國民小學數學領域教材在「數」方面以整數、分數和小數三 個部分的知識為主要學習的素材，但是各國在安排教材的先後順 序上有所不同。我國、美國及以色列都依照「整數-分數-小數」
的順序教學，而法國則是按照「整數-小數-分數」的順位。在美 國和以色列，分數的教學大約比小數提早一年實施；法國則反 之，分數比小數晚一年教學（Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989）。在我國，大部分的教科書版本在二下 引入分數，直到三下才教小數，兩者之間大約相差一個學期。依 據 Resnick 等人(1989)的研究，分數教材和其他主題安排的先後 會產生學生對於分數迷思概念的不同，若先教整數和小數再教分 數，則小數的某些思考法則會被移用到分數之中，反之亦然。就 教材安排的順序，我國學生分數的迷思概念可能大部分來自整數
而非小數。以下就分數教材在現行課程中的相對關係及課程地位 進行分析。
壹 壹 壹
壹、、、分數教材與其他教材的關係、分數教材與其他教材的關係分數教材與其他教材的關係分數教材與其他教材的關係
分數的學習是繼整數之後。以目前小學的教材為例，必須先 教導學生整數平分後，才引入
2 1、
4
1等單位分數的學習。此時分 數的存在形式主要是「部分在整體中」(part-in-whole)，迨學習 至假分數時兒童所必須具備的運思則成為「整體的部分」
(part-of-whole)。不論是「部分在整體中」或「整體的部分」都 需要藉助於整數的思考。然而，當學習進入分數加法時，分母和 分子各自相加便成為中外普遍的分數迷思概念(呂玉琴，1991;林 碧珍，1990；陳瑞發，2003；詹婉華，2003；Olive, 2001)，Streefland (1993)稱其為「自然數的干擾」(N-distractor)。而 Behr 等人(1984)、
Streefland (1993)以及 Lamon (1996)均將此現象解釋為整數妨礙 分數學習。然而，部分學者則不同意此種觀點，認為在掌握單位 的抽象化上必須藉由兒童從整數的經驗中遷移到分數的情境，所 以分數需藉助於整數運思的純熟(Hunting, Davis & Pearn, 1997;
Ning, 1992; Olive, 1999, 2001; Sáenz-Ludlow, 1994 )。兒童會將分 母和分子各自相加是因為對他而言，單位分數只是數運思的結 果，還不是可以被單位化的量(Olive, 2001)。另外，設使在整數 情境無法同時掌握兩個單位及三個單位，便無法提升到巢狀數 列，影響到未來等值分數、分數乘除的表現。
本研究對整數和分數之間關係所持的觀點和 Steffe 等人相 同，即將視為兩者和諧的發展觀。因為人類的學習是連續的，也 是經驗不斷的改造，整數的單位和分數單位在形式上雖不同，但 在本質意義上後者是前者的延續。兒童之所以產生「自然數的困 惑」是尚未將整數的舊知識經驗重組成功，亦即其單位基模還未 經過適應重組及內蘊化。若能經由老師的協助和社會互動的歷 程，兒童便有機會進行基模重整，以便讓分數單位和整數單位產 生聯結。
貳貳
貳貳、「、「、「九年一貫課程暫行綱要、「九年一貫課程暫行綱要九年一貫課程暫行綱要」九年一貫課程暫行綱要」」中分數」中分數中分數中分數、、、整數和小數間的關係、整數和小數間的關係整數和小數間的關係整數和小數間的關係 因為本研究主要的研究對象為五年級學童，其乃接受 2001 年(民國九十年)所頒訂的「九年一貫暫行綱要」所編製的各家教 科書的教學。茲將暫行綱要中有關分數的能力指標及與其相關連 的整數及小數的能力指標繪如圖 2-5 所示：
第
一
階
段
第
二
階
段
整數 分數 小數
N-1-1 能初步掌握非負整數數詞序列 的規律，並能以具體的量、聲音、圖 像、數字，進行說、讀、聽、寫、做 的活動，表徵 2000 以內的數。
N-1-3 能理解加法、減法的意義，解決 生活中有關三位數以內的加、減法問 題，並運用電算器加以檢驗。
N-1-4 能透過累加活動連接倍的語 言，理解乘法的意義並解決生活中 簡單(積≦100)的整數倍問題(例 如：單位數≦12，單位量≦15)。
N-1-5 能用具體分的活動，理解除 法意義並解決生活中有關除法的 問題。
N-1-7 在等分好、整體 1 能明 顯出現之具體生活情境中(包 含連續量、離散量)，能以真 分數(分母在 20 以內)描述內 容物為單一個物的幾份，並 能延伸真分數的意義，進行 同分母真分數的合成、分解 活動(和<1)。
N-1-8 在一個整體 1 被明確 十等分的具體生活情境中(包 含離散量、連續量)，能以一 位小數描述其中的幾分，並能 進行一位小數的合成、分解活 動(和及被減數<1)。
N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯 出現之具體情境中，能以真分數 來描述單位分數內容物為多個 個物的幾份，進行同分母真分數 的合成、分解活動，並理解等值
N-2-18 能用時間的長短，描述一物體在固定距離內的運動速率；能用距離，描述一 物體在固定時間內的運動速率。
N-2-19 能利用等分好的線段上，做出一條簡單的整數數線，並能進一步延伸至簡單 的分數和小數的數線。
N-2-12 能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述，並利用此關係 作整數化聚。
N-2-10 能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測和估測活動，並培養出量感(普 遍單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒)。
N-2-6 在具體情境中，能以假分 數或帶分數描述具體的量，並能 解決分數的合成、分解以及簡單 整數倍的問題。
N-2-7 能以二位小數描述 具體的量，並解決二位小 數的合成、分解及簡單整 數倍問題。
(續後頁)
(接上頁)
第
三
階
段
圖例說明：
：單實線文字框代表「整數」及「小數」此二者和「分數」有關之能力指標。
：雙實線文字框代表「分數」主要概念發展的能力指標。
：虛線文字框代表與「整數」、「分數」及「小數」有關應用性能力指標。
N-3-4 在具體情境中，解決 分數乘以分數的問題，進而 形成分數倍的概念。
N-3-3 在具體情境中，理解通 分的意義並運用通分解決異 分母分數的合成、分解問題。
整數 分數 小數
N-3-18 能察覺整數的因 數、倍數、公因數、公倍 數。
N-3-9 能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活 動(可以有分數、小數)。
N-3-16 能用平均速率的概念描述一個物體運動的狀態，並認識速率的普遍單 位米/秒、千米/時等，應用在生活中。
N-3-7 能用分數倍的概念，整合以 分數為除數的包含除和等分除的 運算格式。
N-3-15 能在情境中理解比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、
ppm)的意義。
N-3-20 能察覺整數的最大公 因數、最小公倍數、質數和合 數，並能將一個數做質因數分 解。
N-3-5 能延伸小數的認識到三 位以上(小數)，並解決生活中 與小數有關的加、減、乘、除 問題。
N-3-17 能掌握米/秒和千米/時之間的關係，並利用此關係作化聚。
N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結 果(除的結果為有限小數)。
圖 2-5 九年一貫課程暫行綱要整數、分數及小數能力指標關係 圖
由圖 2-5 可知，2001 年(民國九十年)正式實施的暫行綱要
第一階段的規畫是整數在具備完成具體分的能力(N-1-5)後即引 入單位分數內容物為單一個物的真分數(N-1-7)，而一位小數 (N-1-7)能力的培養則是利用分數
10
1 的觀念啟蒙，並且延伸為一 位小數的合成與分解。
第二階段分數學習欲培養之能力包括能處理真分數單位分 數的內容物為多個個物的合成分解問題、理解等值分數
(N-2-5)，且在具有真分數的基礎後再拓展到假分數和帶分數，
再引進分數整數倍的概念(N-2-6)。和第二階段配合所欲培養的 小數能力則以二位小數的合成、分解及簡單整數倍的問題(N-2-7) 為主。另外，利用數線教材(N-2-19)使學生有機會統整整數、分 數及小數教材。
第三階段的分數要求學生必須要有處理異分母分數合成、分 解問題的能力(N-3-3)，再學習處理分數乘(N-3-4)及除(N-3-7) 的問題。然而，在異分母分數合成分解教材之前必須安排整數的 因數、倍數、公因數和公倍數(N-3-18、N-3-20)等前置能力的培 養。小數的部分則以分數的加減乘除為基礎，學習三位小數及小 數的四則運算。
參參
參參、、、市售教科書分數教學單元分析、市售教科書分數教學單元分析市售教科書分數教學單元分析市售教科書分數教學單元分析
自從教科書開放之後，各家廠商依照能力指標編訂課程再送 教育部審訂。各版本教科書是根據「一綱多本」的原則編訂，所 以教材的舖陳順序並不一致，不過對於每個學習階段的內容大致
上大同小異，甚至在分數問題的布題情境考量也多有類似的安 排。陳竹村等人(2001)即將國小分數教材的問題情境區分成「基 準單位量是連續量」、「基準單位量是離散量」及「基準單位量是 全部」等三種，而「基準單位量是未知而不能進行具體等分割活 動的問題」則未列入國小分數教材範圍。對於學生解決分數問題 來說，除了上述基準單位量是否已知具有著重大的決定因素外，
當離散量問題情境情還涉及到單位分數的內容物是單一個物、多 個內容物或不是整數個等三種情況時，也有不同的難易程度。一 般而言，單位分數內容物為多個及非整數個的問題對兒童較為困 難，常會有將分母的數碼直接視為單位量的數目，分子的數碼視 為單位分量的數目。通常都會將單位分數為多個內容物的教材安 排在四年級下學期及五上學期；單位分數為非整數個的教材則安 排在五年級下學期。
本研究上述根據文獻對教材內容加以區隔之外，為更瞭解本 研究樣本的學習經驗，就其過往所採用康軒版教材(康軒出版 社，2004)及目前(四年級下學期)有關分數教材單元分析如表 2-5：
表 2-5 教科書分數教學單元分析表
表 徵 向 度
冊別
、單 元及 版本
主 要
教 學
活 動
主 要 學 習 概 念
真實 情境
操 作 圖像 口語 書寫 符號 活動一：
在連續量(草莓派及長形 蛋糕)的情境下，進行四等 分圓形草莓派、八等分長 形蛋糕；分數命名
等分、單 位分數認 識
(只 有介 紹)
活動二：
三等分、六等分、五 等分、
七等分及九等分彩帶；以 1 個白色小積木對於不同整 體量(不同色的積木)之分 數命名
不同等分 割情況下 單位分數 認識
二下
第七 單元
︻ 康 軒 版
︼
活動三：
進行兩個單位(片/包、枝/
盒、個/盒)離散量單位分 數認識
涉及兩個 單位單位 分數認識
活動一：
以摺國旗及桌墊認識四分 之三；
非單位分 數之真分 數的認識
活動二：
在連續量(披蕯及牛奶)與 離散量(鳳梨酥和檸檬)情 境下認識真分數
在不同情 境下認識 真分數
(引 入分 數的 記 法) 三
上第 八單 元
︻ 康 軒 版
︼ 活動三：
等分彩帶進行不同真分量 認識；不同單位分量的比 較
連續量情 境進建立 分數數詞 序列；分 數比較大 小
(續後頁)
(接前頁)
表 徵 向 度
冊別
、單 元及 版本
主 要
教 學
活 動
主 要 學 習 概 念 真實
情境
操 作 圖像 口語 書寫 符號 活動一：
利用連續量(紙軸)及離散 量(圖釘)進行和小於 1 的 真分數合成
利用單位 分數累積 進行真分 數的合成
活動二：
利用連續量(鋁箔紙)和離 散量(蛋)情境，進行被減 數小於 1 的真分數減法。
真分數的 分解與減 法
三下
第五 單元
︻ 康 軒 版
︼
活動三：
在連續量(蛋糕及果汁)及 離散量(鉛筆)的情境下解 題。
真分數的 加減應用
活動四：
在離散量(造型蠟燭)的情 境下學習單位分數內容物 為多個個物
內容物為 多個個物 的單位分 數
活動一：
在連續量情境(蛋糕圖卡) 下認識假分數及帶分數，
並認識其記法。
認識假分 數及帶分 數
四上
第五 單元
︻ 康 軒 版
︼
活動二：
在連續量情境(圓形分數 圖)下，學習整數與假分 數、假分數及帶分數的互 換。
整數與假 分數、假 分數與帶 分數互換
活動三：
在離散量情境(口香糖、白 色積木)下，學習整數與假 分數、假分數及帶分數的 互換。
認識分數 的數線
(續後頁)