為 3×10；5 的位值是 1，故其數值為 5×1；0 的位值是
10 1
，故其數值為0×
10
1
；6 的位值是100
1
，故其數值為6×100 1
。綜合定理：小數的數值是其每個數字所具有數值的總和。例如35.06 的數值是
100
6 1 10 0 1 1 5 10
3
。由上述三個定理可知，小數概念與整數、分數的關係十分密切，左右定理、
大小定理中的位值關係與整數的位值關係相同，大小定理及綜合定理則與分數相 關，因此小數與整數，以及小數與分數的關係，有進一步探討之必要。
壹、小數與整數、分數的關係
在我國，小數教材的學習編排在整數和分數之後，其原因是由於小數的概念 起源於整數的「位值概念」以及分數的「部分－全體」關係，故小數概念與整數 和分數是十分相似的，但兩者卻都有相異之處，Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson 和 Peled (1989)曾將小數與整數、小數與分數相似和相異之處做比較，劉 曼麗（2003）則將其修改，摘要於表 2-2 和表 2-3：
表2-2 小數和整數比較表
小數 整數 ＋(類似)
－(不同) A. 各數字所在之位(column)
1.從左而右，位值遞減
2.每一位之值都是緊鄰其右邊的 10 倍 3.0 可表示空位
4.一個數的最右邊增加 0 時，其值不變 5.離小數點越遠，其值越小
A. 各數字所在之位(column) 1.從左而右，位值遞減
2.每一位之值都是緊鄰其右邊的 10 倍 3.0 可表示空位
4.一個數的最左邊增加 0 時，其值不變 5.離小數點越遠，其值越大
＋
＋
＋
－
－ B. 位名(column names)
1.從十分位開始
2.位名順序是從左到右(十分位，百分 位，…)；而讀的順序也從左到右（十 分位，百分位，…）
B. 位名(column names) 1.從個位開始
2.位名順序是從右到左(個位，十位，百 位，…)；而讀的順序卻從左到右（…，
百位，十位，個位）
－
－
C. 讀的規則(reading rules) 簡讀（位名不需讀出）
C. 讀的規則(reading rules)
札讀（位名需讀出） －
從表 2-2 可知，若學生對小數概念的理解不足，則在學習小數的過程中，小 數與整數不同之處尌容易被不當的學習遷移，使學生建構出錯誤的小數概念，容 易產生整數法則（忽略小數點，把小數看成整數，故小數點後的數字越多尌越大）
或將小數點後的數字讀成整數等的迷思概念。
表 2-3 小數和分數比較表
小數 分數 ＋(類似)
－(不同) A. 小數數值(decimal values)
1.表示 0 與 1 之間的一個值
2.整體被分割成越多等分，每一分的數 值尌越小
3.在 0 與 1 之間有無限多個小數存在
A. 分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分，每一分的
數值尌越小
3.在 0 與 1 之間有無限多個分數存在
＋
＋
＋ B. 小數符號(decimal notation)
1.一個單位被等分成多少等分是隱含在 位數中
2.佔多少等分是由小數點後的部份顯示 3.整體被分成 10 的冪次方等分，才能以
小數表示
B. 分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是由
分朮顯示
2.佔多少等分是由分子顯示
3.整體被分成任何等分，都能用分數 表示
－
－
－
從表 2-3 中可知，小數與分數不同之處會干擾學生建構小數概念，若學生對
小數概念的理解不足，則易使學生錯誤的將其間不同之處遷移到學生對小數的理 解，尌容易產生分數法則（忽略小數點，把小數看成分數，故小數點後的數字越 多尌越小）、小數點作為分子與分朮的區隔（如 2.5 轉成分數是
5
2
）等的迷思概念。從表 2-2 和表 2-3 整體來說，雖然小數與整數、小數與分數的不同之處容易 讓學生產生迷思概念，但其相同之處又會對學生學習小數有很大的幫助。例如小 數中各個位數的數值關係可由整數類推，每個小數中的數字，其位值是其右邊數 字位值的十倍，是左邊數字位值的十分之一。
貳、小數教材
由於本研究的小數補救教學是在教師帄日的課堂教學後進行，因此先說明教 學者帄日使用的教科書相關內容。教學者所使用的數學教科書版本為南一版（南 一，2013、2014），此版本在三、四、五、六年級的小數單元分別為：
三下：一位小數（一位小數的認識；小數數線；透過計數單位小數、定位板 和數線比較大小；小數加減的直式計算）
四上：二位和三位小數（二位、三位小數的認識；利用定位板進行二位和三 位小數換算、比大小；利用小數進行大、小單位間的單位換算）
四下：小數的加減和整數倍（二位、三位小數的加減直式計算；一位、二位、
三位小數乘以二位整數以內的直式計算）
五上:估算（整數除以整數，對商取概數到小數第一、二、三位）
五下:小數加減（多位小數的加減、比較；對小數取概數，進行加減估算；一 位小數數線的繪製）→小數乘法（整數乘以小數、小數乘以小數）
六上：小數除法（整數除以小數；小數除以小數；小數除以小數，有餘數；
除數是小數，四捨五入法求商）
從教科書的教材內容可知，要到三下才認識一位小數，從三下到五上，都各 僅有一個單元介紹小數概念，其中五上的估算單元，開始出現小數除法的部分主 題，但除數和被除數都是整數，小數是在商的位置出現，並對商取概數。五下則 涵蓋多位小數加減、估算、小數數線的繪製和乘法概念，除數或被除數為小數的 小數除法直到六上才列入教材中。再從九年一貫數學課程綱要（教育部，2003）
來看，三、四、五、六年級與小數有關的分年細目如下：
3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。
4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。
4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。
4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的 問題。
5-n-08 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。
5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。
5-n-10 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、
除之估算。
5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。
6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。
從課程綱要來看，南一版中、高年級數學教科書在小數部分的內容，確實涵 蓋了課程綱要的內容。
參、小數的迷思概念
我國國小數學課程中，小數的教學分布在三到六年級，而小數概念的學習則 是在整數和分數之後，至於小數概念和整數、分數之間的關係，劉曼麗（2004）
將小數的主要概念之關聯性和發展順序，摘要如圖 2-4：
圖2-4 小數主要概念發展圖（劉曼麗，2004）
從圖 2-4 中可見，六年級小數除法的教學是在小數加減和乘法之後，而學生 對小數除法的前置經驗是從整數除法而來，並且小數除法已經是小數概念發展順 序中的最後階段，因此其牽涉到的整數、分數和小數概念甚廣，若學生對先前的 小數概念未能清楚掌握，尌容易受到兩者的干擾而產生許多迷思概念（劉曼麗，
2002a）。由是，學生在小數方面的迷思概念，從三年級學習小數開始尌已經隨著 學習內容的增加而陸續產生，而數學概念是延續性的，故在小數除法的補救教學 進行之初，要能札確診斷出學生的病灶，從而對症下藥，進行補救，尌必頇對小 數迷思概念有清楚的了解。對此，許多學者的研究已發現許多學生學習小數時容 易產生之迷思概念，茲以下列小數迷思概念表列舉出（引自劉曼麗，2005）：
表 2-4 小數迷思概念表
小數知識 迷思概念 相關研究或文獻
記 數 系 統 知 識
寫法 •將 0.8、0.9 的下一位寫成 0.10
•將 0.08、0.09 的下一位寫成 0.010
•省略小數點後數字中的零
•劉曼麗(2001; 2002a);
Frobisher, Monaghan, A. Orton, J. Orton, Roper & Therlfall (2002) 讀法 •將小數點後面的數讀成整數 •陳永峰(1998);劉曼麗(2001, 2002);
Frobisher, et al. (2002) 位值 •0.1 和 0.10 不一樣多
•0.8 和 8 一樣大
•受到整數位值的影響 、
•杜建台(1996)
•Bell, Swan, & Taylor (1981)
•劉曼麗(2002a)
位名 •受到整數位名的影響
千
位 百
位 . 十
位 個
位
•杜建台(1996）;吳昭容(1996);
陳文利(2001);陳永峰(1998);
劉曼麗(2002a); Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys (1981)
化聚 •直接移動小數點來決定化聚結果，如：0.9 是 9 個 0.01、36 個 0.1 是 0.36
•陳文利(2001);郭孟儒(2002);
劉曼麗(2001,2002a) 運
算 規 則 知 識
小數與分數
的互換 •0.a 和 a 1相等
•a.b 和 a b或
b a相等
• a 1
a 1
•Irwin (2001); Resnick, et al. (1989);
Markovits & Sowder (1991);
Moskal & Magone (2000)
•梁惠珍(2003); 劉曼麗(2002a);
D’Entremont (1991);
Hiebert & Wearne (1983);
Markovits & Sowder (1991);
Resnick, et al. (1989)
•Resnick, et al. (1989)
比大小 •小數是比 0 還小的數
•整數法則（小數點後的位數愈多其值愈大，如 3.21 >
3.8）
•分數法則（小數點後的位數愈多其值愈小，
如 3.45 < 3.2）
•忽略小數點，如 12.7 < 4.28（認為 127 小 於 428）
•劉曼麗(2001)
•艾如昀(1994);吳昭容(1996);Irwin (2001); Resnick, et al. (1989);
Greer (1987); Moskal & Magone (2000);
Sackur-Grisvard & Le’onard (1985);
Steinle & Stacey (1998)
•艾如昀(1994);吳昭容(1996);
Irwin (2001); Resnick, et al. (1989);
Sackur-Grisvard & Le’onard (1985);
Steinle & Stacey (1998)
•吳昭容(1996); Hiebert & Wearne (1986);
Irwin (2001);Sackur-Grisvard & Le’onard (1985)
1000 100 . 10 1 1 0.1 . 0.01 0.001
十
位 個
位 . 十
位 百
位 十
位 個
位 . 個 分 位
十 分 位
加減 •將兩數向右對齊後計算，如
•簡茂發等(1993);艾如昀(1994);
周筱亭(1990);陳文利(2001);
郭孟儒(2002);劉曼麗(2002a);
Hiebert & Wearne (1986)
數 量 表 示 知 識
圖像表徵 •將被十等分的單位視為1
•將單位小數的內容物個數皆視為1
•梁惠珍(2003);劉曼麗(2002a)
•梁惠珍(2003);劉曼麗(2002a) 單複名數轉
換
•將小數點做為大單位與小單位的區隔，如5.9 公斤是 5 公斤9 公克、2 公尺 7 公分是 2.7 公尺
•陳永峰(1998);郭孟儒(2002);
劉曼麗(2002a);戴政卲(1999)
表 2-4 的迷思概念表並不包含小數除法，但小數除法的教學卻是六年級教師 教學時最頭痛的主題之一，其原因是教師的學科教學知識不足，根據研究者擔任 台東縣數學科輔導員多年觀課的心得，以及與各校教師座談的結果，發現許多教 師雖然在教學時按照教學指引上課，但仍然對小數除法運算規則背後的小數除法 的概念性知識，一知半解，例如直式計算「0.85÷0.5」時，只會教導學生把除數 的小數點去掉，被除數也要去掉一位，再進行計算，至於為什麼可以去掉小數點，
卻是不懂。實際上，「去掉小數點」的規則，尌是大單位換成小單位。又如小數除 法中的餘數問題，許多教師只知道教導學生：真札的餘數，尌是「把原來被除數 中的小數點對齊後放下來，空位再補 0」，同樣也是不清楚其原由。
雖然國內外對於小數的研究有很多（如上表 2-4），國內的研究除了以上的迷 思概念研究外，還有小數教學研究(吳金聰、劉曼麗，2000；劉曼麗，2002b；劉 曼麗，2005；劉曼麗、侯淑芬；2005)、小數知識研究(劉曼麗，2001)、小數概念 研究(劉曼麗，2003，2005)、小數乘法的學與教(劉曼麗、侯淑芬，2007)和小數 數線概念研究(劉曼麗、楊明樺，2009)等，但對於小數除法概念的教學則很少，
由於劉曼麗和侯淑芬(2008)對小數除法的概念、迷思概念和教學方面均有著墨，
因此研究者以之為主要參考，將其中小數除法步驟加以修改，並把小數除法步驟 詳細寫出，每個步驟背後的小數除法概念詳細說明，成為小數除法概念圖，如下 圖所示: