數學解題教學

解題是所有數學學習中不可或缺的部分，可視為數學課程的核心，是所有數 學教學的主要目標，在國小階段需紮實的幫助學生發展解題能力，讓數學學習得 以開展（陳竹村、林淑君、陳俊瑜，2002；NCTM, 1989, 2000）。九十學年度起所 實施的九年一貫暫行綱要課程延續八十二年版的課程精神，重視以問題解決為導 向的數學教學，培養學生能在問題情境中去形成解決問題所需的數學概念、態度 和能力（王瑞慶，2002）。以下介紹以解題為導向的數學教學之相關理論與解題歷 程，以及林宜城所提出的「發展解題能力教學模式」：

一、以問題解決為導向的數學教學

在瞭解以解題為導向之數學教學前，需先對「問題」以及「解題」進行瞭解。

（一）「問題」的本質

所謂的「問題」是個體面對需要解決但是沒有明顯答案，也無既有的運算程 序、解決策略（solving strategy）之一種情境或是個體從已知的條件狀態欲到達目 標時，因缺乏立即通往正確答案之路徑而處的一種情境，在生活中問題到處都會 發生，也常需要加以解決（劉湘川、許天維、林原宏，1993 ；Krulik & Rudnick, 1989;

Mayer, 1992）。在中小學階段，學生學習數學時所面對的「問題」是起點和目標都 很明確，而學生主要的工作，就是使用各種可能的方法，依自己目前所擁有的數 學知識與技能，想出一條可以從起點到達目標的路徑（曹博盛，1996）。

數 學 問 題 一 般 可 分 為 例 行 性 問 題 （ routine problems ） 和 非 例 行 性 問 題

（nonroutine problems）。例行性問題是我們熟悉解法的題目，或需要加以熟練計算 技能的題目，數學課本或習作上的例題大多屬於此類；非例行性問題則是指看到 題目後無法立即知道解題路徑的題目，解題者必須針對其所學過的數學知識和技 能，加以搜尋，檢查與綜合並檢視是否有能適當地應用到其所面臨的新情境（黃 敏晃，1991）。但題目是否為例行題或非例行題，要視解題者而定。即使是簡單的 題目，只要學生尚未學習解法，對學生而言該題便屬於非例行性的問題。

數學文字題的解題向來是國小數學教學的主體，因為文字題的情境提供了數 學概念或運算與生活的聯繫，使得數學具有解決生活問題的意義（吳昭容、黃一 蘋，2003）。不管是用何種方式呈現的文字問題，都能夠讓學生進行解題活動且幫 助他們增進解題能力，但並非所有的文字題都屬同樣的難度，均使用相同的策略，

若教師在進行教學時可整合不同難度的文字問題，就能協助兒童的概念和技能的 發展（Fennenma, Carpenter, & Peterson，引自端木容，1997）。故教師在選擇文字 題時，應選擇具備足夠的挑戰性，能引導兒童至較複雜的解題行為的問題。

（二）「解題」的意義

「解題」是「解決問題」的簡寫，是指人們針對沒有答案、解題策略及運算 程序的情境所提出的問題，運用已有的知識、技能與理解來解決問題或滿足問題 之要求直到獲得解答的一種歷程（劉湘川等人，1993；Krulik & Rudnick, 1989; Mayer, 1992 ）。解題者對他所面臨的問題，可憑其自然的推理能力，先前學過的知識或 獲得的能力，或由此問題之組織安排而加以瞭解並解決，但解題者對此問題之解 決暫時沒有直接而滿意的方法，對於在此問題情境中感到困惑。換言之，解題就 是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程（黃敏晃，1991）。

而在解題的前面加上數學兩字，表示所牽涉到全是數學問題，或在解題時需 要使用數學的知識或方法。數學解題的目的是要訓練、培養學童在面對數學問題，

特別是非例行性問題，能融合題目的已知條件和本身已有的數學知識概念，嘗試 運用各種思考方式與技能去探索各種可能的解決途經，以獲得有效解答（王瑞慶，

2002）。因此，解題教學的要點須重視學生自己動腦思考，唯有透過解題進行不斷

省思的歷程，才能經由省思賦予學習意義，同時任何學科都脫離不了生活，只有 能在生活中印證的才能更直接影響兒童的思考。

以往以教師為中心、重視快速與正確演算能力的傳統教學忽略兒童的理解，

致使部分兒童無法理解題意，只能將題目中的數字任意地進行加減乘除運算，或 是勉強以一些關鍵字為線索進行解題。但關鍵字經常是有侷限性的，不保證適用 於所有情境，結果使這些無法理解題意的兒童視解決文字題為畏途（吳昭容、黃 一蘋，2003）。因此，為了讓兒童對解題產生理解，通常教師會布置一個簡易的問 題情境，以便兒童從他已具備的概念性知識出發，建構自己的解題歷程。並主張 教師應該退居為布題者，把解題活動還給學生，選擇適當的問題，適當的時間、

適當的學生及適當的解題策略進行發表及合理性討論，以促進學生概念的形成與 發展（陳竹村等人，2002）。

（三）解題歷程之相關理論

自從 Deway 提出問題解決的六階段論後，數學解題歷程的研究受到許多學者 重視（陳淑琳，2001），國內研究者常就 Polya、Lester、Schoenfeld 和 Mayer 的解 題歷程加以介紹比較（王瑞慶，2002；涂金堂，1996；涂金堂，1999；劉湘川等 人，1993），在此綜合文獻加以整理：

數學家 George Polya 不但強調解題在數學學習的重要性並在「如何解題」

（1985）一書中提出數學解題之步驟，此四步驟成為後繼解題歷程研究的基礎。

（1） 瞭解問題（understanding the problem）：問題在問什麼？已知、未知、

條件各是什麼？

（2） 擬訂計畫（making a plan）：擬定解題的輔助方法、策略和執行步驟。

（3） 實行計畫（carrying out the plan）：實行所擬定的計畫。

（4） 回顧解答（looking back）：校核答案之合理性及用不同方法求解答或 將此法應用到別的問題上去。

而 Lester（1980, 1985）認為影響解題表現的因子有問題本身、解題者、解題 歷程及解題環境，並將解題歷程分為六階段：

（1） 問題的知覺（the problem awareness）：對問題刺激產生感受。

（2） 問題的理解（the problem comprehension）：能理解問題所提供的訊息。

（3） 目標分析（goal analysis）：針對欲達成之目標進行分析。

（4） 計畫發展（the plan development）：依據目標發展計畫。

（5） 計畫執行（the plan implementation）：實際執行所擬定的計畫。

（6） 執行程序和答案的評估（the procedures and solution evaluation）：對 於計畫執行的過程與結果加以檢核。

Schoenfeld（1985）認為當學生會的認知技能或策略有數十種或數百種，甚至 數千種時，解題成功與否，常繫於學生能否瞭解控制機能以及如何抉擇，並提出 影響解題行為的四個因素即：一為認知資源（resource）指個人所擁有數學知識、

一為啟發策略（heuristics）為解決非例行性問題的策略和技巧、另一為控制力

（control）是後設認知（metacognition）的能力，指個人在解題過程中能夠進行計 畫、監控、評估和決策的能力，最後為信仰系統（belief system）則是個人對數學 的觀點。Schoenfeld 將解題歷程分為六個階段：

（1） 閱讀（read）：閱讀題目，複述題目中的重要條件。

（2） 分析（analyze）：瞭解題目陳述，能有系統的重新陳述。

（3） 探索（explore）：尋找解題路徑。

（4） 計畫（plan）：依尋獲之路徑規劃解題步驟。

（5） 執行（implement）：逐一執行解題步驟。

（6） 驗證（verify）：檢驗答案之合理性。

Mayer （ 1992 ） 從 認 知 心 理 學 觀 點 ， 將 解 題 歷 程 分 為 問 題 表 徵 （ problem representation）及問題解決（problem solving）兩個步驟，每步驟又包含兩個子步 驟 ， 問 題 表 徵 包 含 問 題 轉 譯 （ problem translation ） 和 問 題 整 合 （ problem intergration）；問題解決分為解答的計畫與監控（solution planning and monitoring）

和解答的實施（solution execution）。

（1） 問題轉譯：將題目的陳述句轉譯為內在表徵，理解語句間的關係。此 步驟需要良好的語文知識和事實知識。

（2） 問題整合：將問題所提供的資料整合成連貫一致的表徵。此步驟需要 基模知識（schematic knowledge）。

（3） 解題計畫及監控：能運用數學語句、方程式或必須的運算列式來表示 問題，擁有解題計畫並能加以監控。此步驟需要策略知識。

（4） 解題執行：正確有效的執行解題計畫，利用演算法則進行單純或連續 的計算。此步驟需要程序性知識。

以上多位學者對於解題的歷程多以 Polya 理論為基礎加以增刪或修改，其共同 的特點均認為在面對問題時，需先對題目加以理解、詮釋，再依自身所擁有的數 學知識、能力，擬訂計畫、解決問題，並對解題的結果加以檢核、評估。而這些 學者對解題所持的論點為往後的數學解題教學奠定良好的基礎。

（四）數學解題的建構式教學模式

建構式的教學並非是一種教學法，而是只要運用建構主義的精神於教學中便 可稱之（施淑娟，1999；陳淑敏，2001）。八十二年版數學課程編輯小組提出的建 構式教學流程（劉好、許天維，1995）以及張靜嚳（1996）的問題雙環教學模式 便可作為數學解題建構教學模式的舉例：

1. 八十二年版數學課程編輯小組提出的建構式數學解題教學流程

編輯小組認為學生需經過解題、反省、討論與觀摩等過程，來學習數學知識，

並提出一活動基本流程，來反應教師賦予教學活動時應考慮的問題、引導的方向，

提供學生發表機會、引發學生討論，在討論中重視學生間的溝通問題及解題方法 的澄清。活動流程進行的一般原則是由教師布題，透過學生進行解題活動、教師 行間巡視，檢查學生難度或決定要討論哪些學生的解題方式，學生完成解題活動，

教師決定是否選擇學生發表（劉好、許天維，1995）（如圖 2-1-1）：

圖 2-1-1 教師對一個問題的教學流程

2. 張靜嚳之問題雙環教學模式

張靜嚳根據社會建構論與 NCTM 的標準，提出以問題中心教學再加雙環（學 習環和教學環）而成的。雙環的目的在強化問題中心教學的功能並避免教師誤用 和迷失。學習環是借用 Ernest（1991）的知識創造環概念，認為知識是人類社會的

張靜嚳根據社會建構論與 NCTM 的標準，提出以問題中心教學再加雙環（學 習環和教學環）而成的。雙環的目的在強化問題中心教學的功能並避免教師誤用 和迷失。學習環是借用 Ernest（1991）的知識創造環概念，認為知識是人類社會的