小數的概念與意義

Stamatia & Stella (2004)針對 200 個 10 至 16 歲學童進行分數之問卷調 查介以暸解學童分數概念發展之情形，發現學童在分數概念發展上呈現三 個類別：分數的理解來自於自然數的原始概念－分數是二個獨立的數；分 數是全體－部分的概念；表現較佳的第三部份則是學童能區分分母與分 子，並了解分數可能大於、小於或等於單位分數。

吳美花(2006)利用行動研究的方法，在四年級分數教學之歷程中描述其 遭遇之困難及解決之法，進一步探討影響教學者改變策略進行教學之因素 及自我反思之歷程。研究中發現四年級學童的分數學習困難有不清楚分數 的意義、單位的混淆、表徵和符號無法連結、單位量認知困難、易受自然 數的影響、找共測單位的困難、平分的困難、分割線數代替間隔數、判斷 數線刻度單位的困難、受十進數影響、無法分辨單位分量和單位量 1。

陳明宏、呂玉琴(2005)以國小四年級學童為對象，進行分數概念之診斷 教學研究，探討診斷教學對於學童分數概念學習之有效性，發現診斷教學 能藉由製造學童認知衝突，促進學童思考達到概念澄清的效果。

綜上所述，學者對於四年級學童在分數方面的研究有的傾向探討學童 分數概念發展的情形，如陳靜姿(1999)、林大錦(2003)、Stamatia & Stella (2004)；有的先針對學童的迷思概念作分析與探討，再進行設計以模組方 式，促進低成就學童對於分數學習狀況之探究，如吳相儒(2001)；有的利用 具體物的操作，協助學童分數概念的學習，如洪素敏等(2002)；有的利用測 驗評量方式探討單位分數概念在國小學童的發展情況，如游政雄等(2003) 有的則採行動研究的方式觀察學童分數的學習困難並反思教學歷程以促進 學童分數之學習，如吳美花(2006)；陳明宏、呂玉琴(2005)則欲研究診斷教 學方式對分數教學之有效程度。顯見學者對於分數教材之實施狀況、學童 學習情況與分數概念發展之情形均非常重視。

第四節 小數的概念與意義

壹、小數的起源

小數為十進分數，是以 10 的乘冪為分母的分數

(

Hiebert(1992)提出關於組合小數之三項原則，分述如下：

（一）小數中的毎一數字所代表的位值為其緊鄰右邊數字所代表位值之十

二、小數的知識內容

Hiebert(1992)也歸納小數在生活上的應用情形，提出小數包含以下三種 知識內容：

（一）計數系統(notation system)的知識

包括小數符號的寫法、讀法、位値、位名以及單位小數之間的化聚。

（二）運算規則(rules)的知識

包括小數與分數的互換、小數的比較大小以及小數的加減運算。

（三）數量(quantity)表示的知識

包含小數圖像表徵方式以及單複名數涉及小數轉換的部份。

本研究中的小數單元學習重點即在於發展學童對於二位小數關於記數 系統、運算規則及小數數量意義的學習。

叄、四年級學童小數學習的相關探討 一、四年級小數單元之分年細目

劉曼麗(2004)指出小學四年級關於小數的教材內容係以發展學生二位 小數為主。表 2-4-1 為四年級小數單元之分年細目。本研究依據國家教育研 究院所編擬之第七冊數學課本之小數教材為授課內容，其學習重點包含分 年細目中之 4-n-09、4-n-11 與 4-n-12，教材內容包括二位小數的認識、分數 與小數的轉換，長度單位中公尺、公分間的化聚、進位與位值、比大小、

小數的加減與整數倍的計算及解決生活中關於小數的問題。其中，在分數 與小數的互換關係中，分數部分僅限於分母 10 與 100(國教院，2012)。

表 2-4-1 四年級小數單元之分年細目一覽表

分年細目 對照指標

4-n-09

能認識等值分數、進行簡單異分母分數的比較，並 用來做簡單分數與小數的互換。

N-2-12 N-2-16 4-n-11 能認識二位小數與百分位的位名，並做比較 N-2-13 4-n-12

能用直式處理二位小數加、減與整數倍的計算，並

解決生活上的問題。 N-2-13

資料來源：國民小學九年一貫課程綱要(2011)

本研究係以國教院所編排之小學數學四年級上學期之小數單元進行準

實驗研究，課程內容包括．認識二位小數及「百分位」位名，並進行位值 換算、大小比較、做長度量(公尺與公分，公里與公尺)的互換、、小數與分 數的互換及二位小數的加減法直式計算(國教院，2012)。

二、四年級學童小數學習的相關探討

小數源自分數，又與整數十進位系統連接，故學童在小數的學習上，

受到分數與整 數系統的 影響很大 。Rensnick, Nesher, Leonard, Magone, Omansen 以及 Peled 等(1989)進行小數與分數、小數與整數間的差異性比 較，發現小數與整數，小數與分數之間有相似之處，亦有不同之處。表 2-4-2

表 2-4-3 小數與分數之組合元素比較表(引自 Rensnick et al., 1989, p12)

考、小數與分數的轉換、百分位位名的概念不清、以直覺處理小數十進結 構、小數無法與數線形成對應關係、分數化為小數的記法中，分母 100 的 表現情形不佳、並提供教師當做教學的參考依據

梁惠珍(2003)利用診斷教學的三步驟融入國小四年級的小數教材，發 現學童有 13 個迷思概念，並利具體物操作、舉例、參考值等的認知衝突的 策略，協物學童澄清小數的迷思概念。最後發現，診斷式教學對於學童小 數的學習有良好的提昇及保留效果。

林麗雲(2003)利用數線、積木、計算機等生活中的事物等「小數」模組 對四位四年級學童實施診斷與補救教學並探討學童之學習成效。發現在具 體物的操弄下，學童都能操作順利瞭解小數化聚的概念，但卻無法將小數 抽象為數學符號；利用認知衝突、提問的方式進行教學，可以讓學童自行 發現自己錯誤並促使學童更熱衷於思考。

劉曼麗(2002；2003)指出小數極為抽象，除了度量的生活經驗外，學童 不易經由生活經驗來連結小數的概念，在加上度量中身高以 143.5 公分、重 量 32.3 公斤來看，在生活習慣上，常會忽略整數後的小數部份，所以學童 對於小數的概念較難體會。凡此種種，係因 Hiebert(1992)三種小數的概念 知識並未產生連結之故。

陳麗婷(2004)採用質性研究，對四名四年級學童進行一對一、半結構 式訪訪談，藉由符號表徵與圖像表徵的雙向轉譯進行學童二位小數概念的 探討。

劉曼麗(2005)則參考國內外在小數上的相關文獻和研究，探討四年級 學童可能產生的小數學習的迷思概念，發現學童在小數上的迷思分布在 Hiebert 所提之三項小數系統知識內容。在記數系統方面，學童會產生小數 寫法、讀法、位値、位名、及化聚關係之迷思，在運算規則知識系統方面，

學童在小數與分數的互換、比較大小及加減運算上會產生迷思概念；在數 量的意義上，學童對於小數的圖像表徵與單複名數之轉換覺得困難。

劉曼麗(2006)為探討我國全學童在小數的學習發展情形，透過全國分層 隨機取樣的方式，來蒐集全國六區四至六年級學童在小數概念上的學習資 料，評量內容包括小數概念的圖像表徵、計數系統、與分數的轉換、單複 名數的轉換、估測、大小比較、稠密性與加減等。發現學童在小數的概念

發展上，有隨著年齡增加而漸趨成熟的情形，但小數的學習成效仍普遍不 佳。此外，學童在分數與小數及單複名數的轉換與小數的稠密性表現最差，

關鍵在於學童並未理解小數的十分、百分等分割與十進制系統之意涵。

Cramer, Monson, Wyberg, Leavitt and Whitney(2009)強調百格紙塗色的 方法可以協助學童對於二位小數數值的認識外；多張百格紙的運用尚可促 進分數大小比較的概檢念、小數的稠密性及加減運算功能。建議小數的學 習中，讓學童藉由百格紙建立思考模式，促進小數的學習。

綜上所述，學者均重視學童小數概念的建立，有的強調具體物的操作、

生活經驗與十進制記數系統對於學習小數的重要性；學童的迷思概念進行 統整研究；有的則針對迷思概念進行診斷式教學，以期建立學童正確小數 概念。