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第二節 第二節

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第一章 第一章 第一章

第一章 緒 緒 緒 緒 論 論 論 論

本 章 首 先 闡述 本研 究 問 題 的背 景及 激 發 研 究者 從事 本 研 究 之動機,其次說明本研究的研究目的,繼而將本研究所涉及之主 要名詞予以界定,最後說明本研究的範圍與限制。

第一節 第一節 第一節

第一節 研究背景與動機 研究背景與動機 研究背景與動機 研究背景與動機

國小數學課程中「數與計算」主題裡涵括正整數、分數與小 數等三個主要部分。其中,「分數」不僅被列為正整數和小數之 間的橋樑,也是未來國中階段擴展為有理數概念的基礎。然而實 際上「分數」卻是小學數學課程中浮現最多教學與學習兩方面問 題的主題(Moss & Case, 1999; Streefland, 1991)。Smith Ш (2002) 認為:在小學數學的領域裡沒有像分數這樣饒富數學味、極具認 知複雜度而難以施教的主題。此觀點具體而微點出分數主題的特 性,以及其在教學上實際面臨的困境。

國內方面,過去的許多研究顯示,國小學生的分數概念發展 不甚理想,存有許多缺陷或迷思概念,例如:不會等分、不認為 分數是一個數、缺乏單位量概念(呂玉琴,1991;林碧珍,1990;

陳瑞發,2003;詹婉華,2003)。國外方面,以美國 2003 年全國 考試(NAEP)試題為例,學生解答「一條繩子

4

3碼,每

8

1碼剪一

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段,可以剪多少段?」的表現很不理想,四年級學生只有 27%答 對,而八年級學生也只有 55%答對(NAEP,2004)。從這個測驗 結果可知,國外的學生對分數的瞭解也不夠充分,缺乏以分量當 作單位進行加法性或乘法性運思。

事實上,不只學生學習分數有困難,老師本身分數的教學知 識亦顯不足(呂玉琴,1996);陳竹村、林淑君、陳俊瑜(2001)亦 指出在教學現場不僅學生怕學「分數」,甚至部分的國小教師也 視教「分數」為畏途。「分數」儼然成為數學課室內師生須共同 面對的一大考驗,值得吾人投入更多的努力。

以上呈現的困難,原因何在?Behr, Lesh, Post 與 Silver

(1983)在整理以「分數」為主題的相關文獻後,將導致學童學 習分數困難的原因歸納為二:一是分數本身包含許多的子結構

(subconstructs),不容易完全清楚掌握,此觀點和 Kieren(1988)

一致;其二是學校教學通常傾向於教導程序及運算技巧

(procedure and operation),缺乏真正功能性的瞭解。Moss 與 Case(1999)兩人亦指出,老師進行分數教學所採用的方法可能 犯有太過於強調規則(syntactic)而忽略語意(semantic)之流弊。

換言之,老師的教學常限於以「工具性的瞭解」為目標,忽略培 養學生「關係性的瞭解」(Skemp, 1987),以致於學生並未能完 全清楚的掌握分數概念。所謂工具性的瞭解,係指學生只是背誦 規則而未真正理解;關係性的瞭解則是學生能夠理解規則、活用 規則,且推演出和其他規則之間的關係。

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「分數」的教與學雖呈現若干困境,但也絕非沒有改善之 策。例如,Behr 等人(1983)以心理學「表徵」(representation)

為基礎,提出以「表徵系統互動模式」(an interactive model for using representational system)提昇數學的學習效能,便是最常受 到學界和實務界引用及重視的策略之一。所謂「表徵系統互動模 式」即從表徵的觀點將學習數學的表徵區分成「口語」(spoken symbols)、「圖像」(pictures)、「書寫符號」(written symbols)、「操 作」(manipulative aids)及「真實情境」(real-world situations)

等五種,並進一步強調它們和數學解題之間具有重要的連結關 係。實際上,Behr 等人根據多元表徵觀點所做的「有理數方案」

(Rational Number Project,簡稱 RNP)課程,和國內九年一貫 課程綱要數學學習領域強調「說、讀、聽、寫、做」以進行數、

量、形學習的主張,具屬異曲同工。此故,多元表徵在數學教與 學的角色,令所有從事數學教育的人無法小覷。

以多元表徵為基礎的分數課程在實徵研究上有其成效,例如 Behr, Wachsmuth, Post 與 Lesh(1984)等人所做的研究,便發 現教學活動中若能提供學童多元表徵分數的機會,可以增進對分 數概念的理解。至於國內數學教育界近幾年來雖也重視多元表徵 在數學教育上的角色,但是將它系統性運用在分數學習上的實徵 研究則尚不多見。

研究者分析國內外有關學生學習分數的研究大致有兩種取 向:其一是以學科知識做為分析參照,係從數學學科知識出發,

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探討學童所持有的分數概念及迷思概念(或錯誤類型)(如:呂玉 琴,1991,1996;林碧珍,1990;陳和貴,2002;游政雄,2002;

詹婉華,2003)。其二以兒童認知結構做為分析的主體,即探討 學童對所持分數之意義及運思型態,特別重視兒童心中所持「單 位」(unit)的變化,並據此區分不同的認知階段及各階段運思的 特質,亦即以 Piaget 認知學說及建構主義為基礎,從認知結構的 觀點切入(如:李端明,1997;張日齊,2003; Ning, 1992; Olive, 1999, 2001; Olive & Steffe, 2002; Steffe, 2002)。此二種取向互為 表裡,前者偏重在外顯行為事實的描述,後者側重內隱認知結構 的推論,而認知結構是外顯行為表徵的源頭,特定的基模將會導 致特定的行為模式。因此,研究兒童的分數解題表徵當有助於瞭 解其思考的特質,而探究兒童分數學習的「學習路徑」(learning trajectories)對於從事教學實務工作者而言,將有相當大的助益。

檢驗數學學習的效果及教學目標達成程度,最直接的方法即 從觀察學生解題的過程及結果著手。1980 年代起美國數學教師 協會(National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM)

(2000)即在《學校數學原則和標準》中將「解題」和「推理證 明」、「溝通」、「連結」及「表徵」等並列為重要的學習標準,其 中解題表現和題目的性質有密切的關係。Kilpatrick(1975)整理 歸納解題研究的類型,將之分為兩大類:一為自變項(含受試變 項、作業變項和情境變項),另一為依變項(含成果變項、過程變 項、評鑑變項和附隨變項)。因此,當吾人欲瞭解兒童對分數的

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解題表現時,必需將相關的變項納入考量。

研究者擔任多年小學數學教師並擔任國教輔導團數學領域 輔導員,從自身經驗及各校老師的反映均感受到分數教學的不 易。因此,不斷地思索提昇學生學習成效的可能性,此乃研究者 進行本研究最重要之研究動機。其次,面對目前常態編班的教學 環境,教師能否協助不同能力學童找到契合其認知的表徵方式以 學習分數,則是激發研究者亟於從事本研究之第二個動機。復 次,雖然國外已有若干利用多元表徵促進兒童學習分數的研究,

但是國內對此則尚未有系統的研究。況且,將多元表徵加入分數 單位概念對於學童數概念及分數基模發展的研究,目前尚付諸闕 如,此亦是本研究的第三個動機。

第二節 第二節

第二節 第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

本研究旨在探討分數多元表徵課程對於國小學童「分數」學 習成效的影響,基於上述之問題背景及研究動機,本研究採用 Behr 等人(1983)提出的「表徵系統互動模式」,並參酌 Steffe

(2002)、Olive(1999, 2001a, 2001b, 2002)及 Tzur (1995)等學 者提出的分數基模,以及兒童心中所擁有「單位」的觀點予以綜 合後,設計出「分數多元表徵課程」,繼而進行「分數多元表徵 課程」教學實驗,據以探討其實施成效。

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茲將本研究的具體研究目的臚列如下:

一、設計適合國小四年級學童之分數多元表徵課程。

二、探討分數多元表徵課程對學童分數解題表現的影響。

三、探究分數多元表徵課程教學實驗後,實驗組學童數概念之 變化情形。

四、探究分數多元表徵課程教學實驗後,實驗組學童分數基模 之變化情形。

第三節 第三節 第三節

第三節 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義

茲將本研究之重要名詞,分別以概念性定義和操作性定義說 明如下:

壹 壹 壹

壹、、、分數多元表徵課程、分數多元表徵課程分數多元表徵課程分數多元表徵課程

本研究在「分數」意義界定,主要係根據 Kieren(1989)所 指「部分與整體的關係」。所謂「表徵」,根據 Bruner(1966)的 觀點,是人類學習事物的運思材料,包括動作表徵、形像表徵和 符號表徵等三類。而「多元表徵」係指 Behr 等人(1983)在 Bruner 表徵理論的基礎上,所提出在數學學習宜交互運用的五種表徵方 式。該五種表徵包括「真實情境」、「口語」、「圖像」、「書寫符號」

及「操作」,其中「真實情境」屬於問題的情境,「口語」、「圖像」、

「書寫符號」及「操作」則屬於對問題的「再次呈現」(re-present)。

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所以,本研究的「分數多元表徵課程」即根據上述理論及教 學建議編製而成,其中包括六個單元:等分割與組成、單位量、

分數的加減、比較大小、等值分數及電腦輔助教學等,所需教學 時間為 16 節課,每節 40 分鐘。

貳 貳 貳

貳、、、國小學童、國小學童國小學童國小學童

本研究的「國小學童」係指九十三學年度在學的國小四年級 學童。在本研究中抽取高雄市某一所國小四年級的兩個班級,以 隨機分派的方式將一班(31 人)作為實驗組,另一班(27 人)作為控 制組。

參 參 參

參、、、學習成效、學習成效學習成效學習成效

本研究所指的「學習成效」包括量化和質性兩部分。在量化 部分係指解題表現,質性部分則指數概念的發展及分數基模的變 化。

一一

一一、、、解題表現、解題表現解題表現解題表現

係指樣本在研究者編製的「分數問題測驗甲卷」和「分數問 題測驗乙卷」的得分,包括「等分割與組成」、「單位量」、「分數 比較」、「等值分數」、「合成與分解」及「遞迴分割」等解題表現。

得分越高者代表其分數解題表現越佳;反之,得分越低,則表示 其解題表現越差。

二 二 二

二、、、數概念、數概念數概念數概念

(8)

所謂的「數概念」係依據甯自強(1998)的觀點:「數概念是 由 1 概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位。」而在本研究所指 涉的有三部份,第一部份是學童從解題活動中所展現的「整數部 分整體關係」、「整數二階單位化聚」、「分數詞概念」、「分數部分 整體關係」及「等值分數概念」。

三、分數基模

本研究參酌 Olive 與 Steffe (2002)、Tzur (1995)等學者所提 出有關分數基模的相關概念,設計分數問題組(如附錄 1)做為訪 談的依據。在教學實驗前後進行半結構性訪談,利用紮根理論 (grounded theory)處理資料的方式,再將學者們提出有關分數基 模做詮釋參照,綜合整理之後列出「等分割基模」、「分數迭代基 模」及「遞迴分割基模」等三項分數基模。

第四節 第四節 第四節

第四節 研究範圍與限制 研究範圍與限制 研究範圍與限制 研究範圍與限制

基於上述的研究動機與目的,茲將本研究之範圍與限制說明 如下:

壹壹

壹壹、、、研究變項、研究變項研究變項研究變項

本研究受限於人力,在主題上僅以國小分數課程中「等分割 與組成」、「單位量」、「分數比較」、「等值分數」、「合成與分解」

及「遞迴分割」為探討主題,其他諸如「分數乘法」、「分數除法」、

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「比」、「分數的四則運算」並不在本研究探討的範圍。此外,在 變項選擇方面,依據 Kilpatrick(1975)對於解題變項的分類,

影響解題的因素有很多,但本研究的自變項只針對「受試變項」

(不同分數認知階段、實驗教學)及「作業變項」(問題結構)。因 此,其他可能影響解題的因素,並不在本研究探討範圍。

貳 貳 貳

貳、、、研究、研究研究研究樣本樣本樣本樣本

本研究以 58 位學生做為研究樣本,所有的研究結果僅適於 此 58 位學生,不宜推論至其他學童。尤其,在探討學童基模變 化情形的部分,僅從實驗組學生接受前測後依成績分成低中高三 組,再與原班級導師商量後,挑選出口語表達較流利的學生各 3 名,合計 9 名,以探究其數概念及分數基模變化情形。所呈現之 結果因囿於樣本過少,所以僅做研究對象的描述,不做其他推論。

參 參 參

參、、、研究時間、研究時間研究時間研究時間

本研究所採行的實驗課程僅 16 節課,晤談的時間則在一學 期內完成,所以無法以更縱貫性的觀點來探討實驗課程對學童數 概念及基模的影響。

另外,為了避免原班級分數單元教學可能造成實驗的干擾,

所以採取實驗教學後 3 週(21 天)便進行延宕測驗。所以,是否能 在更久的未來持續保留任何的教學效果,並不在本研究探討的範 圍。

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肆肆

肆肆、、、教學情境、教學情境教學情境教學情境

為了順應原來班級的教學,且避免新的教室座位安排讓學生 產生不適應而影響實驗結果,實驗組採取原班級分組座位的方式 教學,控制組則採取直排座位的方式教學。不同的座位安排可能 會影響教學決定及學習成效,然本研究對此並不加以操弄,所以 可能會影響些許內在效度。

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第二章 第二章 第二章

第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

本章分為五節,首先闡述數學知識習得的理論基礎;其次,

梳理近年來數學教育家基於認知心理學觀點所提出兒童分數概 念發展的論述。然後藉由九年一貫能力指標課程地圖及市售教材 分數單元的分析,瞭解分數主題在現行國小數學課程裡縱向的發 展和橫面的連結關係。繼而,探討國小分數的意義及相關研究。

最後,依據文獻探討的結果,勾勒本研究實驗課程—多元表徵課 程的設計理念及特色。

第一節 數學知識習得的理論基礎

本 節首 先從 心理學 的角 度出 發闡述 人類 學習 數學知 識的 重 要心理機制。其次,再深入探討各家學者提出關於表徵對數學學 習與解題的關係。最後,整理過去學者們對「單位」在「分數」

裡的意涵的相關文獻,藉以瞭解其在數概念發展的重要性。

壹 壹 壹

壹、、、 數學知識的習得、 數學知識的習得數學知識的習得數學知識的習得

「知識」到底為何?如何獲得「知識」?是學者們長久以 來不斷爭論的焦點,經驗主義者認為知識是來自經驗,先天論 (nativists)者認為知識建立在大腦與生俱來的特質上(Solo,

1998)。這些爭論迄今尚無定論,von Glasersfeld(1995)則從另

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一個角度論述人類獲得知識的關鍵,他強調不管知識如何被定 義,個體除了以本身經驗為基礎進行建構之外別無他法。與其說 此一論述並不否定知識先驗存在的事實,毋寧說它是更強調個體 對知識掌握的主觀性。個體獲得知識的歷程和基模的建立與改變 息息相關,茲就心理學的觀點,分述基模、表徵與數學知識學習 之間的關係如下:

一一

一一、、、基模在數學知識習得所扮演的角色、基模在數學知識習得所扮演的角色基模在數學知識習得所扮演的角色基模在數學知識習得所扮演的角色

基模(scheme)本義為形式(form)、形狀(shape)或圖式(figure)

(Marshall, 1995)。剛開始時是生物學領域的詞彙,後來 Piaget 將它由生物領域引進心理學研究領域,並主張人類自出生後不 久,就會運用他與生俱來的一些基本行為模式來對環境做出反 應,而這些基本模式即是「認知結構」,也稱為「基模」。Piaget 將基模視為人類吸收知識的基本架構,隨著基模的改變,認知發 展或智力發展也產生改變。Piaget 也認為當環境讓個體的基模 產生某些限制,個體會傾向於主動改變,此種改變的心理歷程即 為「適應」(adaptation)。個體主動採取適應的原因是為了減低新 情境所造成的不安,而適應所產生的兩種互補的心理歷程,一為 同化(assimilation),一為調適(accommodation)。前者指新事物可 以納入既有基模,若既有基模仍堪用,則新事物便被同化。後者 指既有基模無法直接同化新事物,因此主動做出基模調整或修 改。

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針對同化和調適在數學解題上的詮釋,甯自強(1993d)曾以兒 童解題活動為例做出說明。他主張兒童要先在解題情境中經驗到 新而有效的解題類型,始能在面對下一個新解題情境時根據先前 所形成的經驗類型和新的情境要素進行比對。若是決定進行原有 類型的活動,則稱之為「同化」。若是活動的結果是令他感到意 外驚喜的,則原本僅適用的情境類型得以擴張,適用範圍也更 廣,此稱為「調適」。由此可知,甯氏對調適的定義主要有兩個 要點,即「有效」及「意外驚喜」。Tzur(2003)對於「有效」

在數學知識調適的重要性和甯自強的看法雷同,認為數學是學習 者從學習活動與活動效果間獲得動態的關係。亦即,基模和活動 效果之間存在著動態的辯證關係。至於甯自強所強調的另一個重 點「意外驚喜」,則宜將它視為是個體因嘗試而獲得成功後所產 生高峰經驗,是下一次解決類似問題的起點。

von Glasersfeld(1995)指出基模由三個部分所構成:一為 對特定情境的辨認;二為和該情境連結的特定活動、期望;三為 此活動能展現根據先前經驗所產生的特定結果。Sáenz-Ludlow

(1994)採用其觀點並進一步認為,新的基模雖是因應環境而 生,但是最重要的還是得靠練習、重複使用,將之應用到不同的 情境,基模才能受到鞏固並且獲得保留。因此,數學基模的形成 應該具備解題的情境、從事解題的活動、結果,而且重複使用方 能形成。

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二二

二二、、、表徵在數學知識習得所扮演的角色、表徵在數學知識習得所扮演的角色表徵在數學知識習得所扮演的角色表徵在數學知識習得所扮演的角色

Bruner(1966)將表徵的發展分為三個階段,依序為動作表 徵(enactive representation)、形像表徵(iconic representation)和符 號表徵(symbolic representation)。他認為人類能透過知覺,將外 在環境轉換為內在心理事件,而此轉換的過程稱為「認知表徵」

或「知識表徵」(張春興,1999)。就認知心理學的觀點而言,「表 徵」(representation)有兩種解釋,第一種是指某種東西的信 號,包括內容和形式;第二種則是指知識的組織方式(彭聃齡、

張必隱,2000)。對表徵的闡述及應用,美國數學教師協會(NCTM, 2000)也在《學校數學教學與評量的原則與標準》中指出,表徵 既是「過程」(process)又是「結果」(product),它就是擷取數學 概念或關係的動作,並建構其本身的形式。蔣治邦(1994)亦認為 表徵是用某一種型式,將事物或想法重新表現出來以達到溝通的 目的,待其能充分掌握意義後,它方能成為運思的材料。易言之,

「溝通工具」和「運思活動材料」是表徵的功能(蔣治邦,1997)。

Kaput(1987)認為表徵在功能上代表著兩個世界,一個是所表 徵出來的世界(the representing world),另一個則是被表徵的世界 (the represented world)。

上述 Bruner、彭聃齡、張必隱、NCTM、蔣治邦、Kaput 等 對於表徵不同的詮釋其實頗為一致,均將表徵分成個體之外及個 體之內的兩個層次,對外的層次旨在和外界溝通,重點在形式,

至於對內的層次則是運思的材料,重點在將訊息加工處理。所

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以,不管指的是內容形式、知識的組織方式或運思活動材料,都 是由個體的認知建構而成;外人欲瞭解其內在所擁有知識的組織 方式,唯有從表徵內容和形式做判斷。Nelissen 與 Tomic(1998)

則強調內在表徵和外在表徵可以透過對話以增進表徵的反省。所 以,「對話」有助於內外在表徵的辨證與提昇,而「反省」則是 辨證與提昇的關鍵。

von Glasersfeld(1995)認為兒童將他們所參與的活動,

透過心理的表徵而建構他們對活動內容的運思。因此,欲探討兒 童的分數基模,應該從他所做的分數表徵著手,以了解其表徵的 內容和形式。唯,同樣的概念可能展現出不同的表徵,亦即不同 的基模型態,例如:「

2

1塊 pizza」在圖像和文字表徵的形式皆不 同,但皆代表內容為「把一塊 pizza 分成兩等份,其中的一等 份」。由上述的例子可知,同一概念的不同表徵有些儘管在形式 上不同,但在數學的抽象意義上是一致的。在某一範圍眾多表徵 所指向的數學意義可能相同,但不應忽略同一意義下不同表徵間 所隱含的衝突性。表徵間的衝突是危機也是轉機,當個體展現不 一致的表徵甚至衝突時,可能代表著對該概念並沒有清楚的掌 握。若個體覺知到不同表徵之間的衝突,進一步主動採取適應,

則因衝突所造成的不安便能減少,該基模也因此擴充功能。簡而 言之,表徵間的衝突可能導致個體基模重組或修改。

貳 貳

貳、、、 多元表徵與數學學習及解題的關係、 多元表徵與數學學習及解題的關係多元表徵與數學學習及解題的關係多元表徵與數學學習及解題的關係

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一一一、一、、、表徵在九年一貫課程數學領域學習的角色表徵在九年一貫課程數學領域學習的角色表徵在九年一貫課程數學領域學習的角色 表徵在九年一貫課程數學領域學習的角色

近年來,中外的數學教育對於表徵格外重視。成人們常將表 徵的多重意義視為理所當然,但對學童而言必須經由參與數學活 動而發展或分化出不同的表徵意義(蔣治邦,1994)。Kaput

(1987)亦指出,長久以來標準的數學課程中,低估表徵系統的 角色。而 Moss 與 Case (1999)則提醒教師在教學時若誤用了表 徵將致使兒童混淆整數和有理數的概念。因此,老師在進行教學 過程中使用表徵不得不慎,不僅要善用表徵且不能誤用。美國數 學教師協會則明確的建議 k-12 的數學教學,應該讓學生要能做 到以下幾件事:

創造並使用表徵以組織、記錄和溝通數學想法;在數學表徵 間進行選擇、應用及轉譯以進行解題;使用表徵以便將物理

、社會和數學現象模式化及進行詮釋。(NCTM, 2000:67)

該協會主張在學生學習數學的過程,表徵是支持其瞭解數學概念 和關係所必要之元素,而且必須讓學生將其所瞭解內容或對數學 的論證透過適當的表徵與他人進行溝通。重視兒童在數學學習歷 程中的表徵方式及期待其能適切的應用表徵等數學教學的目標 不是只有在國外才受到重視,國內 2000 年所頒布的九年一貫課 程暫行綱要數學領域的能力指標(教育部,2000)即有多項提到表 徵,例如:「數與量」第一條能力指標(N-1-1)即提到「能初步掌 握非負整數數詞序列的規律,並能以具體的量、聲音、圖像、數 字,進行說、讀、聽、寫、做的活動,表徵 2000 以內的數。」;

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2003 年新修訂九年一貫課程綱要在「實施要點」中亦提到「培 養學生觀察問題…以數學的方式,將問題表徵為數學問題再加以 解決」及「發展對問題解答之不同檢查策略,進而理解問題中各 數學表徵的關係。」;在「連結」主題的指標(C-S-02)明列「能選 擇使用合適的數學表徵。」(教育部,2003)。由上述九年一貫課 程的暫行綱要及正式綱要可以窺知,表徵被視為是學習數學所應 該具備的重要能力之一。而做為教學者,不只要多鼓勵學生利用 不同的表徵理解數學概念,更希望學生們可以在內蘊化所學的數 學概念後,選擇合適的表徵做數學性的溝通或解題。

二二二二、、、、多元表徵的心理學基礎多元表徵的心理學基礎多元表徵的心理學基礎 多元表徵的心理學基礎

中外數學教育對數學不同表徵的重視相當一致,其背後所支 撐的理論和認知心理學的蔚然成風有關,其中 Paivio 提出「雙 代碼理論」(dual-code theory)(Paivio, 1991)為利用多元表 徵促進學習效果提出了直接而有力的理論依據。該理論主張人類 利用形像的(imagined)、及語言的(verbal)兩種代碼表徵訊息。

形像系統的代碼專門處理非語言性物件的知覺訊息,能夠產生心 像,亦即是一種類比代碼(analogue code);而語言系統的代碼 則專門處理語言訊息並產生言說,亦即是符號代碼(symbolic code),透過規定對於某事物提出說明。此兩種代碼是人類處理 訊息的主要模式,二者相互獨立卻有部分相互連結,而且雖不必 然和諧對應存在,但若同時利用兩種代碼表徵訊息,其解碼、組

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織、強化、擷取等表現會優於只有單一代碼。以一個蛋糕切成四

等份,其中的一份稱為 4

1個蛋糕為例,形碼是一個蛋糕被做成四

等分割,而取其中一個扇形。意碼則是對於「

4

1」這個數學符號

定義的了解---把一個物體進行四等分割後,其中一份和整體關 係的記法。從圓四等分割的形像可以類比到蘋果的四等分割、長 條蜂蜜蛋糕的四等分割…等等。如此,便能將「四分之一」的形 碼和意碼緊密的結合,易於將此知識貯存於長期記憶中。此即,

以雙代碼理論為基礎的多元表徵促進分數學習的應用實例。

三三三三、、、、多元表徵在數學學習及解題的相關理論多元表徵在數學學習及解題的相關理論多元表徵在數學學習及解題的相關理論 多元表徵在數學學習及解題的相關理論 (一一)Bruner 的表徵理論一 的表徵理論的表徵理論 的表徵理論

Bruner (1966)認為透過「動作表徵」、「形像表徵」及「符號 表徵」等三種表徵的方式,兒童可以從過去的經驗提取保留下來 的經驗模型,以認識當前的刺激或將當前的刺激收納至過去的經 驗模型。動作表徵指靠動作認識外界的刺激,以動作、操弄等方 式對於外界環境的認識,尤其當某種知識很難藉由文字、語言、

圖表進行教學時通常需藉由動作表徵為之,例如:單位分數內容 物多寡的問題,若能經由實際的做數活動應能讓學生更清楚瞭 解。形像表徵則以記憶中的心像做為運思的材料,它是以經濟有 效的方式管理知覺組織,將它有系統的納入過去經驗模型,例

(19)

如:兒童利用畫圖學習等分概念。符號表徵則指以抽象的文字符 號進行運思,例如:較年長的兒童可以將分數符號作為運思的工 具學習分數。事實上,符號本身是一種人為的、抽象的、規約化 的文化產物,若欲流暢的使用符號得須先經過社會化學習。

基於前述,教導兒童學習數學,應該針對不同的學習素材或 不同的學習階段適時善用動作、形像和符號三種不同的表徵,以 其較有利的表徵方式學習,將有助於學習成效的提昇。例如:教 導三年級學生「分數是由單位分數複製而成」的概念,可以透過 對整體的等分割,找出單位分量,透過單位分量和指定分數所代 表量做比對以經驗該概念。隨之,利用分數板、圖形的講解提昇 學習的層次,最後再以文字、符號、語言的方式進行表徵以達學 習的抽象層次。

(二二)Janvier 的轉譯過程理論二 的轉譯過程理論的轉譯過程理論 的轉譯過程理論

數學的抽象性來自於大量使用符號,致使學習者難以清楚掌 握符號的意義。Janvier(1987a)即指出:在數學教育界裡對於 使用符號的轉譯過程(translation processes),顯然是被忽視的。所 謂的轉譯過程指的是心理過程,也就是從某一種表徵模式轉譯至 另一種表徵模式,例如:從方程式轉譯為圖表。他認為表徵結合 了三種成份:符號(書寫)、真實物件(real objects)及心像(Janvier, 1987b:68)。此外,他更進一步舉學習「笛卡兒座標圖」(Cartesian graph)為例,詳列出「情境、語言描述」、「表」、「圖」及「公式」

(20)

等四個表徵的變項,再架構出一個 4×4 變項轉譯關係如表 2-1。

表 2-1 座標圖表徵轉譯關係

到 從

情境,語言 描述

表 圖 公式

情境,語言描述 測量 繪圖 模型化

表 閱讀 標圖 適配化

圖 詮釋 解讀 曲線適配

公式 參數察覺 計算 繪圖

資料來源:Problems of representation in the teaching and learning of

mathematics (p.28), by C. Janvier, 1987a, NY: LEA.

表 2-1 可知,由「表」轉譯到「情境,語言描述」主要是靠

「閱讀」;由「圖」轉譯到「情境,語言描述」主要是靠「詮釋」;

由公式轉譯到「情境,語言描述」則靠「參數察覺」(parameter recognition)。由「情境,語言描述」轉譯為「表」仰賴「測量」; 由「圖」轉譯為「表」仰賴「解讀」(reading off);由「公式」轉 譯為「表」仰賴「計算」。從「情境,語言描述」轉譯至「圖」

乃透過「繪圖」(sketching);從「表」轉譯至「圖」乃透過「標 圖」(plotting);從「公式」轉譯至「圖」則透過「繪圖」。最後,

由「情境,語言描述」透過「模型化」(modeling)轉譯為「公式」;

由「表」透過「適配化」(fitting)轉譯為「公式」;由「圖」透過

「曲線適配化」(curve fitting)轉譯為「公式」。Janvier(1987a)

所提出的多種表徵中特別強調「語言、文字」在整個表徵轉譯過 程中扮演核心的角色,假使無法充分瞭解它便無法順利進行轉 譯。

由以上可以得知,「情境,語言描述」、「表」、「圖」及「公

(21)

式」是靜態的表徵形式,然而透過「閱讀」、「測量」、「模型化」…

等等動態表徵的轉譯,可以進行表徵之間的互換。所以,若要教 導學生瞭解數學問題且進行解題,教學者應該對於問題的屬性進 行分析並結合學習者的經驗,以便引導其察覺起始狀態和目標狀 態之間的差異,再使用合適的表徵解題。多提供不同層面的問 題,使學習者有運用不同表徵轉譯的機會方能達到精熟。

(三三)Lesh 等人的表徵系統互動模式及其在有理數的研究與三 等人的表徵系統互動模式及其在有理數的研究與等人的表徵系統互動模式及其在有理數的研究與等人的表徵系統互動模式及其在有理數的研究與 應用

應用應用 應用

Lesh, Post 與 Behr(1987)認為所謂的表徵是指外在的、可 觀察的具體物,其中代表著學生的內在概念。Lesh 等人(1987) 及 Behr 等人(1983)在 Bruner 表徵理論的基礎上,將形像表徵分 為動態的操作具體物及靜態的圖像;符號表徵則分為口語和書寫 符號,主張這些模式之間是具有互動性而非直線關係如圖 2-1:

(22)

圖 2-1 表徵系統的互動模式

資料來源:Rational number concepts (p.102), by M. Behr, R. Lesh, T. Post,

& E. Silver, 1983, in R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, NY: Academic.

Lesh 等人(1987)指出,「真實情境」(real world situation)提供 一般性的脈絡以詮釋或解決具有相同或類似情境的問題;利用分 數條或古氏積木(cuisenaire rods)等「操作具體物」(manipulate aids) 可以看到元素和整體間的關係;「圖像」(pictures)則可以內化為

「心像」(images)。「語言」則如同 Janvier(1987a)所認為在整 個表徵系統中具有核心的地位。「書寫符號」(written symbols)則 為數學學習的重心所在。由圖 2-1 可以看出,表徵系統互動模式 在「書寫符號」、「圖像」及「操弄具體物」等三種表徵確實是植 基於 Bruner(1966)的三種表徵理論,再另外增加「口語」與「真 實情境」。然雖衍生自 Bruner 的表徵理論,但其間觀點並非完全

(23)

一致,縱然兩者所使用的名詞相同,其真正所指的功能可能完全 不同。蔣治邦(1994)即認為,Bruner 的表徵是指運思材料屬於個 體,不必然要和外界溝通;而 Behr 等人的表徵則是以溝通為目 的,有文化規約的意涵。因此,當吾人肯定小學數學教育對裡教 學者與學習者間的互動是至為最要的,則 Behr 等人的表徵模式 顯然更適用於小學的數學課室中的運作。

將 Behr 等人(1983)利用表徵系統互動模式架構出有理數課 程方案(Rational Number Project Curriculum,以下簡稱 RNP) 有 別於一般商業性出版商所出版的分數課程。依據 Cramer 與 Post

(1995)的看法,RNP 課程反應出四項基本信念:1.兒童學習有 理數的最佳方式是主動參與多重具體模式的學習活動;2.物理性 的輔助物只是獲取分數概念其中的一部分而已,其他尚有口語、

圖像、符號等亦具同等重要性;3.應該提供學生間及師生間針對 數學觀念對話的機會;4.分數課程應將發展概念知識的優先性置 於學習符號及算則之前。由此可知,強調表徵系統互動模式的 RNP 課程非常重視概念的發展,不急於教導符號及算則。此外,

藉著提供多元表徵的學習活動讓兒童主動參與,藉由不同表徵的 轉化與轉譯掌握分數概念。

上述對有理數課程教學的信念,充分展現在課程設計之中,

例如:RNP 的實驗課程裡利用圓形分數圖著色、折紙、籌碼、古 氏積木、數線等物理性的具體物做為學習的起點,再延伸至符號 運算的表達(Behr 等人, 1984; Cramer & Post, 1995; Cramer, Post

(24)

& delMas, 2002)。Cramer, Post 與 delMas(2002)在其所設計的 RNP 課程實驗裡將操作具體物模式優先於其他種的表徵模式,且 在所有的操作具體物模式中將「圓形分數板」的操作活動列為第 一。利用圓形分數板學習分數比線段圖及長方形更適合的原因是 圓形的「部分」和「全體」的單位有明顯的不同,而所有的「部 分」具有高度的同質性。

Davydov 與 Tsvetkovich(1991)認為物件「部分」的同質 性相當重要,有助於澄清分數的本質,而圓形在從圓心進行等分 割後一個被分割的所有部分從視覺上可以看出每一部分均具同 質具有此項優點。但是 Moss 與 Case(1999)則認為「圓形分 數板」在發展分數概念時有其限制,因為如果只有用分數板兒童 只要計數「幾塊」便可以,所以很難跳脫「部分-整體」模式。

Hannula(2003)亦認為若是學生無法超越「部分-整體」的思考,

則學生很難將分數概念應用到數線上。唯研究者則認為,能否跨 越「部分-整體」的思考與教師的布題有關,而不是具體物表徵 的問題。如果教學者每次都是出現一個完整的圓,做若干部分的 等分,再要求學習者說出所代表的分數便可能造成 Moss 與 Case

(1999)所聲稱的流弊。反之,如果只出現部分,例如:只出現

4

1個圓,請學生做出

4 2、

4

4,甚至是 2

4

3 個圓,學生便能夠把

4 1個 圓視為一個單位(一個數),而不致於拘泥在「部分-整體」模式之 中。至於,兒童很難在數線上標分數,是因為無法掌握參考的單 位,所以教學的重點應放在表徵之間的轉換,讓學生學到如何找

(25)

到適當單位。實際上,「部分-整體」模式是兒童接觸分數一個相 當自然的模式,毋須刻意逃避。所以,可將圓形分數板做為分數 概念引入的操作工具,但仍應提供學生不同問題類型及不同表徵 活動。

表徵系統互動模式應用在課程上,可以「2 個 pizza 平分給 4 位小朋友,請問一位得到多少個?」為例,教學者可以將這個題 目和平常同樂會做連結,形成所謂「真實情境」。對於年齡較小 或發展較不成熟的學生,可以讓他們透過圓形分數板的操作解 題,亦即利用「操弄具體物」。而對於能夠脫離動作運思,而進 入心像運思的學生則可以利用自行畫圖的方式解題,亦即利用

「形像表徵」。教學者,可以要求學生說明「你是怎麼做出來 的?」、「你切出來的這一塊代表多少個?」等等問題,以引導學 生做出「口語」的表徵。口語的表徵方式能協助兒童掌握意義、

反思學習,並且提供教學者回饋,以便決定下一個教學步驟。

Kieren(1988)也主張可以把兒童所說出來的分數語言,視為其 對分數物件知識的理解。最後,請學生「把你做的過程和結果,

用數學符號把它記下來」讓解題者記錄解題的經過,藉此達到「書 寫符號」的表徵。

Lesh 等人(1987)強調此表徵系統互動模式不僅五個元素都 很重要,表徵之間的轉譯和同一種表徵之內的轉化亦同等重要。

換言之,不只構成的元素重要,元素與元素間的動態關係亦至為 重要。Behr 等人(1983)亦主張各種表徵模式之間的轉換要能夠順

(26)

利,除非是在給定的情境下已經有充分的瞭解,否則將會產生困 難。根據 Lesh 等人(1987)從四到八年級學生參加 NAEP 測驗的表 現所做研究發現:學生對於文字題的瞭解上有嚴重的困難,且在 模型、語言及操作上都有同樣的問題存在。由此也可得知,大部 分的學生在表徵之間的轉譯具有相當的困難。基於此,他們對於 什麼叫做瞭解「

3

1」這個分數有以下幾個規準:(1)可以知道它是 代表不同表徵;(2)可以在給定的表徵內做彈性的操弄;(3)可以 從某一個表徵系統轉譯到其他的表徵系統(Lesh, 1987:36)。他們 也認為好的解題者通常傾向於會彈性運用相關的表徵,而在整個 解題過程中可以精確的轉換到最方便的表徵以進行解題。另外,

Hart(1985)曾研究三位七年級學生的解題,發現妨礙學生形成 有效表徵的因素有四:1.缺乏經驗;2.題目中加入沒有必要的限 制;3.缺乏後設認知技巧;4.受到信念負面的影響。由此可見,

身為一位教學者必須要能培養學生在不同表徵系統間做靈活的 轉譯,更要注意可能妨礙學生表徵轉譯的因素,避免加入無謂的 限制,讓學生能靈活應用表徵轉譯,方能進行有效的教學。

表徵系統互動模式的五種表徵雖然都是可以讓外人察覺,但 蔣治邦(1994)認為圖像和符號的運思是內隱活動,在評估時需要 透過「再次呈現」才能溝通。換言之,這兩種表徵都必須在教學 者的要求下,學習者才可能利用再表現的方式呈現出來。至於,

站在認知發展及教學效率的原則上,正常課室教學時並不需要針 對每一個解題活動都做到五種表徵均要呈現,唯若是教學者欲對

(27)

學習者之內隱運思進行形成性評量或診斷性評量,則要求其解題 過程中多運用幾種表徵方式應是可接受之範圍。

國內 82 年版的教材因為強調分數的原始意義是「等分割及 再合成其數份的活動」,所以將分數啟蒙教學的「說、讀、聽、

寫、做」五種表徵如圖 2-2 所示。

圖 2-2 說讀聽寫做五種表徵在學習分數之應用簡圖

資料來源: 國小數學教材分析國小數學教材分析國小數學教材分析國小數學教材分析—分數的數概念與運算分數的數概念與運算分數的數概念與運算分數的數概念與運算(頁 23),

陳竹村、林淑君、陳俊瑜,2001,台北:國立教育 研究院。

圖 2-2 旨在闡述分數認識活動的幾個相關概念,希冀藉由 說、讀、聽、寫、做等不同的表徵活動,讓學生表徵分數數詞及 分數數字,最終的目標則在建立分數是「等分割及再合成其數份 的活動」的概念。所以,82 年版本教材所主張的「說、讀、聽、

寫、做」和 Behr 等人(1983)所提出的五種表徵具有相同的旨趣,

分數的原始意義:

等分割及再合成其數份活動

分數詞 分數數字

讀 說

做 做

(28)

皆在運用多種表徵協助兒童理解數學概念。 而 Behr 等人(1983) 的模式不僅說明了人類學習時各種表徵的互動情形,而且突顯問 題情境(真實情境)的重要性,揭示研究兒童如何進行分數學習或 解題時的切入點。

(四四四四)表徵系統互動模式在分數學習的實徵研究表徵系統互動模式在分數學習的實徵研究表徵系統互動模式在分數學習的實徵研究 表徵系統互動模式在分數學習的實徵研究

在實驗研究方面,Taber (2001)採用 Lesh 等人所提出的五種 表徵方式的教學策略,針對 22 位五年級學生進行 4 週的分數乘 法教學,結果發現學生可以藉由兩次分割的操作促進對分數乘法 意義的瞭解。

在調查研究方面,Marcou 與 Gagatsis (2002)亦曾以 Behr 等人(1983)的表徵系統,針對 104 位五年級學生(約 10 歲)在學習 等值分數但尚未學習異分母加減前施予 80 分鐘的測驗,目的在 瞭解何種表徵對學生學習等值分數及分數加法較有效,以及多種 表徵間的轉換是否有較有效的形式利於學生學習。他們的研究有 幾項重要的發現:學生在各種表徵間彈性的轉換上表現並不好,

亦無法從多種表徵間看到其關係;學生無法利用圖像、書寫符號 和口語等不同的表徵對同一概念進行表徵,他們會認為那是代表 不同的概念;只要知道公式,學生在掌握書寫符號表徵是最有 效,在進行加法時掌握圖像表徵最有效,而掌握口語是最沒有效 率的;將圖像轉換書寫符號表徵比將口語轉換成圖像表徵有效。

最後,他們建議老師在教分數時先從圖像表徵著手,再轉換到書 寫符號表徵,最後再到口語表徵;應該盡可能的多用不同的表

(29)

徵,學生才能對於分數做深入的瞭解。所以 Marcou 與 Gagatsis 兩人的研究不只提供表徵互動系統在學習分數上的實徵研究,而 且各種表徵間轉換關係的探討也值得本研究加以重視。特別值得 注意的是,因為該研究的樣本是五年級學生,所以兩人建議教學 者以圖像方式切入,而不是從操作具體物開始。

至於國內過去針對分數表徵進行實徵的研究較少,而且主要 是以行動研究的方式探討分數教學中運用多元表徵的成效。曾靖 雯(2003)即以行動研究方式針對三年級分數單元進行教學歷程及 成效的探討,其研究發現「在教學中多嘗試各種表徵間轉換的經 驗,對於分數概念的穩固有幫助」。另外,張熙明(2004)亦採用行 動研究的方式探討五年級學生在接受分數表徵教學後表徵迷思 概念的改變情形,結果發現教學後學生的迷思概念有顯著改變,

且對於分數比較、分數詞意義及等值分數概念等均有進步,但低 程度的學習效果仍不佳。

綜合上述實驗研究、調查研究及行動研究的結果,運用多元 表徵學習分數能夠達到提昇的效果,但是對於不同的對象,或是 不同的表徵能力卻有不同的助益程度。所以,研究對象的因素會 影響到利用多元表徵進行分數教學的效果。

參 參 參

參、、、單位在數概念發展的重要性、單位在數概念發展的重要性單位在數概念發展的重要性單位在數概念發展的重要性

「單位」的概念在兒童學習數概念扮演相當重要的角色,也 是數概念提昇的主要關鍵。以印度-阿拉伯計數系統為例,單位

(30)

的發展在最初以「1」為基礎,再發展以「10」為單位,爾後才 陸續發展出多單位系統。兒童在日常生活中對於描述單位的詞並 不陌生,很早就會可以分辨一片、一包、一塊、一盒,皆在自然 數的情況下描述對象。由於生活情境使用的限制,在有限的生活 經驗上尚不需面對計數多個的問題。隨著生活經驗的擴充,加法 累加已漸漸不敷使用,乘法的學習因應而生。對於乘法的主要概 念有學者主張是「重複累加」(repeated addition)(Fischbein, Deri, Nello & Marino, 1985),但 Steffe(1988)則認為以同 數累加的觀念學習乘法,無助於瞭解學生如何能發展出集聚單位 及如何使用它。1993 年部編版的教材,即捨棄同數累加的觀點,

改以「單位轉換」貫穿「數」的主題。

「單位轉換」觀點在詮釋分數學習時特別有用,尤其是理解 分數乘以分數的情境,同數累加的觀點在解釋上有其困難。更有 甚者,Kieren (1988)和 Behr, Harel, Post 與 Lesh(1992)

均認為若是學習分數只教學生「分成 m 份,其中的 n 份,就是

m n 」 的解釋將導致無法全面瞭解分數,甚至妨礙分數概念的發展。因 此,他們都建議將

m

n 視為 n 個

m

1 的合成。亦即利用單位轉換將非 單位分數視為是單位分數複製後所形成的倍數,如此才有益於真 正瞭解分數概念,且不致於妨礙日後學習分數的乘法和除法。此 外,在實徵方面,Watanabe (1995)研究四個二年級學生對分數意 義的理解也發現,兒童是否能瞭解分數意義和他是否能進行單位 間的調節有很密切的關係。

(31)

一一

一一、、、Steffe、SteffeSteffeSteffe 對對對對「「「「單位單位單位單位」」」」的分類的分類的分類的分類

Steffe(1988)曾經將「單位」分為四類:計數單位、集聚 單位、測量單位及單位的單位(units of units),並且認為整數 的加減乘除等皆和這四種單位的形成(formation)和再形成 (reformation)有關。計數單位是指個體用來計數物件的單位,

例如:數一堆東西可以一個一個數或二個二個數等,此時「1」

或「2」便是計數單位。集聚單位是指由單位所形成的單位,例 如:1 個「5」是由 5 個「1」組合而成的單位。測量單位是指可 以拿來測量另一個數量的單位,例如:把「2」當作測量單位以 測量「10」,10 便是「2」此測量單位的 5 倍。單位的單位是指 由二階以上單位所構成的單位,例如:把「10」視為 2 個「5」、

10 個「1」所形成的單位。

二 二 二

二、、、Behr、BehrBehrBehr 等人對等人對等人對等人對「「「「單位單位單位單位」」」」的分類的分類的分類的分類 Behr 等人(1992)曾以 x 是 y 的

b

a 及 y=

b

c (c>b)的問題探討 五年級學生對於單位、單位的部分和單位的倍數等有關單位概念 形成的問題,並從而瞭解學生們對單位的概念是否具有彈性。該 研究將學生的反應結果分為五類:

1.1.1.1.單位分數的分解及合成單位分數的分解及合成單位分數的分解及合成:學生剛開始時將一個給定的分數 單位分數的分解及合成 分解為 n

1形式的單位分數,再利用單位分數迭代成單位全 體(unit whole)。

2.2.2.2.單位分量分解及合成單位分量分解及合成單位分量分解及合成:學生分解一個給定的單位分量成為 單位分量分解及合成

(32)

對應分子的數目,再把所有的單位分量合成單位全體。

3.3.3.3.單位分數未依單位分量分解單位分數未依單位分量分解單位分數未依單位分量分解:受試者沒有覺察到單位分量 單位分數未依單位分量分解 可以組成單位全體。

4.4.4.4.把給定的分量當作是一個單位把給定的分量當作是一個單位把給定的分量當作是一個單位:受試者將給定的單位分量 把給定的分量當作是一個單位 當作是單位全體。

5.5.5.5.把給定的分量當作是單位分數或單位分量把給定的分量當作是單位分數或單位分量把給定的分量當作是單位分數或單位分量。把給定的分量當作是單位分數或單位分量。。 。

上述反應只有持第一類和第二類概念者能正確解題,而第 一類又比第二類更為圓熟;第三、四、五類則無法正確解題。

另外,他們也發現利用一個全體的分量重構整體,比將一個整 體進行等分割得到一個特定的單位分量還要困難(Behr 等人, 1992, 1993)。以分量重構整體是目前國內教科書較少採用的方 式,未來在進行分數課程設計時實不宜忽視此重要的一環。

Behr 等人(1992, 1993)不但強調單位在分數教學的重要 性,也分別依據離散量和連續量的情境發展符號及圖形說明各 種不同的單位,8 種基本情形整理如表 2-2:

(33)

表 2-2 計數單位符號及圖像

單 位 符 號 及 圖 像

1.(○○○○○○○○)

說明:一個以 8 個物件形成的單位,記作 1(8-unit) 離

量 2.(○○/○○/○○/○○)

說明:一個以 8 個物件形成的單位被分成 4 等分。

3.((○○)(○○)(○○)(○○))

說明:每一個部分被單位化成一個具有 2 個物件的單位,而且形 成一個「單位的單位」,記作(

4

1(4(2-units)s-unit)) 4.((●●)(●●)(●●)(●●))

說明:每兩個形成的單位是(

4

1(4(2-units)s-unit))可能被再單 位化成三階單位,即「單位的單位的單位」,記做

(4

1(4(2-units)s-unit)-unit),此時每兩個形成的單位又成為

另一種特別的(

4

1-unit)

5.((●●)(●●)(●●)(●●)) 說明:代表 3 個(

4

1(4(2-units)s-unit)-unit) 連 6

說明: 代表一個單位,記作 1(1-unit) 續 7.

說明: 每一個部分可以概念化成 4

1(1-unit) 量 8.

說明:三 個部分是 3(

4

1-unit)s

資料來源:Rational number, ratio and proportion (pp.102-103), by M. Behr, G.

Harel, T. Post, & R. Lesh, 1992, in D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, NY: Macmillan.

(34)

表 2-2 很清楚的將不同量的情境下各種不同單位的情況列 出,雖然頗為複雜不適合直接全盤移植做為國小階段大團體教 學,卻可以用色筆加以塗色配合口語說明,做為瞭解分數單位概 念的方法。

三三

三三、、、寗自強對分數單位的主張、寗自強對分數單位的主張寗自強對分數單位的主張寗自強對分數單位的主張

寗自強(1997a)主張整數是兩階單位的概念,而分數則是三 階單位的概念。他認為兒童在進行分數運作時,若只以單位量或 單位分量兩者的一種單位來運作,並無困難。但是如果需要考慮 到獨立於其他單位的同時運作則需待其「部分—整體運思」的成 熟。他進一步指出,分數內容中的兩種單位是由單位分量單位所 構成,所以分數單位是一個由單位分量單位所構成的單位「們」

形成的新單位,也就是三階層的單位。

由上述國內外學者對單位的論述,可知數學內涵上「單位」

的意義極其複雜,可以從不同的角度切入,但核心概念是以何者 為相對的「1」(整體),當以「1」合成若干個之後形成一個可以 運作的新「1」則稱為集聚單位。當把「1」等分成若干個之後所 得到可運作的新「1」則被稱為單位分數,它可以代表一個新的 集聚單位還原原來的「1」。就一般性的觀點分析,現今分數教材 中的計數單位,同樣也可以發現它包含三階層單位。第一階,只 有一個明顯單位,另一個單位則不明顯。例如「m 顆中的 n 顆,

(35)

n 顆是佔全部的 n/m」;第二階含蓋兩個明顯的單位,例如「一個 蔥油餅分成 m 份,其中的 n 份是佔 n/m 個」;第三階則包含兩個 明顯的單位,且之間包含一個不明顯的單位(份),例如「一包彈 珠有 24 顆,則2

6包有多少顆?」。兒童若要把內多型的分數學好,

甚至發展到等值分數則不但「部分-整體」關係要非常清楚,而 且要熟練「單位的化聚」才能發展出巢狀分數。也只有在巢狀分 數的層次下,兒童才算真正懂得「等值分數」。

第二節 分數概念發展階段的認知觀點

Kieren(1988)主張數學教育工作者宜釐清人類是如何學到 數學知識,或說明何種數學知識可以被人們習得。他曾明確的指 出,構成數學知識的機制共有五個面向:結構性、心像、心理、

語言使用及數學等五種不同的機制,而這五個機制彼此相互連 結,相輔相成。由此可知,數學知識不只是具有結構性,且涉及 心理認知層面,甚至包括使用語言做為表達溝通。以下主要以學 童學習分數的心理機制層面為梳理文獻的主軸,並將之做為本研 究之參考理論架構。

壹 壹 壹

壹、、、從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模、從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模

兒童在解分數問題時所運用的材料不一,本節採用荷蘭學者

(36)

Streefland (1991)所發展的真實數學教育(Realistic

Mathematics Education,簡稱 RME)所提出的基模做為分類依據。

然而在介紹分數基模之前,先就 Streefland 所倡導的數學教育 觀念做一梳理。

Streefland (1991)認為數學教學的幾股潮流:結構式取向、

機械式取向、實用性結構主義、實在取向及實證取向。結構式取 向學習理論,將數學視為認知獲得,它是一種有次序的、封閉的 及演繹的系統,教學和學習都受到系統的形塑。機械化取向的數 學認為最後的結果早已給定,重視最後算則的水平,並不重視情 境脈絡。實用的結構主義認為數學之所以能提昇,是因為有「應 用」的時候,此亦是促進數學垂直發展的原因。「垂直的數學化」

(vertical mathematization)強調數學系統內進階的發展,其過 程可透過實物表徵的方式達成。實在取向則強調數學教育並非要 學生對於複製的數學系統產生洞察,而是要培養其建構出屬於自 己的數學系統。最後,實證取向強調小學生要利用具體操作學習 數學,而且重視水平的數學化。「水平的數學化」(horizontal mathematization)是指利用適當的數學工具,將所學到的數學脈 絡擴展到其他同一層次的數學概念。

Streefland (1991)認為傳統分數教學的缺點在於忽略學生零 碎及非正式知識庫,而只注意精確的、規則取向的教學,在教學 方法上則只重視「視覺模式」(vision model)。他主張利用真實

(37)

情境教導兒童學習數學,在有關分數的研究裡列舉出五項進步指 標:1.概念獲得和自然數的困惑;2.基模化的進步;3.模式、圖 形運用或基模的使用具彈性;4.將問題形成心像的能力;5.在符 號的層次上,學生自己建構或出產的情形。此五項指標具有階層 性,越後面層次越高,代表兒童可使用抽象符號解題。五項指標 中的「基模化的進步」係依據兒童所表現出的基模化發展情形而 劃分,計可分為三個層次。

第一層次(具體層次):此層次,在數學資源的使用上主要是 仰賴具體的物件,兒童會利用圖解的方式解題。

第二層次:此層次,兒童除了會利用圖解外,也會利用比值 表(ratio table)以比較分數的大小。在畫圖解時,

和上一層次不同的是可以畫得更為簡略。雖然學生偶 爾還會採取前一層次的解法,但是對第二層次的方法 已經很熟練,由於基模的提昇,因此可較不費力的解 題。此外,第一層次以畫座位表的方法精簡為第二層 次的畫樹狀圖,此法讓學生有機會反複的應用「對分」

(halving)和「加倍」(doubling)。至於如何再從比值表 做精簡,可能得從表的長度做判斷,使用的表越短代 表越精簡。

第三層次:此層次,擁有正式規則的一般特質,例如:系統 性的運用最小公倍數的方法,比較不同分母的分數及

(38)

不同比值配對的大小。Streefland 認為此層次為該研 究中的最高階。達到此層次,縱然剛開始仍會使用圖 解,不過最後會完全消失,最終則可以抽象化,脫離 脈絡。

由以上三個層次可知,Streefland 主要以兒童在解題時所使 用解題策略的特點而加以區分,不同的策略隸屬於不同的層次。

Streefland 認為分數教學若只局限在視覺模式是不足的,應該加 入真實情境。Davydov 與 Tsvetkovich (1991)也堅信只用分數 板、積木等視覺模式的教學難以發展分數的「測量」概念。分數 概念的培養要藉由真實情境「脈絡化」(contextualization),經由 解題後的自我反思(self-reflection)從解題活動類型中抽取概念,

最後逐漸達到不拘任何問題情境均可以解出類似的分數問題,亦 即達成概念的「去脈絡化」(decontextualization)。

貳 貳 貳

貳、、、從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模、從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模

兒童在學習分數之初必須仰賴對於整數單位的調節,其中應 用 Piaget 基模調適觀念以解析兒童分數基模發展的研究近年紛 紛出爐。本節即以 Steffe (1988, 1992, 2002, 2004)、Olive (1999, 2001a, 2001b, 2002, 2003)、Sánenz-Ludlow (1994, 1995)、Tzur (1995)及甯自強(1993d, 1997a, 1997b)等人藉由心像、心理及 語言的使用探討兒童的分數知識的結構機制為主要探討對象。以 下分別說明之。

(39)

一一

一一、、、Steffe、SteffeSteffeSteffe 整數分數基模模型整數分數基模模型整數分數基模模型整數分數基模模型

分數的發展在整數之後。Steffe, von Glasersfeld, Richards 與 Cobb (1983)將兒童整數的發展分成四種數列,而所謂的「數列」

是一種「抽象單位項數列」(a sequence of abstract unit items),其中包含了計數活動的記錄(Steffe, 2002)。Steffe (1994)認為數的加法性和乘法性的運思都牽涉到數列的發展。分 數則是延續整數發展的一種數概念,因此以下將先梳理四種整數 的數列,再整理其有關分數基模的分類。需特別提出的是,Steffe 認為整數的第四種數列(外顯巢狀數列)和分數的發展特別有關。

( ((

(一一一)一)))前數數基模前數數基模前數數基模前數數基模(pre(pre(pre(pre----numerical counting schemes)numerical counting schemes)numerical counting schemes)numerical counting schemes) 具此基模的兒童會利用手「指」作數數,但尚無法做固定的 數數,即第一次和第二次所數的可能不一樣。有些物件可能會數 兩次,動作和口語可能無法一致。此時的兒童是依賴知覺及形象 的數數者。

(((

(二二二)二)))初始數列初始數列初始數列初始數列(an (an (an (an initial number sequenceinitial number sequenceinitial number sequenceinitial number sequence,,,,簡稱簡稱簡稱 INS)簡稱 INS)INS)INS) 在剛進入初始數列的兒童,數詞對他而言只不過是計數動作 所相對的一串數列,這個數列所包含的並不是一個單位(Steffe, 1994)。從他所產生之計數活動記錄來看,他所運思的計數活動 是一個一分開的,而非運思在一段數的截割(segment)之上。例 如:兒童數一堆 10 個彈珠,當他數到 7 的時候請他停下來,此

(40)

時這個 7 對他而言只是一個別的標號,而不是把它看成他已經

「數了 7 個」。到了後期,不只靠看得見的物體形象數數,且能 夠產生心像對那些看不見的(被刻意遮住)物件做數數。此時,數 列代表的是一個包含以「1」為單位的單位,即集聚單位。因此 假如物件一直往上加,他也可以從先前數的往上數數(亦即進入 累進性合成運思)。但是此階段兒童無法處理一個「語詞項」

(lexical item),只能靠在情境中做出指定的數。此外,雖然可 以做到兩個兩個一數的計數物件,但是尚無法察覺到底數了多少 個 2。

( ((

(三三三三))))內隱巢狀數列內隱巢狀數列內隱巢狀數列(a tacitly內隱巢狀數列(a tacitly(a tacitly-(a tacitly---nested number sequencenested number sequencenested number sequencenested number sequence,,,簡,簡簡簡 稱稱稱

稱 TNS)TNS)TNS)TNS)

TNS 比 INS 進步的地方有兩項重要的指標,其一是可以把語 詞項當作是做出來的集聚單位;其二是 TNS 是一種「可逆溯的計 數基模」(reversible counting scheme),亦即既是計數的結果 同時也是在相同計數情節中的計數情境。以向兒童詢問「有 12 顆彈珠(未出現可操弄實物)再多 15 顆彈珠是多少顆彈珠?」為 例。兒童會把 15 視為一個單位,即不再 13(1)、14(2)…一個 一個往上數,且可以兩個或五個一數數數,知道自己數了多少個 2,多少個 5。要能保留以兩個(或五個)一數的軌跡涉及到 TNS 中調節兩個層次的單位,即一個是以 1 為單位,另一個是以 2 為 單位。當兒童擁為內隱巢狀數才有可能發生乘法性基模,在初始

(41)

數列時則不可能發生。

(((

(四四四四))))外顯巢狀數列外顯巢狀數列外顯巢狀數列(an exp外顯巢狀數列(an exp(an expl(an expllliciticiticitlicitlllyyyy----nested sequencenested sequencenested sequencenested sequence,,,,簡稱簡稱簡稱簡稱 ENS)

ENS) ENS) ENS)

ENS 是由 TNS 再內蘊化而來。當兒童具有 ENS 時可以產生 1 的可複製單位,因為它是可以複製的,也就是它可以從數列中脫 嵌,而以複製的方式形成另一個從 1 脫嵌出來的相同拷備之新單 位。Steffe (2002)明確的指出,將一個單位項進行迭代

(iterating)及某一個部分從整體中脫嵌而出,是外顯巢狀數列 的兩個主要的運思特徵。例如:1 重複五次可以產生一個 5,而 5 可以被分割成 5 個 1。依此而論,可複製單位是可逆溯運思的 結果,藉由活動中重複的運用此基模而建立。就分數來說,例如:

兒童要知道

6 5盒是

6

1盒連續複製五次,才會得到 5 個

6

1盒,亦即

6 5

盒。

二 二 二

二、、、 Steffe、 SteffeSteffeSteffe 和和和和 OliveOliveOlive 發展的分數基模模型Olive發展的分數基模模型發展的分數基模模型發展的分數基模模型

Olive 與 Steffe(2002)合作,利用 Java 語言所寫的電腦 模擬程式(TIMA 及 Java Bar 5)進行臨床教學晤談,在前述 Steffe 的理論基礎上又延伸出五種兒童可能的分數基模。此一取向的理 論認為構成分數概念有兩個主要的運思:「分割」(partition)與「迭 代」(iteration)(Tzur, 2003),由此切入,可以瞭解兒童的分 數基模。Olive 與 Steffe(2002)、Steffe (2004)將兒童從外顯巢

(42)

狀數列到「分數連結數列」(fractional connected number sequence) 之間可能產生的運思方式及基模型態繪製如圖 2-3。

(43)

分數

分 割 性 共 同 分數

分 割 性單 位分 數

連 結 數

集 聚 單位

分割 脫嵌 迭代 累進 性合 成

圖 2-3 由外顯巢狀數到分數連結數的基模變化

說明: 代表數列 代表運思

代表基模 代表基模的結果 資料來源:”The construction of an iterative fractional scheme: The case of

Joe”, by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, Journal of Mathematical Behavior, 20, p. 436.

分數連結數列 分數連結數列 分數連結數列 分數連結數列

迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模

撕裂運思(分割及迭代的合成)

對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之 等 分 割 基模

等 分 割 基模等 分 割 基模 等 分 割 基模

分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模

分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模

等 分 割 基模 等 分 割 基模 等 分 割 基模 等 分 割 基模

對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之 等 份 基 模

等 份 基 模等 份 基 模 等 份 基 模

外顯巢狀數列 外顯巢狀數列外顯巢狀數列 外顯巢狀數列

迭 代迭 代 迭 代迭 代

(44)

在圖 2-3 所呈現可能的基模主要有「等分割基模」

(equi-partition scheme)、「分割性單位分數基模」(partitive unit fractional scheme)、「分割性分數基模」(partitive fractional scheme)、「迭代分數基模」(iterative fractional scheme)及「等份基模」(equi-portioning scheme)等五種。所 謂「等分割基模」係指兒童能將一個物件利用預期基模進行相等 分割。「分割性單位分數基模」則指具有將整體等分後得到基本 單位分數的基模,例如:一包餅乾 18 塊分給 9 人,得到

9 1 包餅 乾。所謂「分割性分數基模」是指可以結合單位分數以形成一個 整體的集聚部分,但此集聚部分小於等於甚至是大於整體。「迭 代分數基模」是指可以將一個分數進行迭代做出另一個分數,例 如:把5

4條積木連續迭代 4 次得到

5

16條積木。「等份基模」係指 能知道等分後的每一個分量和整體量之間所形成份都一樣多。例 如,把一盒糖果 36 顆,分給 9 個人。兒童能做出每一個人都分

到 4 顆,而且知道這 4 顆是 36

4 盒也就是一份,而且有 9 個一份,

每一份都相等。不過 Olive 與 Steffe(2002)也強調整個分數的 發展並不是到此為止,就他們所研究的個案到五年級結束前可以 發展分數乘法,此時被稱之為「組合分數」(分數的分數)。以下 就分數的加法和乘法有關的基模做一介紹。

( (

( (一一一)一)))迭代分數基模迭代分數基模迭代分數基模 迭代分數基模

迭代分數基模(the iterative fractional scheme)和分數

(45)

的加法有關。而迭代分數基模是由外顯巢狀數列(ENS)發展而 來,所使用的單位是可以複製的,且可做二階單位的調節,例如:

兒童能夠把 4

1當做是一個可複製的單位,將 4

1複製 3 次,合起來

是4

3。在此階段中,必須調節以 4

1為單位和以 4

3為單位,即 4 3這

個單位是由 3 個 4

1為單位所合成的。

(((

(二二二)二)))共同分割分數基模共同分割分數基模共同分割分數基模共同分割分數基模

共同分割分數基模(the common partitioning fractional scheme)是解決異分母加減的關鍵,它是繼上述迭代分數基模而 發展的基模。其主要的特色是可調節三階的單位,例如:一盒糖

果 24 顆,

8

6盒是 18 顆,18 顆和18

24盒一樣;

4

3盒也是 18 顆也和18

24

盒一樣。所以,這 18 顆可以是將原始單位量(24 顆)做不同的等

分割後形成的,同時 8 6(或

4

3)也是一個具有的三階概念的分數。

( ((

(三三三)三)))分數集聚基模分數集聚基模分數集聚基模分數集聚基模

分數集聚基模(the fraction composition scheme)的發展 導致分數乘法概念的出現,它的特色是透過分配策略、可重複性

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