第四章 研究結果的分析與討論
第一節 圖形與面積解題能力之分析比較
本研究首先根據實驗組與控制組學生在「圖形與面積解題成就測驗」
上所得的結果，進行單因子共變數分析，將教學實驗前所獲得的「圖形 與面積解題成就測驗（Ⅰ）」前測的成績視為共變量，經排除共變量的影 響後，考驗假設一，以探討教學實驗產生的效果及比較兩組之間的差異 情形；接著，依序比較兩組學生在「圖形辨識與表徵」、「相關要素測量」、
「圖形重構策略」、「公式理解與運用」等分測驗反應的差異情形；最後，
根據結果分析進行討論。
有關統計資料分析結果，敘述如下：
壹、接受不同文本教學處理後，實驗組與控制組學生在「圖形與面 積解題成就測驗（Ⅱ）」上的整體表現之比較
為了解文本教學實驗處理的效果，首先根據學生在「圖形與面積解 題成就測驗（Ⅱ）」的表現所獲得的平均數與標準差（如表 23 所示），進 行組內迴歸係數同質性假設的考驗，隨即依照學生在解題成就測驗上整 體表現進行單因子單變量共變數分析考驗，其結果列如表 24 與表 25。
表 23、實驗組與控制組學生在「圖形與面積解題成就測驗」
各分測驗及總測驗前、後、延宕測得分之平均數與標準差
項目 測驗 圖形辨識
與表徵 相關要素
測量 面積圖形
重構 公式理解
與運用 題測驗（總分）圖形與面積解
前 M
測 SD 18.18
5.70 9.53
2.65 2.82
2.14 11.00
6.10 41.53 12.33
後 M
測 SD 29.15
3.07 13.15
2.23 6.88
2.46 18.53
6.34 67.71 10.87 實
驗
組 延 M
宕 SD 測
25.00
4.24 11.59
1.96 8.74
3.04 20.28
5.05 65.50 11.25
前 M
測 SD 17.25
5.79 9.00
3.17 2.09
1.49 11.00
6.54 41.38 13.21
後 M
測 SD 27.94
4.30 11.00
3.80 3.00
2.29 15.53
7.57 57.47 13.20 控
制
組 延 M
宕 SD 測
21.50
4.75 10.69
2.86 5.94
2.59 16.94
5.32 55.06 11.65
註：實驗組 N＝34 人，控制組 N＝32 人
表 24 「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」整體測驗同質性假設考驗 組別 M（後測） SD Levene 檢定 F 值 顯著性 實驗組（概念轉化）
控制組（一般文本）
67.71 57.47
10.87 13.93
4.62 .035＊
＊ P＜.05
表 25 實驗組與控制組學生在「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」上 得分之共變數分析摘要表
變異來源 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
組間（組別） 1 1693.44 19.73 .000＊＊＊
組內（誤差） 63 85.83
總和 64 1779.27
R2＝.536（調整後的 R2＝.521）
＊＊＊ P＜.001
（一）結果分析
由表 24 得知：Levene 統計量達到顯著，表示這兩組樣本的離散情
形具有明顯差別，需加以調整才能進行統計考驗，經調整後進行共變數 分析，由表 25 統計資料分析結果發現，迴歸模式之變異數分析，受試者 間效應的檢定值可知以全模式去預測依變項達顯著，調整過後的 R2
＝.521（F＝36.32，P＜.001）顯示模式具有解釋力。組間效果的考驗達 到顯著水準（F（1,63）＝19.73，P＜.001），表示不同的文本教學處理會影 響學生在「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」上的表現，而接受面積「概 念轉化文本」教學的實驗組學生較接受「一般文本」教學的控制組學生 在「面積解題成就測驗」的表現上較佳。因此，本研究假設 1-1 獲得支 持。
（二）討論
（1）接受「面積概念轉化文本」教學之實驗組學生在「圖形與 面積解題成就測驗」整體測驗上的表現，顯著的較參與「一 般文本」教學的控制組學生成績為佳。
（2）究其原因，在於本研究設計的「面積概念轉化文本」教學 除依據 Van Hiele（1986）所提出幾何概念發展層次觀點 加 以 應 用 外 ， 文 本 內 涵 的 安 排 尚 配 合 Outhred 和 Mitchelmore（2000）的公式轉化階段模式所提出面積概念 學習成功的建議－即在面積概念學習的歷程中提供空間結 構的排列，當成學習目標，進而將面積相關的線性測量活 動和乘法的概念相連結，而轉化至面積公式意義的理解與 運用。因此，接受「面積概念轉化文本」教學之實驗組學 生在「圖形與面積解題成就測驗」整體測驗上的表現，較
控制組學生為佳。
貳、接受不同文本教學處理後，實驗組與控制組學生在「圖形與面 積解題成就測驗」分測驗上表現之比較
根據本研究的設計，「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」的內涵分成
「圖形辨識與表徵」、「相關要素測量」、「圖形重構」、「公式理解與運用」
等四項分測驗能力，各項分測驗所得之平均數及標準差之統計結果如表 23 所示，從表中可知經過教學實驗後，兩組學生在各分測驗上的得分皆 有進步，從誤差變異量 Levene 檢定的資料得知（表 26 所示）：
表 26 「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」分測驗同質性假設考驗 分測驗名稱 組別 M SD Levene 檢定 F 值 顯著性 圖形辨識與
表徵
實驗組 控制組
29.15 27.94
3.07 4.30
2.62 .112
面 積 相 關 要素測量
實驗組 控制組
13.15 11.00
2.23 3.80
8.12 .006＊ 面 積 圖 形
重構
實驗組 控制組
6.88 3.00
2.46 2.29
0.03 .805
面積公式理 解與運用
實驗組 控制組
18.53 15.53
6.34 7.57
3.23 .077
＊ P＜.05
除了「面積相關要素測量測驗」之統計量達到顯著（F（1,63）＝8.12，
P＜.05）外，「圖形辨識與表徵測驗」之統計量（F（1,63）＝2.62，P＞.05）、
「面積圖形重構測驗」之統計量（F（1,63）＝.03，P＞.05）、「面積公式理 解與運用」之統計量（F（1,63）＝3.23，P＞.05）均未達顯著。因此「面積 相關要素測量」分測驗需進行平均數調整，餘三個分測驗可直接進行單 變量共變數統計分析。
透過統計資料，將前測共變量的影響力排除後，分析接受不同文本 教學實驗處理之學生在圖形與面積解題各分測驗能力表現之單變量共變 數，其結果說明如下：
一、實驗組與控制組學生在「圖形辨識與表徵」分測驗表現之比較
（一）結果分析
由表 27 得知：排除前測影響力後，單變量共變數之組間效果的考驗 並未達顯著水準（F（1,63）＝1.29，P＞.05），表示不同的文本教學處理對 學生在「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」之「圖形辨識與表徵」分測驗 表現的影響，並不顯著；亦即接受面積「概念轉化文本」教學的實驗組 學生與接受「一般文本」教學的控制組學生在「圖形辨識與表徵」的表 現上並無差異存在。因此，本研究之假設 1-2 未獲支持。
表 27 實驗組與控制組學生在「圖形辨識與表徵」分測驗表現 之共變數分析摘要表
變異來源 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
組間（組別） 1 13.11 1.29 .26 組內（誤差） 63 10.14
總和 64 23.25.
（二）討論
（1）接受「面積概念轉化文本」教學之實驗組學生在「圖形辨 識與表徵」分測驗上的表現，與接受「一般文本」教學的 控制組學生成績相較，並無顯著差異存在。
（2）究其原因，在於圖形的辨識與表徵活動學生需經歷感覺、
知覺與辨識三個階段（Payne & Wenger,1998），並將環境
中的刺激轉化為神經反應，進而在腦中形成外部信息的代 碼（code），接著從完整的感覺形象或圖形中提取不同的特 徵和要素，並發現其關聯，並對知覺的事件予以分類或賦 予意義。由於本研究設計的「面積概念轉化文本」與「一 般文本」皆視「圖形辨識與表徵」活動為面積概念學習的 基礎，因此將之納入課程內涵與教學重點中，兩組學生在 此方面皆能獲得基本的知識與技能，因此無顯著差異存 在。另一方面，「圖形辨識與表徵」對於實驗組學生與控制 組學生幾何概念層次的發展，大致上屬於 Van Hiele（1987）
理論的第一階段「視覺期」與第二階段「分析期」的層次，
要學好此階段相關活動內涵的概念與技巧，對五年級學生 而言並不困難，因此兩組學生在此分測驗的表現上，平均 分數並無差異（實驗組 29.15，控制組 27.94），且均達精 熟層次（分測驗總分為 30 分），所以，兩組學生的表現，
並無差異存在。
二、實驗組與控制組學生在「面積相關要素測量」分測驗表現之比較
（一）結果分析
由表 28 得知：排除前測影響力後，單變量共變數之組間效果的考驗 達到顯著水準（F（1,63）＝7.23，P＜.01），表示不同的文本教學處理會影 響學生在「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」之「面積相關要素測量」分 測驗的表現，亦即接受面積「概念轉化文本」教學的實驗組學生較接受
「一般文本」教學的控制學生在「面積相關要素測量」的表現為佳，因
此，本研究之假設 1-3 獲得支持。
表 28 實驗組與控制組學生在「面積相關要素測量」分測驗表現 之共變數分析摘要表
變異來源 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
組間（組別） 1 66.08 7.23 .009＊＊
組內（誤差） 63 9.14
總和 64 75.22
＊＊ P＜.01
（二）討論
（1）接受「面積概念轉化文本」教學之實驗組學生在「面積相 關要素測量」分測驗上的表現，顯著的較接受「一般文本」
教學的控制組學生成績為佳。
（2）究其原因，在於本研究設計之「面積概念轉化文本」教學 具有 Outhred 和 Mitchelmore（2000）所提出面積概念學 習成功的重要建議：將空間結構的排列作為公式習得的中 間媒介，並將線性測量的知識和技巧視為是面積概念轉化 的基礎作業，並透過方瓦排列覆蓋將空間結構和乘法概念 連結，進而推論公式而解決問題。這些要點是本研究「面 積概念轉化文本」學習內涵所強調的，較「一般文本」教 學更加重視，因此經學習後，實驗組學生在「相關要素測 量」分測驗的表現，就較控制組為佳。
三、實驗組與控制組學生在「圖形重構策略」分測驗表現之比較
（一）結果分析
由表 29 得知：排除前測之影響力後，單變量共變數之組間效果的考 驗達到顯著水準（F（1,63）＝42.91，P＜.001），表示不同的文本教學處理 會影響學生在「圖形與面積解題成就測驗（Ⅱ）」之「面積圖形重構」分 測驗的表現，亦即接受面積「概念轉化文本」教學的實驗組學生較接受
「一般文本」教學的控制組學生在「面積圖形重構」的表現上為佳，因 此，本研究之假設 1-4 獲得支持。
表 29 實驗組與控制組學生在「面積圖形重構」分測驗表現 之共變數分析摘要表
變異來源 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
組間（組別） 1 189.44 42.91 .000＊＊＊
組內（誤差） 63 4.40
總和 64 193.84
＊＊＊ P＜.001
（二）討論
（1）接受「面積概念轉化文本」教學之實驗組學生在「面積圖 形重構」分測驗上的表現，顯著的較接受「一般文本」教 學的控制組學生成績為佳。
（2）究其原因，在於實驗組學生經由本研究設計之「面積概念 轉化文本」教學後，產生與 Kordaki（2003）利用電腦軟 體研究學生「等積異形」概念發現的結果一致，因為實驗 組學生經過教學歷程中圖形之分割移補技巧的教導與練習 後，具備了可逆性和轉化與概念保留間的關係，進而理解 面積測量概念與乘法結構間的關聯。所以，實驗組學生在