分析的層次

Van Hiele 認為兒童具有足夠的、完整的視覺辨別層次的特徵後，

即進展到次層次的分析期，這層次的兒童能開始分析幾何的概念，透過 觀察與實際驗證的方法，分析圖形的組成要素與圖形的性質。運用此層 次思考方式的學生需要根據圖形的特定性質，來區分和分類：例如是否 封閉？是否對稱？有幾個平行的邊？有幾個直角等等。對於多邊形和三 角形，可以探索特定的次分類，此時期可以讓學生製作、繪圖或測量這 些形狀。

三、非形式演繹層次

在非形式演繹層次上，兒童能建立性質之間的關係及與圖形之間的 關係。但此層次的學生不太能了解演繹的整體定義或公設的角色，具體 獲得的結論往往先是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明。然而兒 童較看不到邏輯次序可被改變，也不能瞭解如何從一個不同的或不熟悉 的情境中去建構或證明。

四、形式演繹層次

在演繹推理時期，兒童能瞭解到推論的重要性，瞭解到定理的不同 證明方法。除了能夠證明之外，而且發展至能瞭解一個證明的可能性往 往不只一種方法，也能瞭解其充分或必要條件的內在關係，可發現正、

逆命題之間的差異性。

五、數學證明層次

最後層次是具備嚴密性的思考層次，此層次的兒童可以學習不同的 幾何系統，並在不同系統之間作相互比較，同時能瞭解抽象推理幾何。

由 Van Hiele 的幾何思考層次的理論可以理解孩子幾何概念的發展 也像皮亞傑一樣，是以視覺化與圖形表徵的能力完備為基礎，若學生在 此階段欠缺必要的技巧與能力，那麼將影響日後各階段能力的轉換與增 進。值得一提的是，Van Hiele 的幾何思考層次的理論發展是針對老師 和學生之間「溝通失敗」的好奇而產生的，他經由實驗觀察，發現兒童 面積概念的發展遲緩，受到教師不正確與匱乏的幾何知識影響有關，所 以教師在教學歷程上所承擔的職責和扮演的角色是非常重要的。

六、面積概念學習的主張

分析 Van Hiele 其理論對於兒童幾何面積概念發展的主張，具有以

下幾項教學上的涵義：

（一）學生的幾何概念和面積測量的能力是需要教導才能增進。許 多學生無法達到較高層次，就是因為他們早期有許多幾何問題 沒有解決，這些問題與成人知識的引導有關。因此，要讓學童 獲得完整及正確的面積概念，妥善且適性的面積概念文本設計 與教學策略的整合是有其必要性、不可缺少的，尤其是視覺化 階段的教學，著實影響學生日後幾何概念的發展，老師實有必 要在初始階段即應加強重視。

（二）根據學生的幾何思考層次教學。和所有的數學一樣，仔細聆 聽學生的想法是很重要的，以瞭解他們所使用的數學語言有何 意義。他們從一個圖形「看到」什麼？這代表的是哪一層次的 思考？學生對於不同的主題會有不同層次的思考，所以我們不 能認定某個學生是「視覺層次的思考者」。然而，某個學生在某 個主題達到「視覺思考」，他們面對下個主題時，會更快地進入 第一層次的思考。最重要的是，不可以將學生本身定義成「屬 於」某層次。

（三）每層次的目標為加深此層次的思考，並朝下一層次邁進。進 入下一個層次思考可能要經過幾年的發展，朝下層次發展是個 目標，但必須有耐心的慢慢前進，此外每一個層次都可以再加 深。例如，視覺推論可以更活潑、有彈性。

（四）採取認知建構取向的方式教學，不應受教科書的限制。Van Hiele 認為要發展到高層次的幾何概念，不是光靠老師直接講

述，而是在老師細心安排情境下，學生能從解決的問題中建構 出想法與策略。此外，建構取向的教學也包括讓學生動手、利 用實物、手工、紙筆、和電腦程式進行操作與概念的探索。由 於教科書面積內涵的偏頗與教師對面積解題策略所擁有的知 識、技能的不足和這類活動的必要性，教師在教幾何和面積測 量時，實在必須走出課本，配合生活經驗，尋找額外資源，以 提昇學生和自己本身有關面積的知能。

（五）實施層次性教學。Van Hiele 認為幾個教學的層次有助於學生 轉化概念，發展下一個層次的幾何思考。首先，應讓學生利用 視覺觀察與比對熟悉新的主題，讓他們積極地探索主題，例如，

用折疊和測量的方式。讓學生熟悉內容的場域，教師根據學生 的需求來設定教學內容、討論並釐清觀念。藉由這樣的討論，

教師瞭解學生對語言的詮釋，並提供解題的策略讓學生的行動 和意義的接收之間具有目的性。接下來，教師幫助學生意識到 重要的問題和概念結構的關聯。當學生用自己的話描述概念以 後，教師才介紹專有名詞。最後，學生必須能夠把這些概念和 關聯做連結和運用，才能解決複雜的問題，他們才能將所學用 精簡的方式（公式）呈現。

參、認知心理學之圖形視覺化理論

除了上述皮亞傑學派對於圖形辨識認知發展論強調以視覺的操弄作 為空間物件型態產生保留基礎的觀點，以及 Van Hiele 主張利用學生幾

何發展的層次設計合適的文本教導學生以提升面積測量能力的建議外，

認知心理學家亦提供了許多型態知覺與形成特徵分析的資料，特別是有 關於直覺方面，即使孩子已經擁有所知覺物體的宣稱性知識，他們還是 認為特徵的分析是無意識與混亂的行為。這些針對孩子研究所發展出的 理論，都支持幾何圖形與面積概念思考的發展和轉化都植基於視覺的反 應。

型態辨識(pattern recognition)是現代認知心理學的一個重要的 研究場域，我們對於面積圖形的訊息處理是從型態辨識開始的。型態辨 識是指對刺激模式的察覺、分辨和確認，一般可分為感官登錄、知覺分 析和綜合、語意分析和綜合、決策和核證等層次(彭聃齡、張必隱，2000)。

型態辨識既依賴於從感覺輸入的訊息，即由下而上的處理(bottom-up processing)；也依賴於人腦中已經儲存的訊息，即由上而下的處理 (top-down processing)。型態辨識是人類的一種特殊能力，在適應行為 中起著重要的作用，尤其關於圖形的辨認與要素的抽離、表徵關係非常 密切。本節將依序討論型態辨識的意義，分析型態辨識需經歷何種過程，

進而探討型態辨識有哪些影響的因素，進而論述型態辨識與面積概念學 習的關係。

一、型態與型態辨識

（一）型態的意義

型態具有圖樣、式樣、榜樣的意思，在認知心理學中則專指模式或 形狀。廣義的說，一個型態就是一組刺激或刺激特性，按照一定的關係

（如空間）構成一個有結構的整體，例如三條直線就組成一個三角形。

從狹義上說，型態僅是指視覺刺激物的整體結構，在這個意義上，把型 態稱為圖形或是形狀也可以。

（二）型態辨識的意義

型態傳遞著外部世界的訊息，當一個型態作用於人的感覺器官時，

便在人腦中引起一系列複雜的活動，人能夠察覺(detection)到型態的存 在，把一個型態與另一個型態加以分辨(discrimination)，並進而確認 (identification)它是什麼或代表什麼，這就是對型態的辨識，因此，

型態辨識的定義就是對型態的察覺、分辨和確認的過程。

二、型態辨識的歷程

要知覺環繞我們周遭的事物，需要包含許多複雜和交互作用的程 序，要理解這些程序與它們之間是如何交互作用，Payne 和 Wenger（1998）

提供了一個訊息處理的模式，這個模式將型態的辨識分為三個階段（如 圖 4 所示），包括了感覺（sensation）、知覺（perception）與辨識

（identification/recognition）階段：

（一）感覺階段

指的是將外界環境中的物理能量刺激轉化為神經反應的歷程，這些 刺激包含了能經由感官接收的符碼(code)、表徵（representation）與 基礎的訊息。進而在人的大腦中形成外部信息的符碼。

（二）知覺階段

指的是創造出環境中有關物體或事件內在表徵的歷程，這些內在表 徵可以將之視為知覺的對象，可以被想像成是觀察者對於物體本質的作 業描述，所以三條線的組合可被知覺為一個三角形，字母是 A 或是 H，

也可由其筆劃在情境中的位置安排而被辨認。

圖 4 型態辨識的歷程

（採自 Payne & Wenger 1998：100）

這種處理是通過不同層次的分析綜合活動來完成的，它包括從完整 的感覺形象或圖形中提取不同的特徵或要素；將這些特徵或要素聯合為 統一的整體；發現個別對象的聯繫和關係；構成更大的知覺單元；對個

認 知 歷 程

期待 記憶 語言 知識

辨 識 階 段

要素分析

知覺階段

視覺 圖像 深度 知覺

特徵 背景 組織

感覺階段

感官歷程

由上而下（概念導向） 由下而上（資料導向）

環境中的物體 或事件

別對象或知覺範疇進行命名等。知覺的分析與綜合表現了一定的層次 性。前一層次是後一層次的前提和基礎，後一層次是前一層次的深化和 發展。這種層次或層次的聯合就如神經網絡一般，Martindale(1991)即 根據這樣的研究，提出了心理模組(mental modules)的概念，並且依據 這個概念來建構人的認知的整個基模(schema)或圖式(scheme)。

（三）辨識階段

包含了對知覺的物體或事件予以分類或賦予意義，在對刺激型態進 行 知 覺 分 析 的 同 時 ， 已 經 進 行 了 某 種 形 式 的 語 意 分 析 (semantic analysis)，這包括對物體命名、轉化個別單詞的意義，將物體分類、建 立有關的語意圖式等。

知覺與型態辨識不僅依賴從外部輸入的感覺訊息，而且也受到人的 假設、期待、推理等內部機制的作用，換句話說，知覺和型態辨識的過 程是由下而上與由上而下交互作用的歷程。

三、影響型態辨識的因素

知覺系統對於圖形所要面對的第一項工作是如何將視覺的場域進行 分割或是藉由圖形物體的外觀，將之區分成不同的形狀，這些形狀可以 藉由視覺系統加以辨認，但要強調的是這些形狀尚未被命名歸類為三角 形或是四邊形等等的型態，而是簡單的將之聚合當成某些相似的物體來 辨識而已，要將物體精細的歸類，尚須配合一些特徵的屬性，像是顏色 或是動作等，才能達成（Payne ＆ Wenger,1998）。型態辨識依賴知覺的 文本情境和頭腦中已有的知識表徵，這些是型態辨識中的認知因素，除 此之外，型態辨識還受到知覺者的需要、動機、對知識所持的觀點與態 度、情緒狀況、價值觀念等學習信念與人格特性的影響，這些統稱為型