分數學習困難的原因之一是其本身的子結構過於複雜，造成 學童學習的紊亂。本節將分兩小節，首先整理過去國內外文獻，
針對「分數的意義」加以探討，其次梳理有關兒童學習分數的相 關研究，以釐清分數研究的範圍，並將過往研究做為比較之參考 依據。
壹壹
壹壹、、、分數的意義及相關概念、分數的意義及相關概念分數的意義及相關概念分數的意義及相關概念
分數的英文是”fraction”，源自於拉丁字”frangere”(張平東，
2002)，其概念則起源於「分」，是用來處理不滿一個單位量的量 數值化的問題(甯自強，1995)。亦即，當一個不滿一個單位量的 量，需要被原單位量予以測量並加以描述(數值化)時，就產生了 分數的問題，並發展出分數的概念(謝堅、蔣治邦、林昭珍與吳
淑娟，2001)。Piaget, Inhelder 與 Szeminska（1960）認為兒童 要學習分數必須要能掌握以下七個分數的特質：
一、整體是可以分割的，它可能是由許多可分離的元素組合而 成。
二、分數是指定部分(相對於整體)的數目。
三、分數的等分必須耗盡(exhaustive)。
四、整體被分割成部分的數目和分割次數之間有固定的關係。
五、算術表示的分數意寓著所分割的每一份都相等。
六、子分割(subdivision)是一種運思，除了本身代表一個並置 的分數之外，亦隱含著另一層的巢狀關係。
七、子分割後的部分總和等於原來全體，即必須具保留概念。
以上所提的七個分數的特質是兒童要擁有分數概念所不可 或缺的。雖然 Piaget 的實驗主要是以連續量的情境呈現，但是這 些分數的特質在離散量情境中依然成立，例如：學童在等分離散 量情境單位分數內容物為多個時，就常常出現有未分盡的情況發 生(王淵智，2001)。
至於分數的範圍和其所含的子概念在各學者間的看法有一 些不同。文獻中常常將分數(fraction number)和有理數(rational number)併置討論並不特別去做區分，實際上分數所含蓋的範圍 較小，有理數的範圍較大。Olive（2001）、甯自強(1995)均指出，
有理數是分數的等價集所構成的等價類。就國小的教材分析，把
它限定在「分數」應該較為適切，但由於分數包含在有理數中，
故討論時有時將它並置使用。此外，幾個常和分數混雜的名詞諸 如「速率」(rates)、「比值」(ratio)和「商」(quotients)之間也有 所區別，Lesh, Post 與 Behr（1988）曾對此四個詞以其是屬於單 純的某一種量(外延或內涵)、配對量的關係或配對量運算的執行 等三個判準做出以下的區分：
1.分數是外延量的特例；告訴吾人單一物件的大小，例如：
4
3個蔥油餅。
2.速率是外延量；它可以用「每一」這個單位詞再行辨別，
例如：颱風的速率「每一小時 150 公里」。
3.比值是二個有序配對量的關係(可能是外延量、內涵量或向 量的形式)
4.商是結合二個量的二元運算(可能是外延量、內涵量或向量 形式)。
上述的區別可以澄清四個詞之間的特徵，至於分數意義的定 義，陳竹村等人(2001)整理了依據 1993 年(民國 82 年)課程標準 所編的國小數學科教學指引中分數的意義，計歸為：「部分與全 體的比較」、「除法的活動」、「算子」、「小數的另一種記法」、「比」、
「測量及透過等分割活動及合成活動來實施，來確定一個量與一 個基準單位量的數值關係的指標」等六種，此歸類和 Kieren
（1988）的看法大致雷同。「部分和整體的關係」是國小分數啟 蒙課程主要的活動類型，透過此比較瞭解分數詞乃是部分和包含
它的整體比較的表示法。到高年級，在未整除且要「全部分完」
的情況下，讓學生瞭解到分數可以是除法活動。而在分數的乘除 法中，透過單位數為分數的情況，學習分數可以當作運算子 (operator)。另外，在中年級學習小數時，便以分數
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1 做為分數 小數連結的關鍵，所以分數也成為小數的另一種記法。在高年級 以分數所表示的比值，來描述前後項比的關係。最後，利用和量 做結合的情境問題，將以某一量(基準量)去度量化另一個量(比較 量)，求出兩個量之間的關係。
此外，Kieren (1988)對於分數的子概念結構應該包含四個部 分，即測量、商、比值及乘法性運算子(multiplicative
operator)。他特別強調學習者想要對分數能有通盤的認識並不 容易，因為不僅要把個別的子概念弄懂，而且要瞭解子概念彼此 的關係，如此才能將”
b
a”這個的數學符號和其他的四個面向做 深刻的連結。
由上述各家學者的論述可得知，關於分數的意義(或子概念) 有多種不同的解釋。由於本研究所要求的作業為兒童解加法性問 題及分數乘以整數兩類問題為主，考量學生之學習經驗，故採取 Kieren 所指出「部分與整體」的意義為主，其他如「商」、「比 值」、「運算子」等等不在本研究的探討範圍。
對於一般分數教學常利用四種模式或概念：區域模式、集合 概念、線段模式及離散模式(張平東，2002；Millsaps & Reed, 1998)。區域模式的教學常利用圓形圖及長方形表示，由於長方
形的等分割可能涉及等積異形的問題，所以一般而言較不適合做 為分數的啟蒙教材。但是，Olive（2002, 2003）所發展出 Java Bar 程式，在限定分割方式的情況下對長方形單位量進行任意份數的 分割，是促進等分割、單位分數迭代等的好媒材。至於圓形圖只 要利用對折的方式，能夠解決 2、4、8 等簡單偶數等分割的問題，
學童較容易做出「等分」，所以較適合在剛引入分數概念時使用。
圓形圖在進行奇數等分割或非連續對折等分割的操弄並不容 易，故也有其一定的限制。利用集合概念教導分數，是離散量分 數的自然形式，教學的重點應該讓兒童能夠掌握「全集合」及等 分割之後的合成的「子集合」。線段圖則適合在兒童已經有整數 線段圖的基礎及清楚掌握分數的單位量後再引入，其在比較分數 的大小、等值分數教學及尋找共測分數時有其優勢。此外，
LeFevre（1984）也曾提醒從事有理數教學的老師，在利用不同 表徵材料詮釋有理數時亦應把其真正共同的屬性給呈現出來以 便學生進行統整，否則學生對於有理數的認識將止於零碎的印 象。
在分數課程的編製上，Rowan, Payne 與 Towsley（1993）
認為 K-4 年級的分數之發展順序如下：
1.分享及相等大小：瞭解分數就是分享(sharing)，強調「公 平」及「大小相同」。
2.部分和整體：利用精準的單位詞描述部分和整體。
3.比較：由分母相等開始，再到同分子，最後瞭解異分母分
數的大小。
4.等值分數、估計及比較。
5.分數符號教導。
以上五點中的前四項對發展實驗課程具有相當的啟發性。從 整個發展順序可以看出強調概念的瞭解，先用口說而不急著引入 符號的記法，待學生充分了解其意義後才開始教導分數書寫符 號。然而，本研究所要研究的對象為四年級學生，就國內教材的 編寫早在二年級下學期即引入分數的記法。所以，分數符號已是 研究對象所早已接觸的表徵方式。研究者唯有透過解題限制及口 頭引導方能突破學生使用的慣性。
貳 貳 貳
貳、、、兒童學習分數的相關研究、兒童學習分數的相關研究兒童學習分數的相關研究兒童學習分數的相關研究
Rowan 等人（1993）指出，在教分數和小數時最重要的就 是在計算之前就要很謹慎的教導完整的概念。否則，學生將流於 形式上的模仿、表面的計算。而過去以兒童學習分數為主題的研 究文獻頗多，主要有兩類，第一類為概念錯誤類型描述，第二類 是心理結構(基模)推測。
以下將兩類的研究結果或發現整理如下：
一 一一
一、、、、概念描述與實徵研究概念描述與實徵研究概念描述與實徵研究 概念描述與實徵研究
由於分數所涉及的子概念相當多，所以專家學者的論述或研 究也相對的多樣化，在此僅列舉等分概念、單位量、簡單分數、
分數比較大小及等值分數等五項，其餘未能納入上述分類但和本 研究有所關連者列為「其他」一項。
(((
(一一一)一)))等分概念方面等分概念方面等分概念方面等分概念方面
Piaget 等人(1960)曾提供 3 至 7 歲不同年齡兒童黏土，
要求他們將它分成兩等分和三等分，結果兒童們均感困難。隨後 改為用圓形、長方形和正方形的紙，並提供剪刀和紙筆再進行等 分，結果兒童可以進行四等分、五等分及六等分。Piaget 將兒童 進行等分割實驗的結果分成以下三個階段：
第一階段：在進行等分割時仍有實質的困難，出現未完全分 盡或大小不同的情況，尤其是進行三等分割時容易出現混淆切割 數(切兩刀得三塊)和等分數。
第二階段：分成兩個子階段。第一個子階段，兒童能夠對小 面積的、規則的形狀進行等分割，但對於面積大的、不規則的圖 形要進行餘量再分則有所困難，例如：會把一個大的分出三塊小 的，其餘的留下不管，或是做兩次對分，然後取三塊，剩下一塊 不管。在不同圖形的表現上，要對長方形三等分割比正方形容 易，而正方形又比圓形容易些。在部分與整體的認知上，此子階 段的兒童不認為所有部分的總和必須等於原來的整體。在第二個 子階段的兒童，對於二等分不再有任何困難，對於三等分問題已 逐漸熟悉，但對五等分仍有困難。對於部分和整體的關係利用直 觀的方式相信部分的總和和原來整體一樣多，而非利用運思 (operationally)的方式。因此，此子階段的兒童具有部分與整體的
保留概念。
第三階段：分成兩個子階段。第一個子階段，可以利用預期 基模執行三等分割，對於整體能夠藉由運思而得到保留，認為部 分的總和及整體之間是必然的關係。第二個子階段，預期基模可 以擴展到五等分割及六等分割。
從 Piaget 等人(1960)的實驗有三項主要的啟示。首先，等分 概念是兒童學習分數最基本的概念之一，對一個物件等分必須遵 循「分盡」和「公平」的原則。在第一階段的兒童由於沒有部分 和整體的保留概念，所以無法進行正確的等分。其次，就圖形分 割的難易而論，長方形分割最為容易，正方形次之，圓形進行分 割(尤其是三等分)最難。復次，當兒童可以發展出預期基模，便 可以由三等分、五等分、六等分等等向更多分割發展。
兒童進行等分的策略，依據 Pothier 與 Sawada（1983）的 研究區分成五個階段依序為：分享(sharing)、算則對分(algorithmic halving)、偶數等分(evenness)、奇數等分(oddness)及合數等分。
上述的五個策略是兒童進行等分從易到難所發展出來。
就國內實徵研究結果顯示，有為數不少的國小兒童缺乏等分 概念(王淵智，2001；呂玉琴，1991；林碧珍，1990；陳瑞發，
2003；詹婉華，2003；湯錦雲，2002)。其中缺乏等分概念的兒 童常從比較容易分割的部分著手，把其餘未等分的部分在某一分 量上進行分割活動，例如：將一個圓進行五等分割，兒童常先畫 四等分後再從其中的一等分再對分。此種犯錯的現象與 Piaget