分形理論

「分形」一詞，英文為fractal，中文譯為「分形」或是「碎形」，源於拉丁字根Fractus，

原有「破碎」之義，指破碎部分不規則集合在一起的狀態（張志山, 1996），例如：散亂 的雲彩、碎裂的浪花、崎嶇的海岸等等。

瑞典數學家科赫（H. von Koch）在 1904 年介紹了科赫曲線（Koch Curves），由於 此曲線像是雪花的結晶體，因此也被稱做Snowflake Curve。科赫曲線的原則如下：將一 線段分成三等分，以中間線段為底邊，做出一三邊等長之三角形，再取走此三邊等長之 三角形的底邊，將剩下四個線段重複第一步驟，不斷重複下去（參考下圖）。

二次科赫曲線 一次科赫曲線 線段

三次科赫曲線

圖 7 科赫曲線形成示意圖

最後將三條科赫曲線以每次旋轉120 度後拼湊起來，就可以得到下圖類似雪花圖案 的科赫島，為分形理論揭開了序幕。。

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圖 8 科赫島圖

分形理論首次出現是在1970 年代，由法國數學家曼德布羅（Benoit Mandelbrot）在 論文中提出，正式定名之理論（Mandelbrot 1982）。曼德布羅認為英國海岸線的長度是 不確定的，比例尺越大，海岸線的長度越長，針對英國海岸線長度的不確定，發現分形 是一種相當破碎複雜，但並非完全無規則的現象，反而是一種自我相似性的體系，因此 他賦予其一套異於古典歐式幾何學的數學基礎，並提供了圖形語言以解釋混沌系統之全 觀性微觀行為模組，在特定之互動關係網中，經由不斷自我複製，發展成宏觀結構之過 程。雖然分形理論側重於幾何學，但內容主要是在探討分形元如何經由自我複製，影響 周邊單元形成集團與長程效應。

曼德布羅將分形理論特性歸納成以下三點：

1. 自相似原理（Self-similarity）：指一體系在幾何變換下具有不變性，凸顯了自然界中 處處可見的物質基本屬性。意即複雜系統的整體與局部、局部與系統元素等各個層 次，在結構型態上皆具有相似性。

2. 尺度不變性（Scale invariance）：指對碎形集中的任一局部區域進行變換（如放大或 縮小），所得之變換集依然會顯示出原碎形集之型態特徵。因此，對一碎形集不論進 行放大或縮小等物理變換，其型態、複雜程度及不規則性等特徵均不會改變，所以 尺度不變性又稱為伸縮對稱性。

3. 循環複製或疊代生成原理（Recursive production）：指上述兩項相似性的形成皆由簡 單規則的循環複製而成，分形理論是在說明內在結構如何在隱藏於複雜系統中看似 混沌的表面下生成的一種規律特性。

碎形（fractal）理論使得「微觀的變」轉化為「宏觀的化」。因此可將宏觀系統的變 化看成是以某個微觀個體模式的改變為基礎的演化過程。

圖 9 碎形理論之演化過程

資料來源：毛治國（2005），組織變革原理

由上圖中可以知道，系統中一旦有某種新的個體行為模式獲得組織多數的認同，這 一新模式就會變成一個碎形模組（module），在系統內會以連鎖反應之方式，被不斷的 模仿複製與反饋擴散。在這種新行為模式的擴散過程中，還會出現「共生演化」之現象。

而共生演化是指分形基模在複製與擴散過程中，必須進行「相容性」的協調與適應，以 使彼此有效介接並發揮某種整體功能。因此宏觀系統的狀態也就在微觀個體找到共同基 模的的基礎上，通過共生演化過程而自然湧現（毛治國, 2005）。

之後在除了物理、化學之外的領域中，像是經濟學、社會學、氣象學、地理學，甚 至是政治體制，都可以發現分形理論的存在，該現象都是透過簡單的微觀基模，不斷往 宏觀嵌套形成。

由上述綜合而知，分形理論有「幾何結構」和「流程」上之兩種意義，本研究將會 包含此兩方面之意義，希望藉由分形理論來解釋光寶集團的成長是複製碎形基模，經由 不斷共生演化而成。

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