面積概念的學習除了受到上節所論述的圖形知覺辨識、表徵等基礎 能力的發展影響之外，尚且包含了圖形要素的抽離、測量概念、空間與 乘法結構關係、以及抽象符號組織等綜合邏輯思考的問題解決能力。關 於學童面積概念解題能力發展的研究，不少學者針對其研究的取向與興 趣，提供了諸多的理論主張，對於學生面積解題表現的探討，激發了不 少重要的啟示。本節茲將這些學者針對面積解題能力發展研究相關的主 張要點，歸類為：1.面積空間要素抽離理論；2.單位量排列能力理論與 3.面積覆蓋策略發展理論等三個部分加以論述，以比較其對面積概念發 展的主張，作為本研究形成文本設計架構的參考，最後則對三個理論的
見解提出綜要與評析。
壹、面積空間要素抽離理論
圖形要素特徵的抽離是學習面積概念的前置作業，因此，教師應安 排顯著的圖形要素讓學生從操弄的過程中，經由比對、分析與辨識而了 解各種圖形形狀的要素與特徵，才能將面積公式的概念從具體的層次類 化到具有更複雜關係的面積公式學習問題上。由前節圖形辨識與表徵理 論的分析可以理解，面積概念的發展是先經由視覺化的過程，抽取圖形 有關的要素，經過比對、轉換、組織與連結之後，才能明瞭要素與其之 間的關係，進而明瞭面積空間結構與代數的意義。因此，面積圖形要素 的抽離是學習面積概念最基本的作業。有關空間要素抽離理論此學說的 代 表 人 物 可 以 Piaget,Inhelder （ 1967 ） 及 Clements,Swaminathan,Hannibal 與 Sarama（1999）的理論為主，以下 分別予以闡述：
一、Piaget 和 Inhelder 之要素抽離主張
Piaget 宣稱：形狀的抽離是依賴於一種提出物件之間關係的活動歷 程，這種關係則植基於孩童的行動，並逐步組合而成。此理論主張空間 要素的結構化是針對物件或是一組物件的組織體或形式加以建構而產生 的心智運作，這種心智運作歷程的基礎，強調學生要以計算或點數的方 式處理空間情境要素的問題。面積概念的形成模式，是一種從視覺操弄 進展到代數模式的學習理論，因此，從圖形特徵的辨識，經由正方形單 位量覆蓋的操弄作為矩形面積長寬要素的抽離，以及計算出其所需的單
位量數目，是瞭解兒童面積要素結構化發展的良好活動(Battista &
Clements,1996)。要瞭解物體的結構化，則需藉由物體空間要素的辨識，
將之抽離轉化後與複合體組合，並且建立起內在的關係，才能決定出結 構的形狀及特徵，並推演出代數的模式。當一個議題或行動的要素能夠 完全地被抽離，必須經歷以下幾個不同的層次運作：
（一）能區隔出不同流動的經驗並將相似的要素瞭解其為一個單元
（視覺化）。
（二）轉化並將物件的要素或單元儲存於大腦的工作記憶裡，即使 當此議題或行動消失了，依然可以從腦海中重複的出現及進 行操作（表徵化）。
（三）釐清此議題或行動的基本感官內容與其間的關係，整理出清 晰可以轉化的要素，並予以交互組合，運用於新奇的情境 (Steffe & Cobb,1988; Van Glasersfeld,1995)。亦即可以 統整先前抽離及結構化所形成的新結構，並做為未來行動的 內容（轉化與類化）。
二、Clements, Swaminathan,Hannibal 與 Sarama 的抽離層次主張 Clements 等人（1999）的研究歸納出學生的空間視覺要素抽離能力 的發展可以分為以下兩種層次：
（1） 層次 0：視覺特徵（visual level）
這個層次的兒童只可以注意到某些特殊圖形的視覺特徵，而不能區 辨很多一般的圖形特徵的關係。
（2） 層次 1：整體融合(syncretic level)
這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習詞彙，即辨認 或再造出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成 要素來分析。
綜上所述，可知 Piaget 和 Clements 等人的理論皆提出空間要素的 抽離具有不同的層次，且層次等級不同，但總體來看，空間要素的抽離 歷程是必需從圖形部分的特徵辨識開始，經由要素的區分與組合，進而 理解要素整體的關係才能形成面積的結構概念。由於面積的內涵結構包 含了「數」、「量」與「形」等數學範疇交織而成，因此要素抽離的作業 將益形地複雜與變化。茲分述如下：
（一）在「形」方面，面積指的是對某一特定區域的覆蓋形狀，這 個區域是封閉的，如此才可以辨識出覆蓋面的特徵。要從形 狀進入面積概念的轉換，圖形有關的要素抽離就得包含邊、
角、頂點、對稱、平行與垂直等特徵，學生進而才能理解面 積有關的高、底邊、對應等概念。隨著認知的發展，學生能 將圖形特徵加以比對、儲存，甚至可伴隨普遍的單位量進行 實測及估測能力的發展，進行「量」的要素抽離及各量間的 轉換。
（二）因為面積是圖形被覆蓋的程度，經由視覺可判斷出大小，因 此具有可測量的要素存在，有關面積「量」的要素方面，學 童要進行抽離的概念，包含了長度測量、角度測量與單位量 的覆蓋排列，經由要素的抽離後，學童不僅可以培養量的概 念，尚且能夠了解面積與空間結構的關係。另外，經由量與
量之間的轉換，學童可以發現幾何圖形「等積異形」共構的 特徵，進而推論形成「代數」的模式來解決面積的問題。這 種轉換之間要素的抽離則包含圖形位置的移動、方向的轉 動、形狀的改變或切割等不影響原有圖形大小的技巧與策略 的運用。
（三）「公式」是面積概念學習的目標，因此有關「數」要素的抽 離則包含了一些規則像是遞增、遞減、遞移律、交換律與加 法倍數的關係，經由這些關係的理解，學生才能理解圖形結 構與「數」之間的意義。所以，從面積教學「數」要素抽離 的歷程來說，經由矩形面積的覆蓋活動中進行學習，對於瞭 解正方形單位量的性質、大小和矩形的維度關係，以及長度 測量關係的辨識，釐清乘法運用所代表的角色，是非常重要 的。
但是學童對於面積概念相關要素的抽離並非一蹴可幾、渾然天成 的，這些能力尚需透過合適的情境設計及教學引導，才容易讓學童對面 積有關的要素進行有效的抽離。
三、面積概念學習的主張
由上述圖形要素抽離的理論可以瞭解，面積概念結構要素的抽離，
實仍需經過「視覺化」、「表徵化」、「轉化」與「類化」等認知的過程，
才能確認面積概念是否習得。研究者認為面積概念學習的文本與策略的 設計除了優先考量面積圖形特徵的「辨識」外，尚可配合「比對」、「類 比推論」及「關係轉換」等機制，進行各種抽離能力更細緻的發展，如
圖 5 所示：
圖 5 面積概念要素的抽離歷程
（一）「比對」是圖形辨識之外最基本的方式，透過比對，學童可以 經由特徵的相似性，抽離出相同類疇圖形的特徵以及重要的因 子而加以表徵，在腦中形成有意義的符碼，以便於資訊的儲存 和提取。例如學童看到有四個邊、四個角的封閉圖形，可以馬 上知曉是個四邊形，且與三角形進行區隔。
（二）「類比推論」可以透過學習經驗的擴展，將一圖形物件的要素 轉移至另外的物件上，形成相同的結構概念。舉例來說，正方 形是菱形也是矩形的一種，因為正方形有四個等長的邊，所以 屬於菱形；另外，它又有四個直角，因此也是矩形。
（三）「關係轉換」則指學生經由上述能力發展後，對於圖形的概念 能夠保留，而進行物件之間關係的組合。例如，正方形可以分 為兩個三角形，正方形的面積為邊長×邊長，因為三角形的面
類化 (關係的轉換)
轉化 (類比推論)
表徵化 (比對)
視覺化 (辨識)
積為正方形一半，因此其面積就可由邊長×邊長÷2 得到。
Del Grande（1987）的觀點可支持上述抽離機制的作用，他的研究 發現，兒童在早期是透過視覺、聽覺、觸覺與移動方式之活動經驗來探 索它們的思考，這種對空間的知覺是很直覺的。空間的知覺是指兒童能 認知及辨別在空間之中或從空間得到刺激的能力，並且會透過它們以前 相關的經驗去解釋這些現象（林碧珍，1992），這與辨識、比對、類比推 論與關係轉換的作用是一致的。空間要素抽離理論是以圖形「形」的特 徵辨識作為學習的基礎，經由視覺化、表徵化、轉化與類化等認知機制 的歷程，最後可以理解到面積的概念，此理論的觀點有其優點存在的，
亦即面積概念的習得可以透過圖形物件之操弄，將有關的要素予以抽 離、整合，最後能達到公式結構的形成。這種由具體到抽象、部分到整 體的歷程，頗合乎學童認知發展的順序，可作為概念文本設計的基礎。
貳、空間單位量排列能力發展理論
對於面積概念的發展除了上述空間要素抽離的主張外，另有學者採 取測量的觀點來闡述面積概念的發展，他們認為面積是由許多部份的小 單位量組合，透過完全的排列覆蓋就能得知面積的大小。Battista 和 Clements（1996）等人就持著此種論點，茲概述其觀點如下：
一、Battista 和 Clements 的排列能力發展層次觀
空間單位量排列能力的發展，指的是學生透過視覺和移動的方式來 探索面積概念的建構活動，Battista 和 Clements（1996）從學生以正方 形排列建構二維度面積的活動中，發現排列的過程必須遵循著三個認知 能力發展的複雜層次：
層次一：學生排列的建構先從單維度的層次來做思考，他們會依循 這些層次，沿著它做旅遊，但並不瞭解其周遭的其它關係，
宛如在地道中摸索前進一般。
層次二：當學生能夠步出地道，且不再注意這些層次時，他們能將 單維度的層次作連續的組織，採取不理會或消除這些層次 所包含的要素，而嘗試去探索適配二維度空間的要素。這 個省思性的消解歷程需要學生將其創造性層次的改變抽離 化，如此，他們才能思考、安排，以及在二維度空間有關 的架構內，連結這些動作。
層次三 A：此層次的轉化需要學生將排列概念化，藉著將行、列二維 度的要素複製而將矩形填滿。很明顯的，這個轉化似乎有 派典轉移的特徵，需要學生放棄思考排列時部分的重點，
轉而支持行或列整體排列所創造、連結所形成的架構。
層次三 B：此層次的轉化是將行或列當成結構的要素，它是歷程中複 雜結構化約縮減後可重複測量使用的單位。其功能好比是 象徵性的指標一般，這些小正方形單位量不需要在行或列 中另外的重複呈現，就能指出行或列間構成的成分(Van Glasersfeld,1995)。事實上，它具有這樣的功能指示的運 用：當需要採取多元複雜的基模時，可以將這種成分要素，
分配到其它的因素之中。
層次三 C：在此層次上，是以「行×列」所建構的行動，因此就無須 再以知覺性的材料做為測量的基礎，但學生需要將行、列