經由前述面積概念發展有關的研究內涵看來，面積教學的主要目的 是透過學生對矩形具體物件的覆蓋操弄及測量，經由圖形空間中長與寬 的結構關係，瞭解矩形面積公式的意義，再推論至其他圖形面積公式的 形成。從物體視覺化要素之抽離（初始狀態）至圖像結構關係內化的轉 變（目標狀態），整個歷程可謂是面積概念理解與轉化的活動，這種理解 與轉化認知機制的啟動與發展、面積概念的習得與類化，皆需靠教師之 教學引導與提示不可，所以，教學活動的設計對於面積概念轉化學習的 影響頗巨，其重要性亦不容忽視。為了明瞭學生面積概念轉化的歷程，
並尋求合適之教學模式，以增進學生面積概念，本節藉由幾個步驟的分 析分別進行，首先探索「概念」的定義與本質，其次探討與面積概念教
學有關的數學理解動態理論之發展與特徵，再者探討面積概念轉化教學 的歷程模式，最後提出本節綜要與啟示。
壹、概念的定義與本質
一、概念的定義
從認知心理學的角度來看，「概念」是個人知識體系的基本單位，透 過「概念」，我們得以將外在事物抽象化，而概念的發展與轉化，更是個 人認知結構建立之途徑。
因為「概念」是個人知識體系的最小單位，且與個人認知結構的建 立以及學習歷程有密切的關聯性，因此近年來許多學者致力於「概念」
的研究，企圖藉由概念的了解能有助於個人的發展。Gunter (1990)表示
「概念」是將觀察的資料予以分類後，所得到的抽象敘述或觀念，而概 念 的 形 成 與 命 名 ， 則 是 一 種 意 義 的 賦 予 。 Merrill,Tennyson 和 Posey(1992)則認為，「概念」是一組以共通的特性為基礎而聚集在一起 的明確物體、符號或事件，其有一特定的名稱。Kiel(1989)指出，「概念」
的建構在本質上是事物的相關性分類，如果在不了解概念間是如何產生 相關的情形下要去了解一個概念，是不可能的。因此，「概念」是對一組 具體的事物或是觀念想法的共通性分析，其強調不同事物間的相關性與 相異性之比較。
彭聃齡與張必隱（2000）指出，「概念」是具有共同屬性的一類事物 的心理表徵。在認知心理學中，概念是用事物的屬性，即可辨認的各種 基本性質與特徵，與將屬性聯繫在一起的規則來定義的。屬性不同，構
成不同的概念，屬性相同但規則不同，所形成的概念亦不相同。所以，
在概念的陳述中，如果可以藉由具體範例的說明，除了有助於對概念的 了解外，更能透過對概念範例的辨識來強化概念的理解和轉化。
綜上所述，可以發現所謂「概念」係指對一組事物、想法或是觀念，
依據其屬性的相異或是相同點予以分類，並且以能被社會大眾接受的用 字遣詞來定義概念。面積概念公式化的學習，就是將圖形共通的屬性利 用象徵性的符碼或是數學符號予以呈現的一套法則，這套法則是由學習 者根據圖形的關係建構發展出來的，它是具有共通性與共構性，每個個 體皆能運用其解決圖形面積的問題。
二、概念的本質
個 人 對 概 念 的 轉 化 ， 可 以 作 為 其 進 一 步 思 考 探 討 的 基 礎 。 Klausmeier(1985)就指出，概念是我們在進行思考時所使用的心智工 具 ， 要 瞭 解 原 理 原 則 或 是 解 決 問 題 就 必 須 先 對 概 念 有 所 認 識 。 Arends(1989)則認為「概念」是「思考」的基本條件，特別是高層次的 思考。此外，「概念」亦可以讓個人進行：1.目標與觀點的分類；2.導引 原理原則，提供引導思考的概念網絡的基礎。綜合兩位學者所言，所謂
「概念」具有下列本質：
（一）概念是個體的心智建構：概念是個人對一個或更多實體－
可能是物體、事件、想法或是過程予以組織後所形成的訊 息。透過概念可以使個人辨識不同實體間的差異性並且將 其與其它概念產生關聯。
（二）概念是有定義與名稱，且是社會所認可的，也因此，「概念」
可以是個體間相互溝通的基礎。
（三）概念有重要屬性與非重要屬性。
（四）概念本身是可以分類的，瞭解概念的不同類別是重要的，
因為不同型式的概念需有不同的教學策略。
（五）概念可以透過正例和反例來學習的。
從「概念」本身呈現出來的特性可知，學生若要建構圖形與面積的 概念，需對其屬性進行辨識、組織、轉化，產生關聯，也就是需將圖形 與面積公式相關的要素如邊長、高、底及所圍成的空間範圍之間的關係 作一重構，才能獲得面積公式的「概念」與其意義。對於兒童面積概念 發展的理解，可以幫助我們了解他們對於幾何認知成熟的層次，進而安 排良好的學習活動，設計合適的文本材料，形成最大的反應機會區，提 供兒童最佳的學習機會。
貳、數學概念理解動態理論
一、理論基礎
Freudenthal（1983）從教育的現象學著手，強調「幾何情境的掌握」， 這種幾何的情境是指個人根據其需要所創造出的不同結構，而結構是由 點及相連結的線段所構成的圖。Freudenthal 主張結構是根據個人的需 要而來，因而結構間只有豐富與貧乏的差別，沒有孰先孰後的劃分，強 調的是結構間轉化能力的培養，幾何概念的獲得必須要透過行動才能產 生，在這個過程中，「心像」則扮演了非常重要的角色。認知科學也主張 人們有「心理程序」（mental process）作用在心理表徵以產生思想及行
動，不同的心理表徵，像是法則及概念，就會孕育出不同的心理程序，
產生不同的解題行為。
圖形與面積的解題，一如其它數學解題的歷程，需要學生針對新奇 的題目，運用本身具備的知識、技巧和策略才能有所成就，它是一種「轉 化」的形式（form），這種轉化的形式是個體與作業之間交互作用產生的 調適現象，影響的因素繁雜瑣碎，因此，要順利地達到「轉化」這種效 果，不少的學者認為是有點困難（Bransford & Schwartz, 1999; Mayer, Quilici, & Moreno, 1999）。在教室裡，學生可以從教科書、教師或同 儕處習得數學課程的知識，但卻無法彈性的將之運用到新的情境上
（Brown, Campione, Webber, & Mcgilly, 1992）。為了要提昇小學生數 學解題轉化的能力，Fuchs 等人設計了一套明確的教學處理程序，嘗試 協助學生增加連結新奇與熟悉情境解題的認知，這套程序包括了提供（1）
擴展學生需用相同解題方法進行分類的解題活動（例如提升至較高層次 的抽離）；（2）明確的暗示學生探索與這些廣泛類型有關的新奇問題
（Fuchs, Fuchs, Prentice, Burch, Hamlett, Owen, Hosp, & Jencek, 2003）。
Cooper 和 Sweller（1987）提出了解題轉化需要三個變項的觀點。
在首要的變項上，他們認為學生在解題的歷程中必須（1）熟悉解題的規 則，（2）將需要相同解題方法的數學問題進行分類，（3）明瞭新問題與 先前已經化解的問題之間的關係。當學生熟悉了解題的規則，他們將會 安放較少的工作記憶在解題的細節上，進而能夠盡力地將認知資源安排 在新問題與熟悉問題連結的辨識上，計畫如何進行作業。Cooper 和
Sweller 提出的第二個變項，則建議「基模」在轉化的歷程上，要扮演 一個非常重要的角色。Gick 和 Holyoak（1983）將「基模」定義為：個 體將需要相同解題方式的問題予以區分歸類，對於兩個或更多問題的一 種概括性的敘述。基模越廣泛，則對於新奇與熟悉問題間連結的辨識之 可能性就越高，轉化就越有可能發生。第三個有關轉化的是「化約變項」， 它是指觸發訓練和轉化作業之間的認知。相關的研究指出，當參與者能 夠經由作業探索相似的線索時，那麼將會增加作業的表現（Keane, 1989;
Ross, 1989）。如何讓認知能力能夠橫越新奇與熟悉作業的連結，是轉化 歷程重要的因素，當然，若要達到轉化，必須要藉由外在的機制才能超 越這些線索所提供的資訊，因此，學生仍需獨立積極的探索新奇與熟悉 的作業之間是如何連結的議題。
Salomon 和 Perkins（1989）針對如何去擴展基模和獨立探索新奇與 熟悉作業之間了解的連結，而無須外在線索支援的一項架構，他們在轉 化的歷程間區別了兩種形式：
（一） 「低層次的轉化」（low-road transfer），這必須藉由外 在、不同的練習才能完成。它發生後，可以作為在新的情 境自動引發已經學習過的或可控制的刺激而產生行為這 樣的功能。
（二） 「高層次轉化」（high-road transfer），相較之下，圖形 與面積的解題則屬於「高層次的轉化」，它包含了法則精 細的抽離，可以運用在不同的情境或是作業上，「高層次 的轉化」需要個體去形成或探索這些在轉化和熟悉的作業
之間連結的抽離，這種轉化的檢驗是種「自覺的抽離」
（mindful abstraction）。
所謂抽離法則，是在不同的法則範例中辨認出一種基本的特質
（quality）或是型態（pattern），在形成抽離的歷程中，個體需要刪減、
排除不同範例中與需要抽離範疇無關的細節，這些抽離為了避免特殊的 情境的限制，所以是以抽象的形式表徵出來，因此可以運用到不同的範 例或是橫跨不同的狀態。因為抽離，或是基模這種機制，包含了相關的 個案、範例，所以可以提升轉化。Salomon 和 Perkins（1989）接著描述 兩種「高層次轉化」的形式，一種稱為「前進式」（forward-reaching）
的「高層次轉化」，這種轉化是在最初的學習情境下產生的，當學習者參 與最初的學習作業時，會進一步思考在何種情境下可以運用此種抽離；
相對的，另一種形式稱為「倒退式」（backward-reaching）的「高層次 轉化」，這種抽離是發生在轉化的情境中，學習者回頭思索先前的作業進 而探求有關的連結和抽離。這兩種形式的「高層次轉化」皆可以針對轉 化的明確性提供理論的基礎，他們主張這種轉化可以幫助學生：
（1）預期在新奇的學習作業中要如何進行抽離才能促進成功的機 會。
（2）針對相關的抽離建構獨立的探索，能運用不同的作業呈現一 種未學習過的機會，明確地教導學生轉化。
為了達成這樣的目的，首先，在「前進式」轉化方面，當學生學習 抽離物體表面特徵是如何改變而無須改變問題結構或是解題方式，他們 必須要預期哪些抽離能夠協助其解決新奇的問題。其次，在「倒退式」