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分 數 詞概 念 (已 知內 單 推未 見 部 份)
L1、 、H1、 H3 L3、 L2＊ 、 M1、
M2、 M3、 H2
L3、 H1、 H3 L2、 M1
分 數 詞概 念 (已 知內 多 推未 見 部 份)
L1、 M2、 M3、 H2
分 數 詞概 念 (紙 筆內 多 圈選 )
M2、M3、H1、H2、
H3
L1、 L2、 L3、 M1 L2、L3、M1、M2、
M3、 H1 H2、 H3
L1、 L3
分 數 詞概 念 (內 多做 數 訪談 )
H1、 H2、 H3、
M1、 M2、 M3
L1、 L2、 L3、
M2(寫 )
L2、M2、M3、H1、
H2、 H3
L3
分 數 部分 整體 關 係
(問 題 9 甲 )
H1、 H2、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、
L1、M1、M3、H1、
H3
L2、 L3、 M2、 H2
分 數 部分 整體 關 係
(總 數已 知 )
L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、
H1、 H2、 H3
L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、
H1、 H2、 H3 分 數 部分 整體 關
係
(總 數未 知 )
H1、 H2、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 M3
L1、L2、L3、M1、
M2、M3、H1、H2、
H3 等 值 分數 概念
(問 題甲 第 12A)
H1、 H3 L1、 L2、 L3、
M1、 M2、 M3、
H2
M3、 H1、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 H2
等 值 分數 概念 (問 題甲 第 12B)
L1、 L2、 L3、
M1、 M2、 M3、
H1、 H2、 H3
M3、 H1、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 H2
等 值 分數 概念 (問 題甲 第 12C)
L1、 L2、 L3、
M1、 M2、 M3、
H1、 H2、 H3
H1、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、 H2
等 值 分數 概念 (問 題甲 第 15)
H1、 H2 L1、 L2、 L3、
M1、 M2、 M3、
H3
L2、M3、H1、H2、
H3
L1、L3、M1、M2、
壹 壹 壹
壹、、、整數概念的發展、整數概念的發展整數概念的發展整數概念的發展
本研究為瞭解兒童整數「部分—整體關係」，在佈題時採 用提供整體數目及提供部份可見物件，要求學童說出另一個未見 部份物件數量的問題，再根據其回答情況判別關係掌握是否良 好。例如，以口語布題：「一包花片有 20 顆，5 顆放在布外面，
其餘的放在布裡面，請問布裡面有多少顆花片？」，並配合實物
呈現，再請個案說出答案及說明，以探究其「部分—整體」關係 瞭解程度。
其次，本研究採用 Sáenz-Ludlow (1994)的觀點，藉由自然數 單位讓兒童去感受分數單位，所以特別利用不同單位之間化聚的 問題使其感受單位的轉換及相互之階層關係。具體言之，是以「糖 葫蘆」由「顆變串」及「串變顆」的問題探討個案之「由高階單 位化成低階單位」及「由低階單位聚成高階單位」的單位階層化 聚關係。
一 一一
一、、、、 整數部分整體關係的發展整數部分整體關係的發展整數部分整體關係的發展整數部分整體關係的發展 (((
(一一一一) ) ) ) 以減法算則輕易回答以減法算則輕易回答以減法算則輕易回答以減法算則輕易回答「「「「部分部分部分部分---整體--整體整體整體」」」」關係的教學前表關係的教學前表關係的教學前表關係的教學前表 現
現現 現
經由教學前的訪談發現，不論低中高組學生對於整數的部 分整體關係相當嫻熟。低分組可以利用算則抽象解題，中分組解 題速度比低分組快，高分組相較之下最為迅速。
1.
1.1.
1.利用減法算則的低分組利用減法算則的低分組利用減法算則的低分組利用減法算則的低分組
由訪談內容得知三位低分組的個案，在知道整體及一個部 分後，均可以正確算出另一個部分的數目。三位個案在解題過 程，既未藉助點數也未進行默數，而是透過純熟的減法進行抽象 思考，解決未具體呈現的另一部分數量。此反應出三者均能掌握 整數的「部分—整體」關係。以 L3 為例，他很快地利用減法算 出正確答案(L3A004)。
L3A001 R：第 一個 問題 要來 請教 你。 我拿 一包 花 片， 把五 顆 放 在 外 面 ， 其 他 的 放 在 布 裡 面 。 現 在 知 道 這 包花片原來有二十顆，布裡面有多少顆花片？
L3A002 L3：十五顆。
L3A003 R：你是怎麼知道的？
L3A004 L3：二十顆減掉五顆，等於十五顆。
2.
2.
2.
2.輕易解題的中分組輕易解題的中分組輕易解題的中分組 輕易解題的中分組
三位中分組個案均能掌握整數的「部分—整體」關係，其作 法和低分組相同而且解題的速度更快，只有 M1 在剛開始訪談可 能過於緊張誤會題意，經過澄清題意後也和 M2、M3 一樣能夠輕 易的解出布裡面有「十五顆」(M1A008)。以 M1 為例，訪談記錄 如下：
M1A007 R：100 個花片？那如果是這樣子的話，我說這些 花片是從一包裡面倒出來的，妳怎麼會認為它 有 100 個？是 5 乘以 20。我說那包花片裡面只 有 20 顆。全部都倒出來了哦！5 顆放外面，我 現在知道全部有 20 顆。全部 20 顆的意思是說 這邊跟這邊合起來是 20 顆，那布底下有多少 顆？
M1A008 M1：那這裡面有 15 顆。
3.3.
3.3.迅速回答的高分組迅速回答的高分組迅速回答的高分組 迅速回答的高分組
高分組三位個案在訪談時，都以極迅速的速度回答有關整體 扣掉部分所剩下部分的問題，顯示三個案對整數的部分整體關係 掌握的相當良好。以 H2 為例，很迅速的算出正確的答案，並且 將解題的過程說得相當清楚。
H2A001 R：布外面的花片和裡面的花片總共 20 顆，請問布 題裡面有多少顆花片？
H2A002 H2：17。
H2A003 R：你是怎麼知道的？
H2A004 H2：抹布裡面我還不知道，但外面已經 3 顆了，所 以用 20 減掉 3。
( ((
(二二二二))))掌握掌握掌握「掌握「「部分「部分部分部分————整體整體整體」整體」」關係更為嫻熟的教學後表現」關係更為嫻熟的教學後表現關係更為嫻熟的教學後表現關係更為嫻熟的教學後表現
三組個案在教學實驗後的訪談，和教學前的問題相同，都 在檢驗其簡單的整數「部分—整體」關係。從訪談的資料發現，
9 位個案的正確率和教學前相同，全部都正確解答問題。而且，
三組個案都在研究者剛問完問題後，馬上就說出解答，並且可以 將想法做出合宜的解釋。以 L2 為例，不但可以立即回答，而且 能清楚的說明單位間的關係，其訪談原案如下：
L2B001 R：這是五顆花片，這五顆花片是從一包花片裡面 拿出來的，那其它的藏在布裡面，有五顆放在 外面讓你看到，其它的放在布裡面。請問這一 包花片有二十顆，那布裡面有多少顆？
L2B002 L2：十五。
L2B003 R：十五顆？好，你是怎麼知道的？
L2B004 L2：我就用二十把這裡減掉。
L2B005 R：二十減掉五？那個二十是什麼？
L2B006 L2：一包有二十顆。
(((
(三三三三))))教學前後個案教學前後個案教學前後個案「教學前後個案「「部分「部分部分部分---整體關係整體關係整體關係」整體關係」」之比較與討論」之比較與討論之比較與討論之比較與討論：：：： 1.從上述三組個案的表現分析，不論程度低中高程度在前
測時都具備同階整數的部分整體關係，此也意味學童學習 同階單位分數的可能性是存在的。亦即，三組學童具備學 習分數的先備基本概念。而在後測的表現看得出，不但正 確度和前測一樣，而且解題更迅速，此意味著 9 位個案在 整數同階單位的「部分—整體」關係相當成熟，可以進行
分解的抽象思考，是進入分數學習有利的基礎。
2. 對照甯自強(1993a)對於兒童數概念發展的看法，本研究 在後測的 9 位個案，不但可以將「5」內嵌在 20 之內，也 可以脫嵌之後不破壞整體，對於「一包」、「20 顆」和「5 顆」之間的關係都能夠清楚的掌握。顯示，教學實驗後有 比教學實驗之前更精熟的現象。
二二
二二、、、 整數二階單位化聚的發展、 整數二階單位化聚的發展整數二階單位化聚的發展整數二階單位化聚的發展
本小節採取「由低階單位到高階單位」、「由高階單位到低 階單位」兩個方向探討個案對整數二階單位化聚的能力。資料 蒐集來自於，要求學童解決兩類有關「糖葫蘆」的問題。第一 類布題「糖葫蘆 4 顆串成一串，全部有 40 顆，有 4 顆放在布 外面，請問布裡面有多少串糖葫蘆？」，此題在瞭解個案由低 階單位聚合成高階單位的能力。第二類布題「糖葫蘆 5 顆串成 一串，全部有 8 串，有 5 顆放在布外面，請問布裡面有多少顆 糖葫蘆？」，此題在瞭解個案由高階單位化為低階單位的能力。
( ( (
(一一一一))))只善於處理同階分解的教學前表現只善於處理同階分解的教學前表現只善於處理同階分解的教學前表現只善於處理同階分解的教學前表現
所謂的「低階單位到高階單位」是指由「顆」聚合成「串」，
在教學實驗前的訪談顯現出三組個案各有其特色：低分組有只能 處理同一階層單位的傾向；中分組則普遍對單位的階層混淆；高 分組則有部分忽略了整體中有部分已被獨立出來。
1.1.
1.1. 單一階層觀的低分組單一階層觀的低分組單一階層觀的低分組單一階層觀的低分組
此組只有 L1 可以成功解題，能先將 48 顆減掉布外面的 3 顆 得到 45 顆，再透過以 3 顆串為一串的方式將 45 顆聚合成 15 串 (L1A024) 。另外，L2 只能將原來的 48 顆減掉布外的 3 顆，得 到 45 顆(L2A048)，卻不能繼續將 45 顆以 3 顆當做是一個單位重 新聚合。當研究者提醒他，並要求將原來的答案集聚成高階單位 時個案表示無法解題，所以顯然只能做同階層單位的分解。
(L2A058)。最後，L3 的解題方式其實和 L2 相似都只能做同階單 位的分解，所以把所有的單位都只看成一種單位(串)，再做相減 以得到他所認為的答案(L3A014)，顯然亦是將不同的單位視為同 一單位，所以無法成功解題。
個案 L1
L1A016 L1：45 串….45 顆…..15 串。
……….
L1A024 L1：因為 48 先拿出來 3 個，等於 45，45 再除以 3 等於 15。
個案 L2
L2A048 L2：四十五。
………
L2A053 R：四十五單位是什麼？
L2A054 L2：顆。
L2A055 R：對，它應該是有多少串？
L2A056 L2：裡面嗎？
L2A057 R：對，是的。
L2A058 L2：(十五秒)不知道怎麼算。
個案 L3
L3A014 L3：四十七。
L3A015 R：為什麼是四十七？
L3A016 L3：因為四十八再減掉一串就是四十七。
L3A017 R：四十七的單位是什麼？
L3A018 L3：串。
L3A019 R：你說外面這個是多少串？
L3A020 L3：一串。
L3A021 R：裡面呢？
L3A022 L3：四十七串。
2.
2.
2.
2. 階層混淆階層混淆階層混淆階層混淆的中分組的中分組的中分組的中分組
中分組個案有混淆單位的現象，在解低階單位聚合成高階 單位時，除了 M3 能正確回答之外，M1 和 M2 顯得有所困難。M1 在回答「全部是 48 顆，布外面是 3 顆成一串時，布裡面有多少 串？」仍無法瞭解題意而用 48 乘以 3 解題(M1A028)。當研究者 將全部的總數變小(9 顆)，M1 雖會算 3 乘以 3 是 9，但卻混淆了 3 串和 3 顆，遂回答「一串」(M1A036)。M2 則將 48 顆直接減 3 顆，回答「45 串」(M2A034)。所以 M2 的情形和低分組的兩位解 題失敗的個案犯呈現相同的解題方式。
個案 M1
M1A025 R：不是，我說全部有 48 個，全部就是裡面跟外 面合起來有 48 個糖葫蘆，那如果 3 顆串成一 串，裡面有多少串？
M1A026 M1：裡面……一百……一百……(算)一百四十顆的 糖葫蘆。
M1A027 R：妳是怎麼算出來的？
M1A028 M1：48 去乘以 3。
M1A029 R：48 去乘以 3？其實現在再換一個題目，總共有 9 顆，如果像這樣子 3 顆串成一串，裡面應該 有多少串？
……….
M1A034 M1：9……9 顆……3 乘以……3 要……3 顆……老 師說裡面有多少？
M1A035 R：我說外面加裡面總共有 9 顆糖葫蘆，9 顆，那 裡面應該有多少串？
M1A036 M1：一串。
M1A037 R：一串？妳怎麼知道的？
M1A038 M1：因為這樣一串就是有 3 顆的糖葫蘆，這裡面也 有一串糖葫蘆，這樣子就有 9 顆糖葫蘆。
個案 M2
M2A031 R：我再把題目說一遍，全部有 48 個貢丸，外面五 個，其他的放在布裡面，三個把它串成一串，
布底下有多少串貢丸？
M2A032 M2：啊….想不起來耶！(雙手摸自己的頭) M2A033 R：慢慢想沒關係。
M2A034 M2：四十五串貢丸……..不會耶(停 10 秒)…很難 喔！
3.3.
3.3. 忽略部分的高分組忽略部分的高分組忽略部分的高分組忽略部分的高分組
高分組個案在處理由低階單位聚合成高階單位，只有 H3 釐 清布底下的串數，並將之扣除以求得正確的答案。H1 和 H2 都只 能算出全部的串數，卻忘了要減掉布外面的一串。以 H1 為例，
他能夠算出全部的 21 顆可以聚合成 7 串，即馬上回答布下有七 串(H1A048)。
個案 H3
H3A011 1R：現在我把這三顆串在一起叫做一串糖葫蘆，知 道布裡面和布外面總共有四十八顆糖葫蘆，請 問布底下有多少串糖胡蘆？
H3A012 H3：幾顆啊？
H3A013 1R：四十八。
H3A014 H3：十五。
H3A015 1R：為什麼知道十五？
H3A016 H3：四十八減三等於四十五，四十五除以三等於十 五。
個案 H1
H1A047 1R：現在我的糖葫蘆全部有 21 顆(布外面有 1 串)，
三顆要串成一串，布底下有多少串？
H1A048 H1：7 串。