32 和
第四節 實驗組個案分數基模之分析比較
本節共分成三小節，分別描繪三組個案在教學實驗前和教學 實驗後在「等分割」、「迭代」及「遞迴分割」等三種基模的發展 情形，以瞭解分數多元表徵課程教學實驗對分數基模發展的影 響。
首先，為瞭解整個教學前後 9 位個案的分數基模發展的整體 型態，將個案在教學前及教學後，解答訪談與分數基模有關問 題，成功與失敗的情形整理繪製如表 4-15 所示。其次，再依序 加以進一步說明，最後再進行分析討論。
表 4-15 教學前、後個案基模發展比較表
教 學 實驗 前 教 學 實驗 後
成 功 失 敗 成 功 失 敗
等 分 割基 模 (連 續量 )
M1、M3、H1、H3、 L1、 L2、 L3、
M2、 H2
L1、 L3、 M1、 、 M2、M3、H1、H2、
H3
L2
等 分 割基 模 (離 散量 )
M1、M2、H1、H2、
H3
L1、 L2、 L3 M1、M2、H1、H2、
H3
L3
等 分 割後 之並 置 基 模 (2 階 )
M1、M3、H1、H2、
H3
L1、L2、L3、M2、 L2、M2、M3、H1、
H2、 H3
L3
等 分 割基 模的 再 精 緻 化
M1、 H1、 H3 L1、L2、L3、M2、
M3、 H2 分 數 迭代 基模
(內 單 )
L2、 M1、 H1、 H3 L1、L3、M2、M3、
H2
L1、L3、M1、M2、
M3、 H1、 H2、 H3 L2
分 數 迭代 基模 (內 多： 問 題甲 7、 訪談 )
H2、 H3 L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、
H1
L1、 L3、 M1、
M2(紙 )、M3、H1、
H2、 H3
L2、L3(紙 )、M2、
非 單 位分 量做 新 分 量
L1、 M1、 M2、 H2 L2、 M2
遞 迴 分割 基模 (圖 具體 呈 現)
L3、M1、M3、H1、
H2、 H3
L1、 L2、 M2 L3、M1、M3、H1、
H2、 H3
L1、 L2、 M2
遞 迴 分割 基模 (四 人分 二 分之 一 )
H1、 M3 L1、L2、L3、M1、
M2、 H2、 H3
遞 迴 分割 基模 (七 人分 三 段)
L1、 L2、 L3、
M1、 M2、 M3、
H1、 H2、 H3
H1 L1、L2、L3、M1、
M2、 M3、 H2、 H3
註：斜線部分代表前測未探討。
壹 壹 壹
壹、、、等分割基模、等分割基模等分割基模等分割基模( the equi( the equi( the equi-( the equi---partition scheme)partition scheme)partition scheme) partition scheme)
本研究在訪談部分係利用線段及積木分別表示連續量及離 散量情境下的分割問題情境。在後測的訪談和前測相同，由研究 者提供一條 12 公分的線段，請 9 位個案將它平分給三人。離散 量部分則直接要求個案出指定的分數詞所代表的數量，但在教學 實驗後的訪談逕以內多型分數做數進行探究分數詞，此部分已於 前節說明，本節不再贅述。
然而，為了探究個案等分割是否能夠進一步調適以讓基模更
精進，後測還針對部分個案加了兩類的題目。第一類，例如提供 一條 12 公分的線段，告知它代表「三分之四條」請個案做出「一 條」；第二類，例如提供 16 顆積木，告知它代表「三分之四包」
請個案做出「一包」。個案若要能正確的解決前述兩種類型的題 目首先把需將給予的數量根據分子的份數進行等分割，這和先前 的經驗利用分母的數量進行等分割再做數有很大的不同，是以先 前的基模無法直接應用在此情境之中，必須得將原有等分割的基 模做提昇之後才可能解決此兩類問題。
一一
一一、、、教學前等分割基模的發展、教學前等分割基模的發展教學前等分割基模的發展教學前等分割基模的發展 (
((
(一一一一))))連續量情境連續量情境連續量情境 連續量情境 1. 1.
1. 1.以直觀分割為主的低以直觀分割為主的低以直觀分割為主的低以直觀分割為主的低分組分組分組 分組
由晤談反應得知，L1 利用視覺即將線段分為三段
(L1A082)，且確信此種分法是公平的。顯然，對於「等分」的條 件認定較為寬鬆，認為只要「數目」相同，「量」不必相等也可 以視為「等分」。
L2 雖然有「分」的初步概念，知道一條繩子要分給三個人，
但是對於如何做到「平分」卻無法完成(L2A100)，且認為「平分 以後」會有剩下(L2A106)。所以，對於「耗盡」的原則隱約知道，
但卻無法做到。
L3 則和 L1 的情況類似(L3A080)，皆以直觀方式進行平分，
但是最大的差別是 L3 認為分完之後每人可以得到二分之一條
(L3A086)。其所謂的二分之一，根據手指的內容是指線段的上下 被分成兩分(L3A082)。由此可知 L3 在稱呼線段所表徵的分數時 有所困難，將「線」做為切割上下兩部分的依據，把平面分為上 下各一半。而這兩個「一半」似乎合於先前「二分之一」的基模，
遂以此稱之。
個案 L1
L1A079 1R：我現在畫的是一條巧克力棒(12 公分的線段)，
要把它平分給三個人，你會怎麼分？
………
L1A082 L1：(在未使用尺的情況下，用綠色筆將它畫上兩個 記號)
個案 L2
L2A099 1R：如果要把這一條繩子分剪給這三位小朋友，你 會怎麼分？
L2A100 L2：可是會有剩。剪的時候會有剩。
……….
L2A106 L2：平分就是說，要把這條繩子分給這三位小朋 友。..這個我不會。
個案 L3
L3A079 1R：我有一條繩子在這邊(畫下 12 公分的線)，每一 個花片代表一位小朋友(共三位)，想請你分分 看怎麼平分給這三位小朋友，你會怎麼做？你 可以畫畫看。
L3A080 L3：(未使用旁邊的直尺，直接用筆畫下兩個記號) L3A081 1R：這個小朋友會得到哪裡？
L3A082 L3：(指第一段線的上下兩部分)
……….
L3A086 L3：二分之一條。
2.2.
2.2.利用工具做等分的中分組利用工具做等分的中分組利用工具做等分的中分組利用工具做等分的中分組
中分組的三個個案在進行一條繩子平分給三個人時，均主動
表示必須運用尺量量看，均能把一條 12 公分長的線平分成三 段。唯，M2 認為一條繩子要剪「三下」(M2A136)才能夠進行三 等分，是對於切割數的迷思。
M2A131 R：全部有三段，可以得到四段。這個小朋友可以 得到多少段？
M2A132 M2：四段。
M2A133 R：第二個小朋友可以得到多少段？
M2A134 M2：四段。
M2A135 R：如果你用剪刀要剪幾下？
M2A136 M2：三下。
3.
3.3.
3.利用工具迅速等分的高分組利用工具迅速等分的高分組利用工具迅速等分的高分組利用工具迅速等分的高分組
高分組在進行「一條繩子平分給三個人」時，H1 和 H3 都迅 速地拿尺進行精確的等分。唯，H2 雖然也用尺量，但是卻出現 第一段和第二段都畫 3.5、第三段 3 公分，並留下一段 2 公分 (H2A048)。顯見，對於線段的等分基模無法有效建立。
H2A045 1R：這一條繩子要分給三位小朋友你會怎麼分？
H2A046 H2：把這一條繩子切三份。
H2A047 1R：你會怎麼做？做做看。
H2A048 H2：(用尺量 3.5 公分做第一個記號、第二個 3.5 公 分再做一記號、再隔 3 公分再做一記號，末端 留下 2 公分)。
( ((
(二二二二))))離散量情境離散量情境離散量情境 離散量情境
離散量的等分割有單位分數內容物是單一個物及多個個 物兩種情形。內單型的分數，分母即整體量的數目，分子即被指 示量的數目，一般而言對兒童較為簡單。內多型的分數由於涉及 到到三階單位的集聚，所以兒童普遍感到較難。
1. 1.
1. 1.等分正確但並置不正確的低分組等分正確但並置不正確的低分組等分正確但並置不正確的低分組等分正確但並置不正確的低分組
三位個案對於將具體的離散物進行不管是包含除(L1A134；
L2A114)；或是等分除(L1A110；L2A126)的平分活動都能成功解 題，亦均瞭解在整數時兩種不同的單位。但是在將等分的結果轉 換單位利用分數呈現時則顯露出若干迷思。其餘，在正確等分之 後卻運用了錯誤的單位並置關係，以致於無法形成正確的分數概 念部分已如前節所述。
個案 L1
L1A109 1R：如果這是一包糖果(18 顆)，要平分給六位小朋 友(用六個花片代表六人)，你會怎麼分？
………
L1A114 L1：不是，不是，是三顆。
………
L1A133 1R：好。現在要把這一包糖果，每六顆放做一盤，
你會怎麼分？
……….
L1A138 L1：四盤。
L1A139 1R：用盤做為單位，這一盤是佔全部的多少？
L1A140 L1：六分之一盤。
個案 L2
L2A113 1R：另外一個問題。如果我有一包白色巧克力(24 顆 積木)，想要六顆放做一盤，可以放多少盤？你 可以做做看嗎？
L2A114 L2：(數六顆，把它放做一堆，共做了四堆)四盤。
………
L2A117 1R：我原來說它是一包，那麼這個部分(手指 L2 所 分出來一盤的積木)，我可以說它是多少包？
L2A118 L2：四分之六包。
個案 L3
L2A123 1R：再換一個題目，同樣是這一包巧克力想要平分 給六位小朋友，你會怎麼做？
L2A124 L2：(一顆一顆的分)
L2A125 1R：每一個小朋友得到的是多少顆？
L2A126 L2：四顆。
L3A127 1R：如果全部是四盤，這一盤佔全部的多少？
L3A128 L3：四分之六。
2.
2.
2.
2.等分正確但部分並置有誤的中分組等分正確但部分並置有誤的中分組等分正確但部分並置有誤的中分組等分正確但部分並置有誤的中分組
中分組三位個案，M1 可以將二十四顆巧克力平分給六人後 每人得到四顆，即得到二十四分之四包(M1A149)；M2 亦能做上 述的等分，唯對他而言每一個人得到四顆，是得到「一分之四」
(正確答案應為「六分之一」)，四是指「四份」、一是指「一個
人」，隨後又利用符號記成「
1
4
」(M2A188)。M3 則可以把一包巧克力 24 顆，6 顆分做一盤後，正確的說出每一盤是「四分之一 包」(M3A130)。
個案 M1
M1A143 0R：好，再來的題目是這樣子的。我這裡是從一包 巧克力拿出來的，這是一包巧克力，請妳把它 分給六位小朋友，妳會怎麼分？
M1A144 M1：(一顆一顆分)每人都分到四顆。
M1A145 0R：每人都分到四顆？
M1A146 M1：嗯。
M1A147 0R：那每一個人得到多少包？
M1A148 M1：多少包，我看一下，得到二十四分之四包。
M1A149 R：二十四分之四包，妳怎麼知道的？
個案 M2
M2A182 M2：因為一個人可以得到四分的其中一份，咦，一 個人可以分到四份啦，..一就是一個人，四就是 四份。
M2A183 R：所以你認為四分之一就是「四份 」、「 一個人」，
那個一是指一個人。如果讓你寫成數學符號，
你會怎麼寫？
M2A184 M2：數學符號喔？
M2A185 R：分數的符號啊。你會怎麼寫？
M2A186 M2：應該是一分之四吧(寫完後再唸出)。
M2A187 R：是四分之一，還是一分之四？
M2A188
M2：一分之四(寫下
1 4
)。個案 M3
M3A121 R：這裡有 24 顆巧克力，想要把 它 6 顆分 作一盤，
那你會怎麼做？
M3A122 M3：(排 4 顆一份)
M3A123 R：那這一盤是佔全部的多少包？
M3A124 M3：……排錯了。
M3A125 R：哦，排錯了，要 6 顆一盤。
M3A126 M3：(排 6 顆一份)
M3A127 R：好，那這一盤是多少包？
M3A128 M3：四分之一。
3.
3.
3.
3.具內多等分基模的高分組具內多等分基模的高分組具內多等分基模的高分組具內多等分基模的高分組
三位高分組個案對於離散量不管是包含除或等分除的等分 都能夠順利做正確的等分。例如要求 H1 從一包積木(16 顆)拿出
「四分之三包」時可以正確的將 16 顆先四等分(每堆 4 顆)，再 移出其中的 三堆(12 顆)(H1A226)。
H1A217 0R：怎麼寫？把它寫下來。好，很好。接下來，這 個是一包積木(16 顆)，老師想請你拿出四分之 三包積木，你會怎麼做？
H1A218 H1：四分之三包？
H1A219 0R：四分之三包。好，你為什麼會這麼做？
H1A220 H1：因為四乘以四等於十六。
H1A221 0R：四乘以四等於十六，然後呢？
H1A222 H1：然後它是四分之三包。
H1A223 0R：四分之三包在哪裡呢？
H1A224 H1：在這裡。
H1A225 0R：哦，這邊叫做四分之三包。四分之三包有多少 個積木？
H1A226 H1：十二個。
二二
二二、、、教學後等分割基模的發展、教學後等分割基模的發展教學後等分割基模的發展教學後等分割基模的發展
由於 9 位個案在教學後所呈現的等分割基模發展，同質性大 於異質性，所以此部分只採用「連續量情境」和「離散量情境」，
而不再如教學實驗前一樣，區分「低分組」、「中分組」及「高分 組」分別論述。
( (
( (一一一一))))連續量情境連續量情境連續量情境連續量情境
結果發現除了 L2 認為要每四公分切一刀，共需切三刀 (L2B223)，混淆切割數及切割份數外，其他的八位個案都能利用 工具(尺)進行精確的三等分割，而且說出每一段所代表正確的分 數詞(三分之一條)。
L2B222 0R：一條繩子要分給三個人，要切幾刀？
L2B223 L2：三。
L2B224 0R：哪三刀用手指指看。
L2B225 L2：(手指線中間的兩個記號)。
L2B226 0R：左邊第一段繩子，也可以說是多少條繩子？
L2B227 L2：四分之一。
( ((
(二二二二))))離散量情境離散量情境離散量情境 離散量情境
教學實驗後的訪談和前測訪談以提供若干積木，要求個案 做出給定分數詞所代表的數量，從其中一方面可以看到對於「分 數詞」概念的掌握(前一節已討論)，另方面也可以從其中看到個 案如何進行離散量內多型問題的等分割。
從個案做數的過程可以發現，原來在前測無法進行內容物 多個且做適當並置的 L2、M2，在後測的做數已可以正確的將總 數進行等分割找出一份，然後再拿出適當的份數。以 M2 為例，