量的大小及矩形的維度兩者之間的關係計算得出，而不用描 繪的方式，此階段解題的反應指出，面積公式之複雜等式的 知識已在運作。
在階段 0，沒有可識別的策略被用於矩形的覆蓋，在階段 1 和階段 2 所 建 構 的 覆 蓋 策 略 只 能 稱 為 部 分 的 而 不 是 整 體 的 (Outhred ＆ Mitchelmore,2000)，孩子只注意到結構的部分。在階段 3，一種可類化 組合的策略產生，但仍屬於圖像式的架構，在階段 4，這種架構就變成 了符號式的。
測量後做排列的覆蓋
基本的覆蓋 單位量建構進行排列覆蓋
藉由排列關係計算
圖 7 面積公式理解之關係性階段及法則之發展
（採自 Outhred & Mitchelmore, 2000：163.）
很清楚的，在策略的使用上，孩子並不一致，但在任何既定的時程 裡，孩子們能藉操弄提升至一定的階段，隨著時間可至最高階段。但是 真正使用特別的技巧解決問題的階段，仍須依賴解題特殊條件的要求。
從解題觀察所區分出的五個階段的策略指出：孩子使用描繪或是心智影
法則五：線性 測量
法則二：空間 結構（階段二）
法則一：完全覆 蓋（階段一）
法則三：大小 關係（階段 三）
法則四：乘法 結構（階段 三）
面積公式
（階段四）
像推論所呈現的矩形覆蓋作業能力是逐步發展出來的，這個發展的中心 可以形成四個操作型的法則，這些法則具有學習的順序之分：
法則一：矩形必須由單位量完全的覆蓋，不能有重疊或縫隙。
法則二：每列的單位量數目要相同，並能一線排列。
法則三：每一列單位量的數目和和列之間的數目兩者是由矩形的邊 長所決定。
法則四：矩形排列的單位量數目，可從行列單位量的數目計算得到。
圖 7 指出了法則四反應了排列的乘法結構，孩子可以運用這個法則 而不需要使用複雜的操作進行計算(Mulligan & Mitchelmore,1997)。雖 然小朋友可以很快的將矩形填滿（若有充分的紙板），但對於法則一常常 無法理解，理由是，
（一）紙板預構了解題工作的原型（prototype），小朋友不必使用描 繪的方式就可以完成覆蓋。
（二）工作的新奇性，孩子需要經由幾次嘗試訓練後才能獲得經驗；
（三）孩子必須在一條線上將呈現的紙板相鄰的兩邊做簡易方便的描 繪，只有經過這種步驟後，才會顯現出排列的結構，而非只是 個別的正方形而已。
在階段一，學生基本的安排只是單邊的配對，但逐漸會學習利用雙 邊，法則三的學習需要孩子對於線性測量的瞭解，才能瞭解到單位量大 小與矩形維度的關係，因此可增加法則五，對於矩形覆蓋的運作，它是 非常重要的。
法則五：能沿著直線指出單位量所區分的數目，他需具有尺規使用
步驟的瞭解。
二、面積概念學習的主張
Outhred 和 Mitchelmore（2000）的模式也提出一些面積概念學習上 重要的建議：
（一）在面積概念學習的歷程中，孩子需將空間結構的排列當成重 要學習目標－公式習得的中間媒介。
（二）線性測量的相關性轉化是教學中最基本的。
（三）在面積公式學習之前，孩子需要將面積的測量與直線的測量 和乘法的概念相互連結。
從模式歷程中的描繪及計算兩個活動來看，不管是否包含了測量的 作業，當孩子開始經由每列單位量的思考，就產生了第一次及重要的數 量學習，基本上每列的數目被重構當成幾何的等值面積，使每一列單位 量的數目都一致，當發現了每一列的數量後，下一步計算全部需要多少 數量的單位量就可解決了。經由覆蓋策略的發展，學生可以理解到空間 結構的大小與乘法結構的關係，進而能推論出公式而解決問題。
本節綜要與評析
一、綜要
針對學生面積解題能力發展的部分，本節分別從空間要素抽離、單 位量排列能力發展與覆蓋策略發展的面向加以區別論述，這只是便於文 獻的探討與分析而已，從面積概念的發展而言，這三種論述在整個學習 的歷程中是糾結交纏在一起的，無法區隔分離的。理論之間有許多要點
環繞重疊，且互為包容，在面積解題能力的發展上雖有先後順序之分，
但統合之後，可在面積概念教學的歷程上，形成一完整有效的步驟，增 進學生幾何概念發展的完整性，其要點整理如表 5 所示。
這個有效的教學歷程是透過認知心理學訊息處理的模式，將圖形物 件的資訊透過感官的辨識、比對、抽離後，形成心像表徵，並且利用所 建構的圖形表徵，做為空間推理及圖形結構連結的基礎，進而明瞭圖形 要素與公式意義形成之間的關係，這種歷程即是概念從具體至抽象轉換 的過程。綜合上述學者的理論觀點，可歸納本節的要點如下：
表 5 面積解題能力各學派理論要點之綜合比較
理論學說 空間要素抽離 面積相關要素測量能力 面積覆蓋策略 代表人物 1. Piaget 等人
2.Clements，
Swaminathan，Hannibal 與 Sarama
Battista 和 Clements 等人 Outhred 和 Mitchelmore
學說主張 要瞭解物體的結構化，則 需藉由物體空間要素的 辨識，將之抽離轉化後與 複合體組合，並且建立起 內在的關係，才能決定出 結構的形狀及特徵，並推 演出代數的模式
是以正方形幾何關係進 行組織行動的結果，也 就是針對物體集合，透 過心智行動的操作而創 造的空間結構，但沒有 從 物 體 裡 讀 取 這 些 結 構，而是使用了一種「建 構式的結構」，一種非知 覺性的方式，豐富了物 體 的 內 容 。 從 這 種 歷 程，積極地建立物體和 以個體的生理與注意的 行為為基礎逐漸連結的 內在關係
利用單位量的正方形以 間隔或重疊的方式散佈 於矩形內；接著，能夠正 確的呈現排列的結構，但 無法確認矩形邊上依單 位量大小所劃分的單位 量數目和矩形每一邊的 長 度 之 間 是 具 有 關 聯 性；最後學習使用測量的 方式，發現排列的單位量 大小，可以決定排列數量 的計算
教學建議及運用 考量面積圖形特徵的「辨 識」，配合「比對」、「類 比推論」及「關係轉換」
等機制，進行各種抽離能 力更細緻的發展
透過單位量覆蓋的操弄 與排列能力的提昇，形 成面積概念的「心像」
表徵，利於面積公式抽 象符號意義的習得
使用描繪或是心智影像 推論所呈現的矩形覆蓋 作業能力，將面積的測量 與直線的測量和乘法的 概念相互連結
（一）面積概念解題能力的發展是一項錯綜複雜的歷程，包含了對圖
形要素的抽離、單位量結構排列的計算，除此之外，尚且需要 藉助覆蓋策略的運用才能順利無誤的了解面積空間大小與乘法 結構間的關係。從面積概念解題能力的發展來看，兒童應先具 備圖形要素抽離的能力後，進而才能操弄單位量排列及覆蓋的 作業，了解行、列與空間結構的關係，最後才能習得公式的意 義。所以，面積解題能力的發展是循序漸進的，可依能力分階 段，從抽離到統整，透過文本設計和認知教學的引導，而獲致 面積的概念。
（二）面積概念有關解題能力的發展，雖可依循不同階段進行教學，
惟各能力間之關係是相互依存，彼此關聯結合成一空間結構的 系統，此系統內的各項能力的發展順序皆具有輕重緩急之分，
不可躐等，也缺一不可。因此教師在面積概念轉化的歷程上，
應協助學生認識面積學習的目標，將各種有關能力進行銜接與 整合，作為面積概念學習的基礎。
（三）要順利的達成面積概念習得的目標，面積概念轉化能力的內涵，
應包含圖形要素的辨認、單位量覆蓋測量的歷程、以及空間結 構與乘法關係的建立，另外，學習者會透過覆蓋策略運用的經 驗，會將特殊性的圖形分解為簡化的圖形，例如矩形等而進行 解題，進而發展出面積的公式概念。因此，面積概念轉化文本 設計的內容，應包含上述的內涵，如此才算完整。
二、評析
經由上述理論的爬梳詮釋後，可以發現 Outhred 和 Mitchelmore
（2000）發展出的面積公式理解之關係性階段及法則之發展模式，統攝 了要素抽離理論的精髓，並包含了排列、覆蓋以及測量和乘法結構等能 力的內涵，可說最為完備，能將此模式作為本研究面積解題能力教學以 及提升學童面積概念發展的參考架構。
Outhred 和 Mitchelmore（2000）公式理解的階段模式是以典型的矩 形覆蓋活動為主，經由測量活動的引導，發展出乘法結構的運用，進而 轉化面積的公式意義，這係針對單純要素圖形所建構出的理論模式，這 種文本設計適用於正方形或是矩形的解題活動上。陳嘉皇（2003a，2004）
以 Outhred 等人的理論為基礎，將之擴展至三角形和特殊四邊形公式理 解活動的研究，發現若將解題圖形的條件要素複雜化後，學生除了利用 測量與乘法關係計算的方式進行面積的解題外，在歷程中尚會採取圖形 重構調和的策略，而這種多元解題的方式，將影響圖形空間結構轉化及 計算方式的變化。因此，他認為 Outhred 和 Mitchelmore（2000）公式 轉化的階段模式運用於國內學童面積的教學，建議除了前述五個法則 外，可在乘法結構與公式形成的學習活動之間，擴展補充法則六：面積 解題策略的運用（如圖 8 所示），形成另一教學階段模式，可使面積解題 的概念轉化文本設計與教學實施更趨完備。
Outhred 和 Mitchelmore 的理論架構是集晚近所有面積概念發展與 教學研究論述的大作，這個架構提出了能力發展必要的學習法則，也列 出了學童在面積學習階段時序發展上的先後關係，雖然較適合矩形面積 公式的演繹操弄，但對於面積概念文本設計與教學的引導，確切提供了 基礎的理論依據和遵循標準。研究者將此模式擴充形成如圖 8 的教學階