第二章 文獻探討
第三節 分數的概念與意義
對小學學童而言，生活經驗中的數學概念大多與數相關。「 數與量」是 國小數學課程的五大學習主題之一。在「數與量」的學習活動中，「有理數」
是最具挑戰性的教學主題(教育部，2011)。
「有理數」的教學活動在小學課程裏面則包含分數與小數兩部份。第 三節與第四節將依照此研究中學童接觸的時間先後順序，進行「分數」與
「小數」相關概念的探討 壹、分數的起源與意義 一、分數的起源
對於史前人類社會而言，自然數之概念已足夠運用；但當人類交往愈 趨頻繁，隨之增加的交易與分配，使得自然數概念已不敷使用，逐漸發展 出分數概念(趙文敏，1985)。
數千年前的埃及人即意識到必須要有一種「數」來標示ㄧ物件的一部 分(趙文敏，1985；Rasmussen, 1980)，而中國很早就為了要制定曆法，而利 用算籌建立一套完整的分數算法，在秦朝時代，就算出以
4
3651日為一年，
一年共 19
12 7 月 ，每個月平均有
940
290499日。現代分數
a
b
的記錄方式則在 18 世紀末出現(世界數學簡史，1987)。二、分數的意義
「分數」的拉丁文 fractio，來自 fangere，意思是指打破、斷裂，用來 表示一個全體被分割後之各個部份(羅鴻翔譯，1980)，而此為「分數」一詞 的原始意涵。Freudenthal(1983)認為分數的起源係「分割」ㄧ個物件的活動 紀錄與結果，分數可以表現物件分割真實的情形。國內學者呂玉琴(1995)、
甯自強(1993)亦指出分數的概念起源於測量，透過分割活動、集聚活動的進 行，來解決不滿一個單位量的量的數值問題。
國民中小學數學科課程綱要中則明白的用符號給予「分數」數學上的
定義，指出「分數」是指能化為
Charalambos & Demetra, 2005; Misquitta, 2011)：
（一）部分與全體的比較 重重(林碧珍，1990；呂玉琴，2009；Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983;
Charalambos & Demetra, 2005; Misquitta, 2011)。在本研究中，四年級學童的 學習重點包含帶分數的認識、同分母分數的加減、非帶分數的整數倍與相關 問題解決等部份。
貳、學童分數概念的發展
甯自強(1995)認為若數學概念來自於解決有關數量問題的經驗，那麼數 學知識的獲得應經歷「經驗」、「察覺」、「理解」的學習階段，而非無中生 有。要了解學童對於分數的理解情形，必須先分析學童在有關的分數問題 情境中的解題活動類型。
甯自強(1993；1997a；1997b)依據學童在分數發展上不同運思的情形，
將分數詞意義區分為分數的前置概念、起始單位分數、單位分數、加法性 分數與巢狀分數等五種。
（一）分數的前置概念
當兒童具有起始數概念與分割物品活動的經驗，且其分割活動僅能利 用直觀方式做判斷來進行大小比較，無法形成數學上正規的分數意義，故 稱此時期兒童所具有的僅是分數的前置概念。此時期的兒童無法使用不同 的分數詞表示不同的分割活動，例如：「ㄧ半」僅表示物品被分割為兩部份，
其中的一份；
2
1僅是代表 1 與 2 兩個獨立的數概念。「ㄧ半」這樣的分法對 學童而言並未與分數
2
1產生關係上的連結。
（二）起始單位分數
當累進性合成運思帶入分數的解題活動中，學童會利用整數情境中的 小數內嵌在大數中的模式，將子分割單位中所構成的分子內嵌於由子分割 單位構成的分母中。此時，分數詞的意義為「內嵌並置類型」(embeded)例：
5
1是五份中的一份，當一份移出全體的五份時，會導致分母的崩壞，此屬 於隱含(implicit)的部份全體的關係(part-in-whole pattern)。
此階段的兒童尚無法進行單位分數的加總。若詢問此階段的學童：
5 1
＋5
1等於多少？學童會以 10
2 回答。
（三）單位分數
當子分割活動中帶進部份全體運思的概念時
，
原本內嵌於集聚單位中 的子分割單位已經開始透過部份全體運思的運作模式，脫嵌而出。子分割 單位也從這時期起，成為可以獨立運作的單位分數(unit fraction unit)，進一 步形成明顯的部份全體的關係。如，兒童能將 part-whole relationships)且巢狀分數的部份全體關係可以出現在單位分數的 內容是複數個物的情境中。巢狀分數為測量運思的產物，亦是學童理解等此外，Piaget, Inhelder and Szeminska (1960)認為學童的認知發展是階段 漸進的。故，學童分數概念的學習也呈階段性發展的。不同運思階段的學 童，所使用的分數詞意義是不同的，依據兒童的年齡，提出兒童的分數概
念有四階段發展，分別為：
（一）四歲到四歲半童階段
此時期兒童缺乏部分整體間的概念，對於將一物分為兩部分覺得困 難，亦即此階段兒童可以進行對物品進行分割成兩部分的動作，而這兩部 分卻非相等份量的兩部份。
（二）四歲到六歲階段
此時期兒童對於較簡易之物品已發展對半分的能力，亦即此階段兒童 可以對物品進行分割成相等份量兩部分的動作，但並未發展將物品三等分 的能力。
（三）六歲到七歲階段
此時期兒童已具有整體的保留概念，能成功將物體三等分。
（四）十歲左右
此時期兒童能從事六等分的分法，其方法是先使用三分法，再將所得 之三等分用二分法方式分成六等分，此第四階段，正好處於國小四年級的 階段。
根據國內分數單元的教材內容，國小二年級階段的學童將透過具體情 境中的分裝與平分的活動，達成建立學童單位分數的概念。但其教材內容 僅限於原始離散量的分割活動。對於連續量的部份，學童尚無法建立窮盡 分配的概念。所以，學童對於單位分數的概念並不清楚(游政雄、呂玉琴、
吳宏毅、劉世能，2003)。而單位分數概念的不完整，也導致接續的分數學 習成效不彰。
叄、分數的表徵系統
表徵(representation)係利用某一種方式，將事物或想法重新表現出來，
以達到與人溝通的目的。當表徵的意義能為學童所掌握時，表徵即可進一 步成為學童運思的材料，促進學童簡化解決數學問題的過程(蔣治邦，1994)。
分數具有多重涵義，能用來表徵分數的方式也很多，表徵的方式不同 可能影響學童對於分數意義的理解。Lesh, Post, & Behr (1987)提出表徵系統 的交互作用模式(interaction representation system)明白指出數學學習及數學 解題具有五種不同的表徵。教師在教學活動中，使用佈題方式的不同，會
連帶影響教師所使用的表徵系統，進而影響學童的思考模式。圖 2-3-1 為 Lesh 等人(1987)所提出之表徵系統的交互作用模式，從表中可以得知學童 在分數學習上有五種表徵系統，分別為：
一、實物
實際生活的物件：如一包糖果、ㄧ個蛋糕等。
二、具體操作物
供學童進行操作使用：如圓形分數板、古氏積木、花片、長方形板等。
三、語言
日常生活的口語符號：如五分之ㄧ。
四、圖形
分數教學時最常使用的表徵，使用畫圖方式：如面積模式、數線模式 等。
五、符號
通用於世界的數學符號：如 5 1、
1 。 5
圖 2-3-1 表徵系統的交互作用模式(譯自 Lesh et al., 1987, p34)
Bray and Sanchez(2010)在實施分數教學時，發現分數圓形板教具的操 作 ， 對 於 建 立 學 童 分 數 大 小 比 較 的 概 念 有 明 顯 助 益 ； McLeman &
Cavell(2009)也建議身在第一教學現場的老師宜多佈置適當的教學環境，利 用教具、圖片，甚至進一步以令學童自行建立表徵的方式，來促進學童在 分數上的學習。Neelima (2009)也建議提供學童實作、遊戲經驗的環境，可
圖形
符號 語言
實物 具體操作物
以提昇分數學習。
林福來、黃敏晃(1993)曾對現行分數啟蒙課程進行分析、批判，認為現 行分數教材太快、太早將實物的分量抽象化為符號，致使學童在分數上的 學習遭受困難；曾靖雯(2003)也建議教師在教學中多嘗試各種表徵間轉換以 增加學生的學習經驗，對於建立學生分數概念是有幫助的。所以，本研究 在遊戲設計上，也嘗試將實物的操作與圖形表徵的活動融入在數學遊戲學 習活動中，希望進一步建立學童完整的分數概念，以協助學童解決相關問 題。
肆、四年級學童分數學習的相關探討 一、四年級分數單元之分年細目
依據課程綱要，四年級分數單元之分年細目整理如表 2-3-1。本實驗的 分數教學單元內容為 4-n-08 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數 與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。實 驗設計之內容係參考國家教育研究院所編擬之第七冊數學課本、教師手 冊、習作、進行遊戲設計及試題編擬。
表 2-3-1 四年級分數單元之分年細目一覽表
分年細目 對照指標
4-n-07 能理解分數之「整數相除」之意涵 N-2-11
4-n-08
能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶 分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與 整數倍的計算
N-2-10
4-n-09
能認識等值分數、進行簡單異分母分數的比較，並 用來做簡單分數與小數的互換。
N-2-12 N-2-16 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上 N-2-16 資料來源：國民小學九年一貫課程綱要(2011)
二、四年級學童分數學習的相關探討
學童對於分數之學習狀況一直不甚理想
(
呂玉琴，2009；林碧珍，1990；吳相儒，2001；洪素敏、楊德清，2002
；游政雄、
呂玉琴，2002；陳明宏、呂玉琴，2005；Stamatia & Stella, 2004)，所以，許多學者針對四年級學童
在分數的學習做了多方探究。茲分述如下：
陳靜姿(1999)以國小四年級學童為研究對象，進行學童分數概念模型的 探討。發現國小四年級學童的分數概念處於甯自強所提出的「分數的前置 概念」及「起始單位分數」的階段；學童的分數概念屬於「並置類型」或
「內嵌並置類型」，並作為協助教學者掌握學童之分數概念發展及學童學習 分數概念可能之限制。
林大錦(2003)針對國小三到六年級的學童進行分數詞發展類型的探 究。發現四年級兒童的分數發展是源自加法性分數的經驗活動，並開始嘗 試巢狀分數的經驗活動，接續發展至並置類型活動階段並漸趨成熟，之後 學童能察覺加法性分數的活動，並進一步獲得巢狀分數的初步經驗。
林大錦(2003)針對國小三到六年級的學童進行分數詞發展類型的探 究。發現四年級兒童的分數發展是源自加法性分數的經驗活動，並開始嘗 試巢狀分數的經驗活動，接續發展至並置類型活動階段並漸趨成熟，之後 學童能察覺加法性分數的活動，並進一步獲得巢狀分數的初步經驗。