第一章 緒論
第一節 研究動機與目的
壹、研究動機
教育改革成功與否是一項變革措施逐步匯集而成的歷程，非徒以官 方的宣稱與行政形式表象的改變，就能落實教育的本質與目的，重要的 是教室裡的師生要能理解時代的需求與教學的新理念，累積踏實的腳步 與努力的痕跡，理想的教育願景方能實現。這樣的教育願景包含落實有 意義的學習，讓學生透過知識的認知、運用、分享與反省，積極發展「帶 得走的能力」。我國從 1993 年新數學課程綱要修訂開始，延續迄今《九 年一貫課程綱要》的頒佈，一直朝此基調邁進。其理念要點主張以生活 為中心，配合學生身心發展，培養學習領域相關的基本能力；在課程方 面，提升教材系統性的結構與品質；在教學要求上，構築以學生為主體 有意義知識的學習。總之，教育改革的目標，重視培養跨領域所需要的 普遍能力，希望學生能在生活情境中，展現知識、技能的運用以解決問 題的能力。因此，發展學生的知能，使其透過學習、統整、內化，適時 地運用於學習、工作、生活與解決問題，就成為學校教育目標重要的議 題。以學生為主體的課程內涵設計，教師除需瞭解課程學科知識與學生 的認知與學習特性，尚具備教學的技巧與導引的策略，因此，結合課程 綱要、相關學理研究與瞭解學習者特性就為課程實施前必備的基礎。
根據《九年一貫課程綱要》數學領域學習階段特性的描述：數學的 學習，注重循序累進的邏輯結構，小學學生主要學習方式與思考型態的 特徵，為具體操作→具體表徵→類化表徵的認知歷程（教育部，2003），
這樣的模式呈現出兒童概念學習的發展趨向。根據綱要中的基本理念說 明，數學是人類理性與自然界對話時最自然的語言，然而數學語言的型 塑需經過文明累積的陶冶與教育，才得以具體延伸為數學知識，形成更 有力量的思維能力。數學教育學者（English,2004）認為，兒童在建構 概念的初步階段，對數學語言意義的瞭解，可透過推理、類比的活動加 以培養。因此，相當倚重知覺相似性，而非功能相似性，藉著對知覺相 似性的專注，幫助兒童學習事物的類屬。隨著學習時間的增加，以及對 某類屬性知識的熟悉程度提升，兒童逐漸超越對知覺相似性的依賴，能 根據不同知識所包含的關係與功能，擴增概念基模（Clements, Wilson &
Sarama, 2004；Imai, Gentner & Uchida,1994）。從具體形象的知覺，
逐步歸納與認知事物屬性關係的認知學習，此種語意概念發展的現象，
特別見之於數學概念的學習與問題解決上（Lowrie & Clements,2001；
Mulligan & Wright,2000）。
學校裡的數學學習內容中，「面積」可謂是一項重要的學習材料，它 除了是幾何概念中重要的內涵之外，也是使用測量部分，或被教師和教 科書用來解釋乘法結構和代數關係的一種基礎模式，甚至也有學者 (Simon & Blume,1994) 認為面積的測量若能從分割而至單位量組合的運 用時，面積的模式也可以自然的變成教導分數或乘法的一種手段。由於 面積概念的內涵具有「數」、「量」與「形」等複雜的數學特徵，對於學 生數學知識的發展與提升具有重大影響，因此，在數學教學活動的安排 上可謂是項重要的題材。長久以來，教室實務普遍地獨尊「量與實測」，
致使學生「面積」概念的教學與幾何推理等相關能力的發展，在國小數
學課程上受到忽略，因此面積概念文本的設計、內容的編排及教學方法 的探討，在研究文獻上甚少提及；相較之下，學童在面積概念成就上的 表現也就乏善可陳、未盡人意(林碧珍、蔡文煥，2003；陳嘉皇，2003a；
2004; 譚 寧 君 ， 1998 ； 1999 ； Battista ＆ Clements,1996;
Clements,1992)。
研究者受到閱讀相關文獻的影響，盱衡教室實際情形，反思自己教 學經驗，乃興起對面積教學與面積概念發展研究的興趣與動機。這些動 機可將之總結歸納成為：一、對國小數學課堂上偏重「數與量」教學的 省思；二、對面積概念如何發展的探究；三、對面積公式學習意義化的 詮釋，四、對面積學習經驗範疇的擴展。茲分述四個動機如下：
一、對國小數學課堂上偏重「數與量」教學的省思
近年來，為了要改變教室裡數學教學的困境與缺失，一些教育社群 人士大力地鼓勵教師們應該積極地調適其教室裡的教學實務，將偏重於 計算的正確性與速度之觀點，轉化成能同時觀照數學概念、關係和樣式
（pattern）之間等較具深層意義的理解，來解決上述的偏頗和困境 (Hiebert & Carpenter,1992; National Council of Teachers of Mathematics, NCTM，2000)。我國教育部（2003）頒佈的《九年一貫課 程綱要》在數學學習領域「基本理念」，開宗明義就呼應了這樣的需要。
綱要內文裡提到，在我們周遭的環境裡，數學的內容除了「數與量」之 外，尚有「形」的學問，透過數與形的訊息，才能清楚、充分地認識環 境。唯有透過「數與量」和「形」結合的探究活動，我們才能培養出具 備分析資料、形成臆測、驗證與判斷能力，藉以提升生活品質，改善生
活環境，進而養成關懷環境、尊重自然情操等素養的國民。「數」和「形」
是自然界和人類社會中既有的現象，而且都具有規律性，因此在數學學 習的材料中，兩者都應加以融合與重視。為了要均衡對「數」與「形」
學習的重視，一些教師在教學的心態上也隨著新課程的要求而有所轉 化：在課程安排方面，他們會給予學生生活經驗「數」和「形」相關聯 的多層面問題，針對學生的運思歷程，鼓勵進行實作測量、操弄、以及 概念的連結，進而驗證理論，並建立代數的關係；在師生互動的歷程方 面，則能提供機會讓學生配對或形成小團體的方式進行合作學習，要求 課堂上能夠運用辯證、討論的對話、擬題的進行（leung, 1996;1997），
激發出解題的策略及方式，以了解學生概念的發展；在數學教材設計方 面，創造有趣的數學遊戲，包括刺激學生有關「數」和「形」的概念性 理解等活動(Ball,1993; Cobb, Wood, Yackel, & McNeal,1993；Fennema, Carpenter, Franke, & Carey,1993; Prawat,1992)，面積概念的教學必 須具有上述強調的特色。
二、對面積概念如何發展的探究
面積概念的發展與學習，需要將空間予以統整，置計算的概念於核 心，利用可重複測量的單位進行概念的組合，也就是將部分的單位量集 合在一起，能夠系統化的計算。因此，整個歷程所需具備的能力和知識 是非常的複雜且多變化。在中小學裡，有許多的學生對於面積的知識及 面積的測量產生不正確的概念(吳德邦、馬秀蘭、朱芳謀、簡秀儀，1997；
許嵐婷，2002；陳鉽逸，1996；張英傑、謝貞秀，2003；譚寧君，1998；
1999；Clements & Ellerton,1995; Hart,1993)，舉例來說，研究報告
就指出學生所犯的一些共同錯誤，包括面積與周長概念的混淆、運用公 式直接計算矩形的面積，但卻不知矩形是個平面圖形。令人驚訝的是許 多實習教師在進行面積測量時，使用直線而非以正方形為單位量來進行 推論，並且相信正方形邊長變為兩倍時，其面積也正好變成兩倍(Simon &
Blume,1994; Tierney, Boyd, & Davis,1990)。為何會形成這種現象？
研究者的解釋，皆將學生或實習教師貧乏的作業成績，歸因於教師只教 導學生利用背誦公式來學習面積的解題，忽略了面積空間結構與數字間 關係的連結，以致於學生無法理解這些公式所代表的基本概念，造成對 未來學習歷程的類化產生了困難。
由於面積概念的理解，在學習歷程上牽涉到的影響因素十分複雜，
這些因素可將之歸納為學生個體的知識、教師的幾何知識以及教學引導 的方法。其中值得一提的是有關教師對於面積概念所擁有的知識背景與 教 學 能 力 ， 許 多 研 究 （ 譚 寧 君 ， 1998 ， 1999 ； Clements,1992 ； Clements,1999；Simon,1995）就直言不諱的指出，教師本身與對學生面 積概念發展專業知識嚴重的不足，實在無法協助及要求學生參與數學原 初觀念的探究以及支持他們超越自己所學；另外，文本內容設計的貧乏 與教學模式強調公式為唯一目的的誤導，也導致了學生面積概念錯誤的 表 現 （ Battista, Clements, Arnoff, Battista, & Borrow,1998 ； Clements,1992；1999；Outhred & Battista,2000）。為了要提昇學生對 於面積概念的理解和有效的發展，上述教室實務所顯示之問題，不僅是 現今課程改革的核心重點，也是本研究亟欲解決的研究議題。
三、對面積公式學習意義化的詮釋
面 積 公 式 的 學 習 雖 然 是 面 積 概 念 發 展 的 最 後 目 標 （ Outhred &
Battista,2000），但面積概念的學習是需要經過學生操弄、測量的實作 經驗、將圖形表徵內化再加以詮釋等循序漸進的步驟，才能理解公式的 意義。有關面積概念的學習，有些學者（Battista ＆ Clements,1996;
Clements,1992； Clements,1999）認為最初的經驗需源自於利用正方形 覆蓋矩形的物理性活動，只是這個活動屬於單維度層面而已，還需補充 額外的歷程。其次，面積的公式屬於二維度並具有乘積性，孩子們必須 要從強調表面的覆蓋這種直覺的取向，轉移到將面積與圖形線性維度的 關係更加形式化的取向上，亦即可藉由正方形單位量的覆蓋，連結排列 的形式，形成矩形的結構。但這其間需注意兩個問題，其一，學生是否 充分地瞭解乘法與加法之間的關係(Mulligan & Mitchelmore,1997)；其 二，很明顯的是，矩形排列的結構對孩子而言並非如直覺般顯而易見 (Battista et al.,1998)。因此，有關矩形覆蓋學習資料的分析研究，
還需特別強調單位量的大小及矩形維度之間的關係，並且釐清乘法所扮 演的角色，以及確認長度測量的關係理解之重要性。由此可知，面積概 念的形成必須包含空間結構、測量能力與數字關係的發展與結合，若面 積概念的教學歷程中，只是一昧的強調公式概念的習得，而忽略其他能 力的培養與提昇，那麼面積概念的教學，最終會因基礎能力的不足而心 血付諸流水，一無所獲。
四、對面積學習經驗範疇的擴展
在文本設計方面，矩形面積的公式可謂是幾何學習中最基本的單位 形式，很多課程的內涵以此延伸將之擴展到不同的圖形面積的求法。在
我國中小學的教科書裡，有關三角形及特殊四邊形面積的解題，即以矩 形面積為基礎，先導出直角三角形的面積，再轉化至特殊四邊形面積的 求法。三角形及特殊四邊形之面積學習可由矩形面積概念轉化而來，透 過切割、拼湊、合成、複製等策略，可以形成與矩形全等的區域，藉由 這種「等積異形」概念操作的歷程，可以協助學生解決日常生活中面積 的問題。許多學生不需再藉由公式的演算就能輕易的辨識圖形的形狀，
利用最簡捷的方式正確的計算出面積的大小，對於面積公式的意義也能 更加深入的理解。這些利用理解描繪呈現覆蓋的單位量的轉化，可以幫 助孩子們用新的方法檢驗其經驗，並引導其產生新的啟示。單位量的理 解描繪表現是具有教育價值的，尤其是對於三角形及特殊四邊形面積公 式的導出具有重大的意義，但在教育文獻上卻很少有關這樣的議題討 論。因此，有必要將矩形面積的議題延伸至三角形與特殊四邊形面積公 式的探討，以發現其意義來源。
基於上述四項研究動機，均有提及教室裡面積教學方式的偏頗、文 本設計特別強調公式記憶背誦等問題，以及測量能力與解題策略的運用 是學生學習面積概念的重要基礎，對面積概念的形成影響頗巨，此乃激 起研究者對於幾何圖形中面積與學生認知發展程度之關係，產生強烈的 研究興趣。因此，本研究擬藉由學生參與研究者精心設計的面積概念轉 化文本教學，探討其是否會利用簡單的正方形方瓦排列覆蓋活動，靈活 的連結到特殊形狀圖形面積的測量與計算。另外，研究者可從中瞭解學 生在各類型面積解題能力與策略之表現與發展，以做為日後面積課程設 計的參考。
貳、研究目的
基於上述研究動機，本研究依據相關理論基礎，建構面積概念轉化 文本，然後進行教學實驗，從教學實驗過程中檢驗教學效果，並探討五 年級學生平面圖形面積概念的發展，從而修正合適之面積教學模式。
簡要言之，本研究的目的如下：
一、 設計國小學童「面積概念轉化文本」。
二、 經由課程教學實驗，驗證國小學童「面積概念轉化文本」之教 學效果。
三、 探究實驗組學生教學後，在面積概念轉化歷程所運用的解題策 略與方法。
四、 建構國小學童面積概念教學的模式。
第二節 名詞釋義
本研究之重要名詞有「面積概念轉化文本」、「一般文本」、「圖形與 面積解題能力」與「面積教學設計」，茲就其定義分別說明如下：
壹、面積概念轉化文本
「文本」（text）指的是教學或學習時，所呈現的一種範本，亦即將 某一結構概念必須具備的知識內涵，透過單元組織的方式教導學生理 解。在學習歷程中，學生將這些內涵，經過整理、組織，以其相關與對 應的規則和意義形成單元活動的方式，利於概念或技能連結的學習範本 稱之。
本研究的「面積概念轉化文本」係指學生在學習平行四邊形、三角 形與梯形等面積概念的活動歷程中，透過圖形的知覺進行比對、測量和 策略運用的活動，致使圖形空間要素的關係重新轉換結構，進而瞭解公 式之意義的學習內容設計。包括
（一）「圖形視覺比對與表徵」：透過一些如三角形與四邊形圖形加以 比對，進而將其相關要素抽離後加以分類命名，進而獲得圖形概念名稱，
並在空間描繪出圖形之指定特徵來。
（二）「方瓦排列與覆蓋」：透過方瓦之排列覆蓋，理解圖形之空間大 小與行、列之間所排列方瓦多少的關係，進而形成乘法結構概念，而作 為理解面積公式發展基礎。
（三）「面積圖形重構」：透過三角形、平行四邊形、梯形與矩形圖形 煎要素的比對與測量，配合分割移補策略，發現「等積異形」面積概念 的保留。
（四）「公式理解與運用」：以矩形圖形公式為基礎，將其它典型圖形 如平行四邊形、三角形等與其要素進行比對、測量，進而理解公式之由 來，並能運用至日常生活情境解決困難。
貳、一般文本
本研究之「一般文本」係指教師在學校依據教科書選用辦法所選用 提供該年段學生學習之「南一版」（2000，2001）第九冊、第十冊數學課 本，經研究者依照各單元圖形型態之特徵予以重新安排、整合後，分為
「平行四邊形的面積公式」、「三角形的面積公式」、「梯形的面積公式」
與「綜合練習」四項單元活動。
參、圖形與面積解題能力
「圖形與面積解題能力」是指學生面對有關圖形面積概念的問題情 境時，能夠利用已經學過且獲得的圖形面積知識和策略去理解和簡化問 題，並從情境中探索、組織及運用相關線索計算解決面積大小的問題。
本研究的「圖形與面積解題能力」，是指受試學生在研究者編製之「圖形 與面積解題成就測驗」上的得分，包括：
一、「面積視覺比對與表徵能力」：指能透過視知覺對各類圖形進行辨 識與分類，並能選擇圖形另一外在特徵，加以固定作為各式圖樣 面積大小比較的基礎，並將這些圖形特徵內化成心像後，依指示 描繪出既定條件之圖像。
二、「面積相關要素測量」：指能透過測量工具測量出圖形相關要素之 長度與角度，並能利用方瓦或百格板排列、覆蓋與比對計算出圖 形面積大小。
三、「面積圖形重構策略」：指利用視知覺或測量工具將複雜圖形予以 切割、移補形成一利於方瓦排列覆蓋或計算的較「範例」的圖形。
四、「面積公式理解與運用策略」：指以長方形圖形面積公式為基礎，
透過圖形要素長度的測量或視知覺的比對，理解其面積大小與長 方形面積公式之關係，進而習得該圖形面積公式之概念與意義。
這些能力的檢驗，除了利用紙筆測驗工具進行團體施測以蒐集量化 之資料外，尚配合「圖形與面積解題實作」問卷的個別訪談資料，探討
受試者的作業表現。
肆、面積教學模式設計
「面積教學模式設計」係指為促進學童面積概念發展，所安排實施 的課堂教學材料、活動。本研究主張面積教學應該以合適的文本設計和 教學策略活動的配合為基礎，以導引學生面積概念的發展。因此面積教 學設計的內涵包含了概念轉化文本、教學歷程活動、概念發展與學習目 標四個部分。
一、概念轉化文本：包含了「圖形視覺比對與表徵」、「方瓦排列覆蓋」、
「面積圖形重構」與「公式連結與運用」等四項內容材料。
二、教學歷程活動：則包括了「圖形面積視覺化比對」、「表徵圖形面 積的要素」、「討論與辯證面積解題策略」、「監控及執行面積解題策 略」、「檢核及修正面積解題策略」等。
三、概念發展：包含了 Pirie 和 Kieren（1992a；1992b；1994）所提 倡的「數學概念理解動態理論」中的八個潛在的層次所呈現出關於 面積概念發展的語言或行為表現，包括「初步了解」、「心像塑造」、
「心像具備」、「特性注意」、「形式化」、「觀察」、「結構化」與「創 造」，分別連結面積相關概念的轉化。
四、學習目標：則根據能力指標所訂學生應達成之相關能力層次（教 育部，2000）。
本研究之面積教學模式設計呈現出概念/脈絡/學習者三者間的辯證 關係，透過教學者策略適當的引導，可明瞭學生在幾何面積概念上發展
的認知層次，以作為教師設計課程與教學實施之參考。
第三節 研究範圍與限制
壹、就研究對象而言
本研究僅以國民小學五年級學生為研究的對象，故研究結果不宜推 論至其它地區、學校、年級的學生。
貳、就研究內容而言
本研究在教學的內涵以及測驗工具題目的編選上，以不同圖形之面 積題目為主，較偏重情境操作且不易以單一步驟求出解答的問題，如此 考量主要在配合國小面積解題的目標，故研究結果不宜推論至計算題以 及單一步驟可求解的題目。
參、就控制變項而言
本研究之控制變項，以文本教學實驗效果之教學情境及課程內涵等相關 因素的控制為主，例如教室布置、作業分派及學習時間的安排為考量，
涉及學生背景變項如家庭社經地位、智力發展、性別等並未納入研究重 點，因此在個別差異的比較上，無法做深入探討及詮釋。
肆、就結果變項而言
本研究強調學生認知與後設認知方面的發展，同時並重特殊領域之 先備知識（事實、概念、理解）、解題策略、以及計畫和監控等。至於情 意方面，則將數學信念、價值觀等非本研究範圍所欲探究的內容，故視 為無關變項。
第二章 文獻探討
本章內容主要進行概念轉化文本設計、面積概念教學模式的構築與 兒童面積概念發展研究之相關文獻與理論之探討，文中分六節予以論 述。第一節探討面積概念的內涵架構與發展；第二節則探討學生圖形辨 識與表徵的理論學說；第三節則從解題能力發展的觀點，探討學生面積 概念轉化的歷程，第三節連同第二節所論述之理論基礎，將作為本研究 文本設計內涵發展的基本架構；至於第四節則探討與面積概念學習之相 關因素的研究，以瞭解學生學習限制之處；而第五節則探討面積概念轉 化的教學理論和觀點，發展有效的教學模式，作為實驗教學的架構；最 後，第六節則探討面積概念轉化的文本設計，並綜合上述文獻分析。
第一節 面積概念的架構與發展
為什麼要學習面積呢？面積概念對於數學能力的提昇有何幫助？面 積概念指的是什麼？包含哪些素材？這些問題都是教師、家長在指導學 生學習面積概念的歷程中，常產生的疑惑，也是一些教育專家和數學家 們在設計數學課程時必須釐清的議題。為了一窺面積概念的內容本質與 其研究發展的趨勢，本節依序討論：壹、面積概念的功能與內涵；貳、
探究學生面積概念內涵能力的發展；參、整理出我國實施九年一貫課程 有關面積概念教學強調的能力指標與重點，並將其與 1993 年版課程進行 比較，以瞭解面積概念課程設計之變動情形；最後，依據面積概念課程 內涵範圍的演變，分析面積概念研究未來的發展取向。
壹、 面積概念的功能與內涵
一、面積概念的功能
面積概念的學習是數學知識學習的一項重要活動。不論中外，面積 概念的教材在數學的課程中，自始迄終都是不可或缺的基礎知能，也是 探究幾何理論的認知之鑰。學生經過面積概念的研究後，可以學到幾何 的圖形與結構，明瞭如何去分析它們的特徵和關係，將空間視覺化－建 構與操弄二維和三維物體的心智表徵，並且可從不同的觀點來知覺物 體，促進幾何觀點的思考。另外，針對增進學生的推理與辨明技巧的發 展而言，面積概念的學習也是種很自然的素材之一，它的幾何模式和空 間推理也能擴展學生對物體環境詮釋的經驗和描述的方法，而能在生活 情境解題的歷程中變成重要的工具（NCTM,2000）。
對於在其他數學領域和真實世界情境上的解題和表徵能力的發展而 言，面積概念的學習也是項很有用處的理念。面積幾何圖形的表徵可以 幫助學生在乘法或分數的練習上形成意義的連結，學生可經由視覺比對 的學習，看見環繞在它們之間結構的相似性和對稱性，在使用地圖、安 排行進路線、設計樓層藍圖以及藝術創造上，都是非常有用的。只要經 由良好的活動設計、合適的工具運用，像是使用具體的模型、圖畫和動 態幾何的軟體，以及教師的支持，學生便能夠積極的產生與探索面積公 式概念有關的推論，且從早期受教的時段開始就能學習到精細的幾何推 理的概念。
二、面積概念的內涵
面積概念理解的建構這個議題，是需要橫跨不同的年級，歷經幾個
年段，從非形式到更加形式的思考與操作練習才能完成的，這個論點與 一些研究者的思考和建議是一致的（高敬文，1988； 譚寧君，1995；
Burger & Shaughnessy,1986; Clements & Sarama,2004; Fuys, Geddes,
& Tischler,1988; Senk,1989; van Hiele,1986）。
面積概念的學習已被視為是學校數學課程中，學生學習理解以及尋 找數學公理結構的重要領域。幾何中面積概念的學習能力指標重點，不 僅強調圖形空間表徵能力的發展，更將重心集中在精細的推理和證明、
定義使用與事實探索的發展上（教育部，2003；NCTM,2000）。所以，幾 何面積概念的教導與學習，在學生數學能力的增進上就必須扮演一項重 要的角色。不少研究者將面積概念的研究焦點集中於「量與實測」的活 動與教學上（王勝弘，2001；朱玉如，2002；吳德邦、馬秀蘭、朱芳謀、
簡秀儀，1997；高敬文，1988；許嵐婷，2002；陳建誠，1997；楊瑞智，
1996； Piaget, Inhelder,1967），探討面積保留概念和測量能力的發展 對面積概念的影響與相互之間的關係，或是探究面積與周長概念的發展 情況，以作為教學和課程設計的參考。另有學者（陳鉪逸，1996；譚寧 君，1995； Battista & Clements,1996； Outhred & Mitchelmore,2000）
則認為面積概念的學習除了是「量」的學習之外，其重點尚包含了對圖 形的辨識、分解與合成，且當圖形形狀的特徵確認後，還可選用最抽象 的形式，即用不同的公式計算以求出面積大小之解答。由此可知，面積 的學習內容是與數學教材中的「數」、「量」與「形」三個範疇密切結合，
彼此相輔相成、互為表裡的，且學習的內涵之間是持續不斷的成長擴充、
交織影響著面積概念的習得與發展，其關係如圖 1 所示。也就是說，面
積概念的教學除了強調量感與實測能力的培養和量概念的建立外，仍須 教導學生可比較、分割、合併等解題策略特性的了解，亦能運用個別單 位量進行空間的實測和估測，及進行各量間的轉換與推理，最後以抽象 的符號呈現出幾何空間結構與代數之間的關係，所以面積概念也是幾何 與代數之間溝通和連結的橋樑。
圖 1 面積與數、量、形的關係
對於面積概念中各方所提及之「數」、「量」、「形」的內涵主張，研 究者將之整合後，可作為面積概念文本設計包含的內涵參考。
（一）譚寧君的測量與保留概念主張
面積概念的理解與發展是需要配合許多「數」、「量」與「形」能力 與技巧的成熟演練才能有所進展。譚寧君（1995）認為面積概念包含了 保留概念和測量概念兩部分，
1.保留概念：
指的是當兒童面對物體的某種轉換時，如位置的移動、方向的轉動、
形狀的改變或切割活動等，能了解其原有的特質仍然保留不變的認知能 力。保留概念的形成是需要經歷「圖形的辨識與表徵」、「空間推理」等
量 形
數
面積
能力作為基礎，才能領悟到邏輯的原則，是種影響「形」學習的重要因 素。面積保留概念是面積概念學習的先決條件，兒童需要經驗到「等積 異形」的事實後，才能進行測量的活動，所以也是「數」與「量」學習 的基本要素。
2.測量概念：
面積概念所包含的測量概念並非只是操作、比較、計算等，還包括 了代數中的遞移律、交換率、等量公理和分解合成性等律則的理解。兒 童需先了解全體乃由許多部分構成的總合；其次，學童必須要了解遞移 律和倍數的觀念，才能將某量移轉到另一量，且將某量重複使用於另一 量上。基於這樣的觀點，面積的測量乃是一種結合了位置的改變，倍數 與等分合成觀念的綜合能力，這些能力的培養需要教師安排充分的機 會，讓兒童經由「分、合、移、補」等圖形分割和重構策略的運用，將 空間結構和乘法關係理解之後，才能達成，所以是學習面積概念中「量」
與「數」內涵必要的特徵。
（二）Leinhardt 與 Baturo，Nason 的知識類型主張
針對面積本身或是面積測量究竟需包含何種相關實質知識的要素而 言，Leinhardt（1988）依據其所建立的理解理論所進行的分類模式，區 分了四種有關面積知識的類型，亦即 1.直覺型（intuitive）、2.具體型
（concrete）、3.計算型（computational）與 4.法則概念型（principled conceptual），雖然這些知識被區隔分類了，但本質上，這些知識類型並 無階層之分，甚至彼此之間仍有交集重疊、相互影響之處，當要理解面 積課程的領域，我們可以將它們連結組合起來，做一統整之解釋。根據
Leinhardt（1988）的看法，認為直覺型的面積知識需要歷經十年的學習 經驗才有可能產生，不適合一般的研究，因此 Baturo 和 Nason（1996）
依據面積概念與發展歷程的觀點，將此模式化約為三種知識內涵，如表 1 所示：
表 1 面積測量概念與歷程發展之知識類型
知識類型 面積概念與歷程發展的內涵
1.具體型知識
（concrete knowledge）
1. 知道如何藉由覆蓋的方式對有規則與無規則的圖形，進行沒有 重疊或間隙的面積測量。
2. 知道如何運用一些自設的平面單位或是標準單位進行面積測 量。
3. 知道如何計算測量單位的數量進行面積測量。
4. 知道圖形經由分割或重新組合改變後，其面積的大小依然是相 同的。
2.計算型知識
（computational knowledge）
1. 使用公式或是針對面積的測量運用大小形狀適合的單位進行 計算。
2. 知道並理解面積測量使用之標準單位間的關係，明瞭並會使用 小數。
3.法則概念型知識
（principled conceptual knowledge）
1. 知道測量必備的屬性（例如面積是指封閉的圖形）。
2. 能夠辨認一些形狀的屬性（如規則或非規則的平面圖形、柱體 的表面），理解為什麼面積是能測量的？
3. 面積的長度與關係的屬性是源自於正方形，為了要進行面積的 間接比較，必須使用標準單位；所用的測量單位越大，所需的 單位數量越少；一些圖形的面積是無法精確的計算出。
4. 知道以下的公式：
（1） 圓周率是什麼，它的來源以及何種圖形與之有關？
（2） 公式是如何形成的？
（3） 不同的公式之間是如何連結的？
（採自 Baturo & Nason,1996：235-268.）
從表中可以很清楚的瞭解，面積概念的發展是需要具備多種知識內 涵組合才能完備的，為了進行教學之便，我們可以從中再將這些面積概
念知識細分歸納為：圖形特徵辨識與表徵的知識；測量與方瓦排列 覆蓋的知識；空間推理與圖形轉換的知識；面積公式推理與運用的 知識。這四種知識都可說是面積教學歷程中學生不可或缺的概念與技 巧，教師應積極的設計合適的文本、安排操弄的情境，讓學生在學校裡 即能學會完整的知識體系。惟令人遺憾的是，此四種知識在現今的教學 實務中尚呈現出缺乏、不足的現象，頗值課程設計專家與教學實務者加 以思考反省之處。Leinhardt（1988）,Baturo 和 Nason（1996）的面積 知識模式正可以喚醒我們對面積教學的重視，也可以模塑出一種充實的 面積學習內涵，指示我們在面積教學的歷程中應強調的重點與目標。
（三）Outhred 和 Mitchelmore 的面積公式理解歷程主張
面積概念中「數」、「量」與「形」內涵的複雜性和其交錯影響的特 質，就如 Outhred 和 Mitchelmore（2000）所強調的，要對面積概念的 學習有所理解，則需增進對測量時單位量如何完全覆蓋圖形、利用線性 測量理解空間的結構特徵，並能藉由排列關係計算單位量及矩形的維度 兩者之間的關係，進而形成面積公式之複雜等式一切有關的知識。
Outhred 和 Mitchelmore（2000）除了重視圖形既有特徵的比對和分析 外，特別重視測量能力的發展與空間推理策略的運用，並且強調面積概 念學習的最終目標在於抽象公式的理解與獲得。
三、面積概念的架構
由上述學者針對面積概念學習所提供的內涵建議予以總結歸納，面 積概念的架構應該包括「數」、「量」與「形」三個範疇，若再將之細分 則應包含視覺辨識與表徵、面積保留概念、幾何空間推理能力、線性測
量能力與技巧、問題解決的能力與策略、以及代數等學習材料，這些材 料可以嵌合構成了一個六角錐體，如圖 2 所示：
圖 2 面積概念的內涵架構
此架構之每個側立面代表構成面積概念內涵的重要材料，彼此支撐 配合。這個錐體以結構體上面交接的頂點為起始往下同時進展，表示學 生在面積概念發展之初，其知識與能力是片段、粗淺的，隨著每個範疇 的知識與能力之充分發展而往下擴張，各範疇的知識與技能越充實、完 善，則所構成的面積概念結構體益形堅固、壯大。面積概念學習的內涵 所應具備的能力與發展，在不同的年齡階段有不同的發展重點。學生在 年齡很小時，就已發展出視覺辨識與表徵和幾何空間推理的能力，可以 透過圖形的特徵將之區別進行分類，並明辨物體位置及其空間的關係；
隨著認知發展的成熟，透過操弄，進而發現面積保留概念與執行線性測 量的能力與技巧；並經由教導或是模仿，學到問題解決的能力與策略；
年齡稍長，透過關係的驗證與規則的演繹和歸納，形成了代數觀念。面 積概念所包含的這些能力，有的需事先具備，例如保留概念、辨識能力
視覺辨識 與表徵
代數 面積保留概念
空間推理能 力與策略 線性測量能
力與技巧 解題能力
與策略
與標準單位的測量技巧，這些都是學習面積概念的先備知識。俟這些能 力與技巧成熟完善或達到某一學習年段後，此時透過解題策略與邏輯的 推論指導，學生將能掌握到空間結構與公式間的關聯性，進而了解代數 符號的意義。需注意的是，這些範疇所包含的能力並非單獨的發展，而 是彼此交錯纏繞、扶搖直上的，缺乏了某項能力，連帶的將會影響其它 能力的發展，例如缺乏空間推理能力，學生日後可能無法利用分割移補 的方式簡化圖形，採用最便捷的方式測量出圖形面積的大小，因此，每 種範疇的能力都是缺一不可的。
為了達成面積概念學習的目標，對於學生各項能力的發展與精熟程 度的理解，可謂是教師必須優先知曉的，如此才能安排合適的學習文本，
透過良好的教學技巧引導，才能讓學生理解每個面積公式的意義及推算 過程，如此的面積概念教學才能有效運用而增進日常生活的解題能力。
（
貳、 面積概念內涵能力的發展
面積概念學習的內涵是複雜且呈現多元面向的，每個層面所需的能 力與技巧是由點至線至面逐次發展累積而成，最後形塑成一個廣泛且綜 合的面積概念知識實體。面積概念的發展在不同年齡、不同層級各有不 同的要求重點。我國《九年一貫課程綱要》（教育部，2003）與美國「學 校數學原則與標準」（ NCTM，2000）在各學年學生應該發展的各項數學 能力與標準，皆有詳盡的闡述說明，也詳列了教師應該考量的教學法則 和策略，以作為面積概念發展的序階與課程設計的參考。了解國小學生 面積概念「數」、「量」與「形」各內涵能力發展的狀況，是安排面積概 念文本設計的基礎。因此，本節重點以學生之面積空間推理、測量、代
數運用、以及表徵的能力發展的指標作為探討「量」、「數」與「形」學 習內涵的核心，明瞭學生各年齡階段應具備何種的能力，以為面積概念 文本設計的參考。
一、面積空間推理能力的發展
與面積概念「形」發展關係最密切的能力就是空間推理能力，根據 美國 NCTM（2000）提供的學生必備的數學標準能力加以分析，從幼稚園 至高中的學生必須具備以下四項面積空間推理的能力：
（一）分析二維和三維幾何圖形的特徵和特質，發展幾何關係的數學論 述
孩子在年幼尚未進入小學就讀之前，很自然的就傾向能觀察和描述 各種圖形的形狀，並且開始注意他們的特徵。圖形形狀的辨識雖然很重 要，但必須將重點集中在圖形的特徵和其之間的關係。在幼稚園至二年 級此階段，學生能使用可以看到、掌握以及操弄的物體來學習幾何的形 狀。之後，所研究的形狀屬性和特質會變得更加地抽象。到了國小高年 級階段，學生能夠將學習重點集中在形狀的要素上，並且進行討論，像 是邊長和角度，以及形狀類別的特徵等。從國小高年級到國、高中階段，
針對相似性（similarity）和全等（congruence）議題的研究，學生則 必須要學習演繹推理以及更形式證明的技術去解決問題及論證推演。在 所有的年齡階段，學生必須學習對其推論以及解題方式作出正確的解 釋。最後，他們必須能夠描述、表徵以及探究幾何系統內的關係，並且 在邏輯的鎖鏈關係裡進行表達和調整。學生也要能理解定義、通則以及 理論所扮演的角色，並且能夠建構其自己的證明。
（二）使用座標幾何與其他的表徵系統區別物體的位置以及描述空間的 關係
年幼的孩子首先必須學習相關位置的概念，像是上下、前後、遠近 以及之間的關係。稍後，他們才能夠使用矩形的方格去置放物體，並且 利用直角座標去測量兩點之間的距離。座標的經驗對於學生在解決幾何 與代數等較廣泛的問題上是非常有用的。在國小高年級階段，對於學生 進行發現與分析圖形形狀特徵的作業，座標是非常有幫助的。另外，在 平面上藉由地圖上的刻度或是畢氏定理的關係發現兩點之間的距離也是 很重要的。幾何圖式像是國小高年級的線段，或是國、高中的三角形和 圓形，都能進行表徵性的分析，而建立起代數和幾何之間的基礎連結。
（三）運用變換與使用對稱分析數學的情境
年幼的孩子是帶著形狀如何被轉移的直覺進到學校的，學生能夠藉 由鏡子的使用、紙張的覆蓋或是追蹤探索像滑行、跳動以及轉動等動作 進行學習。稍後，他們轉化的知識必須要變成更形式化和系統化。三到 五年級的學生能夠探究轉化的效果，並且開始用數學的術語去描述它 們，藉由動態幾何軟體的運用，他們可以開始學習去定義轉化屬性的需 要，例如使用旋轉來轉換圖形時，它們需要訂定旋轉的中心點、旋轉的 方向以及旋轉的角度。對於三至五年級的學生而言，他們必須學習理解 保留距離的轉化像是轉換旋轉或是反射處理的意義是什麼。國、高中學 生必須學習表達轉化的多種方式，包括使用矩陣去顯示圖形在組合平面 或是方程式上是如何轉化的。他們必須開始理解座標轉化的效果。在每 個年級的階段，對稱的合適性思考可以將數學提供給藝術和美學重要的
啟示。
（四）使用視覺化、空間推理和幾何模式解決問題
在每學年的開始，學生必須要從操作不同幾何物體的經驗，以及一 些允許他們可以轉動、移動或是改變二維或三維物體的技術去發展視覺 化的技巧。
二、測量能力的發展
測量指的是將數字值對物體屬性的一種安置，像是面積的大小有多 少一樣。在更具哲思的層次來說，測量也能說包含了對一個情境的特徵 安排一個數字。了解可測量的屬性是什麼與將它變成熟悉的單位和步 驟，是測量屬性的能力指標上最主要的重點。經由學校學習的經驗，從 最初的幼稚園時期到國中的階段，學生在一些情境範圍下，必須要能夠 充分的使用測量的工具、技術與公式。事實上，學生若沒有經歷材料的 操弄、作物理比對和使用工具進行測量，那麼是無法深入地理解測量的。
測量概念的發展是需經歷不同年級的思辨和擴展的，且教學的計劃是不 需年年重複相似的測量課程，但值得注意的是，測量能力與概念的發展 在小學低年級階段就要重視的。根據學者（高敬文，1988；陳鉪逸，1996；
譚 寧 君 ， 1998 ； 1999 ； Battista & Clements,1996 ； Outhred &
Mitchelmore,2000）的研究，為了要發展面積概念，學生必須要具備以 下兩種能力，才足以進行面積問題的探究。
（一） 了解物體可測量的屬性以及測量的單位、系統和歷程
可測量的屬性指的是一個物體的特徵是可以被量化的。需要注意的 是，辨識物體是否具有可測量的屬性是做數學研究的第一個步驟。幼稚
園到國小二年級的學生開始藉由較長或較短的語言來比較和排列物體，
在這個階段裡，長度的測量必須變成學習的重點，除此之外，重量、時 間、面積以及體積的問題也需要被探索。到了國小三至五年級階段，學 生更需徹底地學習面積以及周長、體積、溫度和角度的測量。在這個階 段，他們已經不需要直接的採取測量的工具進行測量，而能採用公式進 行計算。
在高中階段，學生必須要能夠理解影響測量的單位和刻度是如何決 定的，然而不管任何年級，在使用工具進行測量或是依賴公式進行測量 的計算之前，學生是需要許多非正式的經驗。在學校裡接受的教育，不 僅要能擴展學生他們可測量屬性的架構，還要發展屬性之間關係的理 解。小學階段的學生可以探索影響一定測量的物體屬性是如何改變，例 如，藉由對形狀的分割和重新排列可以改變周長但不會影響面積的大 小。從幼稚園至二年級的階段，學生必須要藉由非標準單位的使用開始 測量的研究，他們必須被鼓勵使用寬廣多樣的物體，像是紙版去測量長 度、正方形方瓦測量面積，以及紙杯測量容積。當學生從國中進展到高 中階段，他們必須要學習如何使用標準單位去測量新的抽象屬性，像是 體積和密度。
對於年幼的孩童而言，要理解不同的單位只能適合測量不同屬性物 體這樣的概念是很困難的，學習如何去選擇一種合適的單位是理解測量 最主要的重點。舉例來說，在幼稚園至二年級階段的學生必須要學習長 度可以使用直線的工具來測量，但面積不能用此方法直接來測量。小朋 友必須明瞭測量面積必須要使用面積的單位像是正方形區域才行，三至
五年級的學生必須要學習了解正方形區域不僅可以用來測量體積，並且 需要對使用三維單位的探索。
（二） 運用合適的技術、工具和技術進行測量
測量的技術指的是用來決定測量的策略，像是計算、估算與使用公 式或工具。當數值對於公式裡的變項是特殊的狀況時，公式是產生測量 的一般性關係。在小學階段，學生必須開始發展求周長和算面積的公式，
中年級的學生要會使用三角形和矩形的面積公式去發現梯形的面積，以 及發展體積和物體像角柱或圓柱體的表面積公式，許多低年級和中年級 的學生對於周長和面積概念的理解是很困難的（Kenney & Kouby,1997；
Lindquist & Kouby,1989；Simon & Blume,1994）。雖然這些孩子可能會 使用公式進行解題，但是無法理解這些公式與能被測量的屬性或是能被 使用來測量的單位之間有何關係，因此，老師有必要幫助學生將公式和 真實物體之間的關係進行連結。
三、代數能力的發展
代數的標準強調數量間的關係，包括函數、表徵數學的方法及分析 其改變，使用代數可以簡化複雜的數學思考，並轉化成有效的分析。代 數的許多符號與結構都強調建立在學生對於數的經驗上，代數也與幾何 和資料分析密切的連結，因此代數也是面積概念學習課程材料與統整的 一項要素。代數的課程在學齡前就應開始，老師應該要幫助學生建立一 個具備理解能力與表達能力的穩固根基，以應付將來更複雜的學習。利 用符號紀錄思考及情境中的洞察力，學生可以了解面積的概念、結構與 符號操作的原則，但須具備以下四種代數基本的能力：
（一） 了解型態、關係和函數
早期分類及排列物件的經驗對兒童來說是自然而有趣的，教師可以 協助兒童注意規則，並延伸到其它的變項序列上，到了國小三至五年級，
兒童應會使用變數和代數的表示法來描述及延伸面積和周長所代表的型 態；在中學結束前，學童應該能輕易的使用函數的標示法來描述這些關 聯。
（二） 利用代數符號表徵及分析數學的情境與結構
學生對數字性質的理解是從幼稚園到高中逐步發展的，到國小三至 五年級時，學生應超越加法的運算而使用乘法的分配律得出答案，當學 生能操作複雜的代數符號時，就能理解幾何面積公式的論證，國中的學 生可以瞭解圖表與圖表下等式的關係，高中的學生則可利用符號將此關 係公式化，而且能證明所用公式的正確性。
（三） 使用數學模式來表徵及了解數量間的關係
數學最有力的用處之一是數學的模式化。低年級的學生可以使用物 件、圖片和符號來塑造整數的加法和減法。國小三到五年級的學生需利 用他們的模式去預測及描述結論，這些模式的使用會隨著年齡的成長而 日趨複雜，到高中時，學生就能利用許多種類的函數知識發展自己的模 式，並做決定。
（四） 分析不同情境中的轉變
理解能力的改變是十分重要的，特別是針對函數的理解及許多思考 的呈現。從幼稚園的幼兒至國小二年級階段的學生，最初可以描述面積 圖形質的改變，像是形狀不同，而後是量的改變。三到五年級的學生可
以使用圖表而開始注意及描述這些改變，中年級的學生將重點放在線性 函數的學習上，學生可以利用面積學習關於線性函數中的固定比率變 化，而採用斜率表示。
四、表徵能力的發展
表徵能幫助學生組織他們的思想，表徵的使用能幫助學生在數學上
「數」、「量」、「形」的想法與運作更加具體，以及有效的回應。對於學 生如何利用表徵能力呈現面積概念的學習結果，需要具備以下三種能力：
（一）創造和使用表徵來組織、紀錄、和傳達溝通數學上的想法 在較低的年級，孩子會使用表徵做一紀錄，提供給他們的老師和同 學對其努力了解數學所得到的成果。在中年級階段，學生會使用更多的 表徵解決問題，描述、澄清並延伸數學上的想法。他們可以發展對真實 的世界關係的代數表徵，例如，一個矩形游泳池的瓷磚數目，長 M 單位，
寬 N 單位，M 和 N 是整數，開始認識並能使用不同的表徵方式分別敘述 相同的現象。此時學生可以使用動態幾何軟體移動、旋轉、伸展和放大 的方式，藉由操作來擴展對於面積概念的表徵。
（二）選擇、運用和翻譯數學上的表徵來解決問題
不同的表徵通常會對一個複雜的概念啟發出不同的觀點。學生會使 用物理模型積木的展示或傳達部分－整體的觀念。因此，使用多種表徵 運用在數學教育上的重要性應該被強調。幼稚園至二年級的學生應該要 知道透過重複的加法來表徵一個數組的物體，並能了解物體之間明顯的 可交換性。在中年級階段，學生所存有的表徵項目將擴展到包含更加複 雜的圖畫、數表、圖、以及文字來模擬設計問題和情境。中學學生，表
徵可有助於他們發展關於代數的構想，當數學問題變成複雜時，他們必 須發展一個更大的表徵目錄以及豐富的知識庫，以利於挑選和思索表徵 與問題的關係。從不同的數學背景之適用來解決不同的問題，可能會產 生相類似的表徵，當問題被某種形式表徵出來時，這些形式所採用的優 良方法，就能用來解決數學問題。
教師應提供機會讓學生擁有更多和不同的多重表徵經驗，幼稚園至 小學二年級階段的學童，教師應鼓勵學生採用具體操作的方式，得到準 確和直接的表徵回饋。利用動態幾何的軟體讓學生看到圖形、方程式的 形式，檢驗表徵的變化，以作為面積概念推測的工具。
（三） 使用表徵來模擬和解釋自然的、社會的、和數學上的現象 學習數學最終在於建立模型，數學模型的意旨在於強調議題的前後 關係，也就是能將數學的元素表徵，能夠理想化的關聯到一個複雜的現 象，並能澄清和解釋這些現象以解決問題。
現今的科技工具可以允許學生在情境中反覆的探究模型，在幼稚園 至二年級的學生，學生必須能夠使用方瓦或積木於各種的解題方法中，
中年級的學生以這些材料來模擬他們所處的世界現象並且注意到定量的 形式，國中階段，學生則需設計和解決源於實際生活的數學問題，使用 變數代替未知數，同時也學習採用等式、表格與圖形來表徵和分析關係。
參、九年一貫課程有關面積教學的能力指標與重點
對於面積概念發展的研究，除了可以從上述學生面積解題能力的發 展層面加以論述探討外，尚能從面積學習目標的演變著手加以分析。學
習材料的選擇與設計是受到教學目標與學生認知能力發展因素影響的，
現行我國之教科書的編排或是教師自行設計的文本，皆以《九年一貫課 程綱要》所列之學生能力發展指標為依據，作為學習材料發展的藍圖。
因此，面積概念發展的研究趨勢可以從學生面積概念的能力指標予以探 究分析，以理解學生學習的目標及內涵的範疇應包含哪些；其次，學生 能力的發展與學習材料的變革在認知與心理層次的發展上，都具有連貫 性的特質，因此，亦能從我國課程發展的情形，探討時、空背景的變化 對學生認知能力發展產生的影響，以瞭解面積教學發展的重點。
一、九年一貫課程有關面積概念能力發展之重點
影響學生面積概念發展的影響因素，包含了文本設計的內涵與教學 策略的引導，而影響這兩項因素對學生面積學習成就的表現，就在於是 否能達成該目標所設定的能力指標的要求。本研究文本設計實驗教學的 對象為國小五年級的學童，在學習面積概念的文本內涵之前，已經擁有 某些與面積教學目標相關的重要能力與技巧，這些能力與技巧發展之良 窳狀況，將會影響學生日後面積概念的習得與增進。另外，五年級的學 生在此階段學了面積概念之後，應該達到何種能力指標才算合格，對於 文本設計所應包含的內涵亦是非常重要的。因此，在文本設計之前，理 應分析、探討受試者本身有關面積能力指標發展的狀況，明瞭其發展的 層次，如此，根據指標發展出來的文本內容才能合乎教學目標，才能促 進學生能力的獲得與提升。
我國教育部（2000）自頒佈《九年一貫課程暫行綱要》，開始實施「統 整」課程至今，在數學方面，有關能力指標的配置頗受各界批評、攻訐，
認為綱要內指定的各年段所欲達成之能力指標太過淺顯，有引導學生能 力下降之虞。因此，在多數教育學者與專家的壓力撻伐之下，於 2003 年 10 月又將數學能力指標重新修正編排，將各年段之能力發展導向較先前 之課程更艱深、繁瑣的層次。但需加以說明的是，本研究之受試學生所 接受之面積概念教學乃是以 2000 年頒佈之課程暫行綱要之內涵為主，因 此不受 2003 年修正版本的影響。圖 3 為國小階段各年級學生面積能力指 標發展的脈絡圖。
從這個面積概念發展的相關能力指標脈絡圖可以發現：
（一） 面積概念本身即是一個複雜之能力與知識的綜合體，包含了「數 與量」、「幾何」與「代數」等層面之能力的組合，雖以「幾何」
能力的發展為核心，然各層面之能力在面積概念學習的初期，可 謂是各自獨立影響面積概念的發展。
（二） 至國小中、高年級階段，「數與量」、「幾何」與「代數」等各數 學層面之能力除了會影響面積概念的發展與習得外，彼此亦會相 互糾結影響對方。且年級越高，影響的層面越深遠，若某一層面 能力發展不良，將會影響面積概念的發展。
（三） 由於年級越高，學習的面積概念內涵越複雜，且各層面之能力相 互影響，可謂牽ㄧ髮而動全局，因此相關層面之數學基礎能力就 益形重要，所以在較低年級時，就應加強相關能力的培養與訓練，
以作為日後學習高深面積概念的堅固磐石。
（四） 在面積「數與量」能力的發展方面，學生是從乘法意義的理解，
轉化至利用常用的單位量，對物件進行實測與估測，並處理相關 的計算問題，至五年級時，能以矩形為單位利用切割重組，理解 三角形、平行四邊形、梯形與菱形的面積公式；面積「幾何」能 力的發展方面，學生從圖形要素的辨認與分類開始，經由對稱平 分的理解，利用切割重組，理解三角形、平行四邊形、梯形與菱 形的面積公式， 至五年級時，應能利用幾何形體的性質解決簡單 的幾何問題；面積「代數」能力發展方面，學生從認識加法、乘 法之交換律、結合律與分配律作驗算和解題開始，逐步發展至能 用未知數的等式或不等式，表示生活中或算數中的問題，至五年 級時，應能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題 或將問題列乘算式。
二、九年一貫課程能力指標之啟示
從面積概念能力指標脈絡圖的分析，可以建立文本設計在「初始狀 態」至「目標狀態」之間一個明喻，界定學童在學習歷程中ㄧ個目的論 式的發展過程，朝向ㄧ個預先設定的目標前進，亦即表示學童的認知發 展可以依循著一種合乎邏輯的「年齡與階段」的順序向前邁進，逐漸達 到我們成人期望其在數學領域上所具有的成熟與理性，也幫助教師在選 擇學習內涵與編排時數上有所憑藉，研創出合乎學習材料內容結構與配 合學童心理發展的課程，這些課程內容所指涉的能力指標可以作為評估 學童面積解題表現的行為依據，診斷出該能力指標行為與兒童的生物年 齡是否相稱或不相稱，成熟或不成熟。另一方面，能力指標的發展會將
學生行為導向「標準化」，可作為評鑑學童學業表現的一項基準，但這種 依據也可能導致學童在面積解題的過程上被塑造、訓練而產出某種單 調、呆板的行為模式，抹殺了學童的創新與多元合適的解題方法，進而 趨向於教師因時間與資源限制而認定的單一解答。能力指標畫出了面積 概念文本設計的範疇與界線，相對的也侷限出學童解題的思考與能力發 展的方向，學童在文本設計的導引下是否會達到國定能力指標的要求，
是否在學習的歷程中也有超出既定標準行為的表現，呈現出另一風貌的 解題模式和技巧，將是本研究在文本設計此議題下，特別想一探究竟的 數學解題行為。
肆、2000 年課程與 1993 年版「量與實測」面積教材之比較分析
課程的編製與學習內涵的選擇受到社會文化、政治經濟、哲學思維 等方面的影響。課程內涵可能是「文化複製」的一部份，亦可能為符應
「資本主義工業發展」需求的一種手段，甚至可以當作一種「文化資產」
的消費內容。不論作何解釋，課程可謂是學生「社會化」與承接成人要 求的學習材料，課程的內容不僅呈現出時代的需求，亦能表現國家對於 人力資源的培育與重視。我國數學課程改革經歷了 1975、1993 與 2000 年三次的修正編排，在歷程的發展上皆受到各方的重視與期待。尤其進 入 1990 年代，各國競爭激烈，為了提升國力與創新能力，紛紛推動教育 改革，特別是進行科技整合的課程，期望能培養出具有世界觀與研發能 力的好公民。在此前提下，我國也參與此教改行列，推動「以學生為本 位」的課程模式，其中轉變最激烈，對學生數學能力發展影響最深遠的
首推為 1993 年版的課程改革，此版本之數學內涵強調「建構」的教學概 念，希望能透過實際操作而了解學生數學思考的模式與解題方法。九年 一貫課程承襲此種精神，但其特色更加注重學科之間的整合關係，對學 生的學習易造成莫大的影響，茲將兩版本有關面積概念發展的教材內涵 作一整理比較如表 2。
表 2 1993 年版與 2000 年《九年一貫課程綱要》之「量與實測」
面積教學架構之比較分析
1993 年版課程標準 2000《九年一貫課程暫行綱要》
對於量感建基在「實物的感覺存在性質」的量，
教材上的架構理念是由共具的使用與對物理現象的掌 握齊頭入門的。教材上的發展則依據測量活動對物理 現象的掌握之有效程度加以序列。具體言之，教材上 的發展依其先後可以細分為以下幾個階段：
1.某量的初步概念 1-1「某量的認識」：
此一階段是指透過具體的活動，使兒童能知道，例 如像「長度」，到底在量「什麼」。例如：「長度的認 識」。
1-2「某量的直接比較」：
此一階段是指使兒童經由直接比對實物的同類量 後，能描述比較的結果。例如：「長度的直接比較」。
1-3「使用以某量為刻度單位的工具」：
此一階段是指兒童經由直接比對工具上的刻度與實 物的同類量後，能讀出工具上的刻度。例如：「使用 以 10 公分為刻度單位的工具。」
2.某量的間接比較 2-1「某量的間接比較」
此一階段是指兒童能運用「某量的保留概念」，透過 媒介物或對實物的同類量予以變形後，再加以直接 比較並描述比較的結果，例如：「長度的間接比較」。 2-2「某量的個別單位比較與實測」：
此一階段是指兒童能以一個量做為基準，去累積一 個被測量的量，並用累積的次數報告測量的結果。
比如說，一枝鉛筆有 5 個迴紋針長。
3.某量的普遍單位比較
3-1「認識某普遍單位量的意義」：
此一階段是指兒童能把一個被普遍使用的單位量，
例如長度中的公分，作為個別單位比較與實測的基 準。在 1-3 中，普遍單位已出現，但是只被當作某 特殊量的標籤，並不是個別單位比較的基準。
本領域包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、
體積等生活中常用的七種量，兒童對這些量（除了時間）
概念的認知發展形成都要經歷下列五個階段才算完 整：1.量的初步概念；2.量的間接比較；3.個別單位的 描述；4.公制單位系統內的認識與換算（化聚）；5.量 的公式概念，但只有面積和體積有此階段。
1.初步概念
透過感官感覺一個量；能對兩個同類量做直接比較；
能以整體、合成複製的方式複製一個量；利用刻度尺 描述一個量。可以把平方公分板視為面積的刻度尺。
2.間接比較
對無法直接比較的兩個同類量，透過複製一個媒介 量，利用此媒介量與另一輛進行直接比較，並把比較 的結果推論成原兩量比較的結果（含量的保留概念、
量的相等、大小的遞移律）。
3.個別單位
從等量的合成、複製的結果來描述一個量，並進行比 較。能利用普遍單位的描述，對兩個同類量進行加減 乘除運作。認識各類量的基本普遍單位（如長度的 米、厘米、千米；容量的公升、分公升、毫公升、千 公升；面積的平方厘米、平方米、百平方米、千平方 米；體積的力方厘米、立方米；角度的度。
（續表 2）
3-2「以某普遍單位量為單位，進行實測及估測的活 動」：
此一階段是指兒童習於使用一被普遍使用的單位 量，例如長度中的公分，做單位比較的實測與估測 活動，例如「以公分為單位，進行實測與估測的活 動」。本階段強調的重點僅有一個單位實測或估測為 原則。例如 100 公分可被命名為 1 公尺，但公尺只 是一個標籤而已。
4.某量的測量單位制度概念
4-1「認識甲普遍單位量及乙普遍單位量的關係」： 此一階段是指兒童能把甲普遍單位量，例如長度中 的公分，和乙普遍單位量，例如長度中的毫尺，兩 者之間的關係，由實測活動中萃取出來，例如「認 識公分及毫尺的關係」。在 3-2 中，舉例來說，1 公 尺就是 100 公分，但是如 101 公分等與一公尺之間，
僅有大的比較關係；在此，如 101 公分也可以看成 1 公尺 1 公分等，本階段強調的是兩個或是兩個以 上的同類單位量的同時使用。
4-2「甲普遍單位量與乙普遍單位量的化聚」： 此一階段是指兒童能把甲普遍單位量，例如長度中 的公分，和乙普遍單位量，例如長度中的毫尺，兩 者之間的關係使用於實測活動中，乙解決量的分解 與合成問題。例如「公分及毫尺的化聚」。 5.某量的測量公式概念
5-1「透過對某平面圖形或立體的分析綜合，認識該平 面圖形或立體上某量的求法」：
此一階段是指兒童能將「切割一平面圖形或立體的 內部，例如矩形的內部，之後將切割的結果重組成 一個或數個已知普遍單位量的平面圖形或立體的內 部」，例如，每邊 1 公分的正方形內部，來求取此平 面圖形或立體上的某量，例如，「面積」的方法，或 將「分析－平面圖形或立體的邊界」，例如：矩形的 邊界，之後將分析的結果重組成一個或數個已知的 線段或平面圖形內部，例如長和寬，來求取此平面 圖形或立體上的某量，例如：周長的方法，由實測 活動中萃取出來。例如，「透過對矩形分析綜合，認 識矩形面積求法」。
5-2「用某平面圖形或立體上某量求法公式運用」： 此一階段是指兒童能把某平面圖形或立體上某量求 法，例如矩形面積的求法公式，使用於實測活動中，
以解決量的分解與合成問題。例如：「矩形面積求法 公式的運用」。
4.單位化聚
將用小單位描述的量，改用大單位來描述，這種運算 叫做『聚』。如 12345 公尺可以聚成 12 公里 345 公尺 或 12.345 公里，反之則叫做『化』。面積的化聚以平 方公里、公頃、公畝、平方公尺的相鄰單位化聚較多。
5.公式化的概念
只有面積與體積兩量有此層次，此層次的要點是用公 式來描述一個特定的幾何形體的體積和面積量，此層 次包括三個階段，以面積來說明如下：
（1）利用乘法簡化點算的過程（一個矩形被多少個小 正方形單位所覆蓋？
（2）將平行四邊形、三角形、梯形切割重組成矩形而 求算其面積（此處包含進一步將多邊形切割成幾
（3）個三角形，求算這些三角形面積，算出其和）。
（4）將（1）和（2）求算面積的過程中，以公式描述 並將這些公式整合成一個概念。（在此整合概念 中，梯形是一般形，三角形可視為是上底為 0 的 梯形，而矩形、平行四邊形可被視為上下底等長 的梯形，在這種看法下，上述各形的公式，其實 是互通的）。
（採自 臺灣省國民學校教師研習會,2001：7-10）
從上表的比較可以發現，九年一貫課程除了上述所言的具有「統整」
學科的教學特色外，尚重視學生數學上心理的表徵與發展，因此特別加 強解題策略的引導與說明。為了要讓教師了解學童能力的發展，順利達 成能力指標的規定，教師則需對學生學習的教材內容作精細的分析，所
以文本設計與教材編選自然而然就成為教師應有的基礎能力，且需對學 生學習的順序與步驟作適切的安排與配對，如此學生才能經由學習而具 備「帶得走的能力」，認知技能才能益形堅固。
伍、面積概念發展的研究取向
面積概念學習的內涵是擁有複雜性與關聯性的特徵，以往的學者大 多將面積概念學習的重點聚焦於「量與實測」此層面上。另外，對於大 多數的教師而言，他們在「量」的教學上也多偏重在「重量」與「長度」
的指導，對於「量的總類及其性質」、「量與量的關係」並不多（陳鉪逸，
1996），這對於學生數學概念的發展，實有偏頗且不完全之處。面積概念 的學習與生活經驗息息相關，關係最為密切，對於面積概念的學習要有 完整的架構，那麼數學上「量」、「形」與「數」內涵的整合，益形重要，
缺一不可。根據吳德邦等人（1997）的研究指出，學生若要對面積概念 產生良好的成就表現，教師就需要教授學生完善的面積課程，輔助其靈 活運用已經具備的幾何知識，並且積極地理解學生間的個別差異、作答 態度以及學習記憶的影響因素，培養學生幾何解題的能力，如此才能導 正學生學習面積概念的效用與意義。Clements（1992）也提及學習材料 的安排設計與教師的教學引導二者對於學生面積概念的發展，扮演著非 常重要的角色，教育者須重視這些條件與因素，如此才能協助學生獲得 連貫且有意義的面積知識，學生才能有效的運用於日常生活，解決情境 中面對的問題。另外，一些研究者（高敬文，1989；陳鉪逸，1996；趙 育敏，1996；譚寧君，1994，1998，1999； Battista & Clements,1996 ；
Fennema, Carpenter & Peterson,1989; Outhred & Mitchelmore,2000；
Swafford, Jones & Thornton,1997）也針對面積概念的研究，提出幾何 認知發展的建議與教學模式，他們大聲疾呼，希冀能藉由結合面積文本 設計和教學策略的發展，提升學生面積公式與幾何的知識和能力。
文本設計與教學策略的整合是面積概念教學未來的發展趨勢，也是 必要的手段。鑑此，研究者認為，若要提升學生在面積概念學習上的效 能與成就，教師的任務：
1.首先須對面積概念複雜的內涵加以理解與分析、妥當的篩選與嚴 密的組織不可。教師要連結面積概念學習歷程上有關「數」、「量」
與「形」的材料，配合學生能力的發展情形，做一適性且連貫的 文本設計。
2.需將有效的教學策略與步驟融入面積學習的課程，引導學生將面 積概念有關的知識做一「轉化」，即將學生數學「數」、「量」與
「形」知識的「理解」與「詮釋」之間做一溝通、整合，以利面 積概念的內化和類化。
基於面積概念文本設計與教學策略指導對於概念轉化的重要性，本 研究整合了學童在「數」、「量」與「形」能力層次發展的指標，安排了
「圖形視覺辨識與表徵」、「單位量方瓦排列覆蓋」、「面積圖形重構」「面 積公式連結與運用」等四項學習活動內涵，作為學生面積概念學習的架 構，並融入比對、測量、分割與組合的學習策略，結合面積概念理解教 學模式，以探討學生在面積概念上的表現，並將發現的結果提供教師作 為改善教學與設計優質課程的參考。
