第二章 文獻探討
第二節 加減法問題之相關理論與研究
兒童文字題加減法的學習，是數學學習的重要時期，日後發生學習困難，往 往可追溯到此一時期（古明峰，1999），因此加減法是兒童數學學習的基礎。
一、加減法問題的語意結構
語意結構是指問題內容情境中，句子語言陳述的意義及各陳述之間的關係（古 明峰，1998；王雅蘭、張蓓莉，2004）。單一步驟的加減法都包含兩個集合，以及 兩個集合之間關係的陳述。
單一步驟的加減法文字題依語意結構可區分為改變題（change）、合併題
（combine）、比較題（compare）、等化題（equalize）等四種題型（古明峰，1999；
翁嘉英，1988；Carpenter & Moser, 1982；Fuson, 1992），又可依數量運作之後的 增加、減少、比多、比少以及未知數的位置分成各種類型的問題，以下綜合學者 的看法，分別陳述單一步驟加減法問題的四種題型，並以表 2-2 加減法問題的類 型與例子來輔助說明。
(一)改變類
改變題問題是給定一個起始量，因為事件或動作使得起始量產生改變，起始
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量增加為添加型問題，起始量減少為拿走型問題，又可依未知數的性質細分為起 始量未知、改變量未知、結果量未知，共可分為起始量未知添加型、起始量未知 拿走型、改變量未知添加型、改變量未知拿走型、結果量未知添加型、結果量未 知拿走型等六類。
(二)合併類
合併類問題僅是靜態的關係，探討子集合的全體量和兩個子集合之間的關係，
依未知數的性質可分為部分量(子集合)未知和全體量未知。
(三)比較類
比較題問題是探討兩個互斥的集合相互比較的關係，一個為被比較量，另一 為參照量，兩集合之間相差的數量為差異量，依未知數的性質可分為被比較量未 知、參照量未知、差異量未知，題目描述的比多或比少，共可分為比較量未知比 多型、比較量未知比少型、參照量未知比多型、參照量未知比少型、差異量未知 比多型、差異量未知比少型等六類。
(四)等化類
等化題問題是改變類和比較類問題的混合，比較兩個互斥集合的大小，並加 上行為，使其中一集合元素的個數與另一集合元素內個數相等。依未知數的性質 亦分為被比較量未知、參照量未知、差異量未知。依數量運作之後的增加、減少 又細分為比較量未知比多型、比較量未知比少型、參照量未知比多型、參照量未 知比少型、差異量未知比多型、差異量未知比少型等六類。
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表 2-2
加減法問題的類型與例子
註：引自「中年級兒童『部分—全體』運思的發展：文字題圖選與解題作業表現 的差異」，蔣治邦，2001，中華心理學刊，43，頁 240。
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在加減法問題的的語句結構上，綜合 Mayer（1982）和林碧珍（2000）曾提 出的句型，有指定句、關係句、疑問句、動作句、隱藏句等，不同的句子在問題
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範例一：哥哥身上有 25 元（指定句），買了一個甜甜圈花掉了 15 元（動作 句），哥哥身上還有多少元。（隱藏句，沒有明顯地在問題中呈現，其實是下一句 之指定句）媽媽又給了他 10 元，（動作句）現在哥哥有幾元？（疑問句）
範例二：哥哥身上有 25 元（指定句），妹妹身上的錢比哥哥多 5 元（關係句），
請問妹妹身上有幾元？（疑問句）
當題目中含有關係句時會增加理解的難度，所謂的關係句是表示數量間之數 量關係的陳述句。Mayer（1982）在一相關的研究中發現問題理解轉譯上的錯誤 通常發生在關係句，而不發生在指定句中，顯示學生缺乏合適的語言知識可以將 關係句表徵於記憶之中，因此提取時容易發生錯誤。而在 J. G. Greeno 與 M. S.
Riley、J. G. Greeno 與 J. J. Heller 的研究中也發現兒童會忽略關聯性的敘述，將關 係句直接當成指定句使用，導致理解錯誤（Mayer，1987/1997）。
當題目中只含有指定句、單一動作句、疑問句，是單一步驟的加減法，對學 生而言是容易理解的，但是當題目中含有指定句、多個動作句、隱藏句、疑問句 時，此時形成多步驟的題型，對學生而言較困難，因為多步驟的問題需要更多問 題的整合(蔣治邦，1993)，學生須能從句子脈絡中明白隱藏句，將指定句、動作 句、隱藏句整合成一貫的問題，進行多階段的運算，若無法成功整合，就會無法 成功解題。
三、低年級兒童數的合成運思與加減法問題理解的關聯
加減法問題具有不一樣的語意結構，不同運思層次的兒童能理解的語意結構 亦不同。序列式合成運思的兒童，對於部分-整體關係的理解仍有困難，因此對於 比較類差異量未知比少型的問題就容易產生理解困難。依據甯自強（1997）、蔣治 邦、鍾思嘉（1991）及呂錘卿、余毓珊、蘇淑紋（2011）的研究，研究者將兒童 運思層次和加減法問題理解之關係整理如下：
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(一)序列式的合成運思
兒童進行數的分解與合成時，運用數個「1」將數量依序具體模擬，進行操作 表現出來。學生可以理解合成、分解的意義，對於改變類的結果量未知、合併類 的全體量未知、比較類差異量未知比多型的題型，能理解問題。
(二)累進性合成運思
此運思可以使用一個集聚單位（例如：10 或 16）為基礎，繼續合成新的「1」，
而形成新的集聚單位，例如以 16 為起點，繼續合成 3 個「1」，而形成 19，已不 需要全盤托出，可以集聚單位為出發點進行量的合成及分解，但尚未能掌握加、
減互逆關係。此時可以理解比較類差異量未知比少型，亦可利用累進方式理解改 變類改變量未知、等化類差異量未知等題型。
(三)部分─整體運思
此運思掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位（例如：10 或 100）
間的部分─全體關係，且能明顯地區分兩者的意義，故而在混合使用兩種以上的 被計數單位時，不會混淆，也可以將數個集聚單位和數個「1」單位合而為一，形 成新的集聚單位，例如，能區辨 3 個「十」與 3 個「一」這兩個 3 具有不同的意 義，而將 33 視為 3 個「十」與 3 個「一」的合成結果，發展多單位的觀點。改變 類起始量未知、合併類部分量未知、比較類比較量未知、比較類參考量未知的理 解會逐漸提高，等化類的比較量未知，也會因學生具備部分—整體的運思，題意 理解的困難度會下降。
兒童運思階段發展的不同，所能理解的加減法問題類型也不相同，而等化類 參考量未知並未歸類於此三種運思模式之下，顯現低年級兒童對於此類題型則是 比較難理解的。教師在進行題意理解的教學時，應先了解學生運思階段的發展，
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利用策略，逐步提升學生運思層次，有助於題意的理解。
四、理解加減法問題的相關研究
與加減法問題相關的研究相當多，研究者從理解的角度去分析加減法問題的 相關研究，歸納如下:
(一)加減法問題具有不同的語言特徵
加減法問題在陳述題目時，不同類型有不同的語言特徵，如合併類常會出現
「和」「共」，改變類的「又」「再」，比較類的「比…..多（少）」，等化類的「還要」
「才夠」「和……一樣」等，學生如果只根據語言特徵判斷語意及運算符號，可能 導致理解錯誤。
洪敬傑（2011）以數學加減文字題進行語言分析，以小句為基本單位，進行 成分分析，將小句區分成參與成分、過程成分、環境成分、連接成分、及人際成 分。研究中提出加減法文字題語言特徵相同的是參與成分多是物品或人名，過程 成分中「有」出現頻繁，且細分為關係過程的「有」及存在過程的「有」。而四種 文字題的語言差異集中於環境成分、連接成分及人際成分。改變類的語言特徵有
「原來」「現在」「又」「再」，合併類的語言特徵有「和」「共」「其中」，比較類的 語言特徵有「比…..多」「比…..少」，等化類的語言特徵有「還要」「才夠」「和……
一樣」。學生在閱讀文字題時經常受到表達成分的干擾，如「和」「共」，就用加法，
「差」「比」，就用減法，而忽略由文字題中其他成分來判斷數量的關係及題目的 語意。
梁瑞真（2005）分析國小四年級學習障礙學生在加減法應用問題題意理解上 之表現，發現學生固著於四種類型加減問題語言特徵上的字義，造成題意理解失 敗，如合併類的語言特徵常出現「共」字，學生單就關鍵字義來思考，導致子集 合未知題題意理解錯誤；對於改變型的題目，依據句中的動作語言作判斷（如：
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又飛走 25 隻、再來了 15 人），未能掌握整題語意；比較類的題型中單就關係句中
「比」字，運用「固定減法策略」解決所有的比較型題目，導致題意理解錯誤。
(二)加減法問題具有不同的難易度
相關的實徵研究提出改變類和合併類的未知數位置愈前面，則難度愈高。而 多數的研究認為比較類是加減法問題中讓學生感到較困難的題型，尤其題目語言 敘述與運算符號不一致性時，更容易理解錯誤。
Riley（1981）研究發現，在改變類和合併類來說，未知數所在位置愈前面則 難度愈高。例如改變類問題中，「起始量未知」比「結果未知」的題目困難；在合 併類的題目中，「子集合未知」比「總數未知」困難；其難度增高的原因是由於語 意結構與兒童解題的策略有所衝突﹙Riley, 1981; Willis & Fuson, 1988﹚，例如:「小 明有一些糖果，小華給他 5 顆後，現在小明有 8 顆糖果，請問小明原本有幾顆糖 果？」。此為改變類添加型，以語意結構來說，對應的是累加的策略，但實際解題 的策略卻是結果量減掉改變量，和語意結構所對應的策略矛盾。此類問題的解題，
學生須發展出加法與減法的互逆關係，符合涂金堂、林佳蓉（2000）所提出的高 數學解題能力者的知識結構。
但在比較類的題目中，「參照量未知」比「差異量未知」或「被比較量未知」
困難（Riley，1981）。其牽涉到語意敘述的一致性與不一致性，例如:
「小明有 8 顆糖果，小華比小明多 5 顆彈珠，請問小華有幾顆彈珠？」—小 華是關係句的主詞，「比多」和運算符號「＋」對應，是為一致性比較題。
「小明有 8 顆糖果，小明比小華多 5 顆彈珠，請問小華有幾顆彈珠？」小華 是關係句的受詞，「比多」所對應的運算符號卻是「－」，此為不一致型比較題。
這也是比較題中最難的題型，學生須反轉關係句的語意，才能正確解題。
這也是比較題中最難的題型，學生須反轉關係句的語意，才能正確解題。