第二章 文獻探討
第一節 題意理解與數學文字題之相關理論與研究
第二章 文獻探討
本章主要在說明與題意理解相關的理論基礎與文獻資料，共分為三個部分，
第一節先探討題意理解與數學文字題之相關理論與研究，第二節再說明加減法問 題之相關理論與研究，第三節則討論題意理解之相關策略與研究。
第一節 題意理解與數學文字題之相關理論與研究
在數學的學習過程中，數學文字題是學習教材中相當常見的題型，學生在解 文字題時需要先理解題意，才能進行解題。
一、題意理解之意涵與歷程
題意理解是一複雜的心智活動，在題意理解的歷程中，個體會整合不同的知 識類型進行數學問題的訊息處理。
(一)題意理解之意涵
當學生面對一道需要解決的數學題目時，理解問題的文字敘述的意義並辨別 問題的主要部分 (如「什麼是未知？」、「哪些是已知的訊息？」、「未知的與已知 的有沒有關係呢？」和「有些什麼條件呢？」等)乃是問題解決的基礎 (Polya, 1945）。
劉秋木（1996）認為「理解」這個概念至少含有三個要素，一是所理解的對象，
二是知識表徵結構，三是知識表徵結構與對象的配合或適應。題意理解就是以數 學題目為理解對象，藉由閱讀數學題目，產生有意義的轉譯，將題目內容轉換為 適宜的知識表徵，此知識表徵在腦中是具有結構的，且可納入或擴展既有的數學 知識網絡。
題意理解是從數學題目的外在表徵（問題情境、語言文字）到建立正確內在 表徵的過程。而「表徵」就是對於一個物件，人們常習以使用語言、文字、符號、
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圖像…..等來描述或表示（蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜，2000）。題 意理解牽涉的是表徵的轉換，此過程如同 Mayer 所提「問題轉譯」步驟，即是將 題目中每個陳述句轉譯為內在表徵（Mayer, 1987/1997）。人們在表徵的過程中，
會主觀的選取某些性質而捨去大多數的性質來形成表徵，因此「表徵」與「被表 徵物件」比較，必然產生失真的現象（蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜，
2000）。題意理解就在於如何使得題目的外在表徵轉換為內在表徵狀態愈趨於真實，
縮小失真。
真正的題意理解意味著學習者能彈性運用多元表徵適切的轉換題意，將題目 內容和原有知識重新組織產生關聯性，使題意在腦中呈現出結構性及關係性，題 意訊息是整合的，非零碎不相關的。
具有題意理解能力的學生能清楚的說出詞彙的意義、文句的語意，並能知道 題目中的已知條件有哪些、解題目標是什麼，並辨別有關及無關訊息、數字與集 合的對應、集合之間彼此的關係。
(二)題意理解的歷程
Mayer（1987, 1992）從認知心理學觀點，將解題歷程分為問題表徵（problem representation）及問題解決（problem solution）兩階段，問題表徵的過程將問題陳 述的內容進行重新組織分析，和個體原有的知識結構整合，此過程是為題意理解 的歷程。
在此歷程中，Mayer 又將問題表徵分成問題轉譯（problem translation）和問 題整合（problem integration）兩階段，問題轉譯是指將問題中的陳述句轉變為內 在心理表徵，需要用到語言知識及事實知識。問題整合是將轉譯出來的訊息整合 起來成為連貫一致的表徵，需要具備數學基模知識。以下分別說明問題轉譯和問 題整合。
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1.問題轉譯
數學問題以語言敘述問題，K. Durkin 與 B. Shire 認為數學語言在文本中的呈 現有三方面：一是字彙的形式，二是一般詞彙應用在數學的例子，三是特殊術語 在數學文本中的敘述（引自秦麗花，2007）。學生須具備語言的知識及事實的知識，
不僅要能閱讀文字，還要明白句子中的詞彙、語意、概念，才能對問題中的句子 加以解義(paraphrase)，甚至可以使用自己的語言重述已知條件及解題目標(Mayer, 1987/1997)。在題意理解歷程中，學生須具備語文的知識及事實知識，才能將問 題正確的轉譯。
2.問題整合
問題整合需依靠數學基模知識， Marshall（1987）認為「基模」是包含人類 如何與環境互動的訊息的一種知識結構，它可用來說明人類如何知覺外在的環境，
以及在該情境下，會採取何種行動來因應。Richard E. Mayer 認為基模是閱讀者 的普遍性知識結構，用來選擇及組織輸入的訊息，使納入一個整合的、有意義的 架構中（Mayer, 1987/1997）。當個體接收外在環境的各種訊息時，如數學題目，
本身所擁有的基模會主動的對題目中的訊息進行辨認，而較能符合題目訊息的基 模就會被活化，被活化的基模在處理數學題目時，會先存在一些預設值（default value），這些預設值可以協助個體快速的瞭解題目的意義（余民寧等人，2003）。
基模也有可變性，環境改變，挑選基模也會不同，且一基模會被嵌入另一基模內，
被嵌入的基模也同時被活化，而基模內的資料可以是具體的事物也可以是抽象概 念，其不是呈現某個單一意義，而是呈現百科全書一樣的概念知識網路（Rumelhart
& Ortony, 1977）。
因此問題的整合，需活化數學相關的基模知識，學生才能辨認問題的類型、
辨認有關及無關的訊息、並找出解題所需要的資料、用圖示或圖畫表徵問題(Mayer, 1987/1997)。但學生的先備知識不同，也會挑選不同的基模活化，當輸入的資料
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過度簡化、扭曲、或在不正確的基模中過濾，學生就會產生錯誤的理解及推論 (Good & Brophy, 1995/1999）。
綜合上述所言，題意理解歷程中須具備語言知識和事實知識，將數學問題進 行初步的轉譯，並活化數學基模知識，利用基模知識處理辨認問題類型，對訊息 做出判斷，並找出解題所需要的資料，整合成一致的表徵模式。學生具備語言知 識、事實知識及數學基模知識愈豐富，能提高其對於題意的理解能力。
二、題意理解在數學文字題中的作用
Mayer 認為數學文字題是藉由文字敘述問題的一種數學計算題型（Mayer, 1987）。即解題者須從文字語意去理解已知的狀態條件及目標條件，並將文字進行 轉換成表徵符號，從中擬定出適切合理的數學策略來解題。因此要確切的解題，
理解題意是重要的關鍵因素，在數學文字題中具有一定的作用。
(一)題意理解在理解數學文字題的問題情境
數學文字題的理解是一種先解碼，再重新編碼的過程。先將文字訊息解碼成 生活中的情境，再重新編碼形成新的表徵符號，最後再以數學符號編碼輸出。劉 秋木（1996）認為從語言符號追溯到對情境的把握，是一種解碼的過程，而情境 轉化形成語言符號是編碼的過程，所以語言理解就從語言符號的線索對應到問題 情境的理解過程，如圖 2-1。因此題意理解也應該要理解數學文字題的語言符號 解碼成問題情境的過程。
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圖 2-1 由語言文字到情境的解碼過程。引自國小數學科教學研究（頁 83），劉秋 木，1996，台北市：五南。
(二)題意理解在理解數學文字題中的關係
訊息處理(information-process)理論學者 A. Newell 與 H. A. Simon 認為必須先 將問題的相關特徵加以建碼，組成內在表徵，然後才進行問題解決，Newell 與 Simon 稱問題的內在表徵為「問題空間」(problem space)，問題空間的基本元素 包括以下五項(引自鄭麗玉，1993)：
1. 初始狀態(initial state)：問題的起始狀態。
2. 目標(goal)：所欲達到的最終狀態。
3. 物件(object)：可用來解決問題的物件、資源…等。
4. 操作規則(operations)：可用來解決問題的規則。
5. 限制(restrictions on the operations)：解決問題時不可違犯的限制。
初始狀態是問題的已知條件，目標即問題的解題要求，物件、操作規則、限 制有時可由題目中搜尋，有時須依靠先備知識或問題基模才能得知。問題空間內 的元素彼此之間存在著一定的關係，這些關係需要被理解及釐清，因此題意理解 也是在理解數學文字題中的關係。
解碼 decoding
coding 編碼 coding
編碼
社會語言
行動表徵 形象表徵 生活情境
的結構
語言符號
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(三)題意理解在理解數學文字題中的表徵轉換
數學表徵是指學習者解題時，基於相關問題的基本知識，以不同的形式表徵 重新詮釋問題的存在（楊瑞智，1994）。其表徵的方式又可分為內在表徵和外在表 徵二種。人們試著去理解問題的方式有兩種表徵類型的存在，第一是「內在表徵」， 反映人如何想像這個主題和在他心中的關係，被定義為在腦中被編碼、修正和儲 存的訊息；第二是「外在表徵」，是人們利用描繪略圖、圖形、寫下符號或方程式 去創造它（Hayes, 1981）。G. M. Bodner、D. S. Domin 與 M. J. Yang 認為外在表徵 為「訊息的物理顯示」，它可能是一個字被使用來描述一個內在表徵、一個圖或一 個訊息列表的結果，而引起內在表徵或方程式(引自劉文雄、周進洋，2011)。
Bruner（1966）根據運思方式的觀點，將表徵分為動作表徵、圖像表徵、符 號表徵等三種型式，學生經由具體物操作而得以理解，為動作表徵的形式；學生 利用外在實物在心中的影像（心像）來掌握理解的事物，即使具體物消失，仍能 進行內在的運思，為圖像表徵；學生利用符號進行運思，此階段的符號可以是任 何的記號，代表實物或心象的某一種抽象的意義，和實體不必然有相似之處，此 為符號表徵。 Bruner 所指的三種表徵是事物在心中被定義理解的內在表徵模 式。
Lesh, Post, 與 Behr（1987）提出五種不同的外在表徵轉換模式，有現實生活 情境（real word situation）、操作具體物（manipulative aids）、圖像（pictures）、口 語符號（spoken symbols）、書寫符號（written symbols）等五種表徵，如圖 2-2，
不同的表徵有不同的功能。如果學生能用不同的表徵系統來表徵題目，且能自由 的轉換，代表其對於題意是理解的。
題意理解即在理解文字題的表徵內容及轉換，運用外在表徵來表徵題意，引 發內在表徵的心理理解歷程。
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圖 2-2 Lesh, Post, 與 Behr（1987）的表徵轉換模式。取自 Problem of
Representation in Teaching and Learning of Mathematics, (
p. 34), by Lesh, Post, ＆ Behr, 1987, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.三、影響數學文字題題意理解的相關因素
題意理解牽涉到複雜的心理認知歷程，其影響因素相當多。以下分別就文字 題中的語言、文字題的閱讀方式、文字題訊息處理方式、學生的先備知識等方面 加以分析。
(一)文字題中的語言
文字題中的語言有文字語言、符號語言、圖形語言。學生能理解此三種語言，
文字題中的語言有文字語言、符號語言、圖形語言。學生能理解此三種語言，