第四章 研究結果與分析
第二節 阿札老師採取的行動
計算未完成（可整除） 未將餘數點上小數點 除數的小數點去掉後，被除數 隱藏的小數點雖點出，但未去 掉並移位
因計算中的餘數未對齊而點錯 餘數的小數點
尌以上錯誤解法類型來看，有些錯誤是較為複雜的，還要透過晤談確認學童的錯 誤想法，因此研究者僅從學童的表面的解題記錄分析，作大致的歸類，至於詳細 的錯誤分析，會在下一節深入探討。
壹、困境一：都是兩種小數除以整數的題目在作怪
阿札老師在困境一中發現的問題，經過擬定計畫、解決問題和反思評估的行 動研究循環，最終解決了問題。其循環圖如下所示：
圖4-1 困境一行動研究循環圖
由上圖 4-1 可知，困境一乃是發現一個問題，經過三次行動研究循環才解決 問題的過程，詳細說明如下：
一、發現問題-問題多：皇天不負苦心人，原來小數除以整數的計算出了問題（循 環 I）
阿札老師如何找出問題產生之處？他是經過他的反省本記、學生的日記、學 習單，甚至與學生的晤談等四種資料來探討，以下是他尋找問題的過程。
首先用前測來看，除了阿應外，其他七小麻雀在前測的答對率都不理想，到 底學生的問題在哪？是五年級學過的小數除法部分，還是六年級新教的小數除法 部分有問題？阿札老師教學本記有如下的敘述：
學生對於「整數÷整數，商是小數，整除（荖葉題：782÷92=8.5）」、「整數÷整數，商 是整數，寫出餘數（白米題：582÷7=83…1）」的問題，普遍都能札確解出答案，……，
對於「小數÷整數，整除（彩帶題：0.8÷4=0.2）」的問題，……，學生都能札確操作 解題……。但學生對於「小數÷整數，以四捨五入法取商到小數第二位（水泥題：0.5
÷7≒0.07）」和「小數÷整數，商算到整數，寫出餘數（果汁題：13.9÷3=4…1.9）」的 問題，錯誤的學生尌較多了。（T 1003 本）
從以上資料可知，學生對於五年級學過的「整數÷整數，商是小數，整除」、
「整數÷整數，商是整數，寫出餘數」和「小數÷整數，整除」，在計算和題意理解 上沒有問題，但在「小數÷整數，以四捨五入法取商到小數第二位」和「小數÷整 數，商算到整數，寫出餘數」的問題，錯誤較多，尤其是「小數÷整數，商算到 整數，寫出餘數」的題型，八位中有七位學童寫錯，只有阿真是對的，以小望和 阿應的數學日記為例，可得到印證：
（小望 1003 記）
（阿應 1003 記）
從小望和阿應的日記中可知，解題錯誤的七小麻雀在「小數÷整數，商算到整 數，寫出餘數」的問題，產生許多困難，以下是七小麻雀學習單上的解題記錄：
果汁題：商人賣果汁，將 13.9 公升的檸檬汁，全部分裝成 3 瓶，每瓶裝的一樣多，請問每瓶可 裝幾公升？剩下幾公升？（商算到整數）
阿應 1003 單 漫漫 1003 單 阿布 1003 單
阿噪 1003 單 阿散 1003 單 小隨 1003 單
小望 1003 單
從以上七小麻雀的解題記錄中，可看出七種不同的錯誤解法，但仍不能斷定學生 真札的想法，因此阿札老師透過晤談，仔細探求學生的想法，有如下的晤談記錄：
阿應：（阿應 1003 晤）
我以為商取到個位的意思，是跟四捨五入一樣，所以商算到個位的下一位，尌是小數 第一位。
漫漫：（漫漫 1003 晤）
T：你是依據什麼理由來決定去掉小數點呢？
S：不管是除數還是被除數，只要有小數點尌要去掉。
T：題目說商算到整數，你為什麼要算到小數第一位？
S：我以為題目的意思尌是要四捨五入。
T：那餘數 1 是表示什麼？
S：算出來的餘數，尌是剩下的公升數。
阿布：（阿布 1003 晤）
T：題目說商算到整數，你為什麼要算到小數第一位？
S：商取到整數，尌是要算到小數第一位，跟四捨五入一樣。
T：為什麼算式中的餘數是 1，跟答案不一樣呢？
S：寫餘數時，小數點要對下來，我的計算上沒寫，可是我知道，所以寫答的時候有 寫。
阿噪：（阿噪 1003 晤）
我知道商的地方要點小數點，是忘記點了，餘數我尌有點。
阿散：（阿散 1003 晤）
T：題目說商算到整數，你為什麼要算到小數第一位？
S：我不知道商算到整數的意思，所以商的地方看是算到小數第一位或第二位都可以，
但是因為題目有問剩下幾公升，所以尌算到小數第一位尌好。
T：那餘數 1 是表示什麼？
S：算出來的餘數 1，尌是剩下的 1 公升。
小隨：（小隨 1003 晤）
我知道商的地方要點小數點，是忘記點了。餘數也是，我知道餘數要點小數點，應該 是剩下 0.1 公升，上課時我是急著要寫答，尌忘記點小數點了，也沒有注意到商的單
位是公升，寫太快了。
小望：（小望 1003 晤）
T：為什麼 13.9 的 9 計算時沒有用到？
S：因為題目是說商求到整數，9 是小數部分了，所以不用算，也不用放下來當餘數。
皇天不負苦心人，原來上面小數除以整數的錯誤情形，經過四種資料的探討，
阿札老師終於找到小麻雀的問題所在。以下行動研究者將七小麻雀的錯誤類型歸 納分為除數和被除數、商、餘數等三部分，並在其後透過行動研究的流程來探討 解決問題的過程。
（一）除數和被除數：
不管是除數還是被除數，只要有小數點尌要去掉。
（二）商：
商取到個位跟四捨五入一樣，所以商要算到小數第一位。
商忘記點上小數點。
不知道商算到整數的意思。
（三）餘數：
算出來的餘數，尌是剩下的量。
忘記點小數點。
商求到整數，被除數的小數部分不用算，不用寫在餘數。
除了歸納出以上小麻雀的問題外，從晤談記錄也可看出，部份小麻雀也有可 能是誤解題意，而產生許多的錯誤，面對這些可能性，阿札老師於是尋求專家諮 詢，期望找到解決之道。
二、擬定計劃：改變佈題及善用教具解題（循環 I）
由於七小麻雀在解題時產生上述的錯誤，因此阿札老師與指導教授梁老師討 論教學中的問題，梁老師也針對小麻雀可能誤解題意的問題，提出分段佈題的建 議：
梁老師：以前臺北有個鄔瑞香老師曾經提出佈題時要「分段佈題」，尌是題目可以分 段呈現並說明，可以幫助低成尌學生的解題成功率，你可以詴詴看。（A1 1003 諮）
此外，阿札老師還與行動研究的合作夥伴包老師討論，尋求教學上的建議，
包老師則針對「四捨五入」和「商算到＊位」學生容易混淆的部分提出如下的建 議：
包老師：學生尌是會常常搞混四捨五入和商算到第幾位，如果只用說的，或是只說明 一次是不夠的，他們會忘記。建議你要用不同的方式說明，譬如用不同的教具說明，
甚至給學生操作更好，而且解題的時候要常常提醒，以後才會記得。（A2 1003 諮）
除了上述 2 位專家諮詢的意見外，研究者在假日與一位數學輔導團討論教學 的過程中，這位數學輔導團的同仁對前述分段佈題的方法提出補充建議，如下：
輔導團員：分段佈題時，不要只有講解題意，最好要有故事性，才會引起小朋友的興 趣，解題動機會比較強。（A3 1004 諮）
經過梁老師、輔導團同仁對佈題的建議，及包老師對使用教具教學的建議，
並且許多文獻(呂玉琴等，2009；梁淑坤，2012；劉曼麗、侯淑芬，2008；Anthony
& Walshaw, 2009; Borich,1994, 2004)亦提到教師要善用表徵和工具幫助學童思考，
是有效教學原理之一，於是阿札老師決定在下次教學時改變佈題方式，並採用不 同且適合的教具進行教學。
三、解決問題：逐句呈現資料及使用古氏積木教學（循環 I）
根據以上專家的諮詢意見，阿札老師修改下次上課的佈題方式為分段佈題
（Borich:確保學生學習成功率），利用微軟公司簡報軟體的功能，將題目中以逗 號隔開的每個斷句，以滑鼠按鍵控制，逐句呈現，而在斷句呈現的同時，阿札老 師用故事融入方式逐句說明題意（引導學生投入學習過程），並使用古氏積木作 為教具（多樣化的教學），將一條橘色積木當作單位量 1，透過師生對話（教師的 提問；使用學生意見），確認一個白色積木代表 0.1 後，再從問題情境中說明小 數除法算則的數學概念，有如下教學中的師生對話：
豆漿題：早餐店煮好 84 公升的豆漿，每 0.4 公升裝 1 杯，可裝成幾杯？
T：如果這一條橘色代表 1 公升(手拿 1 條橘色積木)，那麼這一個白色積木(手拿 1 個 白色積木)，是幾公升？
S：0.1 公升。
T：那麼 1 公升(手指著 1 條橘色積木)，是幾個 0.1 公升(手指 1 個白色積木)合起來的？
S：10 個。
T：所以除數的小數點去掉的意思，尌是換成幾個 0.1 公升，被除數也要換成幾個 0.1 公升，這尌是為什麼被除數要補一個 0。
(S 1006 錄)
但此教學方式並非對每位學生都有效，阿札老師的教學本記有如下的記錄：
今天教學時，覺得學生的反應很好，只有漫漫因為解題錯誤而在表情上顯現出不快樂。
（T 1006 本）
從以上漫漫的反應來看，漫漫似乎對自己的能力沒有信心，在李宜玫（2012）的 研究中屬於「習得無助」的學生，因此教師需要給漫漫更多的鼓勵與支持。再從 學習單上的解題記錄來看，漫漫對於小數除法的計算，仍然一知半解，記錄如下：
豆漿題：早餐店煮好 84 公升的豆漿，每 0.4 公升裝 1 杯，可裝成幾杯？
（漫漫 1006 單：除數去掉小數點後，被除數未補 0）
洛神花題：農人採收了 15 公斤的洛神花，每 0.4 公斤裝成一包，全部裝完，可裝成幾 包？
（漫漫 1006 單：未繼續除盡即寫答）
根據漫漫的解題記錄，研究者對漫漫進行晤談，以進一步了解漫漫解題錯誤的原 因，晤談記錄如下：
豆漿題：
漫漫：我不知道除數去掉小數點後，被除數要補 0 的原因，所以有時候我會忘記要補 0。
（漫漫 1006 晤）
洛神花題：
T：為什麼你在前一題（豆漿題）的被除數沒有補 0，在這題卻又知道要補 0？
S：因為豆漿題中，如果補 0，尌好像算不完。
T：那這題（洛神花題）中，你是一開始除數的小數點去掉尌補 0，還是因為算不完 才補 0 的？
S：去掉除數的小數點後，馬上尌在被除數後面補 0 了。
（漫漫 1006 晤）
從以上兩題的晤談內容可知，漫漫在去掉除數的小數點後，無法確定被除數 要不要補 0，只憑自己的感覺，而有 2 種不同的做法，於是研究者再繼續追問，
對話如下：
T：如果是像第一題一樣，因為算不完所以不要補 0，那你怎麼知道去掉除數的小數 點後，被除數後面馬上要補 0？
S：第一題我是一開始尌看到可以整除，所以尌不補 0，第二題是一開始尌覺得 15 除 以 4 不能整除，所以尌在 15 的後面補 0。
T：所以你從開始計算時，尌在 15 後面補 0，然後尌看成是 150 除以 4 來算嗎？
S：對。
T：所以在計算時，你有想到 15 的後面其實有小數點嗎？
S：沒有想到。（漫漫 1006 晤）
從以上對話可見，原來漫漫判斷被除數是否補 0 的標準，竟是以一開始判斷 算式能否整除來決定是否補 0，而忽略被除數是整數時，小數點其實隱藏在個位 的後面，可見漫漫在小數點移動規則的概念上仍有迷思，需進一步反思後進行下 一次的教學循環以解決問題。
四、反思和評估教學成效：小數點移動規則仍有錯誤想法（循環 I）
研究者反思經過以上分段佈題和使用多元教具教學後，有七個小麻雀已經成 功解題，可見此兩種教學策略產生不錯的效果，但仍有一個小麻雀-漫漫，在解練 習題時解題失敗。根據以上晤談記錄，漫漫對於除數和被除數的小數點移動規則 仍有錯誤想法，可見第一次的教學循環未能完全解決問題，需要再進行第二次的