Kieren（1988）主張數學教育工作者宜釐清人類是如何學到 數學知識，或說明何種數學知識可以被人們習得。他曾明確的指 出，構成數學知識的機制共有五個面向：結構性、心像、心理、
語言使用及數學等五種不同的機制，而這五個機制彼此相互連 結，相輔相成。由此可知，數學知識不只是具有結構性，且涉及 心理認知層面，甚至包括使用語言做為表達溝通。以下主要以學 童學習分數的心理機制層面為梳理文獻的主軸，並將之做為本研 究之參考理論架構。
壹 壹 壹
壹、、、從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模、從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模從解題材料應用分析兒童不同層次的分數基模
兒童在解分數問題時所運用的材料不一，本節採用荷蘭學者
Streefland (1991)所發展的真實數學教育(Realistic
Mathematics Education,簡稱 RME)所提出的基模做為分類依據。
然而在介紹分數基模之前，先就 Streefland 所倡導的數學教育 觀念做一梳理。
Streefland (1991）認為數學教學的幾股潮流：結構式取向、
機械式取向、實用性結構主義、實在取向及實證取向。結構式取 向學習理論，將數學視為認知獲得，它是一種有次序的、封閉的 及演繹的系統，教學和學習都受到系統的形塑。機械化取向的數 學認為最後的結果早已給定，重視最後算則的水平，並不重視情 境脈絡。實用的結構主義認為數學之所以能提昇，是因為有「應 用」的時候，此亦是促進數學垂直發展的原因。「垂直的數學化」
(vertical mathematization)強調數學系統內進階的發展，其過 程可透過實物表徵的方式達成。實在取向則強調數學教育並非要 學生對於複製的數學系統產生洞察，而是要培養其建構出屬於自 己的數學系統。最後，實證取向強調小學生要利用具體操作學習 數學，而且重視水平的數學化。「水平的數學化」(horizontal mathematization)是指利用適當的數學工具，將所學到的數學脈 絡擴展到其他同一層次的數學概念。
Streefland (1991）認為傳統分數教學的缺點在於忽略學生零 碎及非正式知識庫，而只注意精確的、規則取向的教學，在教學 方法上則只重視「視覺模式」(vision model)。他主張利用真實
情境教導兒童學習數學，在有關分數的研究裡列舉出五項進步指 標：1.概念獲得和自然數的困惑；2.基模化的進步；3.模式、圖 形運用或基模的使用具彈性；4.將問題形成心像的能力；5.在符 號的層次上，學生自己建構或出產的情形。此五項指標具有階層 性，越後面層次越高，代表兒童可使用抽象符號解題。五項指標 中的「基模化的進步」係依據兒童所表現出的基模化發展情形而 劃分，計可分為三個層次。
第一層次(具體層次)：此層次，在數學資源的使用上主要是 仰賴具體的物件，兒童會利用圖解的方式解題。
第二層次：此層次，兒童除了會利用圖解外，也會利用比值 表(ratio table)以比較分數的大小。在畫圖解時，
和上一層次不同的是可以畫得更為簡略。雖然學生偶 爾還會採取前一層次的解法，但是對第二層次的方法 已經很熟練，由於基模的提昇，因此可較不費力的解 題。此外，第一層次以畫座位表的方法精簡為第二層 次的畫樹狀圖，此法讓學生有機會反複的應用「對分」
(halving)和「加倍」(doubling)。至於如何再從比值表 做精簡，可能得從表的長度做判斷，使用的表越短代 表越精簡。
第三層次：此層次，擁有正式規則的一般特質，例如：系統 性的運用最小公倍數的方法，比較不同分母的分數及
不同比值配對的大小。Streefland 認為此層次為該研 究中的最高階。達到此層次，縱然剛開始仍會使用圖 解，不過最後會完全消失，最終則可以抽象化，脫離 脈絡。
由以上三個層次可知，Streefland 主要以兒童在解題時所使 用解題策略的特點而加以區分，不同的策略隸屬於不同的層次。
Streefland 認為分數教學若只局限在視覺模式是不足的，應該加 入真實情境。Davydov 與 Tsvetkovich (1991)也堅信只用分數 板、積木等視覺模式的教學難以發展分數的「測量」概念。分數 概念的培養要藉由真實情境「脈絡化」(contextualization)，經由 解題後的自我反思(self-reflection)從解題活動類型中抽取概念，
最後逐漸達到不拘任何問題情境均可以解出類似的分數問題，亦 即達成概念的「去脈絡化」(decontextualization)。
貳 貳 貳
貳、、、從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模、從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模從解題基模的觀點區分兒童分數發展基模
兒童在學習分數之初必須仰賴對於整數單位的調節，其中應 用 Piaget 基模調適觀念以解析兒童分數基模發展的研究近年紛 紛出爐。本節即以 Steffe (1988, 1992, 2002, 2004)、Olive (1999, 2001a, 2001b, 2002, 2003)、Sánenz-Ludlow (1994, 1995)、Tzur (1995)及甯自強(1993d, 1997a, 1997b)等人藉由心像、心理及 語言的使用探討兒童的分數知識的結構機制為主要探討對象。以 下分別說明之。
一一
一一、、、Steffe、SteffeSteffeSteffe 整數分數基模模型整數分數基模模型整數分數基模模型整數分數基模模型
分數的發展在整數之後。Steffe, von Glasersfeld, Richards 與 Cobb (1983）將兒童整數的發展分成四種數列，而所謂的「數列」
是一種「抽象單位項數列」(a sequence of abstract unit items)，其中包含了計數活動的記錄(Steffe, 2002)。Steffe (1994)認為數的加法性和乘法性的運思都牽涉到數列的發展。分 數則是延續整數發展的一種數概念，因此以下將先梳理四種整數 的數列，再整理其有關分數基模的分類。需特別提出的是，Steffe 認為整數的第四種數列(外顯巢狀數列)和分數的發展特別有關。
( ((
(一一一)一)))前數數基模前數數基模前數數基模前數數基模(pre(pre(pre(pre----numerical counting schemes)numerical counting schemes)numerical counting schemes)numerical counting schemes) 具此基模的兒童會利用手「指」作數數，但尚無法做固定的 數數，即第一次和第二次所數的可能不一樣。有些物件可能會數 兩次，動作和口語可能無法一致。此時的兒童是依賴知覺及形象 的數數者。
(((
(二二二)二)))初始數列初始數列初始數列初始數列(an (an (an (an initial number sequenceinitial number sequenceinitial number sequenceinitial number sequence，，，，簡稱簡稱簡稱 INS)簡稱 INS)INS)INS) 在剛進入初始數列的兒童，數詞對他而言只不過是計數動作 所相對的一串數列，這個數列所包含的並不是一個單位(Steffe, 1994)。從他所產生之計數活動記錄來看，他所運思的計數活動 是一個一分開的，而非運思在一段數的截割(segment)之上。例 如：兒童數一堆 10 個彈珠，當他數到 7 的時候請他停下來，此
時這個 7 對他而言只是一個別的標號，而不是把它看成他已經
「數了 7 個」。到了後期，不只靠看得見的物體形象數數，且能 夠產生心像對那些看不見的(被刻意遮住)物件做數數。此時，數 列代表的是一個包含以「1」為單位的單位，即集聚單位。因此 假如物件一直往上加，他也可以從先前數的往上數數(亦即進入 累進性合成運思)。但是此階段兒童無法處理一個「語詞項」
(lexical item)，只能靠在情境中做出指定的數。此外，雖然可 以做到兩個兩個一數的計數物件，但是尚無法察覺到底數了多少 個 2。
( ((
(三三三三))))內隱巢狀數列內隱巢狀數列內隱巢狀數列(a tacitly內隱巢狀數列(a tacitly(a tacitly-(a tacitly---nested number sequencenested number sequencenested number sequencenested number sequence，，，簡，簡簡簡 稱稱稱
稱 TNS)TNS)TNS)TNS)
TNS 比 INS 進步的地方有兩項重要的指標，其一是可以把語 詞項當作是做出來的集聚單位；其二是 TNS 是一種「可逆溯的計 數基模」(reversible counting scheme)，亦即既是計數的結果 同時也是在相同計數情節中的計數情境。以向兒童詢問「有 12 顆彈珠(未出現可操弄實物)再多 15 顆彈珠是多少顆彈珠？」為 例。兒童會把 15 視為一個單位，即不再 13（1）、14(2)…一個 一個往上數，且可以兩個或五個一數數數，知道自己數了多少個 2，多少個 5。要能保留以兩個(或五個)一數的軌跡涉及到 TNS 中調節兩個層次的單位，即一個是以 1 為單位，另一個是以 2 為 單位。當兒童擁為內隱巢狀數才有可能發生乘法性基模，在初始
數列時則不可能發生。
(((
(四四四四))))外顯巢狀數列外顯巢狀數列外顯巢狀數列(an exp外顯巢狀數列(an exp(an expl(an expllliciticiticitlicitlllyyyy----nested sequencenested sequencenested sequencenested sequence，，，，簡稱簡稱簡稱簡稱 ENS)
ENS) ENS) ENS)
ENS 是由 TNS 再內蘊化而來。當兒童具有 ENS 時可以產生 1 的可複製單位，因為它是可以複製的，也就是它可以從數列中脫 嵌，而以複製的方式形成另一個從 1 脫嵌出來的相同拷備之新單 位。Steffe (2002）明確的指出，將一個單位項進行迭代
(iterating)及某一個部分從整體中脫嵌而出，是外顯巢狀數列 的兩個主要的運思特徵。例如：1 重複五次可以產生一個 5，而 5 可以被分割成 5 個 1。依此而論，可複製單位是可逆溯運思的 結果，藉由活動中重複的運用此基模而建立。就分數來說，例如：
兒童要知道
6 5盒是
6
1盒連續複製五次，才會得到 5 個
6
1盒，亦即
6 5
盒。
二 二 二
二、、、 Steffe、 SteffeSteffeSteffe 和和和和 OliveOliveOlive 發展的分數基模模型Olive發展的分數基模模型發展的分數基模模型發展的分數基模模型
Olive 與 Steffe（2002）合作，利用 Java 語言所寫的電腦 模擬程式(TIMA 及 Java Bar 5)進行臨床教學晤談，在前述 Steffe 的理論基礎上又延伸出五種兒童可能的分數基模。此一取向的理 論認為構成分數概念有兩個主要的運思：「分割」(partition)與「迭 代」(iteration)（Tzur, 2003），由此切入，可以瞭解兒童的分 數基模。Olive 與 Steffe（2002）、Steffe (2004)將兒童從外顯巢
狀數列到「分數連結數列」(fractional connected number sequence) 之間可能產生的運思方式及基模型態繪製如圖 2-3。
分數
分 割 性 共 同 分數
分 割 性單 位分 數
連 結 數
集 聚 單位
分割 脫嵌 迭代 累進 性合 成
圖 2-3 由外顯巢狀數到分數連結數的基模變化
說明： 代表數列 代表運思
代表基模 代表基模的結果 資料來源：”The construction of an iterative fractional scheme: The case of
Joe”, by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, Journal of Mathematical Behavior, 20, p. 436.
分數連結數列 分數連結數列 分數連結數列 分數連結數列
迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模 迭 代 分 數基 模
撕裂運思(分割及迭代的合成)
對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之 等 分 割 基模
等 分 割 基模等 分 割 基模 等 分 割 基模
分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模 分 割 性 分數 基 模
分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模 分 割 性 單位 分 數基 模
等 分 割 基模 等 分 割 基模 等 分 割 基模 等 分 割 基模
對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之對 集 聚 單位 或 連結 數之 對 集 聚 單位 或 連結 數之 等 份 基 模
等 份 基 模等 份 基 模 等 份 基 模
外顯巢狀數列 外顯巢狀數列外顯巢狀數列 外顯巢狀數列
迭 代迭 代 迭 代迭 代
在圖 2-3 所呈現可能的基模主要有「等分割基模」
(equi-partition scheme)、「分割性單位分數基模」(partitive unit fractional scheme)、「分割性分數基模」(partitive fractional scheme)、「迭代分數基模」(iterative fractional scheme)及「等份基模」(equi-portioning scheme)等五種。所 謂「等分割基模」係指兒童能將一個物件利用預期基模進行相等 分割。「分割性單位分數基模」則指具有將整體等分後得到基本 單位分數的基模，例如：一包餅乾 18 塊分給 9 人，得到
9 1 包餅 乾。所謂「分割性分數基模」是指可以結合單位分數以形成一個 整體的集聚部分，但此集聚部分小於等於甚至是大於整體。「迭 代分數基模」是指可以將一個分數進行迭代做出另一個分數，例 如：把5
4條積木連續迭代 4 次得到
5
16條積木。「等份基模」係指 能知道等分後的每一個分量和整體量之間所形成份都一樣多。例 如，把一盒糖果 36 顆，分給 9 個人。兒童能做出每一個人都分
到 4 顆，而且知道這 4 顆是 36
4 盒也就是一份，而且有 9 個一份，
每一份都相等。不過 Olive 與 Steffe（2002）也強調整個分數的 發展並不是到此為止，就他們所研究的個案到五年級結束前可以 發展分數乘法，此時被稱之為「組合分數」(分數的分數)。以下 就分數的加法和乘法有關的基模做一介紹。
( (
( (一一一)一)))迭代分數基模迭代分數基模迭代分數基模 迭代分數基模
迭代分數基模(the iterative fractional scheme)和分數
的加法有關。而迭代分數基模是由外顯巢狀數列(ENS)發展而 來，所使用的單位是可以複製的，且可做二階單位的調節，例如：
兒童能夠把 4
1當做是一個可複製的單位，將 4
1複製 3 次，合起來
是4
3。在此階段中，必須調節以 4
1為單位和以 4
3為單位，即 4 3這
個單位是由 3 個 4
1為單位所合成的。
(((
(二二二)二)))共同分割分數基模共同分割分數基模共同分割分數基模共同分割分數基模
共同分割分數基模(the common partitioning fractional scheme)是解決異分母加減的關鍵，它是繼上述迭代分數基模而 發展的基模。其主要的特色是可調節三階的單位，例如：一盒糖
果 24 顆，
8
6盒是 18 顆，18 顆和18
24盒一樣；
4
3盒也是 18 顆也和18
24
盒一樣。所以，這 18 顆可以是將原始單位量(24 顆)做不同的等
分割後形成的，同時 8 6(或
4
3)也是一個具有的三階概念的分數。
( ((
(三三三)三)))分數集聚基模分數集聚基模分數集聚基模分數集聚基模
分數集聚基模(the fraction composition scheme)的發展 導致分數乘法概念的出現，它的特色是透過分配策略、可重複性