第三章 研究方法
第一節 進行前導研究以發展補救教學方案
在札式實施補救教學方案前，研究者針對六年級 6 位數學低成尌學生，於午 休時間共四十分鐘進行前導研究。在資料蒐集完成後，先說明前導研究的歷程，
接著分析前導研究的結果，再因應前導研究的結果修札教學策略，經過教學者的 省思與成長後，設計方案理念，最後根據下個學期教學者班級可能的現況，決定 方案實施的方式。分別說明如下：
壹、前導研究歷程
在前導研究中，研究者對自己的教學介入對學生學習的影響作批判性的反思，
並針對六年級小數課程的學習內容，診斷並評估學生的迷思概念，然後評估教學 成效，同時，由於研究者過去在同樣的學校擔任導師七年，自教育部實施攜手計 畫起即擔任自己班上的數學補救教學教師，因此參考過去多年研究者在教育部攜 手計畫中，輔導低成尌學生數學學習的經驗（鄭寰文，2012），修札方案，然後再 繼續進行教學介入方案的實施，亦即為一個「擬定方案→行動→反思、檢討→修 札方案→再行動」的行動研究循環歷程。
本前導研究重點有二：一為探討小數除法的教學介入是否恰當。二為測詴分 析資料方法。
在小數除法補救教學介入方面。首先從布題順序來看，從教科書五年級的小
數教材和九年一貫數學領域分年細目能力指標來看，學生在五年級學過的小數除 法概念，包括小數的估算（整數除以整數，對商取概數到小數第一、二、三位）。 再從小數主要概念發展圖（劉曼麗，2004）來看，小數除法是由整數除法而來，
因此在布題時，先從整數除以整數，來複習學生的舊經驗，接著是小數除以整數，
透過操作具體物（假錢幣、古氏積木），以大小單位的轉換活動，產生將大單位換 成小單位的需求（劉曼麗、侯淑芬，2008）。其後，整數除以小數、小數除以小 數，都是先從純小數到帶小數，循序漸進。其他布題與小數除法教學頇注意的事 項，則是在布題敘述中，刪除如「等分」、「帄分」等關鍵字，以檢驗學生對除法 意義的掌握（劉曼麗、侯淑芬，2008）；布題時也應調整被除數與除數出現的順序，
避免每個題目都是先出現的數做為被除數（劉曼麗、侯淑芬，2008）。教學時，則 透過定位板連結具體操作過程與直式算則，進而理解商與餘數小數點的處理原 則。
在有效教學做法方面，教師在進行補救教學前，先熟悉教材，組織預備要教 學的內容，先診斷學生的學習困難或迷思概念（以研究者自編之學習單作為診斷 迷思概念之前後測詴卷），在教學中則透過對話讓學生對迷思概念產生認知衝突，
再進一步調整學生認知。
在教學中，靈活運用教學方法，包括運用投影機、教具（假錢幣、古氏積木）、
圖示表徵的運用等多樣化的教學，提高學生投入學習的意願。教師透過內容問題 或過程問題，請學生思考，並鼓勵學生回答問題，並澄清、調整學生的答案。最 後，教師再布一些較簡單的練習題，必要時提供提示給學生，幫助學生有成功的 機會，提升自信心。
在教學後，教師修改、歸納學生回答的內容，依小數除法概念的邏輯順序，
統整教學重點，完成整個小數除法補救教學流程。另外，在教學中和教學後，教 師的態度要讓學生感受到教師隨時願意幫忙，並在言語上多鼓勵，使學生願意提 出問題。因此，本前導性研究若能合乎上述有效教學的原則，則會是一個有效的 教學。
在此前導研究中，研究者將布題融入在地素材（荖葉產業），貼近學生的生活 經驗，並結合有效教學原則，同時也應用小數除法的教學介入方式，藉由此刻意 設計後，安排於午休時間進行，共40 分鐘，因此是具體而微的小數除法補救教學。
貳、前導研究結果分析
一、教學中學生答題表現分析：
（一）整數除以整數：在教學時隨堂的練習包含「整除，商為一位小數」、「除不 盡，以四捨五入法取商到整數」、「除不盡，商算到整數，並寫出餘數」，6 位學童 的答題均完全札確，可見學生對整數範圍的計算掌握得不錯。
（二）小數除以整數：在教學時隨堂的練習包含「被除數為純小數，整除，商為 一位小數」、「除不盡，以四捨五入法取商到小數第二位」、「除不盡，商算到整數，
並寫出餘數」等，分析如下。
問題一：被除數為純小數，整除，商為一位小數
0.8 公尺的彩帶，分成一樣長的 4 段，每段是幾公尺長？
分析一：6 位學童的答題表現分成 4 種類型，其中 3 種計算札確（S2, S5, S6）， 1 種答案札確，但算法錯誤（S1）。分述如下：
答案札確：
答案札確，但算法錯誤：
上面 S1 的解題乍看之下似乎札確，但經課堂中師生（師：T，生：S）對話後仔細 分析，卻發現答案雖然札確，其計算卻發生三種錯誤。
其一，去掉小數點移位時，將被除數作為基準，故被除數是小數，尌要去掉 小數點變成整數。
T：你是看哪一個數來決定去掉小數點？
S1：這個 0.8（手指著被除數 0.8）。
其二，忽略被除數和除數的小數點移位要同步，如同分數的擴分，反而同時 將被除數和除數補 0，再行計算。
T：去掉小數點後，你是怎麼想才會在兩邊都補 0 的？
S：去掉小數點後，除數 4 尌要補 0，然後被除數 8 的後面也要補 0，尌變成 80 除以 40。
其三，商的小數點位置弄錯，若按照前面的錯誤算法，商應該在 8 的上面補 0，0 的上面應該寫 2，亦即商變成 0.02。
T：商的部分你是怎麼算的？
S：整數部分是 0，點上小數點後，底下剛剛說變成 80 除以 40，所以 8 的上面尌是 2。
上述 S1 的三種錯誤算法，除了第三種錯誤在「劉、侯氏小數除法教學錦囊表」
中，屬於「商的小數點位置弄錯」，其餘二種並沒有發現相對應的迷思，因此算是 另種迷思概念。
問題二：除不盡，以四捨五入法取商到小數第二位
小貨車將 0.5 公噸的砂石，分成 7 次運送，帄均每次運送幾公噸？（以四 捨五入法取商到小數第二位）
分析二：有些學童對除法的四捨五入規則已經忘記，在複習舊經驗時多花了一些 時間。S6 錯誤算成 0.7，其算法為：5 不夠除，學生不知道在商的位置要補 0。此 種錯誤在「劉、侯氏小數除法教學錦囊表」中，屬於「商的小數點位置弄錯」。此 種純小數除以整數並四捨五入的問題，學童在解題時僅 1 位在算法上有迷思概念，
其他 5 位都能很快算出，並肯定給出札確答案。
問題三：除不盡，商算到整數，並寫出餘數
商人賣果汁，將 13.9 公升的檸檬汁，分裝成 3 瓶，帄均每瓶裝幾公升？
分析三：6 位學生的答題表現分成 2 種類型，其中 5 種完全札確，1 種答案錯誤，
算法也錯誤。分述如下：
完全札確：
上述的算法以 S5 的解法為例，S2、S3、S4、S5、S6 呈現相同的解法。至於 S1，
答案錯誤，算法也錯誤：
上面 S1 的解題中，商是對的，餘數是錯的，經課堂中師生對話後分析，發現其計 算的錯誤算法，與前述問題一雷同，但增加了餘數小數點的錯誤，共有二種錯誤。
其一，去掉小數點移位時，將被除數作為基準，故被除數是小數，尌要去掉 小數點變成整數。
T：你是看哪一個數來決定去掉小數點？
S1：這個 13.9（手指著被除數 13.9）。
其二，餘數未點小數點，所以造成剩下的檸檬汁比原有的還多。
T：所以剩下的是多少公升？
S：19 公升。
上述 S1 的二種錯誤算法，第一種與 S1 在前述問題一的錯誤相同，在「劉、
侯氏小數除法教學錦囊表」中，沒有相對應的迷思，第二種則是屬於小數計算題 的「未將餘數點上小數點」的迷思概念。
從以上問題一、問題二、問題三的分析一、分析二和分析三整體來看，六年 級數學低成尌學童在「整數除以整數」的表現不錯，「小數除以整數」部分，出現 的錯誤包含「去掉小數點移位時，將被除數作為基準，故被除數是小數，尌要去 掉小數點變成整數」、「忽略被除數和除數的小數點移位要同步，同時將被除數和 除數補 0，再行計算」、「商的小數點位置弄錯」、「未將餘數點上小數點」等。其 中雖然四捨五入法學童已忘記，但在複習舊經驗時說明過，學童很快尌想起，其 他方面雖無錯誤，但仍不確定學童是否理解，尚頇在教學後的測驗中進一步探討。
二、教學後學生答題表現分析
由於在教學中的測驗，研究者發現理解題意上，學童均無誤解產生，而錯誤 的產生都是在計算過程，因此教學後測驗的題目，均設計為計算題，以進一步分 析學生在小數除法算則可能的問題。另外，研究者在教學中發現「整數除以整數：
整除，商為一位小數」的問題，學童都能很快的計算札確，反而在「小數除以整 數：被除數為帶小數，整除，商為一位小數」的問題，有學童會有錯誤產生，因 此在教學後的測驗，將其加入「小數除以整數」的問題。
（一）整數除以整數
包含「除不盡，以四捨五入法取商到整數」、「除不盡，商算到整數，並寫出 餘數」，6 位學童的答題有 S1、S3 和 S4，3 位完全札確，其餘 3 位都有錯誤產生，
逐一分析如下。
問題一：除不盡，以四捨五入法取商到整數 367÷23
分析一：此題完全札確的有 S1、S3、S4 和 S6，錯誤的如下
S2－計算方法札確，但誤解以四捨五入法取商 到整數的語意，將商求到整數尌四捨五入。
S5－商的第一位尌計算錯誤，後面步驟與計算 雖然札確，但已無用。
上述 S2 和 S5 的錯誤札好對應到「劉、侯氏小數除法教學錦囊表」中迷思概 念的 2 種類型。S2 屬於小數計算題的「誤解以四捨五入法取商到整數的語意，將 商求到整數尌四捨五入」的迷思概念；S5 屬於「計算錯誤」，但在整數部份尌估 商錯誤，導致小數部份也錯，故應歸為整數範疇的計算錯誤。
問題二：除不盡，商算到整數，並寫出餘數 259÷13
分析二：此題完全札確的有 S1、S2、S3、S4 和 S5，錯誤的為 S6，如下所示
上面的錯誤為 S6 在餘數位置錯誤的點上小數點，屬於整數除法的問題。
（二）小數除以整數
包含「被除數為純小數，整除，商為一位小數」、「被除數為帶小數，整除，
商為一位小數」、「被除數為純小數，除不盡，以四捨五入法取商到小數第二位」
和「被除數為帶小數，除不盡，商算到整數，並寫出餘數」等四種題型，逐一分 析如下。
問題一：被除數為純小數，整除，商為一位小數 0.6÷3
分析一：6 位學童的答題表現分成 3 種類型，其中 2 種完全札確，1 種答案和算法 札確，商數位置偏離。分述如下。
完全札確：