由本章前述各節的探討得知，「基模」是人類學習任何知識 的主要基礎，透過不同的「表徵」途徑可以促進基模的發展。「單 位概念」是影響分數學習的重要關鍵，不同分數認知階段有其不 同的特色，其基模的功能也不同。本節主要依據本研究的目的，
及本章前述各節的理論與文獻探討，闡述本研究「分數多元表徵 實驗課程」之設計理念及特色。
壹 壹 壹
壹、、、 分數、 分數分數分數多元表徵課程的設計理念多元表徵課程的設計理念多元表徵課程的設計理念多元表徵課程的設計理念
本研究之分數多元表徵課程主要植基於兩個重要的理念，
茲分述如下：
一一一、一、、、將認知心理學理論應用於課程設計將認知心理學理論應用於課程設計將認知心理學理論應用於課程設計 將認知心理學理論應用於課程設計
自從認知心理學復甦之後，在學者專家們歷經多年的努力 下，對於人類如何學習及如何有效學習，業已有相當豐碩的研究 成果，其中有關基模的功能與演化及內外表徵的相關理論，均對 人類學習的本質有著重大的啟示。
從實務的經驗層面及文獻探討的理論層面來看，都顯示出
國小分數課程教學的不易。因此，本研究嘗試將認知心理學有關 表徵與基模的理論應用到分數課程的設計上，希望能突破現有教 學的困境，更展望能提供未來編製分數課程的一些參考依據。
二二二、二、、、以多元表徵方式促進分數的學習以多元表徵方式促進分數的學習以多元表徵方式促進分數的學習 以多元表徵方式促進分數的學習
認知心理學的相關研究成果豐碩，本研究擷取「表徵」方 面的理論及成果做為架構實驗課程的主軸。睽諸數學教育家 Behr 等人(1983)所主張利用「表徵系統互動模式」促進學習數學的觀 點，不僅符合了認知心理學家 Paivio (1991)所提出人類學習的
「雙代碼理論」，而且具有實徵研究的支持。因此，本研究的目 標之一是將「表徵系統互動模式」落實於分數課程設計中，期能 提昇學童分數的學習成效。
貳 貳 貳
貳、、、分數多元表徵課程的特色、分數多元表徵課程的特色分數多元表徵課程的特色分數多元表徵課程的特色
本研究在上述設計理念的引導下所設計的「分數多元表徵課 程」，在內容及執行上有其不同於市售教材之特色。茲說明如下：
一、多元表徵融入課程
(一) 注重學習主體的表徵方式
市售教材在設計上較少顧及學生的表徵方式，除非有經驗的 教學者才有可能在教學的不同階段採用適切的教學表徵。然而，
成人的表徵方式和兒童的表徵方式畢竟不同。所以，在本研究的 實驗課程裡，特別重視學習個體自主性的表徵，藉此順勢引導其 學習。
(二) 重視不同表徵之間的連結
市售教材雖然也含蓋不少多元表徵的成份，但是對於表徵之 間的連結並不夠重視，甚至缺乏對表徵間統整的設計。易言之，
假定所有表徵和諧一致的發展是一般市售教材的通象。惟，從文 獻(王淵智, 2001; Marcou & Gagatsis, 2002)得知，兒童所持有的 分數表徵有不同步的現象。唯有把表徵間的衝突引出，學生才有 機會進一步的統整所學知識，進而把正確的分數知識貯存至長期 記憶中。學生有了正確的分數知識，才能正確的處理未來有關分 數問題的解題。基於此，本研究的實驗課程不但重視各種不同分 數表徵的連結，更重視表徵之間可能潛藏的衝突。
(三) 目標導向的課程設計
本研究所設計的「分數多元表徵課程」係參酌 Barton 與 Heidema (2002)所提出的六個數學學習的假定，包括：(1)學習應 該是目標導向；(2)讓新知識和舊知識做連結；(3)將所獲得的訊 息加以組織；(4)學習是認知結構和後設認知結構的習得；(5)學 習具有階段性卻非線性；(6)學習受到認知發展的影響。基於學習 應該是目標導向的有意義活動，每一個實驗課程在教學之前都事 先宣告每一節課的學習重點，讓學生瞭解學習的目標。其次，重 視後設認知結構的發展，除了上課中多利用機會讓學生發表「如 何解」外，更重視「為何」、解題前的計畫及課後的省思，俾讓 學生慢慢培養後設認知監控。最後，由於學習受到認知發展的影 響，所以在教材安排上除了由易而難、由簡到繁外，對超出「可
能發展區」(ZPD)的材料(如：兩數相除的商、比值及運算子)將 不列入實驗課程。
二、以強調「單位」促進分數學習
(一) 以整數的單位學習為基點，漸進至分數單位的學習 雖然有學者指出，分數的學習受到整數的干擾(Streefland, 1993)。但，本研究傾向於採用 Hunting, Davis 與 Pearn (1997)、
Ning (1992)、Olive (1999, 2001)及 Sáenz-Ludlow (1994)等多位學 者的看法，認為整數學習的提昇可以正面的影響分數的學習。從 文獻(Behr 等人, 1992; 甯自強，1997a) 得知「單位」概念影響分 數的學習甚鉅，因此本研究實驗課程乃從整數的單位著手，讓兒 童熟悉不同單位之間的關係，再引導至分數單位的學習。
(二) 利用擬題活動促進理解並培養問題基模
教學是否具有成效，可以從學生的「再次呈現」(re-present) 得到映證的線索，而擬題(problem posing)則是再表現的其中一種 方式。從擬題可以讓學生清楚「已知」和「目標」之間的關係(梁 淑坤，1994)，更由於它是非常「個人化」的，所以能讓教學者 觀察到每一個學生內心中對所學內容的持有情形。再者，藉由擬 題活動對「目標」的擬訂，可以加強學生對問題的感覺。本課程 的擬題活動是提供部分的情境資料(例如：一袋球有 3 組，每組 2 顆)，請學生擬出不同的數學問題。當學生能夠掌握擬題的意義 之後，再限制其擬出不同的問題(例如：答案為整數的問題及答 案為分數的問題)。當學生欲擬出不同答案的數學問題時，便會
去思索何種問題才能夠切合限制，才能規範未來的答題者回答某 種類型的答案。而此種擬題活動的特點在於，學生由習於做一個 被動的解題者成為一個主動的布題者，且由於解題和布題的雙向 轉換，得以培養其不同類型的問題基模。當學生的問題基模能夠 確立，則未來面對不同的數學問題，便能夠採用適宜的解題策略 進行解題，而不致於徒有一堆解題工具，但卻不知使用何種是好。
由於擬題活動對於學習數學甚有幫助，所以本研究實驗課程將擬 題活動納為課程重點，亦是有別於市售教材的特色之一。
(三) 強調參考單位量學習分數數線
從文獻(黃馨緯，1995；Hannula, 2003)得知，學生之所以 無法將分數數線學好，主要的關鍵在於無法掌握參考單位量。因 此，在本研究實驗課程裡，特別將單位、等分割融入分數數線的 課程，以便讓學生重視不同的單位量、不同的等分割其所相對應 的分數位置。再者，從文獻(Pothier & Sawada, 1983)探討得知，
合數等分對兒童最為困難，須建立在奇數等分之上。偶數等分又 比奇數等分較為容易些。此也提醒研究者，在編製等分課程時須 循序漸進，尤其對於程度較低的兒童宜從較簡單的偶數等分入 手。
三、師生共同承擔學習的任務
(一) 教師是布題者亦是構築鷹架者
教師是教室中引導學生學習最重要的角色。國內自 1993 年
數學教育改革以降，強調教師的功能由「解題示範者」走向「布 題者」的角色。所以，在本研究實驗課程的執行面上，教學者主 要擔任布題的角色，根據學生的學習表現在不同的階段布出適切 的問題引導學習。此外，當學生無法完整、成功解決由教學者所 布的問題時，布題者必須具有相當的敏感度，找到學生的認知狀 態，再搭建適當的鷹架以利其向上攀昇。由於不同程度的學生可 能在不同的表徵活動上有其不同的優勢，所以教學者也適時發掘 學生的學習專長給予表現機會，以便讓所有的學生都能增長解題 的自信心。
所以，實驗課程的實施特別重視教學者的角色，以布題、鷹 架相輔為用，提昇解題自信，最終企盼促進學童分數認知發展。
(二) 學生是解題者亦是提問者
相對於教學者的角色，實驗課程中的學生是解題者，主動的 負起學習任務，而非被動的等待答案的提供。此外，透過發表、
討論，所有實驗課程中學生都是提問者，可以將自己的想法、作 法與他人互動溝通，甚至適度的挑戰其他人的想法。課堂提問除 了可以增加數學意義的溝通，亦讓教學者得以有機會聆聽不同學 生的想法，藉以增進對兒童認知的掌握。所以，實驗課程的教學 過程中強調所有的學生都是解題者，更是提問者，以期每一位學 生都能專心投入所學。本研究所設計的課程，其適用範圍並不希 望只是針對少數學生，所以全班參與各個學習活動是基本的要 求。
第三章 第三章 第三章
第三章 研究設計與實施 研究設計與實施 研究設計與實施 研究設計與實施
本研究旨在探討分數多元表徵課程對於國小兒童「分數」問 題解題表現的影響，主要採用實驗法進行研究。首先設計「分數 多元表徵課程」，接著進行教學實驗，最後探討國小四年級學童 接受教學實驗後，在分數問題解題表現、數概念和分數基模等方 面的改變情形。茲將本研究的研究設計、研究問題與研究假設、
研究對象、實驗課程的編製與實施、研究工具及研究程序等分述 如下。