分數之試題階層結構分析

本研究教學實驗單元「分數」之教學重點共分四部份，包括「認識帶分 數、假分數與真分數」、「帶分數與假分數的互換」、「同分母分數的大小比較 與加減計算」、「非帶分數的整數倍」等四部份。

本研究的目的之ㄧ在討論與比較利用遊戲融入數學教學活動與傳統教 學者這兩種不同的教學模式對學生學習成效所產生的影響，S-P表分析學童 於分數與小數兩教學單元之學習類型，在本節將更進一步應用次序理論，分 析研究對象於分數學習成效之試題階層結構圖。

為達研究目的，本研究將應用「認知診斷之測驗分析即時服務系統」(莊 宗霖、林原宏，2007)，進行資料的處理與分析。將設定閾值ε=0.1，分析六 種類型的學生於分數的四項教學重點之試題階層結構分析圖，進一步由試題 的答對率、階層與連結三個向度進行統整、分析與歸納六種學習類型學生之 試題階層結構的特性。

壹、認識帶分數、假分數與真分數之試題階層結構圖分析 ㄧ、認識帶分數、假分數與真分數之試題概念向度分析

根據表 4-3-1 所示，認識帶分數、假分數與真分數的試題共計 2 題，

其中題 1、題 2均屬於概念理解之試題。

表4-3-1認識帶分數、假分數與真分數之試題及其概念屬性表 題號 概念

代碼 試題 概念屬性 數學能力

1 ^A○^1E

ㄧ盒鳳梨酥有 8 個。

如下圖，共有( )盒 鳳梨酥。

利 用 圖 例 認 識帶分數

概念理解

2 ^A○^2E ( )個

5

1

合起來是

5

2 3

。 單 位 分 數 組

合成帶分數 概念理解 二、認識帶分數、假分數與真分數的表現分析

在認識帶分數、假分數與真分數這個教學重點中，各類型學生表現之試 題階層結構分析圖，如圖 4-3-1 所示。

A類學生試題階層結構圖

B類學生試題階層結構圖 B’類學生試題階層結構圖 圖 4-3-1認識帶分數、假分數與真分數表現之試題階層結構分析圖

（一）通過率分析

各類型學生在認識帶分數、假分數與真分數之試題通過率整理如表 4-3-2，說明如下：

1.除了B’類型學生外，其餘類型的學生^A○^{1E A}之通過率皆為1，表示^A○^{1E A}為簡單概 念理解之試題。

2. B’類型的學生在^A○^{2E A}的的通過率為 1，卻在^A○^1E 之概念理解錯誤。

綜上所述，B類型學生在「單位分數組合成帶分數的概念理解^A○^{2E A}」並不 熟練；B’類型學生則是在「圖例認識帶分數的概念理解^A○^{1E A}」宜再加強。

（二）階層性分析

1.A類型學生第一階層即包含了^A○^1E 與^A○^2E ，並無第二階層。

2.B類型學生第一階層包含了^A○^{1E A}，第二階層是^A○^2E 。 3.B’類型的學生第一階層包含^A○^{2E A}，第二階層是^A○^1E 。

綜上所述，除了B’類型的學生之外，對於A類型與B類型的學童試題階 層結構相似之處在於^A○^1E 皆分布於第一階層。

（三）連結性分析

根據圖4-3-1所示，各類型學生概念理解的連結情形說明如下：

1.對A類型學生而言，^A○^{1E A}與^A○^{2E A}概念各自獨立。

2.對B類型學生而言，^A○^{1E A}為^A○^{2E A}的先備基礎概念理解的問題。

A類學生試題階層結構圖

B類學生試題階層結構圖 B’類學生試題階層結構圖 圖4-3-2帶分數與假分數互換表現之試題階層結構分析圖

（一）通過率分析

各類型學生在帶分數與假分數互換之試題通過率整理如表4-3-4，說明 如下：

1.除了B’類型學生外，其餘類型的學生^A○^{2E A}之通過率皆為1，。

2.B類型的學生在^A○^{2E A}的通過率為 1，卻在^A○^{1E A}之程序性知識錯誤。

3.B’類型的學生在^A○^{1E A}的通過率為 1，卻在^A○^{2E A}之程序性知識錯誤。

綜上所述，在帶分數與假分數的互換中，大部分學生對於學生假分數轉 換成帶分數較帶分數轉換成假分數的程序知識能力來得清楚。

（二）階層性分析

1.A類型學生第一階層即包含了^A○^{1E A}與^A○^{2E A}，並無第二階層。

2.B類型學生第一階層包含了^A○^{2E A}，第二階層是^A○^{1E A}。 3.B’類型的學生第一階層包含^A○^{1E A}，第二階層是^A○^{2E A}。

綜上所述，除了B’類型的學生之外，對於A類型與B類型的學童試題階 層結構相似之處在於^A○^{2E A}均分布於第一階層。

（三）連結性分析

根據圖4-3-2所示，各類型學生程序性知識能力的連結情形說明如下：

1.對A類型學生而言，^A○^{1E A}與^A○^{2E A}程序知識能力各自獨立。

2.對B類型學生而言，^A○^{2E A}為^A○^{1E A}的先備程序知識能力。

3.對B’類型學生而言，^A○^{1E A}為^A○^{2E A}的先備程序知識能力。

三、小結

綜合上述各類學生試題階層結構的比較發現，對大多數的實驗組與控制 組學生均已具備帶分數與假分數之間互相轉換的程序知識能力；對B組學童 的補救教學而言，教師宜再加強帶分數換成假分數的程序知識能力，對B’

組學生而言，教師宜再加強假分數換成帶分數的程序知識能力。

表4-3-4帶分數與假分數互換之試題階層結構與答對率比較表

階層 A類型 B類型 B’類型

第二階層 通過率

A○^2E

(0.00)

A○^1E

(0.00)

第一階層 通過率

A○^{1E AA}○^2E

(1.00)

A○^1E

(1.00)

A○^2E

(1.00)

叄、同分母分數的大小比較與加減計算之試題階層結構圖分析 ㄧ、同分母分數的大小比較與加減計算之試題概念向度分析

根據表4-3-5所示，同分母分數的大小比較與加減計算的試題共計11題，

其中題8、題9、題10、題12、題14為屬於程序性知識，題5、題6、題7、題 11、題13、題15屬於問題解決之試題。

表4-3-5同分母分數的大小比較與加減計算之試題及其概念屬性

表4-3-5同分母分數的大小比較與加減計算之試題及其概念屬性（續）

A類學生試題階層結構圖 A’ 類學生試題階層結構圖

B類型學生試題階層結構圖 B’類型學生試題階層結構圖 圖4-3-3同分母分數的大小比較與加減計算表現之試題階層結構分析圖

（一）通過率分析

各類型學生在同分母分數的大小比較與加減計算之試題通過率整理如 表4-3-6，說明如下：

1.概念^A○^{3E A}的通過率介於0.87與1.00之間，表示概念^A○^{3E A}對各類型學生而言，是 最容易解決的問題。

2.概念^A○^{1E AA}○^{2E A}的通過率介於0.57與1.00之間，表示概念^A○^{1E AA}○^{2E A}對各類型學生而 言，是較容易解決的問題。

3.除了B’類型的學生外，概念^A○^{4E AA}○^{5E A}的通過率介於0.60與1.00之間，表示概念^A○^4E

AA○^{5E AAA}對大部分學生而言是較簡易的程序知識。

4.除了B類型的學生外，概念^A○^{6E A}的通過率介於0.57與0.88之間，表示概念^A○^{6E A}對 大部分學生而言，也屬較簡易的程序性知識。

5.概念^A○^{7E A}的通過率介於0.57與1.00之間，表示概念^A○^{7E A}對各類型學生而言，是

較容易解決的問題。

6.除了B’類型的學生外，概念^A○^{8E A}的通過率介於0.60與1.00之間，表示概念^A○^{8E A}對 大部分學生而言是較簡易的程序性知識。

7.除了B類型與B’類型的學生外，概念^A○^{9E A}的通過率介於0.67與1.00之間，對大 部份的學生而言，也屬於較容易解決的問題。

8. 除了B’類型的學生外，概念^AAA○^10EA的通過率介於0.60與1.00之間，表示概念^AAA○^10E

A對大部分學生而言是較容易解決的問題。

9.對於A類型與B類型的學生而言，概念^A○^11EA的通過率介於0.46與0.00之間，表 示對大部分學生而言，概念^A○^11EA是屬於難度較高、不容易解決的問題

綜上所述，在同分母分數的大小比較與加減計算的試題中，概念^AAA○^{5E A}對大 部分學生而言是較簡易的程序性知識，概念○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E A}○^{7E A}是較容易解決的問題；

對B類型學生而言，概念^A○^{6E A}是難度較高的程序性知識；對B’類型學生而言，

概念^A○^{4E A}○^8E 與^A○^10E是難度稍高的程序性知識；對B類型與B’類型學生而言，概念^A○^9E

A是難度較高的問題，不易解決；除了A’類型學生外，概念^A○^11EA對大部分學生來 說，屬於難度較高的問題，不易解決

（二）階層性分析

根據表4-3-6所示，A類型、A’類型及B’型學生知識題階層結構分為三個 階層，B類型學生知識題階層結構分為五個階層，茲說明如下：

1.A類型學生第一階層包含了^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{4E AA}○^{5E AA}○^{7E AA}○^{8E AA}○^{9E AA}○^10EA等概念，第二階層為概 念^A○^{6E A}，第三階層為概念^A○^11EA。

2.A’類型學生第一階層包含了^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{4E AA}○^10EAA○^11EA等概念，第二階層為概念^A○^{2E AA}○^7E ， 第三階層為概念^A○^{5E AA}○^{6E AA}○^{8E AA}○^{9E A}。

3.B類型的學生第一階層包含^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{7E A}等概念，第二階層為概念^A○^{4E A}，第三階 層為概念^A○^{5E AA}○^{8E AA}○^10EA，第四階層為概念^A○^{6E AA}○^{9E A}，第五階層為概念^A○^11EA。

4.B’類型的學生第一階層包含^A○^{3E A}，第二階層是^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{5E AA}○^{6E AA}○^{7E A}，第三階層為概 念^A○^{4E AA}○^{8E AA}○^{9E AA}○^10EAA○^11EA。

綜上所述，在同分母分數的大小比較與加減計算的試題中，概念^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^3E

AA○^{7E A}均分布於第一階層或第二階層，表示^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{7E A}屬於較基礎的概念。

（三）連結性分析

根據圖4-3-3所示，各類型學生概念的連結情形說明如下：

1.對A類型學生而言，概念^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{4E AA}○^{5E AA}○^{7E AA}○^{8E AA}○^9EAA○^10EA位於第一階層，是第二階層 概念^A○^{6E A}的先備基礎，同時均為第三階層概念^A○^11EA的先備基礎。

2.對A’類型學生而言，概念^A○^{1E AA}○^{3E AA}○^{4E AA}○^10EAA○^11EA位於第一階層，均為第二階層概念^A○^{2E AA}○^7E

A的先備基礎；概念^A○^{2E A}為第三階層概念^A○^{6E A}的先備基礎，概念^A○^{7E A}為第三階層概 念^A○^{8E A}的先備基礎，第三階層的概念^A○^{5E AA}○^{9E A}各自獨立，沒有先備基礎，亦無後 續概念。

3.對B類型學生而言，概念^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E AA}○^{7E A}位於第一階層，均為第二階層概念^A○^{4E A}的 先備基礎；概念^A○^{4E A}又是第三階層概念^A○^10EA的先備基礎，然第三階層的概念^A○^{5E AA}○^8E

AA○^10EA卻各自獨立，概念^A○^{5E AA}○^{8E A}並無先備基礎

，第三階層的概念

^A○^{5E AA}○^10EA為第四階層概 念^A○^{6E A}的先備基礎，

第三階層的概念

^A○^{8E A}為第四階層概念^A○^{9E A}的先備基礎，第四階 層的概念^A○^{6E AA}○^{9E A}，均為第五階層概念^A○^11EA的先備基礎。

4.對B’類型學生而言，概念^A○^{3E A}位於第一階層，為所有概念先備基礎；概念^A○^1E

AA○^{2E AA}○^{5E AA}○^{6E AA}○^{7E A}位於第二階層，其中概念^A○^{5E AA}○^{6E A}為第三階層概念^A○^{4E AA}○^10EA的先備基礎，

概念^A○^{2E A}同時為第三階層中概念^A○^{8E AA}○^{9E AA}○^10EA的先備概念；概念^A○^{1E A}為第三階層概 念^A○^{8E AA}○^11EA的先備基礎；第三階層中的概念^A○^11EA則同時為第二階層中概念^A○^{1E AA}○^{7E A}的 後續概念。

三、小結

綜合上述各類學生試題階層結構的比較發現，對大多數的實驗組與控制 組學生而言，分數加減計算，是較容易令學生理解的概念，所以學生的作答 通過率較高；然而，當題目文字敘述較多、需要較多步驟解題且必須先思考 解題步驟才能順利解題的試題，對中、下程度、或平常較易分心的學生而言

綜合上述各類學生試題階層結構的比較發現，對大多數的實驗組與控制 組學生而言，分數加減計算，是較容易令學生理解的概念，所以學生的作答 通過率較高；然而，當題目文字敘述較多、需要較多步驟解題且必須先思考 解題步驟才能順利解題的試題，對中、下程度、或平常較易分心的學生而言

在文檔中 遊戲融入國小四年級分數與小數教學活動成效之研究 (頁 89-104)