面積文本設計的目的在於安排合適之學習內容材料、結合概念轉化 的教學，激發學生學習動機，幫助學生透過辨識、比對的活動，抽離出
圖形結構之要素，經由記憶的作用，內化形成表徵，並能利用圖形操弄，
提取線索以進行測量與運用重構的策略，將乘法關係與空間結構連結，
最終形成有意義的公式概念。如前節所述，面積概念學習的重要因素反 映在個體的文本活動、教學引導以及其進行活動後產生的結果。亦即針 對轉化既得的知識與技巧最重要的學習歷程，就在於面積概念基模的建 構與自動化。學生的活動可以提供他們經驗的紀錄，可以使其能夠反思，
並能抽離出活動的規則，這些抽離出的規則就是創新與形塑概念的基 礎。本節內容的安排說明，首先提出本節重點的闡述，即文本設計內涵 與教學活動引導之融合，以作為本研究實驗設計、研究假設與資料分析 的基礎依據。其次，從認知心理學的觀點探討圖像材料的比對與概念的 建構間的關係，作為面積概念學習的基模。再者，依據面積概念的內涵 架構，整合數、量與形等數學概念範疇，融合監控、解題等必要之策略，
結合成一有系統、有意義的方案設計。研究者將此面積概念文本設計的 內容，分為「視覺比對與表徵」、「面積線性測量」、「圖形重構」與「公 式理解與運用」四個子內涵加以分析說明，最後，則梗概敘述本研究中 概念轉化文本設計的重要特徵與教學歷程模式的關係。
壹、文本設計內涵與教學活動引導之融合
經由面積內涵架構、視覺表徵理論、面積解題能力發展理論的文獻 探討，以及影響學童面積概念發展相關研究資料的分析後，研究者針對 面積概念發展的特點，配合學生幾何認知發展的層次，提出面積的教學 模式和概念轉化文本設計融合的模式，以作為本研究所欲探討問題的核
心架構。本節將上述文獻資料與本研究面積概念發展有關的學習內涵與 教學歷程兩部分，予以統整歸納，提供本研究實驗設計與變項分析的參 考。
一、面積文本設計的內涵
從面積概念的內涵架構所包含的學習範疇，如表 7 所示，可以理解 面積概念學習的歷程統攝了「形」、「量」與「數」等複雜的數學概念，
它們彼此之間連結形成面積概念發展的複合實體，這個複合實體所包含 之能力，絕非先前一些研究者所著重的「量與實測」單層面的發展內容 而已，尚且包含複雜、多元的能力表現。要讓學童面積概念能夠完善的 發展，視覺辨識與表徵、面積保留概念、幾何空間推理能力、線性測量 能力與技巧、問題解決的能力與策略、以及代數等學習材料是不可偏廢 的。針對此項考量，本研究融合了「圖形視覺比對與表徵」、「面積相關 要素測量」、「面積圖形重構」與「公式形成與運用」等四項內涵，構成 一螺旋式的學習材料，它主要是將現行教科書依圖形特徵分段編排、分 段教學的方式予以打破，而重新配合 Battista 與 Outhred（2000）的理 論依據、認知心理學說的主張，以及上節發展之面積概念轉化教學模式，
結合了平行四邊形、三角形與梯形面積公式的課程、學童認知發展階段 的觀點，與教師教學策略的引導為一學習主題，以別於一般教科書所設 計的「階段式」課程，只強調教材結構的論點，期待在「統整」的課程 架構下，讓學生對面積公式概念的學習更易轉化。
表 7 國小五年級學童面積概念發展學習材料之內涵
項目 學 習 內 涵
數與量 整數倍數，理解乘法意義，刻度尺測量，直接比較、間接比較，實測 與估測，個別單位和常用單位的運用，理解矩形公式，運用切割重組 策略；
幾何 辨識與分類圖形，描繪仿製，認識角、線與平面，認識水平垂直概念，
認識周長與圖形內部、操作切割重組，理解對稱關係，利用性質區分 描述平面圖形、解決幾何問題；
代數 認識加乘法之交換、結合與分配律，以未知數表達問題，利用未知數 列出等式，說明型態規則，記錄公式，理解數量關係，柱體體積公式。
二、面積解題教學的活動
面積概念解題教學所需之基礎能力，如表 8 所示。圖形空間要素的 抽離、單位量排列與覆蓋策略對於面積概念的形成與獲得影響重大。除 此之外，要解決幾何與測量的問題與作業，學生尚須具備空間推理、平 面圖形轉換的探索能力、改變測量的習慣單位成公制單位與估算的技 巧、操弄和會使用測量的策略，這些能力都是學生在面積解題過程中必 須要學習與完備的，如此才能成功的習得面積的概念。
同樣的，對於這些能力的發展而言，學生的表現層次並不一致，個 體之間也呈現出顯著的差異性，要提升學生的知識概念，最佳的方式是 教師應積極的參與學生實作、操弄的活動中，與學生一起互動，明瞭學 生認知能力發展的層次，設計有意義的幾何學習素材，鼓勵學生勇於嘗 試，導引合適的解題策略與技巧，例如描述思考的步驟、認識型態與規 則、發現不同的解題方法與層次、辨認其它各種可能的答案，以及與同 儕一起進行比較、推理和利用描繪的方式以釐清數學關係等技巧的引 導，讓教室成為「學生最大反應機會區」（陳嘉皇，2003b），協助學生將 所學之知識與理論類化到生活情境，解決實際問題。
表 8 面積概念教學所需之基礎能力一覽表
基礎能力 說 明
辨識、比較 能利用視覺辨認二維與三維圖形之形狀、大小、角度，邊長是否水平、
垂直
分類 將圖形依其屬性與特徵予以歸類
表徵 利用圖形要素的心像，描繪出指定特徵的圖形 測量 利用尺規測量邊長或單位長度的倍數關係
排列覆蓋 利用方瓦緊密的排列鋪蓋，計算出圖形完全覆蓋所需之單位量數目 切割重組 利用分合移補等策略將不規則圖形重構為規則圖形，以利排列鋪蓋或
公式推理計算
比對 將不同形狀圖形放在一起，固定某要素特徵，以比較出圖形大小或是 公式關係的理解
公式推理 以矩形面積為基礎，探討其他圖形公式與其關係
形式共構 能理解平行四邊形與三角形面積公式可由梯形公式轉換而來
鑑此，研究者結合概念轉化活動與教學策略，安排了面積教學歷程 模式，如圖 14 所示，期待透過實驗教學的引導，鼓勵個體實作、操弄，
呈現出良好之解題表現，形塑有意義的面積學習內涵與材料，驗證模式 之效果，以作為日後教師在面積或是幾何層面教學上的參考；另外，透 過觀察個體在面積學習的歷程上表現的解題策略與技巧，分析及探討其 在「形」、「量」與「數」認知能力的發展，以建構出良好之系統學習模 式，以作為解釋和推論學生思考行為的來源依據，更加掌握學生學習的 影響要素，協助學生獲得更好的幾何學業成就。
貳、圖像與文本中概念建構的關係
文本係根據某特定型態(pattern)建構而成，這些型態包括文字材 料、圖畫、圖解、圖表等閱讀材料，尤其與上述相關的圖像表徵是面積 學習材料的基礎。面積概念的形成是透過圖像特徵要素的抽離，從辨識、
比對的歷程中形成相同類疇的圖像表徵，以作為圖形概念的基模，並從 相似性的特徵建構出圖形的空間結構。有關圖像與文本中面積概念的形
成和連結，需藉由圖像建構、隱喻的介入與策略的引導三個機制才能完 成，以下分別予以說明：
一、圖像的建構
圖像的建構與要素的抽離是本研究面積概念文本設計的基礎，也是 學生對於面積的圖形、面積的測量以及數學規範必備的經驗(Cobb &
Yackel ,1996)。孩子圖像與測量的先備經驗是特別的重要，因為它可以 提供孩子們針對圖形進行重複分割、重組的探索帶來影響，或是形成相 似性倍增結果的一種基礎。甚者，藉由學生圖形要素的選擇、固定及組 合 ， 可 以 調 節 它 們 在 面 積 概 念 學 習 歷 程 上 的 數 學 推 理 。 根 據 Fischbein(1993)的圖像(figural)概念理論所說的：當在處理幾何圖形 的活動時，學生是同時並且內在地擁有圖像和概念特徵兩者心智的建 構。圖像與概念兩個要素之間的完美切合轉化連結，似乎只在一種理念 以及極端的情境下才能形成。但實際上，在相關系統的影響下，概念和 圖像的特徵所產生的現象，依然保留著概念和圖像本身的特質。雖然利 用分、合、移、補的方式將圖形空間重構，會產生新的幾何圖樣，但學 生會嘗試去調和圖像和概念間的觀點。例如探討三角形面積公式的形 成，學生利用切割、移補的方式將三角形圖形重構成矩形的圖像，雖然 產生了新的圖樣，但學生知道新的公式的結構依然代表原三角形的概念 特質。在面積概念轉化的歷程中，學生會參與兩項活動：即結構本身的 語文形式和新圖式的產出(Maracci,2001)。要解決結構性的問題需要給 予學生一個明確的步驟、一種重構式操作的流程，也就是需要同時具備 在控制過程裡整體的組織以及確保每個步驟或是要素皆能真正的執行。
二、隱喻的中介作用
不管是結構的產出或是行動的監控，這種面積概念問題解決是需要 借用「隱喻」來思考的。Lakoff(1993)認為「隱喻」是將看起來似乎是 區隔或是獨立的議題之間的關係予以歸納和轉化的能力所形成的一種認 知力量。隱喻的機制需要透過「投射」(projection)和「交互作用」
(interation)兩項重要的歷程才能執行。每個隱喻性的概念，例如面積
「公式」概念的學習來說，都必須要從兩個概念性的空間開始，其一為 面積問題的「初始狀態」，另一為面積問題的「目標狀態」，這兩個問題 的空間是同時在運作的。隱喻允許面積問題「初始狀態」中的知識投射 到「目標狀態」，並且產生了另一道新的光芒覆蓋住「目標狀態」，精確 的說，就是面積問題的兩個空間因為投射的作用產生了複雜的關聯，但 是投射不能化約成為一種層次而已，它應該具有多種選擇性的。這種關 係就如陳嘉皇（2003b）的研究所提出的，當學生要形成三角形或是特殊 四邊形之面積公式意義時，可透過這些圖樣與矩形的比對，利用矩形之 圖樣作為前置結構，所有圖形經切割、移補後，固定圖形長寬中某一要 素，就能探究出圖形的公式，然而如何切割，切割的方式與行為就有多 樣性的選擇。
交互作用則被當成是隱喻的必要特徵，學生對於面積問題能夠產生 隱喻，就是轉化了所解釋的面積問題來源區域的屬性和特徵。另外，隱 喻將面積問題的兩個概念區域進行協調而導引出意義。就如前述陳嘉皇 的研究所示，當三角形與特殊四邊形的圖樣與矩形進行比對後，其要素 之間就產生交互作用的關聯，長與寬的倍數就能顯現，圖形公式的意義