第四章 第四章 第四章
第四章 研究結果的分析與討論 研究結果的分析與討論 研究結果的分析與討論 研究結果的分析與討論
本研究旨在探討「多元表徵分數課程」對於國小四年級學童 分數學習成效的影響。依據此目的，本章分成四節依序闡述「分 數解題表現的立即效果之分析比較」、「分數解題表現的保留效果 之分析比較」、「實驗組個案數概念之分析比較」及「實驗組個案 分數基模之分析比較」，以呈現實驗教學前後所蒐集到的量化資 料及質性資料分析結果，再與過去相關理論及實徵研究做比較討 論。最後，依據研究結果回應本研究所提出之研究假設。
及延宕測驗得分的集中及分散情形。其次，將前測(分數問題測 驗甲卷)總量表的得分和瑞文氏黑白非文字推理測驗的成績做為 共變量，後測(分數問題測驗乙卷)總量表得分做為依變項，先考 驗 是否 符合統 計之 同質 性假定 ，再 進行 單因子 單變 量共 變數 分 析，俾瞭解兩組學生後測整體表現之差異。其統計結果如表 4-1、
表 4-2 和表 4-3：
表 4-1 實驗組和控制組學生在「分數問題測驗」總量表及分量 表的前測、後測及延宕測驗得分之描述統計表
等 分 割與 組 成
單 位 量 分 數 比較 等 值 分數 合 成 與 分 解
遞 迴 分割 總 量 表 測 驗
組 別 M SD M SD M SD M SD M SD M SD M SD 前
測 8.00 3.46 4.71 4.15 2.13 1.02 3.56 3.65 5.29 2.54 3.55 1.89 27.69 13.31 後
測 9.68 3.19 5.94 4.43 2.77 2.11 4.21 3.51 6.56 3.84 5.02 3.17 34.50 15.55 實
驗 組 延
宕 9.35 3.55 7.35 4.30 2.32 1.05 5.79 4.07 7.44 3.14 3.48 1.75 36.42 14.92 前
測 7.48 3.26 4.44 4.05 2.07 1.04 3.06 3.17 4.46 3.39 3.28 1.88 25.13 12.71 後
測 9.26 4.01 4.74 4.23 2.22 1.95 4.46 4.39 3.50 3.74 4.26 3.76 28.59 18.13 控
制 組 延
宕 8.59 3.46 6.15 5.38 2.67 1.47 4.43 3.21 4.52 3.03 2.52 1.56 29.39 11.91
註：實驗組 n＝31；控制組 n＝27
表 4-2 實驗組與控制組學生在「分數問題測驗 乙卷」總量表之之之之共變數分析 Levene 誤差 變異同質性檢定
變異來源 自由度 F 值 顯著性
後測總量表得分 1 .40 .53
誤差 56
表 4-3 實驗組與控制組學生在「分數問 題測驗乙卷」總量表之共變數分
析摘要表
變 異 來 源 自由度 均方 F 值 顯著性 組間 1 196.85 2.13 0.15
組內 54 092.37
總和 55
結果分析：
一、 由表 4-1 兩組得分描述統計得知，實驗組在前測總量表 的平均得分為 27.69，控制組的平均得分則為 25.13，兩 者相差 2.56。顯示，兩組學生在教學之前在分數問題解 題表現有些微的不同。再就後測總量表得分來看，實驗 組平均得分為 34.50，控制組的平均得分則為 28.59，兩 者相差 5.91 分。可見，兩組學生在後測總量表的得分和 前測相較，有拉大彼此差距的現象(5.91>2.56)。
二、 再由表 4-2 Levene 誤差變異同質性檢定可知，將前測總 量表得分和瑞文氏非文字推理測驗成績做為共變量，後 測成績做為依變量時，並未違反單因子單變量共變數分 析的統計假定(F(1,56)＝.40, p>.05)。
三、 最後由表 4-3 單因子共變數分析摘要表得知，實驗組和 控制組之間，雖然後測平均得分的差距，比前測平均得 分 的 差 距 大 ， 但 仍 未 達 統 計 上 的 顯 著 水 準 (F(1,54)＝ 2.13, p>.05)。
貳貳
貳貳、、、接受不同課程教學處理後、接受不同課程教學處理後接受不同課程教學處理後接受不同課程教學處理後，，，，實驗組與控制組學生在實驗組與控制組學生在實驗組與控制組學生在「實驗組與控制組學生在「「分數問「分數問分數問分數問 題測驗乙卷
題測驗乙卷 題測驗乙卷
題測驗乙卷」」」分量表上表現之比較」分量表上表現之比較分量表上表現之比較分量表上表現之比較
為探究教學實驗對學童在分數解題表現各分量表的影響，首 先，將前測總量表的得分和瑞文氏非文字推理測驗的成績做為共 變量，後測各分量表的得分做為依變項，先後進行各組共變數矩 陣同質性考驗及誤差異變同質性考驗，以確認是否反違統計假 定。最後，進行單因子多變量共變數分析，俾瞭解兩組學生在後 測各分量表解題表現之差異。其統計結果如下表 4-4、表 4-5 和 表 4-6：
表 4-4 實驗組與控制組學生在「分數問題測驗乙卷」
各分量表上得分之單因子多變量共變數分析之 Box 共變數矩陣同質性檢定
Box's M 檢定 F 值 自由度 1 自由度 2 顯著性.
29.77 1.25 21 11058.90 0.20
表 4-5 實驗組與控制組學生在「分數問題測驗乙卷」
各分量表得分之單因子多變量共變數分析之 Levene 誤差變異同質性檢定
變異來源 F 值 自由度 1 自由度 2 顯著性 等分割與組成 0.09 1 56 0.76 單位量 0.01 1 56 0.93 分數比較 0.80 1 56 0.37 等值分數 0.14 1 56 0.71 合成與分解 0.00 1 56 0.96 遞迴分割 1.72 1 56 0.20
表 4-6 實驗組與控制組學生在「分數問題測驗乙卷」各分量表得 分之單因子多變量共變數分析摘要表
多變 量共 變數
單 變 量 共 變 數 變異來源 自
由 度
Wilks’
Λ
等 分 割
單 位 量
分 數 比 較
等 值 分 數
合 成 分 解
遞 迴 分 割 組間 1 .74* .00 .97 1.08 1.30 8.80* 6.30 組內 54
總和 58
*p<.05 結果分析：
一、 由表 4-4 之 Box 檢定得知，兩組之間以前測各分量表的 得分和瑞文氏非文字推理測驗的成績做為共變量，其所 構成的共變數矩陣可視為相等，並未違反多變量共變數 分析迴歸係數相同之假定(F(21,11058.90) ＝1.25, p>.05)。
二、 再由表 4-5 之 Levene 檢定得知，六個依變項在兩組之間 的誤差變異 F 值介於 0.00～1.72 之間( p>.05)，可視為同 質，並未違反多變量共變數分析之變異數同質性假定。
三、 最後由表 4-6 各分量表之共變數分析摘要表得知，從多 變量共變數來看，組別之間在六個分量表得分達到顯著 差異(λ＝.74，p<.05)。顯示，以六個分量表整體而言實驗 組的平均得分顯著高於控制組。繼之，再從單變量共變 數分析得知，實驗組與控制組在「合成與分解」 分量表 的得分有顯著的差異(F(1,54)＝8.80, p<.05)，其中實驗組顯 著的較控制組佳。
參參
參參、、、本節之綜合討論、本節之綜合討論本節之綜合討論本節之綜合討論
一、由本節分量表的統計分析得知，實驗組和控制組兩者在後 測的得分只有在「合成與分解」分量表一項達到統計上的 顯著差異。因此，本研究的「研究假設 1-1」至「研究假 設 1-6」等六個研究假設，只有「研究假設 1-5」：「實驗組 學生接受『分數多元表徵課程』教學後，在『合成與分解』
的解題表現，顯著的比控制組佳。」獲得支持。其餘五個 研究則未獲支持。
二、 實驗組學生在「合成與分解」分量表解題表現之所以顯著 高於控制組學生，可能的原因有二：其一，實驗教學所 使用的布題方式有助於學生理解題意，增進了解題正確 的機率；其二，實驗組教學對於分數合成分解的概念可 以讓學生學習得更紮實，減少犯下如呂玉琴(1991)及湯錦 雲 (2002) 所 指 出 「 分 子 加 分 子 、 分 母 加 分 母 」， 亦 即 Streefland (1991; 1993)所謂「自然數的干擾」的錯誤情形。
三、 從本研究獲得實驗組和控制組間的整體解題表現未達顯 著差異的結果來看，顯示只有部分的結果與 Behr 等人 (1983)主張充分利用表徵系統有助於學生學習數學的論 點相符合。再就本研究前後測各分量表進步情形分析，
在「等分割與組成」和「合成分解」兩個分量表的進步 較多，相對的「分數比較」和「等值分數」兩個分量表 的進步則較小。所以，多元表徵課程對於促進分數學習
的效果可能依向度的不同，而在效果的突顯方面有所差 異。
四、 就等值分數和遞迴分割分量表而言，實驗組和控制組學 生的得分都偏低。其中，等值分數的部分依據美國全國 測驗的結果(NAEP, 1997)也發現，只有不到兩成的學生可 以答對畫等值分數圖形的問題。另外，Marcou 與 Gagatsis (2002)針對五年級的學生所做的研究結果也顯示，學生確 實對於掌握等值分數的概念普遍感到困難。但是，張熙 明(2004)以行動研究卻發現學生對於等值分數迷思概念 的表徵是可以有效改變提昇等值分數的概念，而本研究 則顯示等值分數的學習效果並未和控制組之間達到顯著 差異。其中的可能的原因是本研究以四年級學生為樣 本，在身心成熟狀態上比張熙明(2004)所使用的五年級樣 本更為稚嫩，所以學習等值分數的學習效果較不理想。
另外，Marcou 與 Gagatsis (2002)的研究也指出，如果學 生只知道公式，那麼在書寫符號方面可能會最有效。然 而，這種學習成效並不見得真的瞭解等值的概念，只是 計算技巧的熟練。在本研究之「分數多元表徵課程」以 強調理解為主，不強調公式背誦，可能因此在短時間內 較難在紙筆測驗上看到分數顯著的提昇。至於，遞迴等 分割部分，可能對於現階段的四年級還是難以理解。將 留至質性訪談結果分析時一併討論。